4.3 相似多边形（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.3相似多边形 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•平顶山期末）下列各组中的两个图形，一定相似的是（　　） A．有一个角对应相等的两个菱形 B．对应边成比例的两个多边形 C．两条对角线对应成比例的两个平行四边形 D．任意两个矩形 2．（2024秋•陵水县期末）下列图形一定是相似图形的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 3．（2024秋•林州市期末）下面几对图形中，相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•兴隆县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（　　） A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似 5．（2024秋•漳州期末）如图是两面标准的国旗，则它们的面积比为（　　） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．无法确定 6．（2024秋•滦南县期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠C＝∠G B．AD∥EH C．CD：HG＝k D．BC⊥HG 7．（2024秋•梁园区校级期末）两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 8．（2024秋•昌江区校级期中）如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（　　） A．2：1 B．3：1 C．：1 D．：1 二．填空题（共4小题） 9．（2025春•阜宁县月考）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．若矩形ABCD与矩形ABFE是相似的矩形，则AD：AB＝　 　 ． 10．（2024秋•鹿泉区校级期末）如图，将矩形ABCD沿线段AE翻折，使点B恰好落在边AD上的点F处，再沿边EF将矩形ABCD剪开，所得的另一个矩形ECDF和原来的矩形相似，则原来的矩形ABCD的宽AB与长AD的比值为　 　 ． 11．（2024秋•北海期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中x的值为 　 　 cm． 12．（2024秋•青山区校级月考）一个四边形ABCD各边长为2、3、4、5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1最短边长为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2024秋•喀什市期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点． （1）试说明四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH与▱ABCD相似吗？说明理由． 14．（2024秋•镇海区校级期中）如图，已知四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，求∠A的度数及x的值． 15．（2024秋•西安校级月考）如图在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M、N都以2cm/s的速度分别从C、F两点沿CB、FE向B、E两点运动，判断当M、N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明你的结论． 4.3相似多边形 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•平顶山期末）下列各组中的两个图形，一定相似的是（　　） A．有一个角对应相等的两个菱形 B．对应边成比例的两个多边形 C．两条对角线对应成比例的两个平行四边形 D．任意两个矩形 【考点】相似图形． 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、有一个角对应相等，其他三个角一定对应相等，对应边成比例，所以这两个菱形一定相似，故本选项正确； B、对应边成比例的两个多边形对应角不一定相等，故本选项错误； C、两条对角线对应成比例的两个平行四边形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故本选项错误； D、任意两个矩形，对应角一定相等，但对应边不一定成比例，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了相似图形，熟记概念并从对应角与对应边两个方面考虑求解是解题的关键． 2．（2024秋•陵水县期末）下列图形一定是相似图形的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【考点】相似图形． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断． 【解答】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，符合题意； D、两个菱形不一定相似，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了相似图形：把形状相同的图形称为相似图形． 3．（2024秋•林州市期末）下面几对图形中，相似的是（　　） A． B． C． D． 【考点】相似图形． 【专题】图形的相似；几何直观． 【答案】C 【分析】根据形状完全相同的两个图形叫做相似图形可得答案． 【解答】解：四个选项中只有C选项中的两个图形相似， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似图形，熟知形状完全相同的两个图形叫做相似图形是解题的关键． 4．（2024秋•兴隆县期末）如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（　　） A．甲与丙 B．甲与乙 C．乙与丙 D．三个矩形都不相似 【考点】相似多边形的性质；矩形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】A 【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【解答】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3，1.5：2＝3：4，2：3， ∴甲和丙相似， 故选：A． 【点评】本题主要考查相似多边形的概念，一定要考虑对应角相等，对应边成比例． 5．（2024秋•漳州期末）如图是两面标准的国旗，则它们的面积比为（　　） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．无法确定 【考点】相似多边形的性质． 【专题】图形的相似． 【答案】C 【分析】先根据标准国旗的性质确定两面国旗相似，找到它们对应边的长度，计算出对应边的比例，再根据相似图形面积比等于相似比的平方这一性质，得出两面国旗的面积比． 【解答】解：因为两面都是标准的国旗，所以这两面国旗相似．从图中可知，一面国旗长288cm，另一面国旗长144cm，它们的对应边长度分别为288cm和144cm，那么对应边的比为288：144＝2：1． 根据相似图形的性质，相似图形面积比等于相似比的平方．这里相似比是2：1，其平方为（2：1）2＝4：1，所以两面国旗的面积比为4：1， 故选：C． 【点评】本题考查了相似图形的性质以及长方形面积计算知识点，解题的关键是明确两面标准国旗是相似图形，且相似图形对应边成比例，根据对应边的比例关系求出面积比． 6．（2024秋•滦南县期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是（　　） A．∠C＝∠G B．AD∥EH C．CD：HG＝k D．BC⊥HG 【考点】相似多边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形． 【答案】D 【分析】根据相似多边形的性质得到∠C＝∠G，∠A＝∠HEF，CD：HG＝k，即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k， ∴∠C＝∠G，∠A＝∠HEF，CD：HG＝k， ∴AD∥EH， 综上可知，A、B、C，无法判断D，即说法不一定正确， 故选：D． 