4.5 相似三角形判定定理的证明（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.5相似三角形判定定理的证明 一．选择题（共8小题） 1．（2025•武进区校级模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 2．（2025春•东莞市校级月考）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，3，且∠AED＝∠B，则△AED与△ABC的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．3：16 D．4：9 3．（2025春•庐江县月考）如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，点F是CD上一点，连接BE，BF，EF，若∠BEF＝90°，，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•青岛模拟）如图，在正方形ABCD中，AD＝6，E为AD边上一点，为AB延长线上一点，BF＝DE，连接EF，交对角线BD于点O．以下结论：①△CEF是等腰三角形；②△OED∽△OFB；③OD＝2OB；⑤．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025•五华区校级模拟）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•麒麟区三模）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，CE交对角线BD于点F，若DEAD，BD＝12，则DF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024秋•巴中期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，，点G是△ABC的重心，连接CG交AB于D，GH⊥AC于H，则GH的长为（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•方城县期末）如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是18，则四边形BCGF的面积为（　　） A．16 B．20 C．30 D．40 二．填空题（共4小题） 9．（2025•丹阳市二模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，且AE⊥EF．若AB＝2，AD＝4，BE＝1，则EF的长为　 　 ． 10．（2025•东海县三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，且BD＝2AD，若△ABC的面积为15，则四边形BCED的面积为 　 　 ． 11．（2025•袁州区校级二模）在菱形ABCD中，AD＝5，AE⊥BC于点E，EC＝2，连接BD交AE于点F，则AF的长为　 　 ． 12．（2024秋•陵水县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C′，点A的对应点A′恰好与△ABC的重心重合，A′B′与BC相交于点E，那么CE：BE的值为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•广州二模）如图，已知点E，F在线段BD上，AE∥FC，AE＝2FC，BE＝2DF，求证：AB＝2CD． 14．（2024秋•昌平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）若，BD＝1，求AD． 15．（2024秋•连平县期末）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB＝8，BM＝6，求AE的长． 4.5相似三角形判定定理的证明 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025•武进区校级模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　） A．16 B．12 C．10 D．8 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，DEBC， ∴△ADE∽△ABC， ∴（）2， ∴， ∴△ABC的面积为16， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 2．（2025春•东莞市校级月考）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，3，且∠AED＝∠B，则△AED与△ABC的面积比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．3：16 D．4：9 【考点】相似三角形的判定与性质． 【答案】C 【分析】根据∠AED＝∠B，∠A＝∠A，证得△ADE∽△ACB，得到比例式，又3，得到ADAB，AEAC，于是推出4AD2AC2得到，然后根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∵3， ∴ADAB，AEAC， ∴4AD2AC2 ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 3．（2025春•庐江县月考）如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，点F是CD上一点，连接BE，BF，EF，若∠BEF＝90°，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意得出△ABE∽△DEF，设AE＝DE＝2k，则AB＝DC＝3k，进而得出DF，CF，即可求解． 【解答】解：在矩形ABCD中，∠BEF＝90°， ∴∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD， ∴∠AEB＝90°﹣∠DEF＝∠DFE， ∴△ABE∽△DEF， ∴， ∵， ∴， ∵点E是AD中点， ∴， ∴设AE＝DE＝2k，则AB＝DC＝3k， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 4．（2025•青岛模拟）如图，在正方形ABCD中，AD＝6，E为AD边上一点，为AB延长线上一点，BF＝DE，连接EF，交对角线BD于点O．以下结论：①△CEF是等腰三角形；②△OED∽△OFB；③OD＝2OB；⑤．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】C 【分析】利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：设EF与BC交于点G，过点E作EH⊥AD交BD于点H，如图所示： ∵CD＝CD， 在△CDE和△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（SAS）， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰三角形． ∴①的结论正确； 由题意可得： ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∵∠DOE＝∠BOF，∠BFO≠45°， ∴△OED和△OFB不是相似三角形， ∴②的结论不正确； ∵，BF＝DE，AB＝AD， ∴，， ∴． ∵BC∥AD， ∴△FBG∽△FAE， ∴， ∴， ∴． ∵AD∥BC， ∴△ODE∽△OBG， ∴2， ∴OD＝2OB． ∴③的结论正确； ∵∠ADB＝45°， ∴△DEH为等腰直角三角形， ∴DE＝EH， ∴EH＝BF． ∵EH⊥AD，AB⊥AD， ∴EH∥AB， ∴△HEO∽△BFO， ∴， ∴OE＝OF． 由①知：△CDE≌△CBF， ∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF， ∴∠ECF＝∠ECB+∠BCF＝∠ECB+∠DCE＝∠DCB＝90°， ∴△ECF为等腰直角三角形， ∴OC⊥EF， ∴△OCE为等腰直角三角形， ∴． ∵AD＝6，， ∴DE＝2， ∴， ∴． ∴④的结论正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 5．（2025•五华区校级模拟）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】C 【分析】先根据平行线证明△OAC 与△OBD相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【解答】解：∵AC∥BD， ∴∠A＝∠B，∠C＝∠D， ∴△OAC∽△OBD， ∴， 设，则OA＝k•OB，OC＝k•OD，AC＝k•BD， ∵， ∴， ∴△OAC与△OBD的相似比为， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 6．（2025•麒麟区三模）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，CE交对角线BD于点F，若DEAD，BD＝12，则DF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】A 【分析】根据题意得出AD∥BC，AD＝BC，利用相似三角形的判定得出△DFE∽△BFC，再由其性质代入求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△DFE∽△BFC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵BD＝12， ∴DF＝3， 故选：A． 【点评】题目主要考查菱形的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键． 7．