2.4 用因式分解法求解一元二次方程（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.4用因式分解法求解一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．（2025•昆明三模）等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．9 B．12 C．15 D．12或15 2．（2025•南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　） A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 3．（2025•乌当区二模）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3 4．（2025春•藤县期中）若2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根，则x2+bx+c可以分解为（　　） A．（x+2）（x+3） B．（x﹣2）（x﹣3） C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3） 5．（2025春•怀宁县期中）已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0，则x2+4x的值为（　　） A．3 B．3或﹣6 C．﹣3或6 D．6 6．（2025•茂名一模）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x1＝2，x2＝0 C．x＝0 D．x1＝2，x2＝1 7．（2025•英德市一模）下列哪个数是方程x2﹣6x+8＝0的解（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．5 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•包河区校级月考）一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣17x+60＝0的一个实数根，则该三角形的周长是　 　 ． 9．（2025•沾化区二模）对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 　 　 ． 10．（2025•番禺区二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，，则方程2☆x＝x★6的解为 　 　 ． 11．（2024秋•齐河县期末）一元二次方程x（x+5）＝0的根是　 　 ． 12．（2024秋•双流区校级月考）若方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•铁岭模拟）计算 （1）2x2+5x+2＝0； （2）x2﹣3x＝x﹣3． 14．（2024•鼓楼区校级模拟）解方程：x2﹣6x+5＝0（两种方法）． 15．（2024春•百色期中）小涵与小彤两位同学解方程3x（x﹣6）＝（x﹣6）2的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以（x﹣6）得3x＝x﹣6， 第2步：移项，得3x＝x﹣6， 第3步：解得x＝﹣2． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得3x（x﹣6）﹣（x﹣6）2＝0， 第2步：提取公因式，得（x﹣6）（3x﹣x﹣6）＝0． 第3步：则x﹣6＝0或3x﹣x﹣6＝0， 第4步：解得x1＝6，x2＝2． （1）小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第 　 　 步，小彤第一次出错在第 　 　 步； （2）请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 2.4用因式分解法求解一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025•昆明三模）等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．9 B．12 C．15 D．12或15 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 【专题】计算题． 【答案】C 【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣9x+18＝0得x1＝3，x2＝6，再根据等腰三角形的性质分类：若腰为3，底为6或腰为6，底为3，然后根据三角形三边的关系确定三角形的边长后计算周长． 【解答】解：x2﹣9x+18＝0， （x﹣3）（x﹣6）＝0， 所以x1＝3，x2＝6， 当腰为3时，由于3+3＝6，不符合三角形三边的关系，故舍去； 当腰为6，底为3，则三角形周长＝6+6＝3＝15． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．也考查了三角形三边的关系． 2．（2025•南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　） A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】新定义． 【答案】C 【分析】原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b， ∴x★2＝x2﹣3x+2， 即：x2﹣3x+2＝6， ∴x2﹣3x﹣4＝0， （x﹣4）（x+1）＝0， x﹣4＝0或x+1＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣1． 故选：C． 【点评】此题考查了用因式分解的方法解一元二次方程，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题． 3．（2025•乌当区二模）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题；一次方程（组）及应用． 【答案】D 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程（x﹣2）（x+3）＝0， 可得x﹣2＝0或x+3＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣3， 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 4．（2025春•藤县期中）若2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根，则x2+bx+c可以分解为（　　） A．（x+2）（x+3） B．（x﹣2）（x﹣3） C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3） 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】由因式分解法可知，一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根为x1、x2，则（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，进而得解． 【解答】解：∵2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根， ∴x2+bx+c＝（x﹣2）（x﹣3）． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． 5．（2025春•怀宁县期中）已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0，则x2+4x的值为（　　） A．3 B．3或﹣6 C．﹣3或6 D．6 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；配方法的应用；非负数的性质：偶次方． 【专题】计算题． 【答案】A 【分析】把x2+4x看作一个整体，将已知方程左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，求出方程的解即可得到x2+4x的值． 【解答】解：（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0， 分解因式得：（x2+4x﹣3）（x2+4x+6）＝0， 可得x2+4x﹣3＝0或x2+4x+6＝0， 而x2+4x+6＝0中，△＝16﹣24＜0，无解， 则x2+4x＝3． 故选：A． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 6．（2025•茂名一模）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x1＝2，x2＝0 C．x＝0 D．x1＝2，x2＝1 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题． 【答案】B 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：x（x﹣2）＝0， x＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝0，x2＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 7．（2025•英德市一模）下列哪个数是方程x2﹣6x+8＝0的解（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．5 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：方程分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得：x＝2或x＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•包河区校级月考）一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣17x+60＝0的一个实数根，则该三角形的周长是　20或27　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】20或27． 【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的周长即可． 【解答】解：原分解因式得（x﹣12）（x﹣5）＝0， 解得：x＝12或x＝5， 当x＝12时，7+8＞12， ∴三角形的周长为：7+8+12＝27； 当x＝5时，5+7＞8， ∴三角形的周长为：5+7+8＝20； 综上所述，三角形的周长是20或27． 故答案为：20或27． 【点评】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 9．（2025•沾化区二模）对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 　x1＝2，x2＝﹣1　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x1＝2，x2＝﹣1． 【分析】根据题意列出方程x2﹣x＝2，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：1☆x＝2， x2﹣x＝2， x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了新定义运算解方程的问题，理解新定义法则是解题的关键． 10．（2025•番禺区二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，，则方程2☆x＝x★6的解为 　x1＝﹣4，x2＝1　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x1＝﹣4，x2＝1． 【分析】根据新运算法则列出一元二次方程，然后求解即可． 【解答】解：∵2☆x＝x★6， ∴， ∴x2+3x﹣4＝0， ∴（x+4）（x﹣1）＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝1， 故答案为：x1＝﹣4，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，理解题中的新定义运算法则是解题的关键． 11．（2024秋•齐河县期末）一元二次方程x（x+5）＝0的根是　x1＝0，x2＝﹣5　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x1＝0，x2＝﹣5． 【分析】根据两因式乘积等于0，则每个因式都可能等于0，得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：由条件可知x＝0或x+5＝0， x1＝0，x2＝﹣5． 故答案为：x1＝0，x2＝﹣5． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 12．（2024秋•双流区校级月考）若方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为 　10　 ． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解． 【答案】10． 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意． 【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4， 当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形； 当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•铁岭模拟）计算 （1）2x2+5x+2＝0； （2）x2﹣3x＝x﹣3． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】（1）； （2）x1＝3，x2＝1． 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）2x2+5x+2＝0， （x+2）（2x+1）＝0， x+2＝0或2x+1＝0， ∴； （2）x2﹣3x＝x﹣3， x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 14．（2024•鼓楼区校级模拟）解方程：x2﹣6x+5＝0（两种方法）． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】x1＝5，x2＝1． 【分析】利用因式分解法和配方法解方程． 【解答】解：方法一：（x﹣5）（x﹣1）＝0， x﹣5＝或x﹣1＝0， 所以x1＝5，x2＝1； 方法二：x2﹣6x＝﹣5， x2﹣6x+9＝4， （x﹣3）2＝4， x﹣3＝±2， 所以x1＝5，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 15．（2024春•百色期中）小涵与小彤两位同学解方程3x（x﹣6）＝（x﹣6）2的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以（x﹣6）得3x＝x﹣6， 第2步：移项，得3x＝x﹣6， 第3步：解得x＝﹣2． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得3x（x﹣6）﹣（x﹣6）2＝0， 第2步：提取公因式，得（x﹣6）（3x﹣x﹣6）＝0． 第3步：则x﹣6＝0或3x﹣x﹣6＝0， 第4步：解得x1＝6，x2＝2． （1）小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第 　1　 步，小彤第一次出错在第 　2　 步； （2）请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）1，2； （2）正确的解法见解析，x1＝6，x2＝﹣3．注意事项：移项时要注意改变符号，或（除数不能为0）． 【分析】（1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． 【解答】解：（1）小涵的解法中，因为（x﹣6）可能为0， 所以不能两边同时除以（x﹣6），即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步； 故答案为：1；2； （2）正确的解法是：3x（x﹣6）＝（x﹣6）2， 移项，得3x（x﹣6）﹣（x﹣6）2＝0， 提取公因式，得（x﹣6）（3x﹣x+6）＝0， 则x﹣6＝0或3x﹣x+6＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣3， 注意事项：移项时要注意改变符号，或（除数不能为0）． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$