【点评】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似的性质是解题的关键． 7．（2024秋•梁园区校级期末）两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【考点】相似多边形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】D 【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【解答】解：相似多边形的周长的比是1：4， 周长的比等于相似比，因而相似比是1：4， 面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：16； 故选：D． 【点评】本题考查相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键． 8．（2024秋•昌江区校级期中）如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（　　） A．2：1 B．3：1 C．：1 D．：1 【考点】相似多边形的性质． 【答案】C 【分析】设AE＝ED＝a，AB＝b，根据每一个小长方形与原长方形相似，可知，再由a，b均为正数可知ba，故，由此即可得出结论． 【解答】解：设AE＝ED＝a，AB＝b， ∵每一个小长方形与原长方形相似， ∴， ∴b2＝2a2， ∵a，b均为正数， ∴ba， ∴， ∴原长方形的长与宽之比为：1． 故选：C． 【点评】本题考查的相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比叫做相似比． 二．填空题（共4小题） 9．（2025春•阜宁县月考）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．若矩形ABCD与矩形ABFE是相似的矩形，则AD：AB＝　2：　 ． 【考点】相似多边形的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先设AE＝x，则AD＝2x，进而利用矩形ABCD与矩形ABFE是相似的矩形，则，进而求出即可． 【解答】解：设AE＝x，则AD＝2x， ∵矩形ABCD与矩形ABFE是相似的矩形， ∴， ∴AB2＝2x2， ∴ABx， ∴AD：AB＝2：． 故答案为：2：． 【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，表示出AB的长是解题关键． 10．（2024秋•鹿泉区校级期末）如图，将矩形ABCD沿线段AE翻折，使点B恰好落在边AD上的点F处，再沿边EF将矩形ABCD剪开，所得的另一个矩形ECDF和原来的矩形相似，则原来的矩形ABCD的宽AB与长AD的比值为　　 ． 【考点】相似多边形的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据翻折变换的性质得到AB＝AF，根据相似多边形的性质得到比例式，整理得到一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：由翻折变换的性质可知，AB＝AF， 则FD＝AD﹣AF＝AD﹣AB， ∵矩形ECDF和矩形ABCD相似， ∴，即AB2＝（AD﹣AB）•AD， 整理得，（）21＝0， 解得，， 故答案为：． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键． 11．（2024秋•北海期末）“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图是两个形状相同的扇贝图案，则图中x的值为 　5　 cm． 【考点】相似多边形的性质． 【专题】图形的相似；几何直观． 【答案】5． 【分析】根据相似多边形的性质求解即可． 【解答】解：∵如图是两个形状相同的扇贝图案， ∴两个图形相似， ∴， 解得：x＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 12．（2024秋•青山区校级月考）一个四边形ABCD各边长为2、3、4、5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1最短边长为 　6　 ． 【考点】相似图形． 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】6． 【分析】根据对应边成比例可得相似比为，由此即可求解． 【解答】解：∵一个四边形ABCD各边长为2、3、4、5， ∴四边形ABCD的最长边为5， ∵另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15， ∴相似比为， ∴四边形A1B1C1D1最短边长为2×3＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2024秋•喀什市期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O、E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点． （1）试说明四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH与▱ABCD相似吗？说明理由． 【考点】相似多边形的性质；平行四边形的判定与性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF＝HG，FE∥HG，根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）根据平行线的性质定理、相似多边形的判定定理证明． 【解答】证明：（1）∵E、F分别是OA、OB的中点， ∴FEAB，FE∥AB， G、H分别是OC、OD的中点， ∴HGCD，HG∥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴EF＝HG，FE∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）由（1）得，FE∥AB， ∴∠OEF＝∠OAB， 同理∠OEH＝∠OAD， ∴∠HEF＝∠DAB， 同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA， ， ∴平行四边形EFGH∽平行四边形ABCD． 【点评】本题考查的是相似多边形的判定、三角形中位线定理，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键． 14．（2024秋•镇海区校级期中）如图，已知四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，求∠A的度数及x的值． 【考点】相似多边形的性质． 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】∠A＝107°，x． 【分析】根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例列式求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′， ∴∠A＝∠A′＝107°，， 解得x． 【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键． 15．（2024秋•西安校级月考）如图在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M、N都以2cm/s的速度分别从C、F两点沿CB、FE向B、E两点运动，判断当M、N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，并证明你的结论． 【考点】相似多边形的性质． 【专题】动点型． 【答案】见试题解答内容 【分析】设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似，分FN是矩形的长和FN是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可． 【解答】解：设运动ts时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似， 由题意或， 解得t＝4或1． 当t＝4时，NF＝8， ∵， ∵CFNM与AEFD都是矩形， ∴矩形CFNM与矩形AEFD相似． 同理可证当t＝1时矩形CFNM与矩形AEFD相似． 【点评】本题考查了相似多边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$