精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区辽河中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

辽河中学2025-2026学年度 九年第一学期期初 作业检查验收 数学试卷 试卷满分：120分 答题时间：120分钟 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. 把方程化成的形式，其中的值分别是（ ） A. 1，3，2 B. 1，，6 C. 1，， D. 1，，6 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 4. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 5. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（ ） A. 60元 B. 50元 C. 40元 D. 40元或60元 9. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥若，是抛物线上两点，则．正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 直线与抛物线的交点坐标是__________ ，___________ ． 12. 已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 15. 如图，已知二次函数的图象顶点为，与轴交于原点和点．若在轴正半轴上有一点，使为直角三角形，则点的坐标为_____． 三、解答题（共75分） 16. （1）用配方法解方程：． （2）用公式法解方程：． 17. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 19. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象回答：当时，直接写出的取值范围； （3）当时，求的取值范围． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 如何选择购买方案 素材1 某校30位同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元，C场馆门票每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 （1）求A场馆和B场馆门票的价格； 任务2 设计购买方案 （2）在出发前，班长统计大家的参观意向，有一些同学的意向不确定，通过几次举手表决，发现每次统计的结果想参观B场馆的人数都是想参观A场馆人数的2倍，且想参观A场馆的人数不少于3人，而想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数，由于班级可用经费仅有750元，请你帮班长算一算能符合上述条件的所有购买方案； 任务3 选择最优购买方案 （3）如果仅从经费的使用情况角度来分析，你觉得选择任务2中的哪个方案更好，请说明理由． 21. 如图，在正方形中，点E为上一点，过点E作交于点O，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）试说明． 22. 综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： （1）【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点 O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程； ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （2）【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线经过点，，． （1）求a，b，c的值． （2）若P 是第一象限内抛物线上的一点． ①如图1，是否存在点 P，使得以C，P，B为顶点的三角形的面积为？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②如图2，连接，相交于点M，连接，当的值最大时，求直线 的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽河中学2025-2026学年度 九年第一学期期初 作业检查验收 数学试卷 试卷满分：120分 答题时间：120分钟 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. 把方程化成的形式，其中的值分别是（ ） A. 1，3，2 B. 1，，6 C. 1，， D. 1，，6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．把方程化成的形式，即可求解． 【详解】解：把方程化成的形式：，其中的值分别是1，，6， 故选：D． 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 3. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【解析】 【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 4. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由题意知，关于轴对称的点坐标为，由，可得． 【详解】解：∵， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， 由题意知，关于轴对称的点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 5. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——连续增长问题．根据题意，分别表示出三天的票房，再求和等于10亿元即可． 【详解】解：第一天票房为3亿元，设票房每日增长率为x， 则第二天票房亿元， 第三天票房亿元， 累计三天票房总和为10亿元， ∴方程为：， 故选：A． 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 8. 某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（ ） A. 60元 B. 50元 C. 40元 D. 40元或60元 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二次函数解决实际问题，根据已知题意建立二次函数模型，然后化为二次函数顶点式，确定最大值及此时x的值. 【详解】设每张床位每晚收费应提高个20元，收入为元，根据题意得： ， ∵时，取得最大值， 又∵取整数， ∴当或3时，取得最大值， 当时，每张床位每晚收费提高60元，床位最少，即投资少， ∴为了投资少而收入多，每张床位每晚收费应提高60元， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，如何根据已知题意建立二次函数模型是解答本题的关键，同时要熟练掌握二次函数一般式化为顶点式. 9. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 10. 抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥若，是抛物线上两点，则．正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点问题．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线对称轴为， ∴，故①正确． 该函数图象与轴两个交点，则，即，故②正确． 由图象可知，当时，， ∴，故③错误． 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间， 与轴的另一个交点在和之间， 当时，， ∵， ∴， ∴，故④错误． 当时，取得最大值， ，即（k为任意实数），故⑤正确． ∵，， ∴点，关于抛物线对称轴对称， ∴，故⑥错误． 综上所述，正确的是①②⑤，共3个． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 直线与抛物线的交点坐标是__________ ，___________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和抛物线的交点问题，联立两函数的解析式，所得方程组的解，即为两函数的交点坐标． 【详解】解：联立两函数的解析式有：，解方程组，得或； 则直线与抛物线的交点坐标是，． 故答案为：，． 12. 已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据题意可得，求出，再根据的性质进行取舍即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵当时y随的增大而增大， ∴，则， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点．现将矩形平移到矩形位置，使点平移到点位置，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标，图形的平移变换及其性质，先根据矩形性质得点A的坐标为，再根据平移后点O的对应点的坐标为，得点A的对应点的横坐标为，纵坐标为，据此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵矩形的顶点， ∴点A的坐标为， ∵平移后点O的对应点的坐标为， ∴点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可． 【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为， ∵的解为抛物线与轴交点的横坐标， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 15. 如图，已知二次函数的图象顶点为，与轴交于原点和点．