1.2：空间向量基本定理【五大考点+五大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

1.2：空间向量基本定理 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点01:空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 知识点02:空间向量的正交分解 单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用{i，j，k}，a可以分解成三个向量，a＝xi＋yj＋zk，像这样叫做把空间向量进行正交分解。 知识点03：空间向量基本定理 1、证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3、求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【例题详解】 题型一、空间的基底 【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪训练1】（24-25高二上·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【跟踪训练2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二：用空间基底表示向量 【例2】（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （   ）      A． B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高二上·四川南充·期末）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三、空间向量基本定理 【例3】（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【跟踪训练1】（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 【跟踪训练2】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 题型四、求夹角、长度问题 【例4】（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【跟踪训练1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【跟踪训练2】（24-25高二上·辽宁）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求. 题型五、空间向量证明平行、共面、垂直问题 【例5】（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【跟踪训练1】（24-25高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长 【跟踪训练2】（24-25高二上·北京丰台·期中）如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·全国）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2025高二·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的是（    ） ①若，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ②若非零向量，，不构成空间的一个基底，则四点共面； ③若向量，，构成空间的一个基底，则空间内的任意向量可表示为，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南三门峡·期末）在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则错误的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二上·全国·课后作业）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 9．（24-25高二下·湖北·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 10．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）在平行六面体中，，,下列结论正确的是（    ） A． B． C．可以作为空间的一个基底 D． 11．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ） A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 12．（24-25高二上·河南新乡·期末）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高二上·云南楚雄·期末）在平行六面体中，，，M为的中点，则 . 14．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在三棱锥中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．    15．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则 ． 16．（24-25高二上·上海·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于 .    17．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 18．（24-25高二上·山东·阶段练习）在平行六面体中，，，，点在上，且，用，，表示，则 ． 四、解答题 19．（25-26高二上·全国·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 20．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 21．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，； (3)求与所成角的余弦值． 22．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值． 23．（24-25高二上·山东·期中）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，.    (1)用，，分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2：空间向量基本定理 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点01:空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 知识点02:空间向量的正交分解 单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用{i，j，k}，a可以分解成三个向量，a＝xi＋yj＋zk，像这样叫做把空间向量进行正交分解。 知识点03：空间向量基本定理 1、证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3、求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【例题详解】 题型一、空间的基底 【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 【跟踪训练1】（24-25高二上·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】根据空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能构成空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于C选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于D选项，假设、、共面， 则存在、使得， 由于为空间的一组基底，则，该方程组无解， 故假设不成立，即、、不共面， 所以，、、可以作为空间的一组基底. 故选：D. 【跟踪训练2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】假设向量共面，设出向量共面对应的关系式，确定方程组是否有解，由此作出判断. 【详解】对于A：设，，不能构成基底，则， 所以，此时方程组无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 对于B：设，，不能构成基底，则， 因为不共面，所以上式显然无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 对于C：设，，不能构成基底，则， 所以，解得，所以假设成立，所以不能构成基底，符合； 对于D：设，，不能构成基底，则， 所以，此时方程组无解，所以假设不成立，所以能构成一个基底，不符合； 故选：C. 题型二：用空间基底表示向量 【例2】（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ， 又，，， 所以 ． 故选：A 【跟踪训练1】（24-25高二上·四川南充·期末）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理结合题意求解即可 【详解】因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点， 所以 ， 故选：B 【跟踪训练2】（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：C． 题型三、空间向量基本定理 【例3】（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由向量运算法则结合空间向量基本定理即可计算求解. 【详解】由题 又由题，故. 故选：C. 【跟踪训练1】（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先根据空间向量基本定理用向量，，表示向量，进而求得，，的值，即可求得的值. 【详解】由空间向量基本定理可得 又由题干，则，故. 故选：C. 【跟踪训练2】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 依题意可得 ， 因为，所以，解得. 故选：D. 