第三单元 小数除法（知识梳理+24个考点讲练+真题演练+难度分层练 共63题）-2025-2026学年人教版数学五年级上册单元复习举一反三培优精讲练

第三单元 小数除法 （知识梳理+24个考点讲练+真题演练+难度分层练 共63题） 【原卷版】 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 2 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：除数是整数的小数除法 4 高频考点讲练2：除数是整数，需要补0的小数除法 5 高频考点讲练3：除数是整数，商小于1的小数除法 6 高频考点讲练4：除数是整数的小数除法的应用 8 高频考点讲练5：与小数点移动相关的和差倍问题 9 高频考点讲练6：除数是小数的小数除法 10 高频考点讲练7：除数是小数的小数除法的应用 10 高频考点讲练8：被除数和商的大小关系（小数除法） 11 高频考点讲练9：小数的连除运算 12 高频考点讲练10：小数的乘、除法混合运算 14 高频考点讲练11：小数的四则运算及法则 15 高频考点讲练12：小数除法相关的简便计算 16 高频考点讲练13：用“四舍五入”法求商的近似数 18 高频考点讲练14：判定被除数的最大值和最小值 19 高频考点讲练15：循环小数的认识与简写 20 高频考点讲练16：有限小数和无限小数的认识 21 高频考点讲练17：循环小数比大小 21 高频考点讲练18：循环小数和周期性规律综合问题 22 高频考点讲练19：用计算器探究规律 23 高频考点讲练20：用归纳法解决计算器探索规律问题 24 高频考点讲练21：用“进一法”解决问题 25 高频考点讲练22：用“去尾法”解决问题 26 高频考点讲练23：利用小数四则混合运算解决问题 27 高频考点讲练24：分段计费问题（小数除法) 29 升学真题 实战演练 30 优选题型 培优强化 33 基础夯实 能力提升 33 创新拓展 拔尖冲刺 35 同学你好，该份讲义用于人教版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：小数除法计算 1、除数是整数的小数除法 （1）计算方法：按照整数除法的法则计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商的整数部分写“0”，点上小数点后继续除；若除到被除数末尾仍有余数，在余数末尾添“0”继续除。 （2）算理本质：将被除数看成“几个十分之一”“几个百分之一”，转化为整数除法。 【技巧点拨】 （1）商的小数点对齐是关键：避免将商的小数点与除数的小数点对齐。 （2）整数部分不够除需写“0”。 （3）余数添“0”继续除，不能漏添“0”导致商不完整。 2、一个数除以小数 （1）计算方法：看除数有几位小数，就把除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数；同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（若被除数位数不足，用“0”补足）；按“除数是整数的小数除法”计算。 （2）算理依据：商不变的性质——被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。 【技巧点拨】 （1）除数和被除数的小数点移动位数必须相同。 （2）被除数位数不足用“0”补。 知识点梳理02：商的近似数 求近似数的方法：根据题目要求的“保留位数”，除到比保留位数多一位，再用“四舍五入法”取近似值。 【技巧点拨】 （1）除到“多一位”是前提：若要求保留一位小数，需除到小数点后第二位；保留两位小数，除到第三位，不能提前停止计算。 （2）“四舍五入”规则要牢记：看“保留位数的下一位”，小于5舍去，大于或等于5进1。 （3）近似数用“≈”连接。 （4）结合实际确定保留位数。 知识点梳理03：循环小数 1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2、循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3、有限小数：小数部分的位数有限的小数； 无限小数：小数部分的位数无限的小数。 4、循环小数一定是无限小数。 【技巧点拨】 （1）只有“依次不断重复”的数字才是循环节。 （2）循环节标记要准确：若循环节是多个数字，需在首位和末位各点一个点；若循环节是单个数字，在该数字上点一个点即可。 （3）循环小数的近似值：取循环小数的近似数时需除到比保留位数多一位，再用四舍五入法。 知识点梳理04：解决问题 1、用 “进一法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分不够1，也要向整数部分进1，确保“所有物品都能被容纳或完成任务”。 （2）适用场景：装东西（如装水、装粮食）、运输货物、分配容器等“必须将物品全部装完或运完”的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“进一”的必要性：只有当“剩余部分也需要1个单位”时才用进一法，不能随意使用。 （2）结果必须是整数：进一法的结果是比精确商大的最小整数。 （3）避免与“四舍五入”混淆。 2、用 “去尾法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分接近1，也要舍去小数部分，只保留整数部分，确保 “物品数量为完整的个体”。 （2）适用场景：做衣服、裁布料、做蛋糕、剪绳子等“需要完整个体，剩余材料不够做1个” 的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“去尾”的合理性：只有当“剩余部分不够做1个完整个体”时才用去尾法，不能盲目舍去。 （2）结果必须是整数：去尾法的结果是比精确商小的最大整数。 （3）与“进一法”的场景区分：装东西用进一法（需全部装完），做东西用去尾法（需完整个体），避免混淆（如“用瓶子装水”用进一法，“用布做衣服”用去尾法）。 高频考点讲练1：除数是整数的小数除法 【典例精讲】（2025五年级上·海南海口·专题练习）妈妈买了一箱牛奶共12盒，交给售货员50元，找回4.4元，平均每盒牛奶多少元？ 分析与解答：把下图补充完整，再解答。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）周末乐乐和爸爸妈妈一起去游乐园，买门票共用了458.5元。游乐园1张成人票的价钱与3张儿童票的价钱相等。1张成人票和1张儿童票各多少钱？（乐乐买儿童票） 高频考点讲练2：除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·河南焦作·期末）修建一条长1180米的公路，甲、乙两个工程队同时从公路两端往中间施工，8天刚好修完。甲队每天修80米，乙队每天修多少米？ 【变式训练】（24-25五年级上·河北保定·期末）中老年运动会上，刘大伯、李大伯参加了全程1.5千米的长跑比赛，跑完全程刘大伯用了9.7分钟，李大伯比刘大伯多用2.3分钟。李大伯平均每分钟跑多少千米？ 高频考点讲练3：除数是整数，商小于1的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）用竖式计算，带★题得数保留两位小数，带※题要验算。 ★3.14×0.62≈        ※18.72÷26＝ 【变式训练】（24-25五年级上·北京延庆·期末）计算，小睿想到了下面三种方法，正确的是（    ）。 A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 高频考点讲练4：除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）妈妈拿了一个容量为15L的桶去楼下接水。接水前显示卡内余额为46.8元，接了9L水后，显示卡内余额为44.1元。 (1)接1L水需要多少元？ (2)你还能提出其他数学问题并解答吗？ 【变式训练】（24-25五年级上·湖南怀化·期中）为积极响应国家节能环保政策，某车企研发出一款纯电动汽车。该款电动汽车行驶100km耗电量为16千瓦时，平均行驶1km耗电( )千瓦时，平均每千瓦时电可以行驶( )km。 高频考点讲练5：与小数点移动相关的和差倍问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北武汉·期中）甲乙两数的和是28.6，如果把甲数的小数点向左移动一位，就等于乙数，那么甲数是多少？ 【变式训练】（20-21四年级下·全国·单元测试）有一个四位整数，在某一位的数字前点上小数点，变成小数后，再与原整数相加，和是4003.64，求原数是多少？ 高频考点讲练6：除数是小数的小数除法 【典例精讲】（25-26五年级上·海南海口·单元测试）一只毛毛虫4分钟爬行1.6米，平均每分爬行( )米，爬行1米需要( )分钟。 【变式训练】（2025五年级上·海南海口·专题练习）下列算式中，与“15.6÷0.4”结果相同的是（    ）。 A．156÷4 B．1.56÷4 C．156÷0.04 高频考点讲练7：除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋中·期末）元旦假期，笑笑一家打算驾驶电动汽车从太谷出发到太原晋祠游玩，单程42.2千米。临行前爸爸看到电动汽车还剩余20度的电。这辆电动汽车平均每公里耗电量约是0.18度。请你算一算，剩余电量能保证顺利返回太谷吗？ 【变式训练】（24-25五年级上·重庆巫山·期末）近年来，新能源汽车在全国各地被推广应用，新能源汽车主要有三类，纯电动、插电式混合动力和燃料电池电动。已知一辆新能源汽车0.5小时行驶50千米，这辆汽车平均每小时行驶( )千米；每行驶1千米需要( )小时。 高频考点讲练8：被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】（23-24五年级上·新疆昌吉·期末）不计算，直接在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 0.5÷0.9( )0.5                   5.5×0.9( )5.75 36÷0.01( )3.6×100              7.8÷0.3( )78÷3 【变式训练】（24-25五年级上·河南洛阳·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5.78×0.99( )5.78     0.99×1.01( )1.01         3.8×100( )3.8÷0.01 高频考点讲练9：小数的连除运算 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆巫山·期末）能简算的要简算。 3.6＋6.4÷0.8                    6.27×11－6.27 1.25×32×2.5                    8.95÷2.5÷0.4 【变式训练】（24-25五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                   高频考点讲练10：小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】（24-25五年级上·北京西城·期末）脱式计算。（能简算的可以简算） （1）1.5×3.08÷0.4           （2）2.5×0.89×4 （3）2.3×3.6＋3.6×7.7         （4）（17.22－1.4×7.8）÷6 【变式训练】（24-25五年级上·贵州黔东南·期末）给长方形房间铺地砖，地面长8米、宽4米，每块地砖的面积是0.64平方米，每块地砖的价格是15.5元。铺满房间地面一共需要多少钱？ 高频考点讲练11：小数的四则运算及法则 【典例精讲】（2025五年级上·海南海口·专题练习）计算下面各题，能简算的要用简便方法计算。 ①    ②    ③ 【变式训练】（24-25五年级上·重庆·期末）计算下面各题，怎样简便怎样算。 1.25×3.2×2.5        1.08×0.8÷0.27         3.47×10.1－0.347 高频考点讲练12：小数除法相关的简便计算 【典例精讲】（24-25五年级上·河南南阳·期末）计算下面各题，能简算的用简便运算。 （1）（31.6－11.7）÷2.5÷0.4      （2）23.8×101－23.8        （3）56×1.25 【变式训练】（24-25五年级上·江西吉安·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 （1）2.96×40÷0.296           （2）2.02×8.5 （3）1.2×2.5＋0.8×2.5         （4）7.8÷0.125÷80 高频考点讲练13：用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆·期末）竖式计算，带※小题的结果精确到百分位，带▲的小题要验算。 0.27×0.15＝           ※5.63÷6.1≈          ▲0.464÷0.58＝ 【变式训练】（2025五年级上·全国·专题练习）( )（保留两位小数），保留一位小数是( )。 高频考点讲练14：判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（23-24五年级上·湖北十堰·期中）一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2，被除数最大是( )。 【变式训练】（22-23五年级上·广东佛山·阶段练习）一个数除以1.7，商是两位小数。商保留一位小数是4.3，被除数最小是多少？ 高频考点讲练15：循环小数的认识与简写 【典例精讲】（2025五年级上·海南海口·专题练习）8.3252525…用简便写法是( )，它的循环节是( )，保留两位小数是( )。 【变式训练】（24-25五年级上·重庆·期末）观察算式：1÷x＝0.0909…，2÷x＝0.1818…，3÷x＝0.2727…，照这样的规律，6÷x＝( )，9÷x＝( )。（此空用循环小数表示） 高频考点讲练16：有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·四川内江·期中）在7.237237…，3.77856…，0.3838，，，6，8.36666…，0.0007中，有限小数有( )个，无限小数有( )个，循环小数有( )个。 【变式训练】（24-25五年级上·四川广元·期中）在小数5.1，3.131313，0.808080……，4.605，7.9999，3.4567……中，循环小数有_____个，有限小数有_____个。横线上依次应填（    ）。 A．1；4 B．4；2 C．5；1 D．3；3 高频考点讲练17：循环小数比大小 【典例精讲】（24-25五年级上·广东东莞·期末）在3.030303，3.666，3.03，3.1415926…，，3.0001这几个数中，循环小数有( )个，循环小数中最小的数是( )。 【变式训练】（24-25五年级上·湖南娄底·期中）在0.8787，0.87，和0.878中，最大的是（    ）。 A．0.8787 B．0.87 C．0.878 高频考点讲练18：循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）循环小数2.036036036…用简便记法表示为( )，它的小数部分第100位上的数字是( )。 【变式训练】（24-25五年级上·广东河源·期末）0.312312…是( )小数，简记法写作( )，小数部分第50位上的数字是( )。 高频考点讲练19：用计算器探究规律 【典例精讲】（23-24五年级上·全国·周测）先用计算器计算每组的前三个算式，找出规律后，再填写。 9×7＝( )        9×9＋7＝( ) 9.9×7.7＝( )        98×9＋6＝( ) 9.99×77.7＝( )        987×9＋5＝( ) 9.999×777.7＝( )        9876×9＋4＝( ) 9.9999×7777.7＝( )    ( )×9＋( )＝( ) 【变式训练】（23-24五年级上·福建厦门·期中）聪聪用计算器计算下面的题：1÷9.9＝0.10101……，2÷9.9＝0.20202……，3÷9.9＝0.30303……，根据这个规律7÷9.9＝（    ）。 A．0.40404…… B．0.60606…… C．0.70707…… D．0.80808…… 高频考点讲练20：用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】（24-25五年级上·北京西城·期末）先找规律，再填空。 44.22÷6.6＝6.7 444.222÷6.66＝66.7 4444.2222÷6.666＝666.7 … 444444.222222÷6.66666＝( ) 【变式训练】（23-24五年级上·河南周口·期中）观察下面算式，运用规律填空。 1.07÷9＝ 11.06÷9＝ 111.05÷9＝ 1111.04÷9＝( ) ( )÷9＝( ) ( )÷9＝( ) 高频考点讲练21：用“进一法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·贵州黔东南·期末）一个空瓶子可以装0.5kg色拉油，李师傅要把7.6kg的色拉油装在这样的瓶子里，至少需要（    ）个这样的瓶子。 A．13 B．14 C．15 D．16 【变式训练】（24-25五年级上·重庆巴南·期末）每个纸箱最多可以装15kg脐橙，果农们要将250kg脐橙分装在这些纸箱里，至少需要准备( )个这样的纸箱。如果要让准备的纸箱全部装满，还需要再增加( )kg脐橙。 高频考点讲练22：用“去尾法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南长沙·期末）学校后勤部的刘老师要购买一些节能灯，每个节能灯7.4元，刘老师带了400元，最多能买( )个节能灯。要把买到的这些节能灯每4个装一盒，至少需要( )个盒子。 【变式训练】（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）李老师买了一袋重2.5千克的面粉。如果面粉的单价是10.5元/千克，那么李老师应付( )元；如果每制作一个蛋糕需要0.32千克面粉，那么李老师最多可以做( )个这种蛋糕。 高频考点讲练23：利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·广西南宁·期末）代驾是指当车主不能自行开车时，由专业驾驶人员代替车主驾驶汽车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表。 时段 8千米及以内 超过8千米的部分 备注 6：00—21：59 35元 3.5元/千米 行程不足1千米，按1千米计算 22：00—次日6：59 58元 4.5元/千米 叔叔参加聚会22：30结束时，在该平台预约了代驾服务。到达目的地后，他付了89.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【变式训练】（24-25五年级上·重庆巴南·期末）在外游玩，手机需要使用移动数据，小李妈妈办理了每月158元的话费套餐，具体计费标准如下。 158元套餐包含 国内主叫300分钟，接听免费；流量40GB（当月剩余流量，可结转至次月使用）。 超出部分 超出套餐包含的部分后，国内主叫0.15元/分钟，流量5元/GB。 （1）11月份她一共使用流量33GB（10月份未剩余流量），国内主叫460分钟。她11月的话费账单一共是多少钱？ （2）12月份她的话费账单是183元，国内主叫290分钟。算上11月份剩余的流量，这个月她一共用了多少GB流量？ 高频考点讲练24：分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙、丙、丁四人去天安门广场看升旗仪式。