第一次月考卷-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

2025-2026学年九上数学第一次月考卷 考试范围：苏科版第1章、第2章（圆周角前部分） 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； B、方程整理可得，未知数的次数不是2，不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程． 故选：C． 2．的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题关键是掌握点与圆的位置关系． 根据点与圆的位置关系的意义，先找出点到圆心的距离与半径的关系，再作判断． 【详解】解：∵点P到圆心的距离为， 而O的半径为， ∴点P到圆心的距离等于圆的半径， ∴点P在圆上， 故选：B． 3．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，掌握根的判别式，利用判断根的情况是解题的关键； 当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出即可． 【详解】解：，，， ， ∴原方程无实数根． 故选：C． 4．如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵A，B，C是上的三点，， ∴． 故选：B 5．2018年海南成立自贸港后，大批外来人口来参与海南自贸港的建设，到2020年海南省的人口增加了150万，达到1000万，设这两年的年平均增长率为x，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用增长率问题，解决本题的关键是掌握增长率公式，正确列出式子．根据平均增长率公式：(a为增长前的量，b为增长后的量，n为增长次数，x是年平均增长率)即可列式． 【详解】解：由题意得2018年海南省的人口为（万）， 根据增长率公式：， 列式得：， 故选：B． 6．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键．由垂径定理可得的长度，再由勾股定理可得的长度，然后由即可得出答案． 【详解】解：∵于点E，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 7．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 8．已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．如图，在半径为的⊙O中，弦长．的度数 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆的性质，等边三角形的性质与判定，得出是等边三角形是解题的关键． 根据半径为，弦长，可以判断是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 10．若是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及求代数式的值．本题通过方程根的定义直接简化代数式，无需解方程求根，代入可得，进一步求出代数式的值，体现了整体求解的思想． 【详解】解：是方程的一个根， 代入可得，即， ． 故答案为：． 11．如图，四边形内接于，．则的度数是 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 12．在某种病毒的传播过程中，每轮1人平均会传染人，若最初2人感染该病毒，经过两轮传染，感染总人数达到人，则可列方程为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到列方程的等量关系是解决问题的关键．每轮1人平均会传染人，最初2人感染该病毒，可得出第一轮感染后总人数为人，第二轮感染后总人数为，根据两轮共有人感染列方程即可． 【详解】解：根据题意，列方程得： 故答案为： ． 13．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据 【详解】解：根据三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，然后作和的垂直平分线，如图： ， 通过图像可以明显得到和的垂直平分线交点坐标为：； 故答案为：； 14．设为两相异实数．满足的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值，先得出是一元二次方程的两个不相等的实数根，进而得出，再将分式进行化简后代入求值即可． 【详解】解：为两相异实数．满足， 是一元二次方程的两个不相等的实数根， 一元二次方程可化为， ， ， 故答案为：． 15．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 16．如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，取的中点，以为直径作，由直径可得，进而可得点在以为直径的上运动，当点、、三点共线时，有最小值，此时，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，以为直径作， 是直径， ， ， 点在以为直径的上运动， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，此时， ， ， ， 线段的最小值是 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 开方，得或， 解得：，； （2）解：, 移项，， 配方，得， 即， 开方，得或， 解得：，； （3）解：， 移项，得， 因式分解，得， 则或， 解得：，； （4）解：， 其中，，，， 所以， 所以，， 即，． 18．如图，已知，是的直径，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆心角相等是解题关键． 根据对顶角的性质，得，通过等弧所对的圆心角相等，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)该方程的另一个根为2 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 20．如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及圆周角定理，根据圆周角定理可得，，进而可求证结论，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：， ，， 是等边三角形． 21．阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径为 (2)此时水面的宽度为 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键. （1）连接，设半径，在中，利用勾股定理列方程求解. （2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF. 【详解】（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接． 是的中点，， 三点在一条直线上， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故主桥拱所在圆的半径为． （2）解：如图②，记桥下水面上升所在水面为，交于点G，连接． 由题意，得 , ． 在中，由勾股定理， 得, ． 故此时水面的宽度为． 22．服装店以每件30元的价格购进一批衬衣，以60元每件售出，每周能售出100件，经市场调查，衬衣单价每降1元，每周就能够多卖出10件． (1)若每件衬衣以50元售出，服装店每周的利润是多少？ (2)服装店每周的利润能达到4200元吗？若能，请求出每件衬衣的售价，若不能，请说明理由． 【答案】(1)服装店每周的利润是4000元 (2)每周的利润不能达到4200元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程与销售应用题，掌握根据题意列方程和解一元二次方程是解题的关键． （1）根据“衬衣单价每降1元，每周就能够多卖出10件”列出式子即可解答； （2）设每件衬衫的售价为x元，根据题意可得，解出方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， 周销售量（件）， 则每周利润（元）， 答：服装店每周的利润是4000元． （2）解：每周的利润不能达到4200元，理由如下： 设每件衬衫的售价为x元， 则周销售量件， 每周利润， 则 故无解， 综上所述，每周的利润不能达到4200元． 