若在轴正半轴上有一点，使为直角三角形，则点的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理．先利用二次函数的性质求得和，设点的坐标为，利用勾股定理求得，用表示出和，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，， ∵， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ， ， ①当为斜边时，， 解得或， ∴点的坐标为或； ②当为斜边时，， 解得(舍去)； ③当为斜边时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（共75分） 16. （1）用配方法解方程：． （2）用公式法解方程：． 【答案】 （1），；（2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的配方法与公式法是解题的关键． （1）根据题意运用配方法求解即可； （2）根据题意运用公式法求解即可． 【详解】解：（1） 移项得， 配方得， 即， 开方得， 所以，． （2） ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 17. 定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． （2）若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【答案】（1）②④ （2）①，②， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用，即可求得、． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义等，解题的关键是注意分情况讨论，利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 19. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象回答：当时，直接写出的取值范围； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）二次函数的解析式为； （2）； （3）的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据图象可设二次函数的解析式为，且过点，然后利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求出的取值范围； （）由二次函数的解析式为，当时，时，有最小值，然后分别求出当时和当时，的值，从而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据图象可设二次函数的解析式为，且过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象可知，当时，； 【小问3详解】 解：由二次函数的解析式为， 当时，时，有最小值， 当时，，当时，， ∴的取值范围为． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 如何选择购买方案 素材1 某校30位同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元，C场馆门票每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 （1）求A场馆和B场馆门票的价格； 任务2 设计购买方案 （2）在出发前，班长统计大家的参观意向，有一些同学的意向不确定，通过几次举手表决，发现每次统计的结果想参观B场馆的人数都是想参观A场馆人数的2倍，且想参观A场馆的人数不少于3人，而想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数，由于班级可用经费仅有750元，请你帮班长算一算能符合上述条件的所有购买方案； 任务3 选择最优购买方案 （3）如果仅从经费的使用情况角度来分析，你觉得选择任务2中的哪个方案更好，请说明理由． 【答案】（1）A场馆和B场馆门票的价格分别为50元/张、40元/张； （2）有两种购买方案 方案一：购买 A场馆门票3张，则购买B场馆门票6张，购买C场馆门票张； 方案二：购买 A场馆门票4张，则购买B场馆门票8张，购买C场馆门票张． （3）选择方案一省钱，理由：方案一： 元， 方案二： 元， ∵， ∴选择方案一省钱． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的求解，正确列出二元一次方程组以及不等式是解决本题的关键． （1）先设出未知数，根据题目已知信息列二元一次方程组求解即可． （2）先设出未知数，根据题目已知信息可知，再具体求解a的取值范围，由此可得a取3或4，再根据a的取值即可求解方案． （3）分别计算出方案一和方案二的花费，即可判断． 【详解】（1）解：设A场馆和B场馆门票的价格分别为x元/张、y元/张， 购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元， 购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元， 依题意得：， 解得：， 答：A场馆和B场馆门票的价格分别为50元/张、40元/张． （2）解：设采购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票2a张，购买C场馆门票张． ∵想去A场馆的人数不少于3人， ∴， ∵想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数， ∴，解得， 依题意得：， 解得：， ∴， ∵a是整数， ∴a取3或4． （3）略 21. 如图，在正方形中，点E为上一点，过点E作交于点O，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）试说明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2） 证明：连接， ∵， ∴，， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）由等腰直角三角形以及矩形的性质得到，正方形得到，由等腰直角三角形得到，即可证明全等； （2）连接，先证明等腰，则由勾股定理得，由矩形得到，则，再证明，则，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： （1）【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点 O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程； ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （2）【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②（2，0） （2） 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）①由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； ②由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； （2）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而得出答案． 【小问1详解】 解：①由题意得：，， 是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为； ②对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意可得，当点与点B重合时，最小， ∵点的坐标为， ∴， ∴的最小值为， ∵ 当点在抛物线上时，最大， ， 点的纵坐标为1， 当时，解得或（舍去）， ， ∴的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为． 23. 在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线经过点，，． （1）求a，b，c的值． （2）若P 是第一象限内抛物线上的一点． ①如图1，是否存在点 P，使得以C，P，B为顶点的三角形的面积为？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②如图2，连接，相交于点M，连接，当的值最大时，求直线 的函数解析式． 【答案】（1），， （2）①存在，点的坐标为，点的坐标为；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①如图，连接，过点P向x轴作垂线交于点Q．求出直线的函数解析式为；设点P的坐标为，则点 Q 的坐标为，表示出，然后利用得到，进而求解即可； ②根据题意得到当最大时，的值最大，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点，， ∴设抛物线的解析式为 将代入抛物线的解析式中，得， 解得 ∴ ∴，，； 【小问2详解】 ①存在点P，使得以 C，P，B为顶点的三角形的面积为 理由如下：如图，连接，过点P向x轴作垂线交于点Q． 设直线的函数解析式为 把，代入得 解得 ∴直线的函数解析式为； 由（1）可知， 设点P的坐标为，则点 Q 的坐标为 解得， ∵ ， ∴存在两点都在第一象限，且满足以 C，P，B为顶点的三角形的面积为， 此时点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②∵ ∵的面积是定值 ∴当最大时，的值最大 ∴当点P为抛物线的顶点时，最大 ∴ 设直线的函数解析式为 把，代入，得 解得 ∴直线的函数解析式为． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用、解一元二次方程、二次函数的最值问题，面积问题和利用待定系数法求一次函数的解析式，把二次函数解析式化为顶点式求最值，确定点P的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $