2.2 用配方法求解一元二次方程（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.2用配方法求解一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•吴兴区期末）把方程x2+3x﹣1＝0的左边配方后可得方程（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•界首市期末）方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，则（　　） A．m＝1，n＝5 B．m＝﹣1，n＝5 C．m＝2，n＝5 D．m＝﹣2，n＝3 3．（2024秋•许昌期末）方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝16 D．（x+1）2＝16 4．（2025•海珠区校级三模）用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（　　） A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2 5．（2025•清远二模）方程（x﹣1）2＝4的解是（　　） A．x1＝﹣4，x2＝5 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x＝1 6．（2025春•界首市期中）用配方法解方程x2+8x+3＝0时，若将方程变形为（x+p）2＝q，则q﹣p＝（　　） A．9 B．17 C．13 D．5 7．（2025•浙江模拟）在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（　　） A．6 B．3.6 C．3 D．2.8 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•建邺区校级期中）如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知4n2+10n+1949是完全平方数，则整数n的最小值是　 　 ． 9．（2025春•龙泉驿区校级期中）若多项式P＝a2+2b2+2a+4b+2012，则P的最小值是　 　 ． 10．（2025春•招远市期中）关于x的一元二次方程mx2+mx＝3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为　 　 ． 11．（2025春•苏州期中）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如：[2.3]＝2，[﹣0.32]＝﹣1，[﹣2]＝﹣2．则方程x2+3[x]＝0的解为　 　 ． 12．（2024秋•密云区期末）方程x2﹣16＝0的解是 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•白云区月考）解方程 （1）x2﹣100＝0； （2）4y2＝9； （3）（x﹣1）2＝25． 14．（2024秋•乐山校级期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式x2+2x﹣3的最小值． x2+2x﹣3＝x2+2x+12﹣12﹣3＝（x+1）2﹣4， ∵（x+1）2≥0，∴当x＝﹣1时，x2+2x﹣3有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）x2+6x+10＝x2+2×3x+32﹣32+10＝（x+a）2+b，则a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）求证：无论x取何值，代数式﹣x2+2x﹣5的值都是负数； （3）若代数式x2﹣2kx+7的最小值为3，求k的值． 15．（2024春•曲阳县期末）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+α）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣8a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣8a2＝（x+a）2﹣（3a）2＝（x+4a）（x﹣2a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用以上“配方法”解决： （1）分解因式：a2﹣6a﹣16； （2）当a为何值时，二次三项式a2+4a+5有最小值？ 2.2用配方法求解一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•吴兴区期末）把方程x2+3x﹣1＝0的左边配方后可得方程（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【答案】A 【分析】首先把常数项﹣1移项后，再在左右两边同时加上一次项系数3的一半的平方，继而可求得答案． 【解答】解：∵x2+3x﹣1＝0， ∴x2+3x＝1， ∴x2+3x1， ∴（x）2． 故选：A． 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程的知识．此题比较简单，注意掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 2．（2025春•界首市期末）方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，则（　　） A．m＝1，n＝5 B．m＝﹣1，n＝5 C．m＝2，n＝5 D．m＝﹣2，n＝3 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【答案】A 【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加1，再进行配方，即可得出答案． 【解答】解：∵x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， ∴程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5； 故选：A． 【点评】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的步骤是本题的关键，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3．