4.1—4.2 整式 整式的加法与减法 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024新教材）

4.1—4.2 整式 整式的加法与减法 一、整式 1.单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。单项式的系数是指单项式中的数字因数。单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。 2.多项式：几个单项式的和叫多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中不含字母的项叫常数项。多项式中次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称整式。 二、同类项与合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项，另外所有的常数项都是同类项。同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关。 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 三、去括号法则 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里的各项都改变符号。有多重括号时，先小括号，再中括号，最后大括号。 四、整式的加减 整式的加减运算，实质上是合并同类项。先去括号，再合并同类项，化简求值。结果要求是最简形式，不含同类项。 巩固课内例1:单项式的系数和次数 1．下列关于单项式的说法中，正确的是（    ） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 2．的系数是 ，次数是 ． 3．写出下列各单项式的系数和次数： 单项式 y 系数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 次数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 巩固课内例2:多项式的项和次数 1．多项式最高次项系数为（　　） A． B．1 C． D． 2．代数式的项是 ，它们的系数分别是 ，次数分别是 ． 3．已知多项式，指出该多项式是几次几项式，并写出它的二次项、一次项和常数项． 巩固课内例3:合并同类项 1．下列各式计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．计算： 巩固课内例4:已知未知数的值，合并后求值 1．已知，那么代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值是 ． 3．先化简，再求值，当时，求多项式的值． 巩固课内例5:整式加减法的实际应用 1．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．某同学在做一个整式加上时，把加上误看成了减去，结果做出的答案是，那么正确的答案是 ． 3．已知多项式，． (1)求； (2)求． 巩固课内例6:去括号化简 1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．合并同类项： ． 3．化简下列各式： (1)； (2)． 巩固课内例7:去括号中的实际应用 1．一个长方形的长是a，宽比长少3，则这个长方形的周长是（   ） A． B． C． D． 2．为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会；某班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数为 （用含的式子表示）． 3．小刚欲从一个多项式中减去，由于他把“减去”写成了“加上”，结果得，问正确答案应是什么？请写出来． 巩固课内例8:整式加减的混合运算 1．下面合并同类项正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 3．化简： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 类型一、单、多项式的定义 1．已知下列各式： ，其中单项式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在下列各式： ， 中，是单项式的有 ，是多项式的有 3．将填入下列相应的大括号中． 单项式：{            …}； 多项式：{            …}； 三次式：{            …}； 二项式：{            …}； 整式：{            …}． 类型二、写出一个单项式或多项式 1．下列各代数式中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 2．写出一个只含有字母x，y，系数为的三次单项式 ． 3．（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤2；⑥；⑦． 单项式有_________，多项式有____________； （2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式． 类型三、同类项 1．下列各组代数式中，是同类项的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 3．已知单项式与的差是一个单项式，求的值． 类型一、用多项式表示面积 1．（如图）将一个正方形的边长增加，得到一个新的正方形．用含有字母a的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（    ）． A． B． C． D． 2．梯形的上底和下底分别为，高为，用表示梯形的面积，则 3．为创建国家卫生提名城，我县将在锦阳广场修建一个长方形花坛，面向全县人民征集设计方案，我校同学积极参与，如图所示是七（1）班小辰同学设计的得意之作（结果保留）． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 类型二、数字问题 1．一个两位数，个位数字为m，十位数字为n，则这个两位数用代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．一个三位数，个位上的数字是a，十位上的数字是0，百位上的数字是c，这个三位数是 ． 3．基于小学的学习经验，我们知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．例如：3285的各个数位上的数字的和能被3整除，所以3285能被3整除；463的各个数位上的数字的和不能被3整除，所以463不能被3整除． 类比迁移：已知一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为 (1)请用代数式表示这个三位数______； (2)若能被9整除，试说明这个三位数也能被9整除； (3)若将它的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数．