精品解析：山东省烟台第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

高2024级2025-2026学年第一学期开学考试数学试题 时间：90分钟 满分：120分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（分） 1. 已知直线经过，两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. ，-1）） D. [1，+ 3. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 5. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（分） 9. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. 直线在两坐标轴上的截距相等 C. 为直线的一个方向向量 D. 直线关于轴对称的直线的方程为 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 C. 已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知为坐标原点，向量，，，则点不能构成三角形 11. （多选）已知正方体的棱长为1，动点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面 B. 若，则与所成角的取值范围为 C. 若，则二面角的平面角为 D. 若，则三棱锥的体积为2 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（分） 12. 已知直线与直线垂直，则_____. 13. 一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的一般式方程为___________. 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 四、解答题（47分） 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程． 16. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级2025-2026学年第一学期开学考试数学试题 时间：90分钟 满分：120分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（分） 1. 已知直线经过，两点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合两点坐标求直线的方程，根据直线方程确定直线的斜率. 【详解】 由已知得，两点的横坐标都是， 所以直线的方程是，直线是一条垂直于x轴的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. ，-1）） D. [1，+ 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 3. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方向向量、法向量的定义，结合线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的向量判断方法进行逐一判断即可. 【详解】A因为不重合，所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，所以本选项说法不正确； B由法向量与方向向量的定义易知或，所以本选项说法不正确； C由于为平面的法向量，所以，所以本选项说法不正确； D由平面法向量与平面的位置关系可得，所以本选项说法正确， 故选：D 4. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长公式可判断B选项；分析可得且不共线，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于选项A:若，则，解得,故选项A错误； 对于选项B:若，则，解得，故选项B错误； 对于选项C:若为钝角，则且，解得且，故选项C错误； 对于选项D:在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 故选：D. 5. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行把线到面的距离转化为点到面的距离，根据点到面的距离公式可得结果. 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 6. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 7. 如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以,D正确， 故选：D. 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 二、多选题（分） 9. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. 直线在两坐标轴上的截距相等 C. 为直线的一个方向向量 D. 直线关于轴对称的直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角为，可求判断A；求得直线与两坐标轴上的截距判断B；利用直线的斜率可求得直线的一个方向向量判断C；求得点（2，0）关于轴对称的点的坐标为，可求直线的方程判断D. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以，解得，故A正确． 直线在两坐标轴上的截距均为2，故B正确． 由方程，可得直线的一个方向向量为，故C错误． 直线过点，因为点（2，0）关于轴对称的点的坐标为， 所以直线经过点，故直线关于轴对称的直线的方程为，故D正确． 故选：ABD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 C. 已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知为坐标原点，向量，，，则点不能构成三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量加法的运算法则，线面角的定义，结合空间向量基底的性质、向量共线的意义可逐项判断即可. 【详解】对于A，由向量加法的三角形法则得，故A正确； 对于B，注意线面角的范围是，因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角为， 所以直线与平面所成的角为； 与两向量夹角的差为，即，故B错误； 对于C，假设不是空间一个基底， 那么存在实数使得成立． 因为是空间的一个基底，所以，该方程组没有实数解， 因此假设不成立，所以也是空间的一个基底, 故C正确； 对于D，由题意得，，则共线， 故点不能构成三角形，故D正确． 故选：ACD. 11. （多选）已知正方体的棱长为1，动点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面 B. 若，则与所成角的取值范围为 C. 若，则二面角的平面角为 D. 若，则三棱锥的体积为2 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出所需点的坐标，求解平面法向量，利用向量法依次分析各选项即可. 【详解】解： 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，可得，，，则，即． A选项：若，，即，则，，， 因为，，所以，，因为，所以平面．所以A选项正确. B选项：若，即，则，， 设与所成角为，，则 因为，所 以, 所以， 当且仅当时，右边不等式等号成立，令，，则，可得. 当且仅当时，左边不等式等号成立，令，，则，可得. 综上所述，，所以.所以B选项错误. C选项：当时，，则，设平面的法向量，则即取，可得，则． 易得平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，因为可判断是锐角，所以二面角的平面角为．所以C选项正确. D选项:设平面的法向量为，由，， 则即取，可得，，则是平面的一个法向量． 易知，设点到平面的距离为，则， 由，得，易知，则三棱锥的体积．所以D选项错误. 故选：. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（分） 12. 已知直线与直线垂直，则_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，，即，解得或. 故答案为：或. 13. 一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的一般式方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求点关于直线的对称点，连接,则直线即为所求. 【详解】设点关于直线的对称点为，则 ， 解得， 所以， 又点， 所以， 直线的方程为：， 由图可知，直线即为入射光线， 所以化简得入射光线所在直线的方程:. 故答案为：. 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】解：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. 因为点是棱的中点，所以.设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题（47分） 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．求： （1）顶点的坐标； （2）直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线的斜率得到直线的斜率，结合，得到直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标； （2）设，由中点坐标公式得到，将其代入直线中，求出，求出，从而结合（1），求出直线的方程. 【小问1详解】 由题意得直线的斜率为，所以直线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为，即， 因为直线的方程为， 由，解得，所以点的坐标是． 【小问2详解】 由题意，是线段的中点，且在直线上， 设，又，则． 由题意，点在直线上，则． 解得，则． 由（1）得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 16. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 17. 如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以，， 又，所以，，两两垂直， 以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以，所以. （2） （3）存在点，使得满足要求，此时 【解析】 【分析】（1）由平面，，得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过计算即可得证； （2）利用空间向量求直线与平面的所成角的方法计算，即可得到结果； （3）由空间向量的坐标运算以及二面角的公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量， 因为，， 所以，即， 令，则，，所以， 又，设直线BD与平面BEF所成角， 则. 【小问3详解】 假设存在，设，则， 所以， 设平面DHP的一个法向量，因为， 所以，即， 令，则，， 所以， 由（2）问可知：平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $