学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（鲁教版五四制九上：反比例函数+直角三角形的边角关系+二次函数）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版九年级上册前两章+第三章二次函数（3.1~3.5）。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 2.在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 3.对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，的最大值为21 D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 4.已知，，是反比例函数的图象上的三点，若，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 5.如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.如图所示，如图，在中，，，，过点作，垂足为，连接，则　　 A． B． C． D． 7.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8.如图，平行四边形的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点，点在反比例函数，则的值为（    ） A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 9.如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10.如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为 ． 12.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ． 13.如图，一次函数y1＝kx＋b图象与反比例函数y2＝的图象交于点A、B，请直接写出y1＜y2时x的取值范围 ．        14.已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为 ． 15.如图．一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，被河对岸处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点、、在同一条直线上，若．则河流的宽度为 ． 16.是关于的二次函数，当的取值范围是时，只在时取得最大值，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（每小题4分，共8分） （1）计算： （2）计算： 18．如图，已知点，在反比例函数的图象上，直线，分别与轴，轴相交于、两点， (1)求直线的解析式． (2)、两点坐标． (3)是多少？ 19．（8分）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 20．（8分）我军舰在点A的北偏东方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西的方向上，点Ｃ在点B的北偏西，点A，C之间相距海里，求点B，C之间的距离．（结果保留海里）参考数据：，， 21．（8分）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 22．（10分）如图，直线与的图象交于点与轴交于点 (1)求的值及直线的解析式； (2)若是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 23．（10分）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线经过A、B、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D的坐标为，在直线上有一点P，使与相似，求出点P的坐标． 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． (1)将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点，求a的值； (2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求a的取值范围； (3)若， ①在抛物线上有两点，，若，则m的取值范围是________； ②当时，该二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D B A A D A C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．0＜x＜1或x＜－3 14． 15． 16．a＞3 三、解答题：本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（每小题4分，共8分） 解：（1）原式 ……………………………………2分 ……………………………………3分 ； ……………………………………4分 （2）原式 ……………………………………2分 ……………………………………3分 ． ……………………………………4分 18．（8分）（1）解：将点，代入反比例函数可得， ，， ∴，， ……………………………………1分 设的解析式为，将，代入可得， ，解得：， ∴； ……………………………………3分 （2）解：当时， ， ∴， ……………………………………4分 当时， ，解得， ∴， ……………………………………5分 （3）解：∵，，，， ∴， ……………………………7分 ∴． ……………………………………8分 19．（8分）（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， ……………………………………1分 在， ∵，， ∴，……………………………………2分 ∵， ∴． ∴的面积为． ……………………………………3分 （2）∵，， ∴，……………………………………4分 在中， ．……………………………………6分 （3）在中，，， ∴．……………………………………8分 20．（8分）解:作于点D，如图： ……………………………………1分 ， 由题意知，，，……………………………………2分 在中，，， ∴（海里），……………………………………4分 在中，， ， ∴（海里），……………………………………7分 答：点，之间的距离为海里.……………………………………8分 21．（8分）（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为，……………………………2分 当时，， ∴；……………………………………4分 （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：，……………………………………6分 ∵， 当时， ，……………………………………7分 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为．……………………………………8分 22．（10分）（1）解：把点代入， ∴． ∴点，……………………………………2分 设直线的关系式为， 将，代入得，． ∴．……………………………………3分 ∴直线的关系式为，……………………………………4分 （2）解：如图，逆时针旋转后，点D的对应点为，点在反比例函数的图象上，过点D作轴，垂足为E，过点作轴，垂足为F，……………………………………5分 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，……………………………………7分 ∴， 由于点D在直线上，可设点， 即，， ∴点，……………………………………8分 又∵点在的图象上， ∴， 解得或，……………………………………9分 当时，， 当时，， ∴或．……………………………………10分 23．