计算新三位数与原三位数之差的绝对值，该绝对值能被9整除吗？为什么？ 类型三、顺逆问题 1．某船在静水中航行的速度是x千米/时，水流的速度是y千米/时，该船从甲地顺流去乙地a小时到达，则该船从乙地返回甲地需要的时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．已知轮船在逆水中前进的速度是千米/时，水流的速度是5千米/时，则这轮船在顺水中前进的速度是 千米/时． 3．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是千米/时． (1)甲船顺水的速度是　　　　　千米/时； 乙船逆水的速度是　　　　　千米/时； (2)当时，3小时后两船相距多远？请说明理由． 类型四、降、升幂 1．多项式按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知多项式，按照y的降幂排列 ． 3．把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 类型五、不含某项、与某项无关 1．若关于的多项式不含二次项，则常数的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 2．若关于的多项式不含的一次项和二次项，则 ， ． 3．已知，是关于的多项式，其中为常数． (1)若的值与的取值无关，求的值； (2)若是二次三项式，求的取值范围． 类型一、整除问题 1．若一个三位数个位数是1，十位数字是，百位数字是，把的百位数字和十位数字互换得到新的一个三位数，则的值总能被（   ）整除． A．11 B．7 C．3 D．2 2．一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“至善数”．将“至善数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数 （1）若N能被9整除，且，则 ； （2）在（1）的条件下，若为整数，则满足条件的所有M的最小值为 ． 3．我们知道，像这样的正整数能被整除，一般地，如果一个正整数所有数位上的数字之和能被整除，那么这个正整数就能被整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位和个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是，显然，能被整除，因此，若 能被整除，那么就能被整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被整除的有______；（填序号） ①；②；③；④． (2)设是一个四位数，且能被整除，试说明这个四位数能被整除； (3)如果一个五位数能被整除，且各个数位上的数字各不相同，那么这个五位数的最大值与最小值之差为______． 类型二、规律问题 1．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，其中图1需要4根小棒，图2需要10根小棒…，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒为（用含有n的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 2．黑白两种颜色的正六边形，按如图所示的规律拼图案，照这样的规律下去，第 个图案中的白正六边形比黑正六边形多32个． 3．探索规律 观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想 ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算： 类型三、日历问题 1．小王同学在某月的日历上用如图所示的“十”字型套色方框圈出了5个数，则这5个数的和可能是（   ） A．72 B．115 C．132 D．145 2．如图所示的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数之和为 （用含的代数式表示） 3．如图是某月的日历． (1)通过计算说明，带阴影的方框中的个数之和与方框正中的数有什么关系？ (2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试（方框内必须有数字），上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立（尽量用数学语言表述） 【活学活用】 小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数，，，，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：    (3)十字框中的五个数的和与中间的数有什么关系？ (4)设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和； (5)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由． 类型四、整体法 1．数学思想·整体思想：若代数式的值为8，则代数式的值为（   ） A．14 B．12 C．6 D． 2．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它的应用极为广泛，若代数式的值是，则的值为 ． 3．阅读与思考：整体思考是一种重要的解决数学问题的策略．例如：已知当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是多少？ 解：当时，代数式的值为2024， 则， ． 当时，． 请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题． (1)若，则________． (2)已知，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1—4.2 整式 整式的加法与减法 一、整式 1.单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。单项式的系数是指单项式中的数字因数。单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。 2.多项式：几个单项式的和叫多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中不含字母的项叫常数项。多项式中次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 3.整式：单项式和多项式统称整式。 二、同类项与合并同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项，另外所有的常数项都是同类项。同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关。 