（2024秋•巴中期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，，点G是△ABC的重心，连接CG交AB于D，GH⊥AC于H，则GH的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】C 【分析】连接BG并延长BG交AC于E，由重心的性质可知，可得，由GH⊥AC，∠ACB＝90°，可得GH∥BC，进而可证明出△EHG∽△ECB，可得到，代入数据即可求出GH的长． 【解答】解：如图，连接BG并延长BG交AC于E， ∵点G是△ABC的重心， ∴BG＝2GE，即， ∴， ∵GH⊥AC， ∴∠EHG＝90°， ∴∠ACB＝∠EHG＝90°， ∴GH∥BC， 又∵∠BEC＝∠BEC， ∴△EHG∽△ECB， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了重心的性质、相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 8．（2024秋•方城县期末）如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是18，则四边形BCGF的面积为（　　） A．16 B．20 C．30 D．40 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】C 【分析】由题意可得EH∥BC∥FG，从而推出△AEH∽△AFG，△AFG∽△ABC，再由相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC， ∴EH∥BC∥FG， ∴△AEH∽△AFG，△AFG∽△ABC， ∴AE＝EF＝BF， ∴，， ∴，， ∵图中阴影部分的面积是18，S△AFG﹣S△AEH＝S阴影， ∴， ∴， ∴S四边形BCGF＝S△ABC﹣S△AFG＝54﹣24＝30， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 二．填空题（共4小题） 9．（2025•丹阳市二模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，且AE⊥EF．若AB＝2，AD＝4，BE＝1，则EF的长为　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力． 【答案】． 【分析】应用矩形的性质，勾股定理求得AE的长，再通过证明两组等角证得△ABE∽△ECF，应用相似三角形的性质得等式，即可求得EF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝4， ∵BE＝1， ∴EC＝4﹣1＝3， 在Rt△ABE中， AE， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠CEF＝90°， ∵∠CEF+∠EFC＝90°， ∴∠AEB＝∠EFC， ∵∠B＝∠C，∠AEB＝∠EFC， ∴△ABE∽△ECF， ∴， 即， 解得EF． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 10．（2025•东海县三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，且BD＝2AD，若△ABC的面积为15，则四边形BCED的面积为 　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】． 【分析】先证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解题． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵BD＝2AD， ∴， ∴S△ADE：S△ABC＝1：9， ∵S△ABC＝15， ∴， ∴四边形DBCE的面积， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握其性质是解题的关键． 11．（2025•袁州区校级二模）在菱形ABCD中，AD＝5，AE⊥BC于点E，EC＝2，连接BD交AE于点F，则AF的长为　　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力． 【答案】． 【分析】利用勾股定理计算AE的长，由平行证明△BEF∽△DAF，利用相似三角形的性质得等式求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝5， AD∥BC， ∵EC＝2， ∴BE＝5﹣2＝3， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， 由勾股定理得AE4， ∵AD∥BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∵EF＝AE﹣AF＝4﹣AF， ∴， 解得AF， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 12．（2024秋•陵水县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C′，点A的对应点A′恰好与△ABC的重心重合，A′B′与BC相交于点E，那么CE：BE的值为 　3：4　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心；直角三角形的性质；旋转的性质． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】3：4． 【分析】延长AA′交BC于点D，根据三角形重心的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得出．根据旋转的性质得出∠B＝∠B′，B′C＝BC，从而得出，并可证△A′ED∽△B′EC，再结合相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图，延长AA′交BC于点D， ∵点A′恰好与△ABC的重心重合， ∴， ∵∠BAC＝90°， ∴， ∴， 由旋转得：∠B＝∠B′，B′C＝BC， ∴，即， 又∵∠A′ED＝∠B′EC， ∴△A′ED∽△B′EC， ∴， ∴， ∴， ∴CE：BE＝3：4， 故答案为：3：4． 【点评】本题考查三角形重心的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质．熟练掌握三角形重心的性质和三角形相似的判定理与性质定理是解题关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•广州二模）如图，已知点E，F在线段BD上，AE∥FC，AE＝2FC，BE＝2DF，求证：AB＝2CD． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质． 【专题】三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据AE∥FC，∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFD+∠EFC＝180°，可证得∠AEB＝∠CFD，进而可证得△ABE∽△CDF． 【解答】解：∵AE∥FC， ∴∠AEF＝∠EFC， 又∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFD+∠EFC＝180°， ∴∠AEB＝∠CFD， ∵AE＝2FC，BE＝2DF， ∴， ∴△ABE∽△CDF， ∴， ∴AB＝2CD． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行线的性质，牢记相似三角形的判定定理及性质是解题的关键． 14．（2024秋•昌平区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）若，BD＝1，求AD． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）3． 【分析】（1）推导出∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠CBD，由此能证明△ACD∽△CBD． （2）由△ACD∽△CBD．得到，由此能求出AD的长． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． ∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∠A+∠B＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90， ∴∠A＝∠BCD， ∴△ACD∽△CBD． （2）解：∵△ACD∽△CBD， ∴， ∵CD，BD＝1， ∴AD＝3． 【点评】本题考查三角形相似的证明，考查线段长的求法，考查相似三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．（2024秋•连平县期末）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB＝8，BM＝6，求AE的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出AM，可求出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，即可求出AE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠AMB＝∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE＝90°， ∴∠B＝∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，BM＝6， ∴∠B＝90°，AD＝AB＝8， ∴， ∵F是AM的中点， ∴， ∵△ABM∽△EFA， ∴， 即， ∴． 【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$