（10分）（1）解：由直线可知，，， ∵抛物线经过、、三点， ∴设抛物线的解析式的解析式为，……………………………………2分 把代入得，，解得， ∴抛物线的解析式的解析式为：；……………………………………4分 （2）解：∵，， ∴， ∴，……………………………………5分 ∵当在点下方时，是钝角，而是直角三角形，不可能相似， ∴在点上方，此时， ∵与相似， ∴或……………………………………6分 ①当时，，即轴， ∵点D的坐标为， ∴点P的横坐标为，， 当时，， ∴；……………………………………7分 ②当时，，，即， 过作轴于， ∴∠DPC=，……………………………………8分 ∴， ∴， 当时，， ∴；……………………………………9分 综上所述，点P的坐标为或．……………………………………10分 24．（12分）（1）解：设平移后的抛物线为：，即， 又∵图象过点， ∴，……………………………………1分 解得：或4；……………………………………3分 （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，……………………………………4分 ∵二次函数（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴，……………………………………6分 ∴；……………………………………7分 （3）解：当时，， ∴顶点，开口向下， ①由题意，∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又， ∴，……………………………………8分 ∴当时， ， ∴无解； 当时，， ∴，则， 当时， ∴， 综上，，……………………………………10分 ②由题意，∵抛物线开口向下，且对称轴是直线， 当时，最大值在，最小值在， ， ∴． 当时，最大值在顶点，最小值在或， 若，则最小值为， ，符合题意， 若，则最小值在， ， ， 综上，．……………………………………12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 16.（3分）________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（每小题4分，共8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19． （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版九年级上册前两章+第三章二次函数（3.1~3.5）。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 2.在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 3.对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，的最大值为21 D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 4.已知，，是反比例函数的图象上的三点，若，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 5.如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.如图所示，如图，在中，，，，过点作，垂足为，连接，则　　 A． B． C． D． 7.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B．C． D． 8.如图，平行四边形的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点，点在反比例函数，则的值为（    ） A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 9.如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10.如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为 ． 12.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ． 13.如图，一次函数y1＝kx＋b图象与反比例函数y2＝的图象交于点A、B，请直接写出y1＜y2时x的取值范围 ． 14.已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为 ． 15.如图．一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，被河对岸处的小明测得其仰角为． 无人机距地面的垂直高度用表示，点、、在同一条直线上， 若．则河流的宽度为 ． 16.是关于的二次函数，当的取值范围是时，只在时取得最大值，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（每小题4分，共8分） （1）计算： （2）计算： 18.如图，已知点，在反比例函数的图象上，直线，分别与轴，轴相 交于、两点. (1)求直线的解析式． (2)、两点坐标． (3)是多少？ 19．（8分）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 20．（8分）我军舰在点A的北偏东方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西的方向上，点Ｃ在点B的北偏西，点A，C之间相距海里，求点B，C之间的距离．（结果保留海里）参考数据：，， 21．（8分）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 22．（10分）如图，直线与的图象交于点与轴交于点 (1)求的值及直线的解析式； (2)若是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 23．（10分）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线经过A、B、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D的坐标为，在直线上有一点P，使与相似，求出点P的坐标． 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． (1)将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点，求a的值； (2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求a的取值范围； (3)若， ①在抛物线上有两点，，若，则m的取值范围是________； ②当时，该二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版九年级上册前两章+第三章二次函数（3.1~3.5）。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1.已知   22 5y a x x   是关于 x 的二次函数，则 a 的取值范围是（ ） A． 2a   B． 2a  C． 2a  D． 2a   2.在 ABC 中，A、B 都是锐角， 3sin 2 A  ， tan 3B  ，下列说法正确的是（ ） A． 30A   B． 30B   C． ABC 是等边三角形 D． ABC 是直角三角形 3.对于二次函数 22 8 3y x x   ，下列说法错误的是（ ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 2x   C．当0 2x  时， y 的最大值为 21 D．将图象向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度后的顶点坐标为  1, 12 4.已知  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  3 3,C x y 是反比例函数 3 y x  的图象上的三点，若 1 2 30x x x   ，则下列关系 式正确的是（ ） A． 1 2 3y y y  B． 2 1 3y y y  C． 3 2 1y y y  D． 3 1 2y y y  5.如图， ABC 的顶点均在正方形网格的格点上，则sin ACB 的值为（ ） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 A． 5 5 B． 2 5 5 C． 6 6 D． 2 3 6.如图所示，如图，在 ABCD 中， 5AD  ， 12AB  ，sin 4 5 A  ，过点D作DE AB ，垂足为E ，连接CE， 则 sin (BEC  ) A． 10 10 B． 3 5 C． 5 12 D． 1 2 7.二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，则一次函数 2y ax b c   的图象大致是（ ） A． B． C． D． 8.如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A 在 x 轴的正半轴上，OC AC ，反比例函数 1 y x  的图像 经过点C ，点 B 在反比例函数 ( 0) k y k x   ，则 k 的值为（ ） 3 / 8 学科网（北京）股份有限公司 A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 9.如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在 x轴的正半轴上， 30 2AOB B OA     ， ，将 AOB 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转90，则第 2025 次旋转结束时，点 B 的对应点B的坐标是（ ） A．  3, 3 B．  3,3 C．  3 3， D．  1,2 3  10.如图所示的是二次函数 2y ax bx c   图象的一部分，其对称轴是直线 1x   ，且过点  3,0 ，下列说法： ① 0abc  ；② 2 0a b  ；③ 4 2 0a b c   ；④若 1 2( ) ( )5, 3,y y ， 是抛物线上的两点，则 1 2y y ．其中说法 正确的是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11.某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为 2 5 米，则这个坡面的坡度 为 ． 12.将抛物线  23 4y x   先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到的新抛物线的函数表 达式为 ． 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 13.如图，一次函数 y1＝kx＋b 图象与反比例函数 y2＝ x  的图象交于点 A、B，请直接写出 y1＜y2 时 x 的取值 范围 ． 14.已知  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点都在反比例函数 2 y x  的图象上，若 1 2 1x x   ，则   1 2 2 12 2x y x y  的值 为 ． 15.如图．一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河岸边C 处的俯角为 ， tan 3  ，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行30m至 B 处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30．无人机距地面的垂直高度用 AM 表示， 点M 、C 、D在同一条直线上，若 50mMC  ．则河流的宽度CD为 m． 16. 2 (1 ) 1y x a x    是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围是 1 3x   时， y 只在 1x   时取得最大值，则 实数a的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（每小题 4 分，共 8 分） （1）计算：  22sin30 1 2 2     （2）计算：  02cos 60 3tan30 2 sin 45 1 2      5 / 8 学科网（北京）股份有限公司 18．如图，已知点 (4, )A m ， ( 1, )B n 在反比例函数 8 y x  的图象上，直线 AB ，分别与 x 轴， y 轴相交于C 、 D两点， (1)求直线 AB 的解析式． (2)C 、D两点坐标． (3) :AOC BODS S△ △ 是多少？ 19．（8 分）在 ABC 中， =4 2AC ， =6BC ， C 为锐角且 tan 1C  ． (1)求 ABC 的面积； (2)求 AB 的值； (3)求cos ABC 的值． 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 20．（8 分）我军舰在点 A 的北偏东35方向上的点 C 处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军 在点 B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点 A在点 B 的南偏西65的方向上，点Ｃ在点 B 的北偏西52， 点 A，C 之间相距20海里，求点 B，C 之间的距离．（结果保留0.1海里）参考数据：sin 63 0.89  ，cos 63 0.45  ， tan 63 1.96  21．（8 分）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温  y ℃ 与 开机时间 x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温  y ℃ 与开机时间 x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热 ，重复上述程序（如 图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中 t 的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 22．（10 分）如图，直线 AC 与 6 y x   的图象交于点 ( 1, )A m 与 x 轴交于点 (5,0)C (1)求m的值及直线 AC 的解析式； (2)若D是线段 AC 上一点，将线段OD 绕点O逆时针旋转90 得到线段OD，点D恰好落在函数 6 y x   的 图象上，求点D的坐标． 23．（10 分）如图，直线 = +3y x 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 2 +y ax bx c  经过 A、B、  1,0C 三 点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 D 的坐标为  1,0 ，在直线 3y x   上有一点 P，使 ABO 与 ADP△ 相似，求出点 P 的坐标． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 24．（12 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 22 3 2y x ax a a      （a 为常数）． (1)将抛物线向上平移 2 个单位，若平移后的抛物线过点  0, 4 ，求 a 的值； (2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到 x 轴的距离等于 3 个单位长度，求 a 的取值范围； (3)若 1a  ， ①在抛物线上有两点  12,M m y ，  2,N m y ，若 1 2y y ，则 m 的取值范围是________； ②当 1 x n   时，该二次函数的最大值与最小值的和为 2 ，求 n 的取值范围． 1 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（每小题 4 分，共 8 分） 18．