1.1 菱形的性质与判定（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1 菱形的性质与判定 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•涪城区期末）菱形两条对角线的长分别为2和6，则它的面积是（　　） A．24 B．12 C．8 D．6 2．（2025•碑林区校级一模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD＝30°，过点O作OE⊥BC于点E，若CE＝2，则OE的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 3．（2025•富锦市二模）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 4．（2025•郸城县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（2025•山丹县校级三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长是（　　） A．2 B． C．3 D． 6．（2025春•丰都县期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC＝16cm，BD＝10cm，则菱形ABCD的面积为（　　） A．40cm2 B．80cm2 C．96cm2 D．160cm2 7．（2025春•鲤城区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•大兴区期中）已知菱形的两条对角线长分别是4和7，则菱形的面积为 　 　 ． 9．（2025春•望城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为 　 　 ． 10．（2025春•道里区校级期中）在菱形ABCD中，若∠A+∠C＝100°，则∠B＝　 　 度． 11．（2025•姜堰区二模）如图，在菱形ABCD中，M，N分别为AC，CD的中点．若MN＝1，则菱形ABCD的周长是 　 　 ． 12．（2025•吉安县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝30°，点E在射线BC上，当△ADE是直角三角形时，则BE的长为　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•沙市区模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，求证：EB＝FD． 14．（2025•商丘模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AB＝6，∠ABC＝120°，求DE的长． 15．（2025•朝阳区校级二模）如图，点E、F分别在▱ABCD的边BC、AD上，连接AE、CF，AE∥CF，连接AC、EF相交于点O，请你从以下三个选项：①AE＝CE；②OA＝OC；③AC⊥EF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形AECF是菱形． （1）你选择的补充条件是 　 　 ；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形AECF是菱形的证明过程． 1.1 菱形的性质与判定 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•涪城区期末）菱形两条对角线的长分别为2和6，则它的面积是（　　） A．24 B．12 C．8 D．6 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识． 【答案】D 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，可以计算出该菱形的面积． 【解答】解：∵菱形两条对角线的长分别为2和6， ∴该菱形的面积是6， 故选：D． 【点评】本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积等于对角线乘积的一半． 2．（2025•碑林区校级一模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD＝30°，过点O作OE⊥BC于点E，若CE＝2，则OE的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得∠BCD＝90°，根据∠CBD＝30°，OE⊥BC，得∠COE＝30°，得OC＝4，即得． 【解答】解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD， ∴∠BCD＝90°， ∵∠CBD＝30°， ∴∠BCO＝90°﹣∠CBD＝60°， ∵OE⊥BC， ∴∠CEO＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠BCO＝30°， ∵CE＝2， ∴OC＝2CE＝4， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 3．（2025•富锦市二模）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【考点】菱形的性质． 【专题】常规题型． 【答案】C 【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【解答】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S8×6＝24． 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半． 4．（2025•郸城县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，则OE的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】菱形的性质；直角三角形的性质；勾股定理． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】A 【分析】由菱形的性质可得、，再运用勾股定理可得OB＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【解答】解：∵在菱形ABCD中，AC＝16， ∴，， ∵AB＝10，OA＝8， ∴， ∵DE⊥BC，， ∴． 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 5．（2025•山丹县校级三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长是（　　） A．2 B． C．3 D． 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】D 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理，求得OA的长，继而可求得AC的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE的长． 【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC，BO＝DOBD＝4，AC⊥BD， ∵AB＝5， ∴OA3， ∴AC＝2OA＝6， ∵DE⊥BA， ∴S菱形ABCD＝AB•DEAC•BD， ∴DE， 故选：D． 【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是注意菱形的对角线互相垂直平分． 6．（2025春•丰都县期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得AC＝16cm，BD＝10cm，则菱形ABCD的面积为（　　） A．40cm2 B．80cm2 C．96cm2 D．160cm2 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】B 【分析】由菱形的面积公式，即可计算． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16cm，BD＝10cm， ∴菱形ABCD的面积AC•BD16×10＝80（cm2）． 故选：B． 【点评】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度）． 7．（2025春•鲤城区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】A 【分析】根据菱形对边平行得到∠OBC＝∠1＝70°，根据AC⊥BD，得到∠2＝20°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD ∴∠OBC＝∠1＝70°， ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠OBC＝20°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质．