4.4 探索三角形相似的条件（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件 一．选择题（共7小题） 1．（2024秋•澧县期末）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 2．（2024秋•奇台县期末）如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是（　　） A．∠A＝∠D B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 3．（2024秋•陵水县期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝3，AC＝5．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•巴中期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，下列条件中不能判断△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D． 5．（2024秋•郏县期末）在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A＝∠A′；（4）∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C的共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．（2025•苍溪县模拟）已知P是△ABC的边AC上一点，连接BP，则下列不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 7．（2025•沈丘县校级一模）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，且交AD于点E，则下列说法不正确的是（　　） A．△AEO∽△ACD B．4AE＝5AO C． D． 二．填空题（共5小题） 8．（2024秋•定兴县期末）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有　 　 ． 9．（2024秋•梅里斯区期末）如图，已知∠B＝∠D＝90°，请添加一个条件 　 　 （不添加字母及辅助线）使△ABC与△DCE相似． 10．（2024•滨州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 　 　 ．（写出一种情况即可） 11．（2024秋•内乡县期中）如图，△ACD的三个顶点均在1×4的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与△ACD相似（不全等），则这个格点三角形可以是 　 　 （写出一个即可）． 12．（2024秋•奉贤区期中）如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD，当AB的长为 　 　 时，△ACB与△ADC相似． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•海珠区校级二模）如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE． 14．（2025•太康县一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAC＝2∠B． （1）实践操作：利用尺规作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：△ACE∽△BCA． 15．（2024秋•常德期末）已知，如图所示，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DEC＝∠ADB．求证：△AED∽△ADC． 4.4探索三角形相似的条件 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2024秋•澧县期末）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故A不符合题意； ∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故B不符合题意； ∵AB2＝AD•AC， ∴， 又∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故C不符合题意； 根据，不能判定△ADB∽△ABC， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．（2024秋•奇台县期末）如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是（　　） A．∠A＝∠D B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【考点】相似三角形的判定． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【解答】解：∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）， A、当∠A＝∠D时，则△AOB与△DOC相似，符合题意； B、当∠A＝∠B时，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意； C、当∠C＝∠D时，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意； D、∠AOB＝∠DOC，无法证明△AOB与△DOC相似，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定，掌握其性质是解题的关键． 3．（2024秋•陵水县期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝3，AC＝5．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项进行求解即可． 【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故该选项不符合题意； B、由于BC的长度不知道，无法判断阴影三角形与原三角形相似，故该选项符合题意； C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故该选项不符合题意； D、AD＝5﹣3.8＝1.2，AE＝3﹣1＝2， ∵，， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 4．（2024秋•巴中期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，下列条件中不能判断△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】C 【分析】由题意易得∠B＝∠B，然后根据相似三角形的判定定理可依次排除选项． 【解答】解：∵∠B＝∠B， ∴A、由∠ACD＝∠B可判定△ACD∽△ABC，故不符合题意； B、由∠ADC＝∠ACB可判定△ACD∽△ABC，故不符合题意； C、由不能判定△ACD∽△ABC，故符合题意； D、由可判定△ACD∽△ABC，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 5．（2024秋•郏县期末）在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A＝∠A′；（4）∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C的共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【考点】相似三角形的判定． 【专题】常规题型． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理：三组对应边的比相等的两个三角形相似、两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似，即可得能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），继而求得答案． 【解答】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4）， ∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组． 故选：C． 【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，解题的关键是熟记相似三角形的判定定理，掌握定理的应用． 6．（2025•苍溪县模拟）已知P是△ABC的边AC上一点，连接BP，则下列不能判定△ABP∽△ACB的是（　　） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D． 【考点】相似三角形的判定． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C， ∴△ABP∽△ACB，故本选项错误； B、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC， ∴△ABP∽△ACB，故本选项错误； C、∵∠A＝∠A，， ∴△ABP∽△ACB，故本选项错误； D、根据和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确； 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用． 7．（2025•沈丘县校级一模）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，且交AD于点E，则下列说法不正确的是（　　） A．△AEO∽△ACD B．4AE＝5AO C． D． 【考点】相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；矩形的性质． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，再代入求值即可． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝90°，， ∴，， ∵OE⊥AC， ∴∠AOE＝∠ADC＝90°， 又∵∠EAO＝∠CAD， ∴△AEO∽△ACD，故选项A正确，不合题意； ∴， 即， 整理得4AE＝5AO，故选项B正确，不合题意； ∴，故选项D正确，不合题意； ∴，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握以上性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2024秋•定兴县期末）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有　①②④　 ． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；几何直观；推理能力． 【答案】①②④． 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案． 【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB， 故①符合题意； ∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C， ∴△ADE∽△ACB， 故②符合题意； ∵∠A＝∠A，， ∴△ADE∽△ACB， 故④符合题意； 由，或AC2＝AD•AE，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明△ADE与△ACB相似， 故③⑤不符合题意； ∴使△ADE与△ACB一定相似的有①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 9．（2024秋•梅里斯区期末）如图，已知∠B＝∠D＝90°，请添加一个条件 　∠BAC＝∠DCE　 （不添加字母及辅助线）使△ABC与△DCE相似． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形相似的判定定理去添加条件（答案不唯一）． 【解答】解：添加∠BAC＝∠DCE， ∵∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝∠DCE， ∴△ABC∽△CDE． 故答案为：∠BAC＝∠DCE（答案不唯一）． 【点评】本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 10．（2024•滨州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 　∠ADE＝∠C（答案不唯一）　 ．（写出一种情况即可） 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】由相似三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC， ∴添加条件：∠ADE＝∠C（答案不唯一），判定△ADE∽△ACB， 故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 11．（2024秋•内乡县期中）如图，△ACD的三个顶点均在1×4的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与△ACD相似（不全等），则这个格点三角形可以是 　△ECA（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】△ECA（答案不唯一）． 【分析】由CD：AC＝AC：CE，∠ACD＝∠ACE，判定△ACD∽△ECA． 【解答】解：这个格点三角形可以是△ECA（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：AC， ∵CD＝1，CE＝2， ∴CD：AC＝1：，AC：CE：2＝1：， ∴CD：AC＝AC：CE， ∵∠ACD＝∠ACE， ∴△ACD∽△ECA． 故答案为：△ECA（答案不唯一）． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法． 12．（2024秋•奉贤区期中）如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD，当AB的长为 　3或3　 时，△ACB与△ADC相似． 【考点】相似三角形的判定． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先利用勾股定理求出AC的长，再根据如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论即可． 【解答】解：∵AD＝2，CD， ∴AC． 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB＝3； （2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB＝3． 即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似． 故答案为：3或3． 【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•海珠区校级二模）如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】由已知条件得到：∠BAC＝∠DAE，．则由“两边及夹角法”证得结论． 【解答】证明：如图，∵AB•AE＝AD•AC， ∴． 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定． （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 14．（2025•太康县一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAC＝2∠B． （1）实践操作：利用尺规作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：△ACE∽△BCA． 【考点】相似三角形的判定；角平分线的性质；菱形的性质；作图—基本作图． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）利用尺规作图角平分线的方法即可作图； （2）由角平分线结合已知条件得到∠CAE＝∠B，再加上公共角，即可证明． 【解答】解：（1）如图，AE为所作： （2）∵AE平分∠BAC，∠BAC＝2∠B， ∴， ∴， ∴∠CAE＝∠B， ∵∠ACE＝∠BCA， ∴△ACE∽△BCA． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的性质，菱形的性质，作图﹣基本作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 15．（2024秋•常德期末）已知，如图所示，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠DEC＝∠ADB．求证：△AED∽△ADC． 【考点】相似三角形的判定． 【专题】三角形；图形的相似． 【答案】见解析． 【分析】由等角的补角相等得到∠AED＝∠ADC，再由公共角∠DAE＝∠CAD即可证明△AED∽△ADC． 【解答】证明：∵∠DEC＝∠ADB，∠DEC+∠AED＝∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠AED＝∠ADC， ∵∠DAE＝∠CAD， ∴△AED∽△ADC． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，掌握其性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$