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8 分） 20．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （8 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版九年级上册前两章+第三章二次函数（3.1~3.5）。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1.已知   22 5y a x x   是关于 x 的二次函数，则 a 的取值范围是（ ） A． 2a   B． 2a  C． 2a  D． 2a   2.在 ABC 中，A、B 都是锐角， 3sin 2 A  ， tan 3B  ，下列说法正确的是（ ） A． 30A   B． 30B   C． ABC 是等边三角形 D． ABC 是直角三角形 3.对于二次函数 22 8 3y x x   ，下列说法错误的是（ ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 2x   C．当0 2x  时， y 的最大值为 21 D．将图象向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度后的顶点坐标为  1, 12 4.已知  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  3 3,C x y 是反比例函数 3 y x  的图象上的三点，若 1 2 30x x x   ，则下列关系 式正确的是（ ） A． 1 2 3y y y  B． 2 1 3y y y  C． 3 2 1y y y  D． 3 1 2y y y  5.如图， ABC 的顶点均在正方形网格的格点上，则sin ACB 的值为（ ） A． 5 5 B． 2 5 5 C． 6 6 D． 2 3 6.如图所示，如图，在 ABCD 中， 5AD  ， 12AB  ，sin 4 5 A  ，过点D作DE AB ，垂足为E ，连接CE， 则 sin (BEC  ) A． 10 10 B． 3 5 C． 5 12 D． 1 2 7.二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，则一次函数 2y ax b c   的图象大致是（ ） A． B． C． D． 8.如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A 在 x 轴的正半轴上，OC AC ，反比例函数 1 y x  的图 像经过点C ，点 B 在反比例函数 ( 0) k y k x   ，则 k 的值为（ ） A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 9.如图，在平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在 x 轴的正半轴上， 30 2AOB B OA     ， ，将 AOB 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转90，则第 2025 次旋转结束时，点 B 的对应点B的坐标是（ ） A．  3, 3 B．  3,3 C．  3 3， D．  1,2 3  试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … 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时取得最大值，则 实数a的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（每小题 4 分，共 8 分） （1）计算：  22sin30 1 2 2     （2）计算：  02cos 60 3tan30 2 sin 45 1 2     18.如图，已知点 (4, )A m ， ( 1, )B n 在反比例函数 8 y x  的图象上，直线 AB ，分别与 x 轴， y 轴相 交于C 、D两点. (1)求直线 AB 的解析式． (2)C 、D两点坐标． (3) :AOC BODS S△ △ 是多少？ 19．（8 分）在 ABC 中， =4 2AC ， =6BC ， C 为锐角且 tan 1C  ． (1)求 ABC 的面积； (2)求 AB 的值； (3)求cos ABC 的值． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 20．（8 分）我军舰在点 A 的北偏东35方向上的点 C 处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军 在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西65的方向上，点Ｃ在点B的北偏西52， 点A，C之间相距20海里，求点B，C之间的距离．（结果保留0.1海里）参考数据：sin 63 0.89  ，cos 63 0.45  ， tan 63 1.96  21．（8 分）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温  y ℃ 与开机时间 x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水 温  y ℃ 与开机时间 x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热 ，重复上述 程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中 t 的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏 度？ 22．（10 分）如图，直线 AC 与 6 y x   的图象交于点 ( 1, )A m 与 x 轴交于点 (5,0)C (1)求m的值及直线 AC 的解析式； (2)若D是线段 AC 上一点，将线段OD 绕点O逆时针旋转90 得到线段OD，点D恰好落在函数 6 y x   的 图象上，求点D的坐标． 23．（10 分）如图，直线 = +3y x 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 2 +y ax bx c  经过 A、B、  1,0C 三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 D 的坐标为  1,0 ，在直线 3y x   上有一点 P，使 ABO 与 ADP△ 相似，求出点 P 的坐标． 24．（12 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 22 3 2y x ax a a      （a 为常数）． (1)将抛物线向上平移 2 个单位，若平移后的抛物线过点  0, 4 ，求 a 的值； (2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到 x 轴的距离等于 3 个单位长度，求 a 的取值范围； (3)若 1a  ， ①在抛物线上有两点  12,M m y ，  2,N m y ，若 1 2y y ，则 m 的取值范围是________； ②当 1 x n   时，该二次函数的最大值与最小值的和为 2 ，求 n 的取值范围． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11.（3 分）________________ 12.（3 分）________________ 13.（3 分）________________ 14.（3 分）________________ 15.（3 分）________________ 16.（3 分）________________ 三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（每小题 4 分，共 8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（每小题4分，共8分） 18． （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （8分） 22． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：鲁教版九年级上册前两章+第三章二次函数（3.1~3.5）。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可. 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选：D 2.在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定、由特殊角的三角函数值判断三角形形状、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 3.对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，的最大值为21 D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，二次函数图象的平移问题，把二次函数解析式化为顶点式得到对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数可得开口方向，进而得到增减性，再求出当时的函数值，接着根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的抛物线顶点坐标即可得到答案。 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故A、B说法正确，不符合题意； ∴当时，y随x增大而增大， 当时，， ∴当时，的最大值为21，故C说法正确，不符合题意； ∵原抛物线顶点坐标为， ∴将原抛物线的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为，即，故D说法错误，符合题意； 故选：D。 4.已知，，是反比例函数的图象上的三点，若，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数在每一个象限内的增减性及图象所在象限是解题的关键．首先根据函数解析式判断图象在一、三象限，然后根据函数在第三象限内的增减性判断，再根据，判断，即可得答案． 【详解】解：， 反比例函数的图象在一、三象限，并且在每一象限内，y随着x的增大而减小， 时，， 当时，， ． 故选：B． 5.如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】本题考查网格中的三角函数值，过点作，等积法求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可．解题的关键是构造直角三角形． 【详解】解：过点作， 由图可知：， ∴， ∴， ∴； 故选A． 6.如图所示，如图，在中，，，，过点作，垂足为，连接，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，勾股定理等知识，综合应用知识是解决本题的关键．根据， ，可得长度，已知，根据勾股定理可得，在中，可求，因为，可得题目所求． 【详解】解：，，， ， 在中， ，， ，， ， ． 故选：A． 7.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质．直接利用二次函数图象得出a、b、c的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，，对称轴， ∴， 对于一次函数，，， ∴一次函数的图象大致是 ， 故选：D． 8.如图，平行四边形的顶点是坐标原点，在轴的正半轴上，，反比例函数的图像经过点，点在反比例函数，则的值为（    ） A．3 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和HL综合（HL）、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】过点作于，过点作轴于，根据平行四边形的性质及矩形的判定证明四边形为矩形，得，再证，得，利用三线合一得，从而有，于是根据反比例函数的意义即可得解． 【详解】解：过点作于，过点作轴于， ， ∵四边形为平行四边形， ，即， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为矩形， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， 反比例函数的图象经过点C， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，反比例函数的意义以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数的意义以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 9.如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解、三角函数综合 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，锐角三角函数等知识，由题意得绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环，第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，利用旋转的性质和解直角三角形即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，如图所示： 由旋转可得：， ， 故选：C． 10.如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为 ． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】先画出示意图，求出水平距离，再由坡度的定义即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得，AB=10米，BC=米， 在Rt△ABC中，AC==（米）， 坡度==． 故答案为1：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用勾股定理求出AC，注意理解坡度的定义． 12.将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：，即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 13.如图，一次函数y1＝kx＋b图象与反比例函数y2＝的图象交于点A、B，请直接写出y1＜y2时x的取值范围 ．        【答案】0＜x＜1或x＜－3 【知识点】反比例函数与一次函数的综合 【分析】直接写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：当x<-3或0<x<1时，y1＜y2． 故答案为0＜x＜1或x＜－3． 【点睛】本题考查了运用反比例函数和一次函数图像求解不等式，掌握运用函数图像确定不等式的解集的方法是解答本题的关键． 14.已知，两点都在反比例函数的图象上，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式——化简求值、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的性质，多项式乘法运算，代数式的代入求值．熟练掌握反比例函数的性质，多项式乘法运算，代数式的代入求值是解题的关键． 先根据反比例函数得出，，，然后将展开，再把，，，代入计算即可． 【详解】解：将点，代入，得，， 则有，， ， ． 故答案为：． 15.如图．一架水平飞行的无人机在处测得正前方河岸边处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行至处时，被河对岸处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点、、在同一条直线上，若．则河流的宽度为 ． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形-仰角俯角的相关知识，构造直角三角形，正确使用锐角三角函数求线段长是解题的关键． 过点作于点，所以四边形是矩形，先在 中求出的长，即的长，再在中求出的长，所以的长即为减去的长． 【详解】解：如图，过点作于点． 由题意得， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ∴河流的宽度为． 故答案为：． 16.是关于的二次函数，当的取值范围是时，只在时取得最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】a＞3 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可． 【详解】解：∵-1≤x≤3时，y只在x=-1时取得最大值， ∴， 解得a＞3． 故答案为：a＞3． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（每小题4分，共8分） （1）计算： （2）计算： 【分析】本题主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，计算乘方及化简绝对值，再计算加减即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂，再根据二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18．如图，已知点，在反比例函数的图象上，直线，分别与轴，轴相交于、两点， (1)求直线的解析式． (2)、两点坐标． (3)是多少？ 【分析】（1）将点，代入反比例函数中，求出m，n，设直线的解析式为，将点A，B，代入即可得到答案； （2）令，，分别代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）代入三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：将点，代入反比例函数可得， ，， ∴，， 设的解析式为，将，代入可得， ，解得：， ∴； （2）解：当时， ， ∴， 当时， ，解得， ∴， ∴，； （3）解：∵，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查求反比例函数上点，求一次函数解析式，函数图像与x轴y轴交点，反比例函数图像上点与坐标轴上点及原点围成三角形面积问题，解题的关键是求出m，n，及熟练掌握点到x轴距离是纵坐标的绝对值，点到y轴距离是横坐标绝对值． 19．（8分）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 20．（8分）我军舰在点A的北偏东方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西的方向上，点Ｃ在点B的北偏西，点A，C之间相距海里，求点B，C之间的距离．（结果保留海里）参考数据：，， 【分析】本题考查了方位角问题，掌握以上知识是解答本题的关键； 作于点D，根据题意可得，，然后在中，可得，最后在中，根据三角函数即可求解； 【详解】作于点D，如图： ， 由题意知，，， 在中，，， ∴（海里）， 在中，， ， ∴（海里）， 答：点，之间的距离为海里. 21．（8分）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 22．（10分）如图，直线与的图象交于点与轴交于点 (1)求的值及直线的解析式； (2)若是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式是正确解答的前提． （1）把点代入可得m的值，确定点A的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式； （2）根据旋转的性质可知，，利用全等三角形的判定和性质得出，设出点D的坐标，表示出点的坐标，再得出反比例函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入， ∴． ∴点， 设直线的关系式为， 将，代入得，． ∴． ∴直线的关系式为， 答：，． （2）解：如图，逆时针旋转后，点D的对应点为，点在反比例函数的图象上，过点D作轴，垂足为E，过点作轴，垂足为F， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由于点D在直线上，可设点， 即，， ∴点， 又∵点在的图象上， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． 23．（10分）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线经过A、B、三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D的坐标为，在直线上有一点P，使与相似，求出点P的坐标． 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，相似三角形的对应边成比例． （1）先求出，，再根据待定系数法，可得抛物线的解析式； （2）两直角三角形相似，又有一个公共角，故只需另一个角为直角即可得到相似，故分两种情况讨论，可得答案． 【详解】（1）解：由直线可知，，， ∵抛物线经过、、三点， ∴设抛物线的解析式的解析式为， 把代入得，，解得， ∴抛物线的解析式的解析式为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵当在点下方时，是钝角，而是直角三角形，不可能相似， ∴在点上方，此时， ∵与相似， ∴或 ①当时，，即轴， ∵点D的坐标为， ∴点P的横坐标为，， 当时，， ∴； ②当时，，，即， 过作轴于， ∴∠DPC=， ∴， ∴， 当时，， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． (1)将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点，求a的值； (2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求a的取值范围； (3)若， ①在抛物线上有两点，，若，则m的取值范围是________； ②当时，该二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设平移后的抛物线为，即，又图象过点，则，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，由，则抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，又二次函数为常数）的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于个单位长度，故，进而计算可以得解； （3）依据题意，由时，抛物线为，则顶点为，开口向下． ①由抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合，则，进而计算可以得解； ②依据题意，由抛物线开口向下，且对称轴是直线，再结合时，该二次函数的最大值与最小值的和为，可以分类讨论计算得解． 【详解】（1）解：设平移后的抛物线为：，即， 又∵图象过点， ∴， 解得：或4； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∵二次函数（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴顶点，开口向下， ①由题意，∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又， ∴， ∴当时， ， ∴无解； 当时，， ∴，则， 当时， ∴， 综上，， 故答案为：； ②由题意，∵抛物线开口向下，且对称轴是直线， 当时，最大值在，最小值在， ， ∴． 当时，最大值在顶点，最小值在或， 若，则最小值为， ，符合题意， 若，则最小值在， ， ， 综上，． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$