合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 三、去括号法则 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里的各项都改变符号。有多重括号时，先小括号，再中括号，最后大括号。 四、整式的加减 整式的加减运算，实质上是合并同类项。先去括号，再合并同类项，化简求值。结果要求是最简形式，不含同类项。 巩固课内例1:单项式的系数和次数 1．下列关于单项式的说法中，正确的是（    ） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式的系数，次数的概念，根据单项式系数和次数的定义，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和，得出答案即可． 【详解】解：单项式可表示为，其中数字因数为，因此系数是，的指数是 1，的指数是3，次数为，故A正确． 故选：A． 2．的系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了单项式系数、次数的定义，根据单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，据此求解即可，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键． 【详解】解：根据单项式定义得：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，4． 3．写出下列各单项式的系数和次数： 单项式 y 系数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 次数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 【答案】30，1；，3；1，1；1，6；，4；，2 【分析】本题主要考查单项式的系数与次数，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键． 根据单项式的系数（数字因数是系数）与次数（所有的字母的指数的和是次数）的定义解答此题． 【详解】解：的系数是30，次数是1； 的系数是，次数是3； 的系数是1，次数是1； 的系数是1，次数是6； 的系数是，次数是4； 的系数是，次数是2． 填表如下： 单项式 y 系数 30 1 1 次数 1 3 1 6 4 2 故答案为：30，1；，3；1，1；1，6；，4；，2． 巩固课内例2:多项式的项和次数 1．多项式最高次项系数为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的项与次数，熟练掌握多项式的项与次数的概念是解题的关键． 该多项式的最高次项为，故其系数为． 【详解】解：多项式的最高次项系数为． 故选：A． 2．代数式的项是 ，它们的系数分别是 ，次数分别是 ． 【答案】 ， 2， 2，3 【分析】本题考查多项式的项的系数和次数．需要掌握以下知识：①单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数；③多项式中的每个单项式叫做多项式的项；④多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 根据多项式的相关概念即可求解． 【详解】解：代数式的项是，，它们的系数分别是2，，次数分别是2，3． 故答案为：，；2，； 2，3． 3．已知多项式，指出该多项式是几次几项式，并写出它的二次项、一次项和常数项． 【答案】四次五项式；二次项为，一次项为x，常数项是 【分析】本题考查了多项式的相关定义，熟练掌握多项式的有关定义是解题的关键．根据多项式的次数，项等定义解答即可． 【详解】解：该多项式的次数是4，项数是5，因此该多项式是四次五项式，它的二次项为，一次项为x，常数项是． 巩固课内例3:合并同类项 1．下列各式计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据合并同类项法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，根据合并同类项法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项．先找出同类项，再合并即可． 【详解】解： ． 巩固课内例4:已知未知数的值，合并后求值 1．已知，那么代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算和代数式求值，将代数式进行整式的加减计算，然后变形为，从而整体代入求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：． 2．已知，，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查代数式的整体求值，通过题意观察出式子倍数关系是解题的关键． 将第一个式子扩大五倍，第二个式子扩大四倍，相加即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：7． 3．先化简，再求值，当时，求多项式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查多项式化简求值；先把多项式化简，再把代入化简结果中计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 巩固课内例5:整式加减法的实际应用 1．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据，，得到，整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ； 故选A． 2．某同学在做一个整式加上时，把加上误看成了减去，结果做出的答案是，那么正确的答案是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减法运算，需正确去括号并合并同类项是解决本题的关键． 先根据错误运算计算出原整式，再根据正确计算作加法求解即可． 【详解】解：设原整式为A， ∵把加上误看成了减去， ∴， 解得， 则正确计算应为： ． 故答案为： ． 3．已知多项式，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算（包括去括号和合并同类项），解题的关键是根据题目要求列出和的表达式，准确去括号后合并同类项进行化简． （1）求时，将多项式与的各项分别相加，再合并同类项； （2）求时，先根据乘法分配律计算和，再去括号，最后合并同类项化简． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 巩固课内例6:去括号化简 1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 根据去括号法则：括号前是“+”，各项不变号，括号前是“-”，各项均变号，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意； B、，故本选项运算错误，不符合题意； C、，故本选项运算正确，符合题意； D、，故本选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 2．合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，先去括号，再根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减： （1）先去括号再合并同类项； （2）先去括号再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例7:去括号中的实际应用 1．一个长方形的长是a，宽比长少3，则这个长方形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式及长方形周长公式的应用，解题的关键是根据“宽比长少3”求出长方形的宽，再结合长方形周长公式（周长（长宽））列出代数式并化简． 先根据长是且宽比长少3，得出宽为；再将长和宽代入长方形周长公式，得到周长表达式；最后去括号、合并同类项化简表达式，与选项对比确定答案． 【详解】解：∵长方形的长是，宽比长少3， ∴宽为， 根据长方形周长公式“周长（长宽）”，可得周长为：， 故选：A． 2．为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会；某班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数为 （用含的式子表示）． 【答案】人 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键；由第一组人数可表示出第二组人数，再根据三组总人数为47人，即可表示出第三组的人数，最后化简即可． 【详解】解：第二组人数为：人， 第三组人数为： 人 故答案为：人． 3．小刚欲从一个多项式中减去，由于他把“减去”写成了“加上”，结果得，问正确答案应是什么？请写出来． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，先充分理解题意，列式化简得这个多项式，再列式，化简求出正确答案应是，即可作答． 【详解】解：依题意，得这个多项式 因此 巩固课内例8:整式加减的混合运算 1．下面合并同类项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．根据合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意；． 故选：C． 2．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键，观察数轴得出的取值范围，然后进行化简即可． 【详解】解：由数轴得，， ，， ． 故答案为：． 3．化简： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)a； (2)； (3)，10． 【分析】此题主要考查了整式的加减——化简求值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． （1）合并同类项即可解答； （2）先去括号，再合并同类项即可解答； （3）原式先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后把a的值求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ， 当时，原式． 类型一、单、多项式的定义 1．已知下列各式： ，其中单项式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查单项式，根据单项式的定义数字与字母的积的形式，其中单个数字或单个字母也是单项式，进行判断即可． 【详解】解：中是单项式的有，共5个； 故选D． 2．在下列各式： ， 中，是单项式的有 ，是多项式的有 【答案】 ， 【分析】本题考查多项式和单项式的定义，解题的关键是熟悉多项式和单项式的定义．单项式的定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式．多项式的定义：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，再结合题目即可得出答案． 【详解】解：根据单项式与多项式的定义可知： 单项式有： ，， 多项式有：， 的分母含字母，既不是单项式也不是多项式， 故答案为：，；． 3．将填入下列相应的大括号中． 单项式：{            …}； 多项式：{            …}； 三次式：{            …}； 二项式：{            …}； 整式：{            …}． 【答案】；；；；． 【分析】本题考查整式，单项式，多项式及其相关定义．掌握相关知识是解决问题的关键．利用相关定义解答即可． 【详解】单项式：； 多项式：； 三次式：； 二项式：； 整式：． 类型二、写出一个单项式或多项式 1．下列各代数式中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，直接利用了单项式的定义逐个判断即可．掌握单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式是解题的关键． 【详解】解：A、是多项式，故本选项不符合题意； B、是多项式，故本选项不符合题意； C、是单项式，故本选项符合题意； D、是多项式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．写出一个只含有字母x，y，系数为的三次单项式 ． 【答案】 【分析】单项式：数字与字母的积是单项式，单个的数或单个的字母也是单项式，其中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数，根据定义可得系数为-2，两个字母的指数和为3，从而可得答案. 【详解】解： 单项式只含有字母x，y，系数为，次数为3， 这个单项式为或 （任意写一个即可） 故答案为： 【点睛】本题考查的是单项式的定义，单项式的系数与次数的含义，根据定义熟练的写出符合要求的单项式是解本题的关键. 3．（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤2；⑥；⑦． 单项式有_________，多项式有____________； （2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式． 【答案】（1）③⑤⑦；①②；（2）是三次四项式．（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义． （1）根据单项式，多项式的定义即可求解． （2）根据三次四项式的定义即可求解 【详解】解：（1）单项式有：③；⑤2；⑦； 多项式有：①；②； 故答案为：③⑤⑦；①②； （2）选①⑤， 则是三次四项式．（答案不唯一）． 类型三、同类项 1．下列各组代数式中，是同类项的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义． 利用同类项的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项字母指数不相等，不是同类项，不符合题意； B. 该选项所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； C. 该选项字母指数不相等，不是同类项，不符合题意； D.该选项符合同类项的定义，是同类项，符合题意； 故选：D． 2．若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 【答案】25 【分析】此题主要考查了同类项的定义．根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x的指数要相等，y的指数也要相等，即可得到m，n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得， ∴． 故答案为：25． 3．已知单项式与的差是一个单项式，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查整式的加减，同类项，由整式的加减可得单项式与是同类项，根据同类项的定义求出m，n的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵单项式与的差是一个单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴． 类型一、用多项式表示面积 1．（如图）将一个正方形的边长增加，得到一个新的正方形．用含有字母a的式子表示“增加的面积”，其中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形面积增加的计算方法，熟练掌握正方形和矩形的面积公式是解题的关键．通过不同的方式表示增加的面积，逐个选项进行分析并找出错误的选项即可． 【详解】A.利用增加的面积长方形面积＋小正方形的面积，即增加的面积为：，所以本选项不符合题意； B.利用增加的面积新的正方形的面积－原正方形的面积，即增加的面积为：，所以本选项不符合题意； C.，多加了一个小正方形的面积，所以本选项符合题意； D.，即利用增加的面积长方形面积＋小正方形的面积，所以本选项不符合题意； 故选：C． 2．梯形的上底和下底分别为，高为，用表示梯形的面积，则 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据梯形的面积等于上底与下底的和乘高除以列出代数式即可，掌握梯形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．为创建国家卫生提名城，我县将在锦阳广场修建一个长方形花坛，面向全县人民征集设计方案，我校同学积极参与，如图所示是七（1）班小辰同学设计的得意之作（结果保留）． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值： （1）利用矩形的面积减去两个扇形的面积即可得到答案； （2）将数字代入（1）的式子中即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：当，时， ， 答：阴影部分的面积为． 类型二、数字问题 1．一个两位数，个位数字为m，十位数字为n，则这个两位数用代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是理解十位数字需要乘上，然后相加即可． 【详解】解：个位数字为m，十位数字为n， 这个两位数是， 故选D． 2．一个三位数，个位上的数字是a，十位上的数字是0，百位上的数字是c，这个三位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． 根据三位数的写法即可求解． 【详解】解： 则这个三位数为， 故答案为：． 3．基于小学的学习经验，我们知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．例如：3285的各个数位上的数字的和能被3整除，所以3285能被3整除；463的各个数位上的数字的和不能被3整除，所以463不能被3整除． 类比迁移：已知一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为 (1)请用代数式表示这个三位数______； (2)若能被9整除，试说明这个三位数也能被9整除； (3)若将它的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数．计算新三位数与原三位数之差的绝对值，该绝对值能被9整除吗？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查列代数式以及数的加减． （1）根据数字的表示方法表示即可； （2）将表示为，结合已知条件即可解决； （3）根据题意，得出新三位数与原三位数之差的绝对值，根据整式的加减化简，然后即可求解． 【详解】（1）解：设一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， 则该三位数是：， 故答案为：； （2）解：∵ ， 又∵能被9整除， ∴这个三位数也能被9整除． （3） ∴绝对值能被9整除． 类型三、顺逆问题 1．某船在静水中航行的速度是x千米/时，水流的速度是y千米/时，该船从甲地顺流去乙地a小时到达，则该船从乙地返回甲地需要的时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】A 【分析】据路程=速度×时间，船在顺水中的速度=水速+船速，船在逆水中的速度=船速-水速，列出代数式，即可得出答案． 【详解】解：从甲地到乙地的距离=a（x-y），则船从乙地到甲地所需时间为． 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握好路程=速度×时间，从而可列出代数式． 2．已知轮船在逆水中前进的速度是千米/时，水流的速度是5千米/时，则这轮船在顺水中前进的速度是 千米/时． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是根据顺水速度逆水速度水流速度，把相关数值代入后化简即可． 【详解】解：由题意得：船在静水中的速度为：， 这轮船在顺水中航行的速度是千米时， 故答案为：． 3．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是千米/时． (1)甲船顺水的速度是　　　　　千米/时； 乙船逆水的速度是　　　　　千米/时； (2)当时，3小时后两船相距多远？请说明理由． 【答案】(1)， (2)3小时后两船相距180千米． 【分析】此题考查了列代数式，整式加减的应用，能正确列出代数式是解题关键． （1）根据顺水的速度船在静水中的速度水流速度，逆水速度船在静水中的速度水流速度，即可表示出顺水速度与逆水速度； （2）根据题意，利用时间速度路程，即可求出两船相距的距离． 【详解】（1）解：由题意可得： 甲船顺水的速度为千米时， 乙船逆水速度为千米时， 故答案为：，； （2）解：则3小时两船相距的路程为千米． 答：3小时后两船相距180千米． 类型四、降、升幂 1．多项式按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，各项以和的形式组成多项式（有时加号省略不写），所以在升幂或降幂排列时，各项要保持自己原有的符号．根据升幂排列的定义，将多项式的各项按照x的指数从小到大排列起来． 【详解】解∶多 项式按x的升幂排列为， 故选∶C． 2．已知多项式，按照y的降幂排列 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式的次数排列，本题降幂排列即从y的最高次幂排到最低次幂． 先分清各项，然后按降幂排列的定义解答． 【详解】解：多项式按y降幂排列为 故答案为：． 3．把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】（1）解：按的升幂排列为：． （2）按的降幂排列为：． 类型五、不含某项、与某项无关 1．若关于的多项式不含二次项，则常数的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式不含某项问题．根据题意令，即可得到本题答案． 【详解】解：∵关于的多项式不含二次项， ∴，即， 故选：A． 2．若关于的多项式不含的一次项和二次项，则 ， ． 【答案】 3 0 【分析】本题考查了多项式项的应用，熟悉掌握多项式的概念是解题的关键． 化简，令一次项和二次项系数为即可． 【详解】解：∵ ， 又∵式子不含的一次项和二次项， ∴，， 解得：，， 故答案为：；． 3．已知，是关于的多项式，其中为常数． (1)若的值与的取值无关，求的值； (2)若是二次三项式，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式的化简求值，整式的无关型计算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． （1）先化简，再根据的值与的取值无关，建立等式求解，即可解题； （2）先化简，再根据多项式的定义，即可解题． 【详解】（1）解：∵ ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：； （2）解：∵ ∵是二次三项式， ∴， 解得：． 类型一、整除问题 1．若一个三位数个位数是1，十位数字是，百位数字是，把的百位数字和十位数字互换得到新的一个三位数，则的值总能被（   ）整除． A．11 B．7 C．3 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了整式加减的应用，准确求出三位数是关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，原来的三位数为， 新的三位数为， ∴ ∴的值总能被2整除， 故选：D 2．一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“至善数”．将“至善数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数 （1）若N能被9整除，且，则 ； （2）在（1）的条件下，若为整数，则满足条件的所有M的最小值为 ． 【答案】 9 1188 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用“至善数”的定义和被9整除的条件，结合的可能值求解； （2）根据题意表示出M，N，根据“至善数”的定义分析，再利用数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 【详解】解：（1）是“至善数”，， 能被9整除， 能被9整除， ， 能被9整除， 又，且a，d均是不为0的一位整数， 故答案为： （2） ， 是整数， 能被11整除， 又， 当，时，M最小，此时． 故答案为：． 3．我们知道，像这样的正整数能被整除，一般地，如果一个正整数所有数位上的数字之和能被整除，那么这个正整数就能被整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位和个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是，显然，能被整除，因此，若 能被整除，那么就能被整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被整除的有______；（填序号） ①；②；③；④． (2)设是一个四位数，且能被整除，试说明这个四位数能被整除； (3)如果一个五位数能被整除，且各个数位上的数字各不相同，那么这个五位数的最大值与最小值之差为______． 【答案】(1)①③④ (2)说明见解析 (3) 【分析】本题考查了列代数式，数的整除，整式加减的应用，看懂题意是解题的关键． （）根据一个正整数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个正整数就能被3整除即可求解； （）由说明即可； （）由题意可得能被整除，再根据各个数位上的数字各不相同，确定出这个五位数的最大值与最小值，进而相减即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴能被整除； ②∵，， ∴不能被整除； ③∵，， ∴能被整除； ④∵，， ∴能被整除； 综上，能被整除的有①③④， 故答案为：①③④； （2）解：， ∵能被整除，能被整除， ∴能被整除； （3）解：∵五位数能被整除， ∴能被整除， 又∵各个数位上的数字各不相同， ∴这个五位数的最大值为，最小值为， ∴这个五位数的最大值与最小值之差为， 故答案为：． 类型二、规律问题 1．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，其中图1需要4根小棒，图2需要10根小棒…，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒为（用含有n的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，观察图案可知，每后一幅图案比前一幅图案多6根小棒，找出6与n的联系，找出规律即可求解． 【详解】解：如图可知，后一幅图总是比前一幅图多两个菱形，且多6根小棒， 图①需要小棒：根， 图②需要小棒：根， 图③需要小棒：根， 图④需要小棒：根， … 则第n个图案需要小棒：根， 故选：D 2．黑白两种颜色的正六边形，按如图所示的规律拼图案，照这样的规律下去，第 个图案中的白正六边形比黑正六边形多32个． 【答案】10 【分析】本题考查了图形规律，分析所给出的3个图案可得每增加1个黑正六边形，就增加4个白正六边形，即n个图形，其中的黑正六边形有n个，则白正六边形有个；图案中的白正六边形比黑正六边形多32个，即，由此求出n，即可解答． 【详解】解：观察图形可知，图形1：有6个白正六边形，可写成；有1个黑正六边形，可写成1×1； 图形2：有10个白正六边形，可写成：；有2个黑正六边形，可写成； 图形3：有14个白正六边形，可写成：有3个黑正六边形；可写成： …… 由此可知，每增加1个黑正六边形，就增加4个白正六边形，即n个图形，其中的黑正六边形有n个，则白正六边形有个； 又第n个图形中的白正六边形比黑正六边形多32个，得出： ， ， ， ， 即：第10个图形中的白正六边形比黑正六边形多32个． 