（2024秋•许昌期末）方程x2﹣2x﹣3＝0经过配方法化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝16 D．（x+1）2＝16 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【专题】常规题型． 【答案】A 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：原方程化为：x2﹣2x+1﹣1﹣3＝0， 所以（x﹣1）2＝4， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 4．（2025•海珠区校级三模）用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（　　） A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：∵x2﹣2x＝1， ∴（x﹣1）2＝2， 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 5．（2025•清远二模）方程（x﹣1）2＝4的解是（　　） A．x1＝﹣4，x2＝5 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x＝1 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：∵（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6．（2025春•界首市期中）用配方法解方程x2+8x+3＝0时，若将方程变形为（x+p）2＝q，则q﹣p＝（　　） A．9 B．17 C．13 D．5 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得p，q得值，再代值计算即可． 【解答】解：x2+8x+3＝0， x2+8x＝﹣3， x2+8x+42＝﹣3+42， （x+4）2＝﹣3+16， （x+4）2＝13， ∵方程x2+8x+3＝0变形为（x+p）2＝q， ∴p＝4，q＝13， ∴q﹣p＝13﹣4＝9． 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键． 7．（2025•浙江模拟）在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（　　） A．6 B．3.6 C．3 D．2.8 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方． 【专题】配方法；运算能力． 【答案】D 【分析】利用配方法得a2﹣4a+7＝a2﹣4a+4+3＝（a﹣2）2+3≥3，逐个判断选项即可． 【解答】解：∵a2﹣4a+7＝（a﹣2）2+3≥3， ∴选项D不可能， 故选：D． 【点评】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•建邺区校级期中）如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知4n2+10n+1949是完全平方数，则整数n的最小值是　970　 ． 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方． 【专题】探究型． 【答案】﹣50． 【分析】设4n2+10n+1949＝k2，整理成（2k﹣4n﹣5）（2k+4n+5）＝7771，分解7771的因数，列方程组求出k和n，即可求最大值n． 【解答】解：设4n2+10n+1949＝k2， 整理得； 将左右两边同时乘以4， 则（2k）2＝16n2+40n+7796＝（4n）2+2×4n×5+52+7771＝（4n+5）2+7771； 则4k2﹣（4n+5）2＝7771， ∴（2k﹣4n﹣5）（2k+4n+5）＝7771； 要求n最小值， 所以n为负整数， ∴2k+4n+5＜2k﹣4n﹣5， ∵7771＝1×7771＝19×409＝﹣1×（﹣7771）＝﹣19×（﹣409）， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴n的最小值为﹣50． 故答案为：﹣50． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键． 9．（2025春•龙泉驿区校级期中）若多项式P＝a2+2b2+2a+4b+2012，则P的最小值是　2009　 ． 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方． 【专题】配方法；运算能力． 【答案】2009． 【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答． 【解答】解：P＝a2+2b2+2a+4b+2012 ＝a2+2a+1+2b2+4b+2+2009 ＝（a+1）2+2（b+1）2+2009， ∴（a+1）2+2（b+1）2+2009≥2009， ∴P的最小值是2009， 故答案为：2009． 【点评】本题考查利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 10．（2025春•招远市期中）关于x的一元二次方程mx2+mx＝3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为　x＝±2　 ． 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法． 【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力． 【答案】x＝±2． 【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵mx2+mx＝3x+12不含x的一次项， ∴m﹣3＝0， 解得m＝3， ∴3x2+3x＝3x+12， 解得x＝±2， 故答案为：x＝±2． 【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力． 11．（2025春•苏州期中）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如：[2.3]＝2，[﹣0.32]＝﹣1，[﹣2]＝﹣2．则方程x2+3[x]＝0的解为　x＝0或x＝﹣3或　 ． 