题型四、求夹角、长度问题 【例4】（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）， 所以 ； （2）， 所以 ， ，，， ， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 【跟踪训练1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【详解】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 【跟踪训练2】（24-25高二上·辽宁）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解； （3）根据夹角公式结合数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）如图，连接， 因为， 在中，根据向量减法法则可得， 因为底面是平行四边形， 所以， 因为且， 所以， 又因为为线段的中点， 所以， 在中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，所以， ， ， 由（1）可知， 所以在平行四边形中，， ，所以，故对角线的长为； （3）因为， 所以 . 题型五、空间向量证明平行、共面、垂直问题 【例5】（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 【跟踪训练1】（24-25高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为基底向量，，又，计算向量的数量积可证结论； （2）利用向量的模的计算公式可求得的长. 【详解】（1）以为基底向量， 则，又， 所以 ， 所以，所以； （2）由（1）可得， 所以 ， 所以，所以的长为. 【跟踪训练2】（24-25高二上·北京丰台·期中）如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且. (1)用表示向量； (2)求； (3)求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可； （2）利用数量积的运算律求解模长即可； （3）先利用向量线性运算得，然后利用数量积的运算律及定义求得，即可证明. 【详解】（1）； （2）， 则； （3） ， 所以 ， 所以，即. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高二上·全国）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 2．（2025高二·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的是（    ） ①若，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ②若非零向量，，不构成空间的一个基底，则四点共面； ③若向量，，构成空间的一个基底，则空间内的任意向量可表示为，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据空间基底向量的性质逐个选项判断即可. 【详解】对①，若，不共线，则存在向量使得不在，所组成的面上，此时有，，不共面，可以构成空间的一个基底，故，共线，故①正确； 对②，若非零向量，，不构成空间的一个基底，则，，共面，即四点共面，故②正确 对③，由空间向量的基本定理可得③正确. 综上有①②③正确. 故选：D 3．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 44．（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用空间向量对应线段的位置及数量关系，结合向量加减、数乘的几何意义用表示即可. 【详解】. 故选：A 5．（24-25高二上·河南三门峡·期末）在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行六面体的几何性质，利用空间向量的线性运算以及数量积的定义，结合向量模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则， 由， 则，， 所以 . 故选：B. 6．（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量的线性运用表示向量，进而求得，进而求值即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 7．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形法则以及模长公式和向量夹角公式即可求得结果. 【详解】利用三角形法则，故A正确，B错误； 对于选项C： ， 所以，故选项C正确, ， ，所以选项D正确. 故选： 二、多选题 8．（25-26高二上·全国·课后作业）设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 【答案】ACD 【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断. 【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确； 对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确； 对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：ACD. 9．（24-25高二下·湖北·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以，所以，故B错误；由，，所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 10．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）在平行六面体中，，,下列结论正确的是（    ） A． B． C．可以作为空间的一个基底 D． 【答案】ABD 【分析】设，，，将用基底表示并两边平方结合向量数量积即可求得，可判断A；将分别用基底表示，并由向量数量积计算根据结果可判断B；用基底表示，并判断其是否共面即可判断C；将与分别用基底表示即可判断D. 【详解】设，，，则为空间的一个基底， 因为，， 所以，， 对于A，，得，故A正确； 对于B，，， ，可得，故B正确； 对于C，，，， 则，所以共面，不能作为空间的一个基底，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ） A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】利用空间向量线性运算判断A；利用空间向量数量积的运算性质求解判断B，C；根据投影的定义求解判断D； 【详解】对A：由题意，所以， ，故A正确； 对B：因为 ， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：向量在方向上的投影数量为，故D错误； 故选：AC. 12．（24-25高二上·河南新乡·期末）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量线性运算判断A、B，根据数量积的定义及运算律判断C、D. 【详解】依题意可得， 同理，，故C正确； 连接， 则，故A正确； ，故B错误； ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 13．（24-25高二上·云南楚雄·期末）在平行六面体中，，，M为的中点，则 . 【答案】/ 【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得的值． 【详解】在平行六面体中，，， ，M为的中点， ， 所以. 故答案为： 14．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在三棱锥中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用表示为 ．    【答案】 【分析】运用向量的运算法则，结合几何图形表示即可. 【详解】，N为BC的中点，M为PA的中点，继续运算， ， 整理得到. 故答案为：. 15．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用空间向量的线性运算用基底向量表示后可求系数和. 【详解】，． 故答案为：. 16．（24-25高二上·上海·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于 .    【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为三棱柱中，、分别是、的中点， 且，，， 所以， 故答案为：. 17．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量的运算法则利用表示，由条件结合空间向量基本定理列方程求可得结论. 【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以 又 所以 即. 故答案为：. 18．（24-25高二上·山东·阶段练习）在平行六面体中，，，，点在上，且，用，，表示，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，点在上，且，所以， 故答案为： 四、解答题 19．（25-26高二上·全国·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明∥即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 20．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 21．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，； (3)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用向量的三角形法即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明. （3）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果. 【详解】（1），， 所以． （2），所以，同理可证,所以：． （3）设为异面直线与所成的角， 22．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）根据数量积的定义可得，，，即可根据模长公式以及夹角公式求解. 【详解】（1）方法一：由题意知 ． 方法二：因为为的中点，所以． （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，． 所以 ， 即线段的长为． 因为， 所以 ， 又 ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为． 23．（24-25高二上·山东·期中）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，.    (1)用，，分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1); (2); 【分析】（1）根据空间向量的加法、减法运算求解即可； （2）利用空间向量的数量积公式求解. 【详解】（1）    如图，连接，取中点为，连接， 因为底面是正六边形， 所以,即， 所以, 又因为, 所以. （2）由题知，， 根据， 可知， 且因为底面是正六边形，所以所以， 所以（ⅰ） = （ⅱ）因为， 所以 =， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$