熟练掌握菱形对边平行，对角线互相垂直，是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•大兴区期中）已知菱形的两条对角线长分别是4和7，则菱形的面积为 　14　 ． 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别是4和8， ∴菱形的面积为：4×7＝14． 故答案为：14． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形面积求法是解题关键． 9．（2025春•望城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为 　　 ． 【考点】菱形的性质；坐标与图形性质． 【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】（2，）． 【分析】过A作AE⊥CO，根据“OA＝2，∠AOC＝45°”求出OE、AE的长度，点B的坐标便不难求出． 【解答】解：如图，过A作AE⊥CO于E， 又∵∠AOC＝45°， ∴∠OAE＝45°． ∴OE＝AE， 在Rt△OAE中，OA＝2， ∴AE＝OEOA， 在菱形OABC中，AB＝OC＝2，AB∥OC， ∴点B的横坐标为2，纵坐标为， ∴B点的坐标是（2，）， 故答案为：（2，）． 【点评】本题考查了菱形的性质和坐标与图形性质，通过作辅助线求出点A到坐标轴的距离是解本题的突破口． 10．（2025春•道里区校级期中）在菱形ABCD中，若∠A+∠C＝100°，则∠B＝　130　 度． 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】130． 【分析】首先根据菱形的性质得到∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，据此求解即可． 【解答】解：在菱形ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠C＝100°， ∴∠A＝∠C＝50°， ∴∠B＝180°﹣∠A＝130°． 故答案为：130． 【点评】此题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角相等、邻角互补的性质． 11．（2025•姜堰区二模）如图，在菱形ABCD中，M，N分别为AC，CD的中点．若MN＝1，则菱形ABCD的周长是 　8　 ． 【考点】菱形的性质；三角形中位线定理． 【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】8． 【分析】先根据三角形中位线定理得到AD＝2MN＝2，然后根据菱形的性质得到菱形ABCD的周长． 【解答】解：∵M，N分别为AC，CD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， ∴MNAD， ∵MN＝1， ∴AD＝2， ∴菱形ABCD的周长＝4×2＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．也考查了三角形中位线定理． 12．（2025•吉安县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝30°，点E在射线BC上，当△ADE是直角三角形时，则BE的长为　或或　 ． 【考点】菱形的性质；勾股定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】或或． 【分析】分三种情况求解：①当∠DAE＝90°时，②当∠ADE＝90°时，③当∠AED＝90°时． 【解答】解：①当∠DAE＝90°时，如图， 由条件可知AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE＝90°， ∵∠B＝30°，AB＝8， ∴． ②当∠ADE＝90°时，如图， 由条件可知AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝8， ∴∠DEC+∠ADE＝90°，∠DCE＝∠B＝30°， ∴∠DEC＝90°， ∴， ∴． ③当∠AED＝90°时，如图，则∠1+∠2＝90°， 作AM⊥BC于点M，作DN⊥BC于点N， 则∠4＝∠5＝90°，AM∥DN， 由条件可知四边形ADNM是矩形， ∴∠2+∠3＝90°，MN＝AD＝8， ∴∠1＝∠3， ∴△AEM∽△EDN， ∴． ∵，AM＝DN＝sinB•AB＝4， ∴， 解得EM＝4， ∴． 综上可知，BE的长为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•沙市区模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，求证：EB＝FD． 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】证明见解答过程． 【分析】欲证明EB＝FD，只需要证得△ABE≌△ADF即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． 又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE与△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）． ∴EB＝FD． 【点评】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟记菱形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（2025•商丘模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E． （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AB＝6，∠ABC＝120°，求DE的长． 【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）证△ADO≌△CBO得DO＝BO，可得四边形ABCD是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得△BCD是等边三角形，根据DE即可求解． 【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形， 理由：由条件可得AO＝CO， ∵AD∥BC ∴∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO， ∴△ADO≌△CBO（AAS）， ∴DO＝BO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）由条件可知∠DBC∠ABE＝60°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB＝6， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝BC＝6， ∵BD⊥DE， ∴∠BDE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠DBC＝30°， ∴BE＝2BD＝12， ∴． 【点评】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． 15．（2025•朝阳区校级二模）如图，点E、F分别在▱ABCD的边BC、AD上，连接AE、CF，AE∥CF，连接AC、EF相交于点O，请你从以下三个选项：①AE＝CE；②OA＝OC；③AC⊥EF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形AECF是菱形． （1）你选择的补充条件是 　①（或③）答案不唯一　 ；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形AECF是菱形的证明过程． 【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】（1）①或③； （2）见解析． 【分析】（1）添加合适的条件即可； （2）证四边形AECF是平行四边形，再由一组临边相等的平行四边形是菱形，或对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【解答】解：（1）补充条件①或③皆可，（答案不唯一）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥CE． ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 补充条件①：∵四边形ABCD是平行四边形，AE＝CE， ∴四边形AECF是菱形． 补充条件③：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$