2.1 认识一元二次方程（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.1 认识一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•临淄区期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2＝x（x+1） D．（x+1）（x﹣1）＝0 2．（2025春•青秀区校级期末）一元二次方程2x2﹣3x＝4的一次项系数是（　　） A．2 B．﹣3 C．4 D．﹣4 3．（2025春•长沙期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x﹣xy+3y2＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣2＝0 D． 4．（2025春•增城区期末）如果x＝4是一元二次方程x2﹣3x﹣a＝0的一个根，则常数a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±4 D．4 5．（2025春•淄博期末）已知关于x的方程（k+2）x|k|+x+1＝0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定 6．（2025春•历下区期末）若x＝m是关于x的一元二次方程x2+2025x+1＝0的一个根，则代数式m2+2025m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2025 D．2025 7．（2025春•兰溪市期末）一元二次方程9x2＝5﹣4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．9，5，﹣4 B．9，4，﹣5 C．9，﹣5，4 D．9，﹣4，5 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•诸暨市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0中一次项的系数是　 　 ． 9．（2025春•淮阴区期末）若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为　 　 ． 10．（2025春•临淄区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则k＝　 　 ． 11．（2025•安顺三模）如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m﹣7的值为 　 　 ． 12．（2025春•嘉兴期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项是﹣6；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是　 　 ．（写出一个即可） 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•合肥月考）若m是关于x的一元二次方程x2﹣7x+9＝0的根，求代数式（m+4）（m﹣4）﹣7（m﹣1）的值． 14．（2024秋•威宁县期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“凤凰方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”，求m的值． 15．（2024秋•丹东期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是　 　 ； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　 　 ． 2.1 认识一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•临淄区期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2＝x（x+1） D．（x+1）（x﹣1）＝0 【考点】一元二次方程的定义． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意；含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、方程x2＝x（x+1）整理得x＝0，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程（x+1）（x﹣1）＝0整理得x2﹣1＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．（2025春•青秀区校级期末）一元二次方程2x2﹣3x＝4的一次项系数是（　　） A．2 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【考点】一元二次方程的一般形式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】先把一元二次方程整理成一般形式，再找出一次项系数即可． 【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x＝4整理得2x2﹣3x﹣4＝0， 所以一次项系数是﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确找出一次项系数是解题的关键． 3．（2025春•长沙期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x﹣xy+3y2＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣2＝0 D． 【考点】一元二次方程的定义． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断．一元二次方程必须满足三个条件：（1）含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是2；（3）是整式方程． 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 4．（2025春•增城区期末）如果x＝4是一元二次方程x2﹣3x﹣a＝0的一个根，则常数a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±4 D．4 【考点】一元二次方程的解． 【答案】D 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解a的一元二次方程． 【解答】解：把x＝4代入方程x2﹣3x﹣a＝0可得16﹣12＝a， 解得a＝4， 故选：D． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 5．（2025春•淄博期末）已知关于x的方程（k+2）x|k|+x+1＝0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不能确定 【考点】一元二次方程的定义；绝对值． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【解答】解：根据题意得|k|＝2且k+2≠0， 解得k＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．（2025春•历下区期末）若x＝m是关于x的一元二次方程x2+2025x+1＝0的一个根，则代数式m2+2025m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2025 D．2025 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】把x＝m代入x2+2025x+1＝0，再变形即可得到答案． 【解答】解：∵x＝m是关于x的一元二次方程x2+2025x+1＝0的一个根， ∴m2+2025m+1＝0， ∴m2+2025m＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的定义． 7．（2025春•兰溪市期末）一元二次方程9x2＝5﹣4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．9，5，﹣4 B．9，4，﹣5 C．9，﹣5，4 D．9，﹣4，5 【考点】一元二次方程的一般形式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【解答】解：由9x2＝5﹣4x得9x2+4x﹣5＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，﹣5， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•诸暨市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0中一次项的系数是　﹣3　 ． 【考点】一元二次方程的一般形式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】﹣3． 【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0中一次项的系数是﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键． 9．（2025春•淮阴区期末）若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为　﹣2　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】﹣2． 【分析】将方程的解x＝1代入方程中求解即可． 【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解， ∴1+m+1＝0， 解得m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键． 10．（2025春•临淄区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则k＝　﹣1　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】把x＝1代入方程x2﹣kx﹣2＝0得1﹣k﹣2＝0，然后解关于k的方程． 【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣kx﹣2＝0得1﹣k﹣2＝0， 解得k＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11．（2025•安顺三模）如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m﹣7的值为 　5　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】先把m代入方程x2﹣2x﹣6＝0，得到m2﹣2m＝6，再代入代数式2m2﹣4m﹣7，即可求出答案． 【解答】解：把m代入方程x2﹣2x﹣6＝0，得到m2﹣2m﹣6＝0， 所以m2﹣2m＝6， 所以代数式2m2﹣4m﹣7＝2×6﹣7＝5； 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12．（2025春•嘉兴期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项是﹣6；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是　x2+x﹣6＝0（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的一般形式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】x2+x﹣6＝0（答案不唯一）． 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式进而得出答案． 【解答】解：由题意可得，方程可以为：（x+3）（x﹣2）＝0， 即x2+x﹣6＝0． 故答案为：x2+x﹣6＝0（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程的一般形式，正确掌握相关定义是解题关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•合肥月考）若m是关于x的一元二次方程x2﹣7x+9＝0的根，求代数式（m+4）（m﹣4）﹣7（m﹣1）的值． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】﹣18． 【分析】把x＝m代入方程得m2﹣7m+9＝0，从而得到m2﹣7m＝﹣9，再由（m+4）（m﹣4）﹣7（m﹣1）＝m2﹣16﹣7m+7＝m2﹣7m﹣9，整体代入计算即可． 【解答】解：由条件可得m2﹣7m+9＝0， ∴m2﹣7m＝﹣9， ∴（m+4）（m﹣4）﹣7（m﹣1） ＝m2﹣7m﹣9 ＝﹣9﹣9 ＝﹣18． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，运用适当的变形，渗透整体代入的思想解决问题． 14．（2024秋•威宁县期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“凤凰方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”，求m的值． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据“凤凰方程”的意义判断即可； （2）根据“凤凰方程”的意义，得出1﹣m﹣5＝0，求出m即可． 【解答】解：（1）一元二次方程3x2+4x+1＝0是凤凰方程， 理由： 因为一元二次方程3x2+4x+1＝0满足3﹣4+1＝0， 所以一元二次方程3x2+4x+1＝0是凤凰方程； （2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”， 则1﹣m﹣5＝0， 解得m＝﹣4． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，理解题意，掌握“凤凰方程”的意义是解决本题的关键． 15．（2024秋•丹东期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是　x2+3x﹣4＝0　 ； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　2025　 ． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x2+3x﹣4＝0； （2）c＝﹣3； （3）2025． 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程x2﹣2x+c＝0的倒方程为cx2﹣2x+1＝0，把x＝﹣1代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【解答】解：（1）方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是：x2+3x﹣4＝0； 故答案为：x2+3x﹣4＝0； （2）由条件可倒方程为cx2﹣2x+1＝0， 把x＝﹣1代入方程， 得c+2+1＝0， ∴c＝﹣3； （3）由题意得：方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0， ∵m是方程x2+x﹣6＝0的一个实数根， ∴m2+m﹣6＝0， ∴m3+m2﹣6m+2025＝m（m2+m﹣6）+2025＝2025． 故答案为：2025． 【点评】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$