23． 如图，四边形内接于，点E在的延长线上，垂直平分，连接． (1)求证：． (2)连接 ，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型． （1）欲证明，只要证明即可． （2）连接，作点，点，求出，，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接，作点，点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 24．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 【答案】【理解应用】② 【类比迁移】 【拓展应用】；3；1或 【分析】本题考查整式乘法与几何图形，解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． [理解应用]：根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． [类比迁移]：根据材料提示，进行计算即可求出答案． [拓展应用]：先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】解：[理解应用] 变形为， 如图所示， 图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； [类比迁移]第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 故答案为：； [拓展应用]∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴， 解得，， 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为1； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为：或． 25．定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）； 若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________． 【深入探究】 （2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________； 若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（）不是，；（）；；（）；对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，见解析． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，解不等式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用，理解“美好点”的定义是解题的关键． （）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； 根据“美好点”的定义求出的值，即可得到答案； （）根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； 将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（）∵， ∴点不是“美好点”， ∵点是第四象限内的一个“美好点”， ∴， 解得：， 故答案为：不是，； （）∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线，得， 故答案为：； ∵第一象限内的“美好点”在直线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴满足条件的点的坐标为； （）∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， 由题意可得， ∴， ∴； 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，理由， ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九上数学第一次月考卷 考试范围：苏科版第1章、第2章（圆周角前部分） 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（   ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 3．一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4．如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（　 　） A． B． C． D． 5．2018年海南成立自贸港后，大批外来人口来参与海南自贸港的建设，到2020年海南省的人口增加了150万，达到1000万，设这两年的年平均增长率为x，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（   ） A．5 B．3 C．2 D．1.5 7．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 8．已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．如图，在半径为的⊙O中，弦长．的度数 ． 10．若是方程的一个根，则 ． 11．如图，四边形内接于，．则的度数是 12．在某种病毒的传播过程中，每轮1人平均会传染人，若最初2人感染该病毒，经过两轮传染，感染总人数达到人，则可列方程为 13．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则的外心坐标是 ． 14．设为两相异实数．满足的值是 ． 15．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 16．如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．如图，已知，是的直径，，，求的度数． 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 20．如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    21．阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 22．服装店以每件30元的价格购进一批衬衣，以60元每件售出，每周能售出100件，经市场调查，衬衣单价每降1元，每周就能够多卖出10件． (1)若每件衬衣以50元售出，服装店每周的利润是多少？ (2)服装店每周的利润能达到4200元吗？若能，请求出每件衬衣的售价，若不能，请说明理由． 23． 如图，四边形内接于，点E在的延长线上，垂直平分，连接． (1)求证：． (2)连接 ，若，，，求的长． 24．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______． 25．定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）； 若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________． 【深入探究】 （2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________； 若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． 求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； 对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$