回家时合租一辆出租车，出租车的起步价为13元（包含3千米）。四人按如图位置下车，丁最后付了全部车费共47.5元。按公平的方式分摊车费，甲应付多少元？ 【变式训练】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 档位 电量（度/年） 电费单价 第一档 2160度及以下 约0.57元/度 第二档 2160度（不含）~4800度（包含） 约0.62元/度 第三档 4801度及以上 约0.87元/度 （1）小宁家2023年用电2000度，电费是多少？ （2）小佳家2023年的电费1293.2元，她家用电量是多少？ 【演练1】（2023·贵州黔西·小升初真题）一间教室用边长是0.6米的方砖铺地，要用160块。现在改用边长是0.8米的方砖铺，要用多少块？ 【演练2】（2024·湖北十堰·小升初真题）甲乙两人分别从相距500米A、B两地同时出发不断往返，甲速度为每分钟80米，乙速度为每分钟120米，出发半小时内，两人一共相遇 次。 【演练3】（2024·云南昭通·小升初真题）为传承优秀传统文化，丰富校园文化生活，学校举行“唱经典•演经典”文艺汇演活动。7位评委给六（1）班合唱队的打分如下：9.85、9.75、9.6、9.6、9.6、9.45、9.0.本次的评分是按照“去掉一个最高分，去掉一个最低分，再求平均分”的规则评分，六（1）班合唱队的平均分是( )分。请对这种评分规则作出合理解释：( )。 【演练4】（2024·北京西城·小升初真题）新疆“独库公路”是连接北疆和南疆的重要通道，也是纵贯天山脊梁的景观大道。公路分为北段、中段和南段三个部分，情况如下。 路段 北段 中段 南段 路程/km 230 61 ？ 小明一家自驾游，在独库公路北段游览用了4.6小时，照这个速度，游览南段用了5.4小时。独库公路南段的路程是多少千米？ 【演练5】（2024·重庆涪陵·小升初真题）中国自主研发的标准动车组“复兴号”达到了世界先进水平，从北京到A市全程约490千米，仅需1.4小时到达。照这样计算，北京到B市全程约1400千米，需要几小时到达？ 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级上·山西晋中·期末）下面是三名同学计算0.6÷0.12的方法，其中方法正确的有（    ）。 A．小乐和小静 B．小乐和小军 C．小静和小军 2．（25-26五年级上·全国·单元测试）连线课堂·运算的应用 （1）用计算器计算下面各题，你发现了什么。 5÷111＝（ ）     7÷111＝（ ）     9÷111＝（ ） （2）不计算，用发现的规律直接写出下面几题的商。 12÷111＝（ ） 15÷111＝（ ） 17÷111＝（ ） 我发现：它们的商的整数部分都是（    ），商都是（    ）小数，循环节有（    ）个数字，都是被除数的（    ）倍。 3．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）在、、中，最大的数是。( )（判断对错） 4．（2025五年级上·全国·专题练习）直接写出得数。 ①    ②    ③    ④ ⑤    ⑥    ⑦    ⑧ 5．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）周末，小丽回老家看望爷爷。回到老家，就看到屋里有一大桶花生油，原来是爷爷挑花生榨油了。爷爷说：“这些花生油刚好63千克，爷爷想把这些油分装到小桶中，每个小桶最多能装7.5千克油，给你爸、你叔和小姑等人。”爷爷问小丽：“至少要准备多少个小桶，才能把油装完？” 创新拓展 拔尖冲刺 6．（2025五年级上·海南海口·专题练习）超市促销，每瓶饮料4.5元，买4瓶送1瓶。妈妈用50元最多能买（    ）瓶。 A．11 B．12 C．13 7．（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）当除数大于1时，商大于被除数；当除数小于1时，商小于被除数。( )（判断对错） 8．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）计算下面各题，能简算的要简算。                   9．（25-26五年级上·全国·单元测试）奇奇暑假和父母乘邮轮游三峡，领略壮丽的自然风光。行至宜昌时，邮轮逆流而上。若邮轮的静水速度是38.4千米/时，水流速度是1.6千米/时，逆流段全长660千米，行驶完这段路程大约需要多长时间？（结果保留两位小数） 10．（23-24五年级上·广东东莞·期中）东莞市为鼓励居民节约用水，实行按月分段计费的方法收取水费。收费标准如图：（其中不足1吨按1吨计算） 阶梯 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 居民用水量 22吨及以下 23～40吨 41吨以上 计费单价 1.72元/吨 2.58元/吨 5.16元/吨 （1）小明家上个月的用水量为19.6吨，应缴水费多少元？ （2）小红家上个月的用水量为24吨，应缴水费多少元？ （3）小刚家上个月的水费是68.8元，则他家用水多少吨？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三单元 小数除法 （知识梳理+24个考点讲练+真题演练+难度分层练 共63题） 【解析版】 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 2 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：除数是整数的小数除法 4 高频考点讲练2：除数是整数，需要补0的小数除法 5 高频考点讲练3：除数是整数，商小于1的小数除法 6 高频考点讲练4：除数是整数的小数除法的应用 8 高频考点讲练5：与小数点移动相关的和差倍问题 9 高频考点讲练6：除数是小数的小数除法 10 高频考点讲练7：除数是小数的小数除法的应用 10 高频考点讲练8：被除数和商的大小关系（小数除法） 11 高频考点讲练9：小数的连除运算 12 高频考点讲练10：小数的乘、除法混合运算 14 高频考点讲练11：小数的四则运算及法则 15 高频考点讲练12：小数除法相关的简便计算 16 高频考点讲练13：用“四舍五入”法求商的近似数 18 高频考点讲练14：判定被除数的最大值和最小值 19 高频考点讲练15：循环小数的认识与简写 20 高频考点讲练16：有限小数和无限小数的认识 21 高频考点讲练17：循环小数比大小 21 高频考点讲练18：循环小数和周期性规律综合问题 22 高频考点讲练19：用计算器探究规律 23 高频考点讲练20：用归纳法解决计算器探索规律问题 24 高频考点讲练21：用“进一法”解决问题 25 高频考点讲练22：用“去尾法”解决问题 26 高频考点讲练23：利用小数四则混合运算解决问题 27 高频考点讲练24：分段计费问题（小数除法) 29 升学真题 实战演练 30 优选题型 培优强化 33 基础夯实 能力提升 33 创新拓展 拔尖冲刺 35 同学你好，该份讲义用于人教版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：小数除法计算 1、除数是整数的小数除法 （1）计算方法：按照整数除法的法则计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若被除数的整数部分不够除，商的整数部分写“0”，点上小数点后继续除；若除到被除数末尾仍有余数，在余数末尾添“0”继续除。 （2）算理本质：将被除数看成“几个十分之一”“几个百分之一”，转化为整数除法。 【技巧点拨】 （1）商的小数点对齐是关键：避免将商的小数点与除数的小数点对齐。 （2）整数部分不够除需写“0”。 （3）余数添“0”继续除，不能漏添“0”导致商不完整。 2、一个数除以小数 （1）计算方法：看除数有几位小数，就把除数的小数点向右移动几位，使除数变成整数；同时将被除数的小数点也向右移动相同的位数（若被除数位数不足，用“0”补足）；按“除数是整数的小数除法”计算。 （2）算理依据：商不变的性质——被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。 【技巧点拨】 （1）除数和被除数的小数点移动位数必须相同。 （2）被除数位数不足用“0”补。 知识点梳理02：商的近似数 求近似数的方法：根据题目要求的“保留位数”，除到比保留位数多一位，再用“四舍五入法”取近似值。 【技巧点拨】 （1）除到“多一位”是前提：若要求保留一位小数，需除到小数点后第二位；保留两位小数，除到第三位，不能提前停止计算。 （2）“四舍五入”规则要牢记：看“保留位数的下一位”，小于5舍去，大于或等于5进1。 （3）近似数用“≈”连接。 （4）结合实际确定保留位数。 知识点梳理03：循环小数 1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2、循环节：一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3、有限小数：小数部分的位数有限的小数； 无限小数：小数部分的位数无限的小数。 4、循环小数一定是无限小数。 【技巧点拨】 （1）只有“依次不断重复”的数字才是循环节。 （2）循环节标记要准确：若循环节是多个数字，需在首位和末位各点一个点；若循环节是单个数字，在该数字上点一个点即可。 （3）循环小数的近似值：取循环小数的近似数时需除到比保留位数多一位，再用四舍五入法。 知识点梳理04：解决问题 1、用 “进一法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分不够1，也要向整数部分进1，确保“所有物品都能被容纳或完成任务”。 （2）适用场景：装东西（如装水、装粮食）、运输货物、分配容器等“必须将物品全部装完或运完”的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“进一”的必要性：只有当“剩余部分也需要1个单位”时才用进一法，不能随意使用。 （2）结果必须是整数：进一法的结果是比精确商大的最小整数。 （3）避免与“四舍五入”混淆。 2、用 “去尾法” 解决实际问题 （1）核心思路：在实际问题中，即使商的小数部分接近1，也要舍去小数部分，只保留整数部分，确保 “物品数量为完整的个体”。 （2）适用场景：做衣服、裁布料、做蛋糕、剪绳子等“需要完整个体，剩余材料不够做1个” 的场景。 【技巧点拨】 （1）明确“去尾”的合理性：只有当“剩余部分不够做1个完整个体”时才用去尾法，不能盲目舍去。 （2）结果必须是整数：去尾法的结果是比精确商小的最大整数。 （3）与“进一法”的场景区分：装东西用进一法（需全部装完），做东西用去尾法（需完整个体），避免混淆（如“用瓶子装水”用进一法，“用布做衣服”用去尾法）。 高频考点讲练1：除数是整数的小数除法 【典例精讲】（2025五年级上·海南海口·专题练习）妈妈买了一箱牛奶共12盒，交给售货员50元，找回4.4元，平均每盒牛奶多少元？ 分析与解答：把下图补充完整，再解答。 【答案】图见详解；3.8元 【思路引导】首先明确已知条件，共买12盒牛奶，付了50元，找回4.4元。要求平均每盒牛奶的价格，需要先算出买12盒牛奶花的总钱数，即付的钱数减去找回的钱数，再用总钱数÷盒数，据此解答。 【规范解答】 买12盒牛奶花的钱数：50－4.4＝45.6（元） 平均每盒牛奶的价格：45.6÷12＝3.8（元） 答：平均每盒牛奶3.8元。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）周末乐乐和爸爸妈妈一起去游乐园，买门票共用了458.5元。游乐园1张成人票的价钱与3张儿童票的价钱相等。1张成人票和1张儿童票各多少钱？（乐乐买儿童票） 【答案】458.5÷（3＋3＋1）＝65.5（元） 65.5×3＝196.5（元） 1张成人票196.5元，1张儿童票65.5元。 【思路引导】由题意知，1张成人票与3张儿童票的价钱相等，则爸爸和妈妈相当与（3+3）张儿童票，加上乐乐则相当于一共7张门票价钱共458.5元，即可求出一张儿童单价=总价÷数量，成人票单价=儿童票单价×3。 【规范解答】458.5÷（3+3+1）=65.5（元） 65.5×3=196.5（元） 答：一张成人票196.5元，一张儿童票65.5元。 高频考点讲练2：除数是整数，需要补0的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·河南焦作·期末）修建一条长1180米的公路，甲、乙两个工程队同时从公路两端往中间施工，8天刚好修完。甲队每天修80米，乙队每天修多少米？ 【答案】67.5米 【思路引导】已知甲、乙两个工程队同时修一条长1180米的公路，8天刚好修完，用这条公路的全长除以修的天数，求出甲、乙两队每天修路的长度之和，再减去甲队每天修路的长度，即是乙队每天修路的长度。 【规范解答】1180÷8－80 ＝147.5－80 ＝67.5（米） 答：乙队每天修67.5米。 【变式训练】（24-25五年级上·河北保定·期末）中老年运动会上，刘大伯、李大伯参加了全程1.5千米的长跑比赛，跑完全程刘大伯用了9.7分钟，李大伯比刘大伯多用2.3分钟。李大伯平均每分钟跑多少千米？ 【答案】0.125千米/分 【思路引导】根据题意可知，刘大伯用了9.7分钟，李大伯比刘大伯多用2.3分钟，所以李大伯用时（9.7＋2.3）分钟，再根据速度＝路程÷时间，代入数据即可求出李大伯平均每分钟跑多少千米。 【规范解答】1.5÷（9.7＋2.3） ＝1.5÷12 ＝0.125（千米/分） 答：李大伯平均每分钟跑0.125千米。 高频考点讲练3：除数是整数，商小于1的小数除法 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）用竖式计算，带★题得数保留两位小数，带※题要验算。 ★3.14×0.62≈        ※18.72÷26＝ 【答案】1.95；0.72 【思路引导】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 根据“四舍五入”法求积的近似数，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 除法可以根据“商×除数＝被除数”进行验算。 【规范解答】★3.14×0.62≈1.95         ※18.72÷26＝0.72              验算： 【变式训练】（24-25五年级上·北京延庆·期末）计算，小睿想到了下面三种方法，正确的是（    ）。 A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【思路引导】方法①把被除数4.5加上单位米，转化为45分米，就变成了整数除法45÷5＝9（分米），再把9分米转化为0.9米，所以的答案是0.9；方法②被除数扩大10倍，除数不变，要想保持算式最后结果不变，商应该要缩小为原来的；方法③的竖式计算中，4除以5不能商应该写0占位，同时也该把商和被除数的小数点对齐；据此解答即可 【规范解答】4.5÷5＝0.9 4.5米＝45分米 45÷5＝9（分米）   9分米＝0.9米 所以方法①正确； 4.5÷5＝0.9 4.5×10＝45   45÷5＝9   9÷10＝0.9 所以方法②正确； 所以方法③错误； 故答案为：B 高频考点讲练4：除数是整数的小数除法的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）妈妈拿了一个容量为15L的桶去楼下接水。接水前显示卡内余额为46.8元，接了9L水后，显示卡内余额为44.1元。 (1)接1L水需要多少元？ (2)你还能提出其他数学问题并解答吗？ 【答案】(1)（46.8－44.1）÷9＝0.3（元） (2)示例：接满这桶水，卡内还剩多少元？ 46.8－15×0.3＝42.3（元） 【思路引导】（1）由题意知，接水前余额为46.8元，接水后余额为44.1元，两次余额相减即可求出9L对应花的总钱，然后求1L水的单价=总价÷数量； （2）开放性提问，只要符合题意即可。 【规范解答】（1）（46.8-44.1）÷9           =2.7÷9           =0.3（元 ） 答：接1L水需要0.3元。 （2）接满这桶水，卡内还剩多少元？       46.8-15×0.3     =46.8-4.5    =42.3（元） 答：接满这桶水，卡内还剩42.3元。 【变式训练】（24-25五年级上·湖南怀化·期中）为积极响应国家节能环保政策，某车企研发出一款纯电动汽车。该款电动汽车行驶100km耗电量为16千瓦时，平均行驶1km耗电( )千瓦时，平均每千瓦时电可以行驶( )km。 【答案】 0.16 6.25 【思路引导】根据除法的意义，求平均行驶1千米耗电多少千瓦时，用耗电量除以行驶的路程即可解答；求平均每千瓦时电可以行驶多少千米，用行驶的路程除以耗电量。 【规范解答】16÷100＝0.16（千瓦时） 100÷16＝6.25（km） 所以平均行驶1km耗电0.16千瓦时，平均每千瓦时电可以行驶6.25km。 高频考点讲练5：与小数点移动相关的和差倍问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北武汉·期中）甲乙两数的和是28.6，如果把甲数的小数点向左移动一位，就等于乙数，那么甲数是多少？ 【答案】26 【思路引导】分析题目，把甲数的小数点向左移动一位就等于乙数，把一个数的小数点向左移动一位就相当于把这个数缩小到原来的十分之一，据此可知甲数相当于乙数的10倍，把乙数看作1倍，则甲数就是10倍，所以28.6就是乙数的（10＋1）倍，据此用除法求出乙数，再用乙数乘10即可得到甲数。 【规范解答】28.6÷（10＋1） ＝28.6÷11 ＝2.6 2.6×10＝26 答：甲数是26。 【变式训练】（20-21四年级下·全国·单元测试）有一个四位整数，在某一位的数字前点上小数点，变成小数后，再与原整数相加，和是4003.64，求原数是多少？ 【答案】3964 【思路引导】根据题意，这个小数和原来的四位数相加，得数是4003.64，那么得到的小数是两位小数。则四位数是这个小数的100倍，即这个小数的（100＋1）倍是4003.64，由此用除法求出这个小数，进而求出这个四位数。 【规范解答】4003.64÷（100＋1） ＝4003.64÷101 ＝39.64 39.64×100＝3964 答：这个四位数是3964。 【考点剖析】根据题意，求出两个数的和与倍数之间的关系，然后再根据和倍公式：两数之和÷（倍数＋1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数。 高频考点讲练6：除数是小数的小数除法 【典例精讲】（25-26五年级上·海南海口·单元测试）一只毛毛虫4分钟爬行1.6米，平均每分爬行( )米，爬行1米需要( )分钟。 【答案】 0.4 2.5 【思路引导】根据速度公式：速度＝路程÷时间，已知路程是1.6米，时间是4分钟，可得平均每分钟爬行多少米；根据“时间÷路程”的逻辑，已知爬1.6米用了4分钟，即可求出爬1米需要多少分钟。 【规范解答】（米） （分钟） 因此一只毛毛虫4分钟爬行1.6米，平均每分钟爬行0.4米，爬行1米需要2.5分钟。 【变式训练】（2025五年级上·海南海口·专题练习）下列算式中，与“15.6÷0.4”结果相同的是（    ）。 A．156÷4 B．1.56÷4 C．156÷0.04 【答案】A 【思路引导】根据“被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变”，把选项中各除法算式的除数转化为0.4，再找出和题目中算式相同的选项，据此解答。 【规范解答】A．156÷4＝（156÷10）÷（4÷10）＝15.6÷0.4，与“15.6÷0.4”结果相同； B．1.56÷4＝（1.56÷10）÷（4÷10）＝0.156÷0.4，与“15.6÷0.4”结果不相同； C．156÷0.04＝（156×10）÷（0.04×10）＝1560÷0.4，与“15.6÷0.4”结果不相同。 