2.3 用公式法求解一元二次方程（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.3用公式法求解一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•诸暨市期末）已知方程x2﹣6x+9＝0，那么这个方程（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 2．（2025春•包河区校级月考）若用公式法解关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，其根为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•汇川区二模）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2025•杞县三模）如图，关于x的方程中的三个符号，改变其中的两个（“+”变为“﹣”或“﹣”变为“+”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 5．（2025春•重庆校级月考）解方程5x2﹣9x+1＝0最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 6．（2025•宁波模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值可以是（　　） A． B．1 C． D．2 7．（2025•三门峡二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝﹣x+a的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共5小题） 8．（2025•连云港一模）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是　 　 ． 9．（2025•凉山州模拟）关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）xm﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ． 10．（2025•中原区校级三模）嘉阳准备解一元二次方程4x2+7x+■＝0，发现常数项“■”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“■”可能是 　 　 ． 11．（2025•项城市一模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值　 　 ． 12．（2024秋•横州市校级期中）小明用公式法解方程x2﹣4x﹣7＝0，请帮他填空第一步，解：a＝1，b＝﹣4，c＝ 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2024秋•兴隆县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 14．（2025春•新泰市期中）已知关于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax+（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）若该△ABC是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由． 15．（2024秋•泰山区期中）解方程： （1）用配方法：3x2﹣4x﹣1＝0； （2）用公式法：2x2﹣5＝4（x+1）． 2.3用公式法求解一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•诸暨市期末）已知方程x2﹣6x+9＝0，那么这个方程（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】求出Δ的值，即可判断方程根的情况． 【解答】解：在x2﹣6x+9＝0中，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握Δ＝0时，对应的一元二次方程有两根相等的实数根． 2．（2025春•包河区校级月考）若用公式法解关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，其根为（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元二次方程﹣公式法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据求解即可． 【解答】解：∵a＝2，b＝3，c＝﹣4， ∴b2﹣4ac＝41＞0， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 3．（2025•汇川区二模）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】设“□”表示的数为a，根据题意得出Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0，求解即可得到答案． 【解答】解：设“□”表示的数为a， ∵方程x2﹣4x+□＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0， 解得：a≤4， ∴“□”的值可能为4， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①Δ＞0，方程有两个不相等的实数根，②Δ＝0，方程有两个相等的实数根，③Δ＜0，方程没有实数根． 4．（2025•杞县三模）如图，关于x的方程中的三个符号，改变其中的两个（“+”变为“﹣”或“﹣”变为“+”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】分别计算原方程根的判别式，改变①②、①③、②③处符号时对应的根的判别式，即可得出结论． 【解答】解：根据根的判别式改变①②、①③、②③处符号逐项分析判断如下： ∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0， ∴原方程有两个不等的实数根， 改变①②处符号时，原方程为﹣2x2﹣x﹣1＝0， ∴Δ＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根， 改变①③处符号时，原方程为﹣2x2+x+1＝0， ∴Δ＝12﹣4×（﹣2）×1＝9＞0， ∴方程有两个不等的实数根， 改变②③处符号时，原方程为2x2﹣x+1＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根， ∴改变①③处符号时，方程的实数根的个数不变， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2025春•重庆校级月考）解方程5x2﹣9x+1＝0最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 【考点】解一元二次方程﹣公式法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据解方程5x2﹣9x+1＝0的特点，可知求根公式法最适当． 【解答】解：由5x2﹣9x+1＝0的特点可知，求根公式法最适当， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6．（2025•宁波模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值可以是（　　） A． B．1 C． D．2 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】由于所给方程有两个不相等的实数根，可知Δ＞0，求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4a＞0， 解得：a＜1， ∴a的取值可以是，不能为1或或2． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是知道：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 7．（2025•三门峡二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝﹣x+a的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】根的判别式；一次函数的性质． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】先利用根的判别式的意义得到Δ＜0，解不等式得到m的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【解答】解：由根的判别式可得Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＜0， 解得a＞2， 所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025•连云港一模）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是　k≤1　 ． 【考点】根的判别式． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即4﹣4k≥0， 解得，k≤1． 故答案为：k≤1． 【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式Δ＝b2﹣4ac的关系： （1）Δ＝b2﹣4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝b2﹣4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＝b2﹣4ac＜0⇔方程没有实数根． 9．（2025•凉山州模拟）关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）xm﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞﹣1且m≠0　 ． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【答案】见试题解答内容 【分析】由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）xm﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴m≠0且Δ＝（m﹣2）2﹣4m（m﹣2）＝4m+4＞0， 则m的范围为m＞﹣1且m≠0． 故答案为：m＞﹣1且m≠0． 【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 10．（2025•中原区校级三模）嘉阳准备解一元二次方程4x2+7x+■＝0，发现常数项“■”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“■”可能是 　3（答案不唯一）　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】判别式法；运算能力． 【答案】3（答案不唯一）． 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ≥0，可列出关于■的一元一次不等式，解之可得出■的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程4x2+7x+■＝0有实数根， ∴Δ＝72﹣4×4×■＝49﹣16×■≥0， 解得：■， ∴■可能是3． 故答案为：3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 11．（2025•项城市一模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，写出一个符合条件的m的值　1（答案不唯一）　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】1（答案不唯一）． 【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝12﹣4×（﹣m）＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【解答】解：由条件可知Δ＝12﹣4×（﹣m）＞0， ∴， ∴当m取1时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2024秋•横州市校级期中）小明用公式法解方程x2﹣4x﹣7＝0，请帮他填空第一步，解：a＝1，b＝﹣4，c＝ 　﹣7　 ． 【考点】解一元二次方程﹣公式法． 【专题】一元二次方程及应用；模型思想． 【答案】﹣7． 【分析】根据求根公式中a、b、c的意义求解． 【解答】解：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2024秋•兴隆县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质得△≥0，则根据判别式的意义得到结论； （2）把x＝1代入方程得出关于k的方程，求得k的数值即可．已知a＝6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验 【解答】解：（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0， ∴无论k取何实数，该方程总有实数根； （2）①若a＝1为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0． ∴（k﹣2）2＝0，解得：k＝2． 此时原方程化为x2﹣4x+4＝0 ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2． 此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形， 故周长为1+2+2＝5； ②若a＝b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝1 代入方程：12﹣（k+2）+2k＝0 解得k＝1， 则原方程化为x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 即b＝1，c＝2， 此时△ABC三边为1，1，2不能构成三角形，则舍去； ∴△ABC的周长为5． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根． 14．（2025春•新泰市期中）已知关于x的一元二次方程（b+c）x2﹣2ax+（b﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）若该△ABC是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由． 【考点】根的判别式；等边三角形的性质；一元二次方程的定义；解一元二次方程﹣公式法． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】（1）x1＝0，x2＝1； （2）直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得a＝b＝c，继而可将方程化简，再进行求解即可； （2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【解答】解：（1）当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c， 原方程可化为：2ax2﹣2ax＝0，即2a（x2﹣x）＝0， ∴x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1； （2）是直角三角形，理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0， ∴4a2﹣4b2+4c2＝0， ∴a2﹣b2+c2＝0，即a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，因式分解法解一元二次方程等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（2024秋•泰山区期中）解方程： （1）用配方法：3x2﹣4x﹣1＝0； （2）用公式法：2x2﹣5＝4（x+1）． 【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x1，x2； （2）x1，x2． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程整理得：x2x， 配方得：x2x， 即（x）2， 直接开平方得：x±， 解得：x1，x2； （2）原方程整理得：2x2﹣4x﹣9＝0， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣9， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣9）＝88＞0， 则x， 即x1，x2． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$