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；平方根；实数大小比较． 【专题】探究型． 【答案】x＝0或x＝﹣3或． 【分析】根据题意x≤0，分6种情况讨论：①x＝0时；②﹣1≤x＜0时；③﹣2≤x＜﹣1；④﹣3≤x＜﹣2；⑤﹣4≤x＜﹣3；⑥x＜﹣4，解一元二次方程即可求解． 【解答】解：∵x2+3[x]＝0， ∴x2＝﹣3[x]≥0， ∴[x]≤0， ∴x≤0， ①当x＝0时，符合题意； ②﹣1≤x＜0时，[x]＝﹣1， 则x2+3[x]＝0化为x2﹣3＝0， 解得（全舍）； ③﹣2≤x＜﹣1时，[x]＝﹣2， 则x2+3[x]＝0化为x2﹣6＝0， 解得（全舍）； ④﹣3≤x＜﹣2时，[x]＝﹣3， 则 x2+3（x]＝0化为x2﹣9＝0， 解得x＝﹣3或x＝3（舍）； ⑤﹣4≤x＜﹣3时，[x]＝﹣4， 则x2+3[x]＝0化为x2﹣12＝0， 解得或， ⑥x＜﹣4时，均不成立， 综上，方程x2+3[x]＝0的解为x＝0或x＝﹣3或， 故答案为：x＝0或x＝﹣3或． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程和新定义，掌握以上性质是解题的关键． 12．（2024秋•密云区期末）方程x2﹣16＝0的解是 　x1＝4，x2＝﹣4　 ． 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x1＝4，x2＝﹣4． 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程求解即可． 【解答】解：∵x2﹣16＝0， ∴x2＝16， ∴x1＝4，x2＝﹣4． 故答案为：x1＝4，x2＝﹣4． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选用合适的方法是解答本题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•白云区月考）解方程 （1）x2﹣100＝0； （2）4y2＝9； （3）（x﹣1）2＝25． 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x＝±10； （2）； （3）x＝﹣4或6． 【分析】（1）先变形为x2＝100，再开平方即可； （2）先变形为，再开平方即可； （3）先开平方得x﹣1＝±5，则x﹣1＝﹣5，或x﹣1＝5，求解即可． 【解答】解：（1）原方程移项得：x2＝100， 开平方得：x＝±10； （2）原方程系数化为1得：， 开平方，得：； （3）原方程直接开平方得：x﹣1＝±5， 则x﹣1＝﹣5，或x﹣1＝5， 解得：x＝﹣4或6． 【点评】本题考查利用开平方解方程，熟练掌握开平方的运算方法是解题的关键． 14．（2024秋•乐山校级期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式x2+2x﹣3的最小值． x2+2x﹣3＝x2+2x+12﹣12﹣3＝（x+1）2﹣4， ∵（x+1）2≥0，∴当x＝﹣1时，x2+2x﹣3有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）x2+6x+10＝x2+2×3x+32﹣32+10＝（x+a）2+b，则a＝　3　 ，b＝　1　 ； （2）求证：无论x取何值，代数式﹣x2+2x﹣5的值都是负数； （3）若代数式x2﹣2kx+7的最小值为3，求k的值． 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）3，1； （2）见解析； （3）2或﹣2． 【分析】（1）利用完全平方公式进行配方即可得； （2）先利用完全平方公式进行配方可得﹣x2+2x﹣5＝﹣（x﹣1）2﹣4，再根据偶次方的非负性即可得证； （3）先利用完全平方公式进行配方可得x2﹣2kx+7＝（x﹣k）2+7﹣k2，再根据最小值可得7﹣k2＝3，利用平方根解方程即可得． 【解答】解：（1）原式＝x2+2×3x+32﹣32+10 ＝（x+3）2+1， 所以a＝3，b＝1， 故答案为：3，1． （2）证明：﹣x2+2x﹣5 ＝﹣（x2﹣2x）﹣5 ＝﹣（x2﹣2x+12﹣12）﹣5 ＝﹣[（x﹣1）2﹣1]﹣5 ＝﹣（x﹣1）2+1﹣5 ＝﹣（x﹣1）2﹣4， ∵（x﹣1）2≥0， ∴﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2﹣4≤﹣4＜0， 即无论x取何值，代数式﹣x2+2x﹣5的值都为﹣4，是个定值，并且是负数， （3）原式＝x2﹣2kx+k2+7﹣k2 ＝（x﹣k）2+7﹣k2， ∵（x﹣k）2≥0， ∴（x﹣k）2+7﹣k2≥7﹣k2， ∴代数式x2﹣2kx+7的最小值为7﹣k2， 由提议可得：7﹣k2＝3， 解得k＝2或k＝﹣2． 【点评】本题考查了完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 15．（2024春•曲阳县期末）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+α）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣8a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣8a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣8a2＝（x+a）2﹣（3a）2＝（x+4a）（x﹣2a）．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用以上“配方法”解决： （1）分解因式：a2﹣6a﹣16； （2）当a为何值时，二次三项式a2+4a+5有最小值？ 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；完全平方式；因式分解﹣十字相乘法等． 【专题】计算题；整式． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）原式利用“配方法”分解即可； （2）原式利用“配方法”变形后，求出最小值即可． 【解答】解：（1）原式＝a2﹣6a+9﹣25＝（a﹣3）2﹣25＝（a+2）（a﹣8）； （2）原式＝a2+4a+4+1＝（a+2）2+1≥1， 当a+2＝0，即a＝﹣2时，原式有最小值． 【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$