故答案为：10． 3．探索规律 观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想 ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算： 【答案】(1)100 (2) (3) 【分析】此题考查了规律型：数字的变化类及有理数的乘方运算，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）观察由※组成的图案和下面算式，得出从1开始的连续奇数相加等于奇数个数的平方，即可得到结果； （2）观察由※组成的图案和下面算式，得出从1开始的连续奇数相加等于奇数个数的平方，即可得到结果； （3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：由图得：，有1项； ，有2项； ，有3项； ，有4项； ，有5项； ∴共有项， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 类型三、日历问题 1．小王同学在某月的日历上用如图所示的“十”字型套色方框圈出了5个数，则这5个数的和可能是（   ） A．72 B．115 C．132 D．145 【答案】B 【分析】本题主要考查日历数的排列规律与倍数应用，熟练掌握“同一列相邻数差、同一行相邻数差”规律，通过设中间数表示五数和（和为的倍数 ），结合数在日历中的存在性判断是解题关键．设“十”字框中间数为，依据日历数的排列规律（同一列相邻数差、同一行相邻数差 ）表示出其余四个数，求出五数和的表达式，再结合和的倍数特征与日历中数的存在性判断选项． 【详解】解：设“十”字框中间的数为．则上面的数为，下面的数为，左边的数为，右边的数为． ∴这五个数的和为， ，不是的倍数，不符合，排除； ，是的倍数．此时中间数，在日历中，位于第四行第四列，上面数、下面数、左边数、右边数，均在日历范围内，可构成“十”字框，符合条件； ，不是的倍数，不符合，排除； ，是的倍数，但位于第五行第二列，下面无对应数（日历最大数为，超出范围 ），无法构成“十”字框，排除． 综上，这个数的和可能是， 故选： ． 2．如图所示的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则这三个数之和为 （用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据题目要求用代数式表示出每个数是解题的关键． 设中间一个数为，则上面的数为，下面的数为，再将三个数相加即可得． 【详解】解：设中间的一个数为，则上方和下方的数分别为、， ∴这三个数之和为， 故答案为：． 3．如图是某月的日历． (1)通过计算说明，带阴影的方框中的个数之和与方框正中的数有什么关系？ (2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试（方框内必须有数字），上述关系还成立吗？如成立，请说明为什么成立（尽量用数学语言表述） 【活学活用】 小刚是个爱动脑筋的同学，在发现教程中的用方框在日历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数，，，，…，排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：    (3)十字框中的五个数的和与中间的数有什么关系？ (4)设中间的数为，用代数式表示十字框中的五个数的和； (5)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五位数，其它五位数的和能等于吗？如能，写出这五位数，如不能，说明理由． 【答案】(1)方框中个数之和为方框正中心的倍； (2)见解析； (3)十字框中的五个数的和是中间的数的倍； (4)； (5)不能，理由见解析． 【分析】（）方框中个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，则另外八个数分别为、、，，、，，，将九个数相加即可得出结论； （）将五个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，则另外四个数分别为、、、，将五个数相加即可得出结论； （）设中间的数为，根据（）的规律可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，然后判定的五个数的和不能能等于； 本题考查了规律型中数字的变化类，观察表格中的数据，找出十字框中的五个数的和是中间的数的倍是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴十字框中的五个数的和是中间的数的倍； （2）由题意得设中间这个数为，另外八个数分别为、、，，、，，， ∴； （3）∵， ∴十字框中的五个数的和是中间的数的倍； （4）由题意得另外四个数分别为、、、， ∴； （5）不能，理由如下： 设中间的数为，根据题意得：，解得：， ∵排在最后一列， ∴框住的五个数的和不能等于． 类型四、整体法 1．数学思想·整体思想：若代数式的值为8，则代数式的值为（   ） A．14 B．12 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，由已知条件可得出，然后再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意可得， 所以， 所以， 所以． 故选C． 2．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它的应用极为广泛，若代数式的值是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用．对所求代数式进行变形后，将已知代数式的值整体代入即可求解． 【详解】解：代数式 的值是 ， ． 故答案为：． 3．阅读与思考：整体思考是一种重要的解决数学问题的策略．例如：已知当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值是多少？ 解：当时，代数式的值为2024， 则， ． 当时，． 请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题． (1)若，则________． (2)已知，，求的值． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】此题考查了整式的加减、代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式变形，再整体代入求解即可； （2）原式变形后，把已知等式整体代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵， 原式； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$