1.3 正方形的性质与判定（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•京口区校级期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当AB＝BC时，平行四边形是菱形 B．当AC⊥BD时，平行四边形是菱形 C．当AC＝BD时，平行四边形是矩形 D．当∠ABC＝90°时，平行四边形是正方形 2．（2025春•河西区期末）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（﹣5，0），点C在第二象限，则点C的坐标是（　　） A．（5，5） B．（﹣5，5） C．（5，﹣5） D．（﹣5，﹣5） 3．（2025春•洛宁县期末）如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（　　） A．15° B．32.5° C．22.5° D．30° 4．（2025春•江津区期中）下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一个角是直角的四边形是矩形 5．（2025•辽宁模拟）如图，在正方形ABCD中，点E为正方形ABCD内一点，连接BE、CE、AE、DE．若△BCE为等边三角形，则∠EAD的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 6．（2025•青岛模拟）如图，O为正方形ABCD的对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若，则DE的长度为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•庄浪县二模）如图，在正方形ABCD对角线AC上取点E，使得AE＝AB，连接BE，则∠CBE的度数为（　　） A．22.5° B．25° C．20° D．30° 二．填空题（共5小题） 8．（2025•峄城区一模）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形；若AB＝2，则OE的长度为 　 　 ． 9．（2025春•浦东新区期末）如图，点G为正方形ABCD内一点，AB＝AG，∠AGB＝70°，联结DG，那么∠BGD＝　 　 度． 10．（2025•鹤壁模拟）如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE． （1）线段AE的长为 　 　 ； （2）若F为DE的中点，则线段AF的长为 　 　 ． 11．（2025•铁东区校级模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于 　 　 ． 12．（2025•岳阳楼区校级一模）如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边CD和对角线BD上的动点，且DP＝BQ，当BP+CQ的最小值为时，则正方形的边长为 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•湖北模拟）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 14．（2025春•韶关期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF，CE与DF交于点O，求证： （1）CE＝DF； （2）CE⊥DF． 15．（2025春•栖霞市期中）已知，如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝CE＝BK．求证：四边形AKFH是正方形． 1.3正方形的性质与判定 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•京口区校级期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　） A．当AB＝BC时，平行四边形是菱形 B．当AC⊥BD时，平行四边形是菱形 C．当AC＝BD时，平行四边形是矩形 D．当∠ABC＝90°时，平行四边形是正方形 【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定． 【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定条件逐一分析选项即可． 【解答】解：已知四边形ABCD是平行四边形，如图， A．当AB＝BC时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 故此选项结论正确，不符合题意； B．当AC⊥BD时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形， 故此选项结论正确，不符合题意； C．当AC＝BD时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形， 故此选项结论正确，不符合题意； D．当∠ABC＝90°时，平行四边形有一个角为直角，仅能判定为矩形，判定为正方形需同时满足邻边相等且一个角为直角，或对角线相等且垂直，此处条件不足， 此选项结论错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握各种特殊的平行四边形的判定方法是解题关键． 2．（2025春•河西区期末）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（﹣5，0），点C在第二象限，则点C的坐标是（　　） A．（5，5） B．（﹣5，5） C．（5，﹣5） D．（﹣5，﹣5） 【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】推理能力． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可得OD＝DC＝5，由此即可得出答案． 【解答】解：∵四边形OBCD是正方形， ∴OD＝DC， ∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（﹣5，0）， ∴OD＝DC＝5， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标是（﹣5，5）， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质、坐标与图形，掌握正方形的性质是解题的关键． 3．（2025春•洛宁县期末）如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（　　） A．15° B．32.5° C．22.5° D．30° 【考点】正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：∵AC、BD是正方形ABCD对角线， ∴∠BAE＝∠ABD＝45°， 又AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°， ∴∠DBE＝67.5°﹣45°＝22.5°， 故选：C． 【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是熟练运用正方形的性质，本题属于基础题型． 4．（2025春•江津区期中）下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一个角是直角的四边形是矩形 【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】C 【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，本选项不符合题意； B、一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不一定是菱形，原说法错误，本选项不符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，难度一般． 5．（2025•辽宁模拟）如图，在正方形ABCD中，点E为正方形ABCD内一点，连接BE、CE、AE、DE．若△BCE为等边三角形，则∠EAD的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得出BE＝BC，∠EBC＝60°，再根据正方形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，然后根据等边对等角求出∠BAE，最后根据余角的定义即可得出答案． 【解答】解：∵BE＝BC，∠EBC＝60°， 由题意可得：AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴AB＝EB，∠ABE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴∠EAD＝90°﹣∠BAE＝90°﹣75°＝15°， 故选：A． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等边对等角，熟练掌握性质定理是解题的关键． 6．（2025•青岛模拟）如图，O为正方形ABCD的对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若，则DE的长度为（　　） A． B． C． D． 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，， ∴，∠ABC＝90°， ∴， ∵O为正方形ABCD对角线AC的中点， ∴，OD⊥AC ∵△ACE为等边三角形，O为AC的中点， ∴EC＝AC＝2，EO⊥AC，则O、D、E在同一直线上， ∴∠EOC＝90°， ∴， 则， 故选：D． 【点评】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 7．（2025•庄浪县二模）如图，在正方形ABCD对角线AC上取点E，使得AE＝AB，连接BE，则∠CBE的度数为（　　） A．22.5° B．25° C．20° D．30° 【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质． 【专题】运算能力． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得出∠BAC＝45°，根据等腰三角形的性质得出∠ABE＝67.5°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC＝45°， ∵AE＝AB， ∴， ∴∠CBE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣67.5°＝22.5°， 故选：A． 【点评】本题主要考查的正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025•峄城区一模）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形；若AB＝2，则OE的长度为 　　 ． 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】． 【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质与勾股定理求出OE． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝2， ∴AB＝BC＝2，∠B＝90°， ∴， ∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形， ∴∠AOE＝90°，∠EAC＝60°，∠AEO＝30°， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 9．（2025春•浦东新区期末）如图，点G为正方形ABCD内一点，AB＝AG，∠AGB＝70°，联结DG，那么∠BGD＝　135　 度． 【考点】正方形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正方形的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝90°，由AB＝AG、∠AGB＝70°利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAG的度数，由∠DAG＝90°﹣∠BAG可求出∠DAG的度数，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠AGD的度数，再由∠BGD＝∠AGB+∠AGD可求出∠BGD的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°． ∵AB＝AG，∠AGB＝70°， ∴∠BAG＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠DAG＝90°﹣∠BAG＝50°， ∴∠AGD（180°﹣∠DAG）＝65°， ∴∠BGD＝∠AGB+∠AGD＝135°． 故答案为：135． 【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AGD的度数是解题的关键． 10．（2025•鹤壁模拟）如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE． （1）线段AE的长为 　2　 ； （2）若F为DE的中点，则线段AF的长为 　　 ． 【考点】正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解； （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OC＝OD＝OB，∠DOC＝90°， ∴在Rt△DOC中，OD2+OC2＝DC2， ∵， ∴OA＝OD＝OC＝OB＝3， ∵OE＝5， ∴AE＝OE﹣OA＝2； 故答案为：2； （2）如图，延长DA到点G，使AG＝AD，连接EG，过点E作EH⊥AG于点H， ∵F为DE的中点，A为DG的中点， ∴AF为△DGE的中位线， ∴， 在Rt△EAH中，∠EAH＝∠DAC＝45°， ∴AH＝EH， ∵AH2+EH2＝AE2，AE＝2， ∴， ∴， 在Rt△EGH中，， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键． 11．（2025•铁东区校级模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于 　2　 ． 【考点】正方形的性质；三角形中位线定理． 【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】2． 【分析】利用正方形的周长为16，求出BC，再利用正方形的性质得出O是BD中点，OH是△BCD的中位线，得出结论． 【解答】解：∵正方形ABCD的周长为16， ∴BC＝4， 又∵O是正方形对角线的交点， ∴O是BD的中点， ∵H是CD边的中点， ∴OH是△DBC的中位线， ∴OHBC＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，关键是性质的应用． 12．（2025•岳阳楼区校级一模）如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边CD和对角线BD上的动点，且DP＝BQ，当BP+CQ的最小值为时，则正方形的边长为 　2　 ． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】2． 【分析】设正方形的边长为a，得，延长BA至点E，使得，连接EQ，EC，再证△BEQ≌△DBP（SAS），得EQ＝BP，可知BP+CQ＝EQ+CQ≥CE，当点Q在CE上时，取得最小值CE，即，在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，列出方程求解即可． 【解答】解：设正方形的边长为a， 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠ABD＝∠BDC＝45°，∠ABC＝90°， 则， 延长BA至点E，使得，连接EQ，EC， 在△BEQ与△DBP中， ， ∴△BEQ≌△DBP（SAS）， ∴EQ＝BP， ∴BP+CQ＝EQ+CQ≥CE，当点Q在CE上时，取得最小值CE， ∵BP+CQ的最小值为，即：， 在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，即， 解得：a＝2（负值舍去）， 故答案为：2． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，掌握以上性质是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•湖北模拟）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形． 【考点】正方形的判定；角平分线的性质． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OGCF是矩形，根据角平分线的性质，可得OH与OF，OH与OG的关系，根据邻边相等的矩形是正方形，可得答案． 【解答】证明：如图，作OH⊥AB与H点， ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC＝∠OFC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD平分∠BAC， ∴OH＝OF． ∵BE平分∠ABC， ∴OH＝OG， ∴OF＝OG， ∴四边形OGCF是正方形． 【点评】本题考查了正方形的判定，利用了矩形的判定，正方形的判定，利用角平分线的性质得出邻边相等是解题关键． 14．（2025春•韶关期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF，CE与DF交于点O，求证： （1）CE＝DF； （2）CE⊥DF． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据SAS证明△BEC≌△CFD，得EC＝DF； （2）由全等得：∠FDC＝∠BCE，因为∠DFC+∠FDC＝90°，等量代换可得结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝DC，∠ABC＝∠FCD＝90°， ∵E是边AB的中点，F是边BC的中点， ∴BEAB，FCBC， ∴BE＝FC， 在△BEC和△CFD中， ∵， ∴△BEC≌△CFD（SAS）， ∴EC＝DF； （2）由（1）得：△BEC≌△CFD， ∴∠FDC＝∠BCE， ∵∠FCD＝90°， ∴∠DFC+∠FDC＝90°， ∴∠DFC+∠BCE＝90°， ∴∠FOC＝90°， ∴CE⊥DF． 【点评】本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，属于常考题型，准确证明EC和DF所在的直角三角形全等是本题的关键，同时要熟练掌握正方形的性质． 15．（2025春•栖霞市期中）已知，如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝CE＝BK．求证：四边形AKFH是正方形． 【考点】正方形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】见解答． 【分析】利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法得出：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，再利用正方形的判定方法得出答案． 【解答】证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形， ∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF， ∵DH＝CE＝BK， ∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB， 在△ADH和△ABK中， ， ∴△ADH≌△ABK（SAS）， ∴∠HAD＝∠BAK． ∴∠HAK＝90°， 同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH， ∴AH＝AK＝HF＝FK， ∴四边形AKFH是正方形． 【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，得出：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$