故答案为：A 高频考点讲练7：除数是小数的小数除法的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋中·期末）元旦假期，笑笑一家打算驾驶电动汽车从太谷出发到太原晋祠游玩，单程42.2千米。临行前爸爸看到电动汽车还剩余20度的电。这辆电动汽车平均每公里耗电量约是0.18度。请你算一算，剩余电量能保证顺利返回太谷吗？ 【答案】能 【思路引导】用电动汽车剩余的20度电除以平均每公里的耗电量，求出20度电可以跑多少千米，再用太谷到晋祠的单程路程乘2求出太谷到晋祠的往返路程，再和20度电可以跑的路程进行比较即可解答。 【规范解答】20÷0.18≈111（千米） 42.2×2＝84.4（千米） 84.4＜111 答：剩余电量能保证顺利返回太谷。 【变式训练】（24-25五年级上·重庆巫山·期末）近年来，新能源汽车在全国各地被推广应用，新能源汽车主要有三类，纯电动、插电式混合动力和燃料电池电动。已知一辆新能源汽车0.5小时行驶50千米，这辆汽车平均每小时行驶( )千米；每行驶1千米需要( )小时。 【答案】 100 0.01 【思路引导】求这辆汽车平均每小时行驶多少千米，用汽车行驶的路程除以时间即可； 求每行驶1千米需要的时间，用汽车行驶的时间除以路程即可。 【规范解答】50÷0.5＝100（千米） 0.5÷50＝0.01（小时） 所以这辆汽车平均每小时行驶100千米，每行驶1千米需要0.01小时。 高频考点讲练8：被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】（23-24五年级上·新疆昌吉·期末）不计算，直接在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 0.5÷0.9( )0.5                   5.5×0.9( )5.75 36÷0.01( )3.6×100              7.8÷0.3( )78÷3 【答案】 ＞ ＜ ＞ ＝ 【思路引导】（1）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； （2）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （3）一个数（0除外）除以0.01等于这个数乘100； （4）商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。 【规范解答】（1）0.9＜1，所以0.5÷0.9＞0.5； （2）0.9＜1，则5.5×0.9＜5.5，5.5＜5.75，所以5.5×0.9＜5.75； （3）36÷0.01＝36×100，36＞3.6，所以36÷0.01＞3.6×100； （4）7.8÷0.3＝（7.8×10）÷（0.3×10）＝78÷3，所以7.8÷0.3＝78÷3。 【变式训练】（24-25五年级上·河南洛阳·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5.78×0.99( )5.78     0.99×1.01( )1.01         3.8×100( )3.8÷0.01 【答案】 ＜ ＜ ＝ 【思路引导】一个非0数，乘大于1的数，积大于这个数；一个非0数，乘小于1的数，积小于这个数；第一、二小题据此解答。 计算出算式两边的结果，再进行比较，第三小题据此解答。 【规范解答】5.78×0.99和5.78 因为0.99＜1，所以5.78×0.99＜5.78 0.99×1.01和1.01 因为0.99＜1，所以0.99×1.01＜1.01 3.8×100＝380；3.8÷0.01＝380 因为380＝380，所以3.8×100＝3.8÷0.01 高频考点讲练9：小数的连除运算 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆巫山·期末）能简算的要简算。 3.6＋6.4÷0.8                    6.27×11－6.27 1.25×32×2.5                    8.95÷2.5÷0.4 【答案】（1）11.6；（2）62.7 （3）100；（4）8.95 【思路引导】（1）先计算除法，再计算加法； （2）可以把后面一个6.27看作是（6.27×1），再根据乘法分配律进行简算； （3）把32写成（8×4）形式，再根据乘法结合律进行简算，即（1.25×8）与（4×2.5）所得积再相乘； （4）根据除法的性质，计算连续除以两个数，可以看作除以这两个数的乘积。 【规范解答】（1）3.6＋6.4÷0.8 ＝3.6＋8 ＝11.6 （2）6.27×11－6.27 ＝6.27×11－6.27×1 ＝6.27×（11－1） ＝6.27×10 ＝62.7 （3）1.25×32×2.5 ＝1.25×8×4×2.5 ＝（1.25×8）×（4×2.5） ＝10×10 ＝100 （4）8.95÷2.5÷0.4 ＝8.95÷（2.5×0.4） ＝8.95÷1 ＝8.95 【变式训练】（24-25五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                   【答案】68.7；1.78 10；3.2 【思路引导】6.87×5.8＋6.87×4.2，根据乘法分配律，原式化为：6.87×（5.8＋4.2），再进行计算。 8.9÷1.25÷4，根据除法性质，原式化为：8.9÷（1.25×4），再进行计算。 3.2×0.25×12.5，把3.2化为4×0.8，原式化为：4×0.8×0.25×12.5，再根据乘法交换律，原式化为：4×0.25×0.8×12.5，再根据乘法结合律，原式化为：（4×0.25）×（0.8×12.5），再进行计算。 2.4×3－12.8÷3.2，先计算乘法和除法，再计算减法。 【规范解答】6.87×5.8＋6.87×4.2 ＝6.87×（5.8＋4.2） ＝6.87×10 ＝68.7 8.9÷1.25÷4 ＝8.9÷（1.25×4） ＝8.9÷5 ＝1.78 3.2×0.25×12.5 ＝4×0.8×0.25×12.5 ＝4×0.25×0.8×12.5 ＝（4×0.25）×（0.8×12.5） ＝1×10 ＝10 2.4×3－12.8÷3.2 ＝7.2－4 ＝3.2 高频考点讲练10：小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】（24-25五年级上·北京西城·期末）脱式计算。（能简算的可以简算） （1）1.5×3.08÷0.4           （2）2.5×0.89×4 （3）2.3×3.6＋3.6×7.7         （4）（17.22－1.4×7.8）÷6 【答案】（1）11.55；（2）8.9 （3）36；（4）1.05 【思路引导】（1）在没有括号的算式里，只有乘除法，从左往右依次计算； （2）根据乘法交换律a×b＝b×a把2.5×0.89×4变成2.5×4×0.89，再按顺序计算； （3）根据乘法分配律把2.3×3.6＋3.6×7.7变成（2.3＋7.7）×3.6，再按顺序计算； （4）先算括号里面的乘法，再算括号里面的减法，最后算括号外面的除法。 【规范解答】（1）1.5×3.08÷0.4 ＝4.62÷0.4 ＝11.55 （2）2.5×0.89×4 ＝2.5×4×0.89 ＝10×0.89 ＝8.9 （3）2.3×3.6＋3.6×7.7 ＝（2.3＋7.7）×3.6 ＝10×3.6 ＝36 （4）（17.22－1.4×7.8）÷6 ＝（17.22－10.92）÷6 ＝6.3÷6 ＝1.05 【变式训练】（24-25五年级上·贵州黔东南·期末）给长方形房间铺地砖，地面长8米、宽4米，每块地砖的面积是0.64平方米，每块地砖的价格是15.5元。铺满房间地面一共需要多少钱？ 【答案】775元 【思路引导】根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形房间的面积，再除以每块地砖的面积，求出需要的地砖的块数，再乘每块地砖的价格即可解答。 【规范解答】8×4÷0.64×15.5 ＝32÷0.64×15.5 ＝50×15.5 ＝775（元） 答：铺满房间地面一共需要775元。 高频考点讲练11：小数的四则运算及法则 【典例精讲】（2025五年级上·海南海口·专题练习）计算下面各题，能简算的要用简便方法计算。 ①    ②    ③ 【答案】①1.18；②19.6；③733 【思路引导】①先计算除法，再计算乘法。 ②把6.4转化为，再根据乘法结合律把算式转化为，先计算小括号里面的乘法，再计算括号外面的乘法，最后计算加法。 ③把7.33转化为，再根据乘法分配律的逆运算，进行简便计算。 【规范解答】① ② ③ 【变式训练】（24-25五年级上·重庆·期末）计算下面各题，怎样简便怎样算。 1.25×3.2×2.5        1.08×0.8÷0.27         3.47×10.1－0.347 【答案】10；3.2；34.7 【思路引导】1.25×3.2×2.5，把3.2化为8×0.4，原式化为：1.25×8×0.4×2.5，再根据乘法结合律，原式化为：（1.25×8）×（0.4×2.5），再进行计算。 1.08×0.8÷0.27，先计算乘法，再计算除法。 3.47×10.1－0.347，把0.347化为3.47×0.1，原式化为：3.47×10.1－3.47×0.1，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：3.47×（10.1－0.1），再进行计算。 【规范解答】1.25×3.2×2.5 ＝1.25×8×0.4×2.5 ＝（1.25×8）×（0.4×2.5） ＝10×1 ＝10 1.08×0.8÷0.27 ＝0.864÷0.27 ＝3.2 3.47×10.1－0.347 ＝3.47×10.1－3.47×0.1 ＝3.47×（10.1－0.1） ＝3.47×10 ＝34.7 高频考点讲练12：小数除法相关的简便计算 【典例精讲】（24-25五年级上·河南南阳·期末）计算下面各题，能简算的用简便运算。 （1）（31.6－11.7）÷2.5÷0.4      （2）23.8×101－23.8        （3）56×1.25 【答案】（1）19.9；（2）2380；（3）70 【思路引导】（1）根据运算顺序，先计算括号里的减法，再根据除法的性质，把式子转化为19.9÷（2.5×0.4）进行简算； （2）根据乘法分配律，把式子转化为23.8×（101－1）进行简算； （3）把56看作（7×8），再根据乘法结合律，把式子转化为7×（8×1.25）进行简算。 【规范解答】（1）（31.6－11.7）÷2.5÷0.4 ＝19.9÷2.5÷0.4 ＝19.9÷（2.5×0.4） ＝19.9÷1 ＝19.9 （2）23.8×101－23.8 ＝23.8×（101－1） ＝23.8×100 ＝2380 （3）56×1.25 ＝（7×8）×1.25 ＝7×（8×1.25） ＝7×10 ＝70 【变式训练】（24-25五年级上·江西吉安·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 （1）2.96×40÷0.296           （2）2.02×8.5 （3）1.2×2.5＋0.8×2.5         （4）7.8÷0.125÷80 【答案】（1）400；（2）17.17； （3）5；（4）0.78 【思路引导】（1）可以先计算2.96÷0.296，求出商，再用它们的商乘40即可； （2）把2.02看作（2＋0.02），再根据乘法分配律，把式子转化为2×8.5＋0.02×8.5进行简算； （3）根据乘法分配律，把式子转化为（1.2＋0.8）×2.5进行简算； （4）根据除法的性质，把式子转化为7.8÷（0.125×80）进行简算。 【规范解答】（1）2.96×40÷0.296 ＝2.96÷0.296×40 ＝10×40 ＝400 （2）2.02×8.5 ＝（2＋0.02）×8.5 ＝2×8.5＋0.02×8.5 ＝17＋0.17 ＝17.17 （3）1.2×2.5＋0.8×2.5 ＝（1.2＋0.8）×2.5 ＝2×2.5 ＝5 （4）7.8÷0.125÷80 ＝7.8÷（0.125×80） ＝7.8÷10 ＝0.78 高频考点讲练13：用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·重庆·期末）竖式计算，带※小题的结果精确到百分位，带▲的小题要验算。 0.27×0.15＝           ※5.63÷6.1≈          ▲0.464÷0.58＝ 【答案】0.0405；0.92；0.8 【思路引导】小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 除不尽时，要求得数保留几位小数，要除到它的下一位，再用四舍五入的方法取商的近似数。精确到百分位，即保留两位小数。 没有余数的除法的验算：根据“商×除数＝被除数”进行验算。 【规范解答】0.27×0.15＝0.0405 ※5.63÷6.1≈0.92 ▲0.464÷0.58＝0.8       验算： 【变式训练】（2025五年级上·全国·专题练习）( )（保留两位小数），保留一位小数是( )。 【答案】 8.33 8.3 【思路引导】根据除数是小数的除法法则，先将除数转化为整数，被除数扩大相同倍数，再按整数除法计算。保留两位小数需计算到第三位，保留一位小数需计算到第二位，按四舍五入法取近似值。 【规范解答】5.832÷0.7≈ 8.33 5.832÷0.7≈ 8.3 8.33（保留两位小数），保留一位小数是8.3。 高频考点讲练14：判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（23-24五年级上·湖北十堰·期中）一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2，被除数最大是( )。 【答案】5.832 【思路引导】被除数＝商×除数，当除数一定，商越大则被除数就越大；商保留一位小数是3.2，商最大应该是在末尾添“4”，再将商和除数代入式子计算即可。 【规范解答】商最大为：3.24 3.24×1.8＝5.832 被除数最大为5.832。 【考点剖析】此题涉及到小数乘法的计算，利用近似数求出原数的最大值是解题的关键。 【变式训练】（22-23五年级上·广东佛山·阶段练习）一个数除以1.7，商是两位小数。商保留一位小数是4.3，被除数最小是多少？ 【答案】7.225 【思路引导】首先根据商保留一位小数是4.3，可得商的最小值是4.25，然后根据被除数＝除数×商，再用除数乘以商的最小值，求出被除数最小是多少即可。 【规范解答】因为商保留一位小数是4.3，商的最小值是4.25。 4.25×1.7＝7.225 答：被除数最小是7.225。 【考点剖析】此题主要考查了四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出商的最小值是多少。 高频考点讲练15：循环小数的认识与简写 【典例精讲】（2025五年级上·海南海口·专题练习）8.3252525…用简便写法是( )，它的循环节是( )，保留两位小数是( )。 【答案】 25 8.33 【思路引导】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节，写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，最后根据“四舍五入”结果保留两位小数，据此解答。 【规范解答】分析可知，8.3252525…用简便写法是，它的循环节是25，千分位上是5，需向前一位进一，所以保留两位小数是8.33。 【变式训练】（24-25五年级上·重庆·期末）观察算式：1÷x＝0.0909…，2÷x＝0.1818…，3÷x＝0.2727…，照这样的规律，6÷x＝( )，9÷x＝( )。（此空用循环小数表示） 【答案】 0.5454… 【思路引导】根据题意，可以发现规律：商是循环小数，循环节为两位，且循环节的值是被除数乘9得到的。所以6÷x的循环节部分是6×9＝54，9÷x的循环节部分是9×9＝81；写循环小数时，可在循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点，比如0.8181…可写成。据此解答。 【规范解答】6×9＝54 9×9＝81 所以照这样的规律，6÷x＝0.5454…，9÷x＝。 高频考点讲练16：有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·四川内江·期中）在7.237237…，3.77856…，0.3838，，，6，8.36666…，0.0007中，有限小数有( )个，无限小数有( )个，循环小数有( )个。 【答案】 2 5 4 【思路引导】有限小数：小数部分的数位是有限的小数。 无限小数：小数部分的数位是无限的小数。 一个小数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 据此给数字分类，再填空。 【规范解答】有限小数有：0.3838、0.0007共2个。 无限小数有：7.237237…、3.77856…、、、8.36666…共5个。 循环小数有：7.237237…、、、8.36666…共4个。 在7.237237…，3.77856…，0.3838，2.732，5.3，6，8.36666…，0.0007中，有限小数有2个，无限小数有5个，循环小数有4个。 【变式训练】（24-25五年级上·四川广元·期中）在小数5.1，3.131313，0.808080……，4.605，7.9999，3.4567……中，循环小数有_____个，有限小数有_____个。横线上依次应填（    ）。 A．1；4 B．4；2 C．5；1 D．3；3 【答案】A 【思路引导】循环小数指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数码的无限小数。有限小数的数位是有限的，据此解答即可。 【规范解答】5.1，3.131313，4.605，7.9999都是有限小数，有4个； 0.808080……是循环小数，有1个； 故答案为：A 高频考点讲练17：循环小数比大小 【典例精讲】（24-25五年级上·广东东莞·期末）在3.030303，3.666，3.03，3.1415926…，，3.0001这几个数中，循环小数有( )个，循环小数中最小的数是( )。 【答案】 2/两/二 【思路引导】小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数，叫做循环小数，据此找出所有的循环小数。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，据此可以把循环小数展开。比较小数的大小时，从高位到低位逐个比较各个数位上的数字，当某位上的数字大时该小数大，据此找出循环小数中最小的数，据此解答。 【规范解答】3.030303，3.666，3.03，3.0001的小数位数是有限的，所以3.1415926…，是循环小数，共2个循环小数。其个位上是3，十分位上是0，3.1415926…其个位上是3，十分位上是1，3＝3，0＜1，所以＜3.1415926…，故两个循环小数中最小的是。 【变式训练】（24-25五年级上·湖南娄底·期中）在0.8787，0.87，和0.878中，最大的是（    ）。 A．0.8787 B．0.87 C．0.878 【答案】A 【思路引导】小数大小的比较方法与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数加以比较，因此，比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大。 【规范解答】＝0.877… 则0.8787＞0.878＞＞0.87，所以最大的是0.8787。 故答案为：A 高频考点讲练18：循环小数和周期性规律综合问题 【典例精讲】（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）循环小数2.036036036…用简便记法表示为( )，它的小数部分第100位上的数字是( )。 【答案】 0 【思路引导】循环小数的简写方法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。循环节是036，是三个数字，用100除以3求出循环节循环了多少次以及余下几个数；如果没有余数，则第100位是6，；余数是1则第100位上的数字是0，余数是2则第100位上的数字是3。 【规范解答】循环小数2.036036036…用简便记法表示为； 循环节是036，100÷3＝33……1，即小数部分第100位上的数字是0。 即循环小数2.036036036…用简便记法表示为，它的小数部分第100位上的数字是0。 【变式训练】（24-25五年级上·广东河源·期末）0.312312…是( )小数，简记法写作( )，小数部分第50位上的数字是( )。 【答案】 循环 1 【思路引导】循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数；循环节指在一个无限循环小数中重复出现的一组数字；循环小数的简便写法是通过在循环节的首位和末位数字上各记一个圆点来表示； 循环节是312，求小数部分第50位上的数字是几，用50除以3，即50÷3＝16（组）……2（个），所以前50位小数包含16组完整的循环节，还余下3、1这两个数字。 【规范解答】0.312312…是循环小数，写作 50÷3＝16……2，故小数部分第50位上的数字是1。 即0.312312…是循环小数，简记法写作，小数部分第50位上的数字是1。 高频考点讲练19：用计算器探究规律 【典例精讲】（23-24五年级上·全国·周测）先用计算器计算每组的前三个算式，找出规律后，再填写。 9×7＝( )        9×9＋7＝( ) 9.9×7.7＝( )        98×9＋6＝( ) 9.99×77.7＝( )        987×9＋5＝( ) 9.999×777.7＝( )        9876×9＋4＝( ) 9.9999×7777.7＝( )    ( )×9＋( )＝( ) 【答案】 63 88 76.23 888 776.223 8888 7776.2223 88888 77776.22223 98765 3 888888 【思路引导】9×7＝63，9.9×7.7＝76.23，9.99×77.7＝776.223，由左边前三个算式可知，只有第一个乘法算式的积为整数，从第二个乘法算式开始积为小数，两个因数一共有几位小数，积就是几位小数，积的整数部分最后一个数字是6，6前面是数字7，7的个数与第一个因数的小数位数相同，积的小数部分最后一个数字是3，3前面是数字2，2的个数和积中7的个数相同，据此解答。 9×9＋7＝88，98×9＋6＝888，987×9＋5＝8888，通过右边前三个算式可知，结果由数字8组成，结果的位数比每个算式的第一个数的位数多1；每个算式的第一个数从大到小由9开始排序，到第几个算式，第一个数就有几位数，每个算式的最后一个数是一位数，比上一个算式的最后一位数少1，据此解答。 【规范解答】9×7＝63        9.9×7.7＝76.23        9.99×77.7＝776.223        9.999×777.7＝7776.2223       9.9999×7777.7＝77776.22223    9×9＋7＝88 98×9＋6＝888 987×9＋5＝8888 9876×9＋4＝88888 98765×9＋3＝888888 【变式训练】（23-24五年级上·福建厦门·期中）聪聪用计算器计算下面的题：1÷9.9＝0.10101……，2÷9.9＝0.20202……，3÷9.9＝0.30303……，根据这个规律7÷9.9＝（    ）。 A．0.40404…… B．0.60606…… C．0.70707…… D．0.80808…… 【答案】C 【思路引导】聪聪用计算器计算下面的题：1÷9.9＝0.10101……，2÷9.9＝0.20202……，3÷9.9＝0.30303……，被除数是几，商的循环节就是这个数和0，据此解答即可。 【规范解答】根据规律可知：7÷9.9＝0.70707…… 故答案为：C 高频考点讲练20：用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】（24-25五年级上·北京西城·期末）先找规律，再填空。 44.22÷6.6＝6.7 444.222÷6.66＝66.7 4444.2222÷6.666＝666.7 … 444444.222222÷6.66666＝( ) 【答案】66666.7 【思路引导】观察已知的前3个算式，发现规律：被除数的整数部分是由若干个4组成，小数部分是由若干个2组成，4和2的个数相同；除数的整数部分是6，小数部分是由若干个6组成，小数部分中6的个数比被除数4或2的个数少1；商是一位小数，整数部分是若干个6，6的个数与除数的小数部分6的个数相同，小数部分是7，据此规律解答。 【规范解答】44.22÷6.6＝6.7 444.222÷6.66＝66.7 4444.2222÷6.666＝666.7 … 444444.222222÷6.66666＝（66666.7） 【变式训练】（23-24五年级上·河南周口·期中）观察下面算式，运用规律填空。 1.07÷9＝ 11.06÷9＝ 111.05÷9＝ 1111.04÷9＝( ) ( )÷9＝( ) ( )÷9＝( ) 【答案】 11111.03 111111.02 【思路引导】观察前3个已知的算式，发现：被除数的整数部分是按1、11、111……的顺序排列，小数部分是两位小数，按07、06、05……的顺序排列；除数都是9；商的整数部分是按0、1、12……的顺序排列，小数部分按、、……的顺序排列；据此解答。 【规范解答】1.07÷9＝ 11.06÷9＝ 111.05÷9＝ 1111.04÷9＝（） （11111.03）÷9＝（） （111111.02）÷9＝（） 高频考点讲练21：用“进一法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·贵州黔东南·期末）一个空瓶子可以装0.5kg色拉油，李师傅要把7.6kg的色拉油装在这样的瓶子里，至少需要（    ）个这样的瓶子。 A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【思路引导】由题意得，实际上是求7.6里面有几个0.5，根据求一个数里面有几个另一个数的方法，用除法解答即可。根据题意，此题应使用“进一法”保留整数。 【规范解答】7.6÷0.5≈16（个） 所以至少需要16个这样的瓶子。 故答案为：D 【变式训练】（24-25五年级上·重庆巴南·期末）每个纸箱最多可以装15kg脐橙，果农们要将250kg脐橙分装在这些纸箱里，至少需要准备( )个这样的纸箱。如果要让准备的纸箱全部装满，还需要再增加( )kg脐橙。 【答案】 17 5 【思路引导】由题意可知，要求250里有几个15，用除法计算，得数采用“进一法”保留整数。 用第一小问中得到的纸箱个数，乘15即可得纸箱全部装满的重量，再减250即可得解。 【规范解答】（个） （kg） 每个纸箱最多可以装15kg脐橙，果农们要将250kg脐橙分装在这些纸箱里，至少需要准备17个这样的纸箱。如果要让准备的纸箱全部装满，还需要再增加5kg脐橙。 高频考点讲练22：用“去尾法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖南长沙·期末）学校后勤部的刘老师要购买一些节能灯，每个节能灯7.4元，刘老师带了400元，最多能买( )个节能灯。要把买到的这些节能灯每4个装一盒，至少需要( )个盒子。 【答案】 54 14 【思路引导】由题意可知，要求最多能买内具节能灯，就是要算400里面有几个7.4，用除法计算，并采用“去尾法”保留整数，再用节能灯的个数除以4，结果采用“进一法”保留整数，可得盒子的个数。 【规范解答】（个） （个） 学校后勤部的刘老师要购买一些节能灯，每个节能灯7.4元，刘老师带了400元，最多能买54个节能灯。要把买到的这些节能灯每4个装一盒，至少需要14个盒子。 【变式训练】（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）李老师买了一袋重2.5千克的面粉。如果面粉的单价是10.5元/千克，那么李老师应付( )元；如果每制作一个蛋糕需要0.32千克面粉，那么李老师最多可以做( )个这种蛋糕。 【答案】 26.25 7 【思路引导】根据单价×数量＝总价，求出李老师应付钱数；最后无论剩下多少面粉，只要不够一个蛋糕的用量就无法制作一个蛋糕，面粉质量÷一个蛋糕需要的面粉质量，结果用去尾法保留近似数即可。 【规范解答】10.5×2.5＝26.25（元） 2.5÷0.32≈7（个） 李老师应付26.25元；李老师最多可以做7个这种蛋糕。 高频考点讲练23：利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·广西南宁·期末）代驾是指当车主不能自行开车时，由专业驾驶人员代替车主驾驶汽车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为。某平台日常代驾计费标准如下表。 时段 8千米及以内 超过8千米的部分 备注 6：00—21：59 35元 3.5元/千米 行程不足1千米，按1千米计算 22：00—次日6：59 58元 4.5元/千米 叔叔参加聚会22：30结束时，在该平台预约了代驾服务。到达目的地后，他付了89.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】15千米 【思路引导】因为是22：30结束，所以要按表格22：00—次日6：59时间计算；即8千米及以内58元，用付的钱数－58元，求出超出部分需要付的钱数，再用超出部分付出的钱数÷4.5，求出超出8千米以及内的路程，再加上8千米，即可解答。 【规范解答】（89.5－58）÷4.5＋8 ＝31.5÷4.5＋8 ＝7＋8 ＝15（千米） 答：这次代驾服务的行驶里程最多是15千米。 【变式训练】（24-25五年级上·重庆巴南·期末）在外游玩，手机需要使用移动数据，小李妈妈办理了每月158元的话费套餐，具体计费标准如下。 158元套餐包含 国内主叫300分钟，接听免费；流量40GB（当月剩余流量，可结转至次月使用）。 超出部分 超出套餐包含的部分后，国内主叫0.15元/分钟，流量5元/GB。 （1）11月份她一共使用流量33GB（10月份未剩余流量），国内主叫460分钟。她11月的话费账单一共是多少钱？ （2）12月份她的话费账单是183元，国内主叫290分钟。算上11月份剩余的流量，这个月她一共用了多少GB流量？ 【答案】（1）182元 （2）52GB 【思路引导】（1）33GB＜40GB，流量没有超出；460分钟＞300分钟，国内主叫时间超过套餐国内主叫时间；用11月份国内主叫的时间－套餐国内主叫时间，即460－300，求出超出部分的时间；再用超出部分的时间×0.15，求出超出部分需要的话费，再加上每月话费套餐，即可求出11月份话费账单。 （2）290分钟＜300分钟，国内主叫时间没有超出；11月份流量还剩40－33＝7（GB）；用12月份话费－套餐话费，求出超出部分话费；再用超出部分话费÷5，求出超出的流量；再用套餐流量＋11月份剩余流量＋超出的流量，即可求出这个月一共用的流量，据此解答， 【规范解答】33GB＜40GB，流量没有超出。 （460－300）×0.15＋158 ＝160×0.15＋158 ＝24＋158 ＝182（元） 答：她11月的话费账单一共是182元。 （2）290分钟＜300分钟，国内主叫没超。 40－33＝7（GB） （183－158）÷5＋7＋40 ＝25÷5＋7＋40 ＝5＋7＋40 ＝12＋40 ＝52（GB） 答：这个月她一共用了52GB流量。 高频考点讲练24：分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙、丙、丁四人去天安门广场看升旗仪式。回家时合租一辆出租车，出租车的起步价为13元（包含3千米）。四人按如图位置下车，丁最后付了全部车费共47.5元。按公平的方式分摊车费，甲应付多少元？ 【答案】6.7元 【思路引导】超出3千米的车费为47.5－13＝34.5元，3千米内每人应付13÷4＝3.25元，因为甲6－3＝3千米、乙9－3＝6千米、丙12－3＝9千米、丁15－3＝12千米，则四人超出3千米的路程总和为3＋6＋9＋12＝30千米，超出3千米部分每千米费用为34.5÷30＝1.15元，甲超出3千米应付1.15×（6－3）＝3.45元，则甲应付总费用为：3千米内的3.25元加上超出的3.45元，即3.45＋3.25＝6.7元。 【规范解答】47.5－13＝34.5（元） 13÷4＝3.25（元） 3＋6＋9＋12＝30（千米） 34.5÷30×（6－3） ＝34.5÷30×3 ＝1.15×3 ＝3.45（元） 3.45＋3.25＝6.7（元） 答：甲应付6.7元。 【变式训练】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）某市居民用电按阶梯收费，收费标准如下表。 档位 电量（度/年） 电费单价 第一档 2160度及以下 约0.57元/度 第二档 2160度（不含）~4800度（包含） 约0.62元/度 第三档 4801度及以上 约0.87元/度 （1）小宁家2023年用电2000度，电费是多少？ （2）小佳家2023年的电费1293.2元，她家用电量是多少？ 【答案】（1）1140元 （2）2260度 【思路引导】（1）小宁家用电量在第一档范围内，直接用电量乘第一档的单价即可得到电费。 （2）需要先判断小佳家的用电量处于哪个档位，然后根据相应档位的收费标准来计算用电量。 【规范解答】（1）2000×0.57＝1140（元） 答：电费是1140元。 （2）用电量2160度：2160×0.57＝1231.2（元） 用电量4800度：1231.2＋（4800－2160）×0.62 ＝1231.2＋2640×0.62 ＝1231.2＋1636.8 ＝2868（元） 2868＞1293.2，所以不超过4800度。 （1293.2－1231.2）÷0.62＋2160 ＝62÷0.62＋2160 ＝100＋2160 ＝2260（度） 答：她家用电量是2260度。 【演练1】（2023·贵州黔西·小升初真题）一间教室用边长是0.6米的方砖铺地，要用160块。现在改用边长是0.8米的方砖铺，要用多少块？ 【答案】90块 【思路引导】方砖为正方形，用边长是0.6米的米方砖铺地，现在改用边长是0.8米的方砖铺。根据正方形面积公式“面积＝边长×边长”，分别计算出两种方砖每块的面积。用边长为0.6米的单块面积乘160，得到教室地面的总面积。然后用教室总面积除以边长是0.8米的单块面积，即可得到改用新方砖所需的块数。 【规范解答】0.6×0.6＝0.36（平方米） 0.8×0.8＝0.64（平方米） 0.36×160＝57.6（平方米） 57.6÷0.64＝90（块） 答：现在改用边长是0.8米的方砖铺，要用90块。 【演练2】（2024·湖北十堰·小升初真题）甲乙两人分别从相距500米A、B两地同时出发不断往返，甲速度为每分钟80米，乙速度为每分钟120米，出发半小时内，两人一共相遇 次。 【答案】6 【思路引导】根据题意，先把甲乙两人的速度相加，求出速度和，再乘时间，求出两人30分钟共走了（80＋120）×30＝6000米； 第一次相遇时两人的路程和为500米，以后每次相遇，两人要走2个全程，即两人的路程和为500×2＝1000米；第一次相遇后，两人又走的路程为6000－500＝5500米；再看5500米里面有几个1000米，即5500÷1000＝5.5，取整数为5次；再加上第一次相遇的1次，所以两人总共相遇5＋1＝6次。 【规范解答】半小时＝30分钟 （80＋120）×30 ＝200×30 ＝6000（米） 第一次相遇后，两人共走了： 6000－500＝5500（米） 第一次相遇后，以后每次相遇，两人路程和为： 500×2＝1000（米） 第一次相遇后两人相遇次数为： 5500÷1000≈5（次） 总共相遇次数为：5＋1＝6（次） 所以，出发半小时内，两人一共相遇6次。 【演练3】（2024·云南昭通·小升初真题）为传承优秀传统文化，丰富校园文化生活，学校举行“唱经典•演经典”文艺汇演活动。7位评委给六（1）班合唱队的打分如下：9.85、9.75、9.6、9.6、9.6、9.45、9.0.本次的评分是按照“去掉一个最高分，去掉一个最低分，再求平均分”的规则评分，六（1）班合唱队的平均分是( )分。请对这种评分规则作出合理解释：( )。 【答案】 9.6 平均数容易受极端数的影响，去掉一个最高分，去掉一个最低分，再求平均分，比赛更客观公平 【思路引导】据题意去掉9.85和9.0，再把其余的5个数相加，再除以5即可得平均分，由于平均数容易受极端数的影响，去掉一个最高分，去掉一个最低分，再求平均分，比赛更客观公平。据此解答。 【规范解答】（9.75＋9.6＋9.6＋9.6＋9.45）÷5 ＝48÷5 ＝9.6（分） 六（1）班合唱队的平均分是9.6分，平均数容易受极端数的影响，去掉一个最高分，去掉一个最低分，再求平均分，比赛更客观公平。（答案不唯一） 【演练4】（2024·北京西城·小升初真题）新疆“独库公路”是连接北疆和南疆的重要通道，也是纵贯天山脊梁的景观大道。公路分为北段、中段和南段三个部分，情况如下。 路段 北段 中段 南段 路程/km 230 61 ？ 小明一家自驾游，在独库公路北段游览用了4.6小时，照这个速度，游览南段用了5.4小时。独库公路南段的路程是多少千米？ 【答案】270千米 【思路引导】根据题意，因为小明一家自驾游，在独库公路北段游览用了4.6小时，北段的路程是230千米，根据，所以可求速度，游览南段用了5.4小时，再根据路程＝速度×时间，代入数据计算即可。 【规范解答】230÷4.6×5.4 ＝50×5.4 ＝270（千米） 答：独库公路南段的路程是270千米。 【演练5】（2024·重庆涪陵·小升初真题）中国自主研发的标准动车组“复兴号”达到了世界先进水平，从北京到A市全程约490千米，仅需1.4小时到达。照这样计算，北京到B市全程约1400千米，需要几小时到达？ 【答案】4小时 【思路引导】根据速度＝路程÷时间，用北京到A市的路程÷1.4，求出“复兴号”的速度，再根据时间＝路程÷速度，用北京到B市的路程÷“复兴号”的速度，即可解答。 【规范解答】1400÷（490÷1.4） ＝1400÷350 ＝4（小时） 答：需要4小时到达。 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级上·山西晋中·期末）下面是三名同学计算0.6÷0.12的方法，其中方法正确的有（    ）。 A．小乐和小静 B．小乐和小军 C．小静和小军 【答案】A 【思路引导】在计算0.6÷0.12，有多种计算方法，依次分析三名同学的计算方法是否正确。 小乐：将0.6元转化为60分，0.12元转化为12分，因为在元、角、分的换算中，1元＝10角，1角＝10分，所以1元＝100分，那么0.6元换算成分就是0.6×100＝60分，0.12元换算成分就是0.12×100＝12分。此时计算0.6÷0.12就转化为计算60÷12＝5，小乐利用单位换算，将小数除法转化为整数除法，方法正确。 小静：运用了商不变的性质，商不变的性质是：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。在计算0.6÷0.12时，小静将被除数0.6和除数0.12同时乘100，得到（0.6×100）÷（0.12×100）＝60÷12，60÷12＝5，商不变，这种方法正确。 小军：使用竖式计算0.6÷0.12，在进行小数除法竖式计算时，要把除数转化为整数，即除数0.12变为12，需要乘100，那么被除数0.6也要乘100变为60。但小军的竖式中，被除数0.6只变成了6.0（相当于只乘了10），除数0.12变成12（乘了100），被除数和除数乘的数不同，不符合商不变的性质，会导致计算错误，所以小军的方法错误。 【规范解答】由分析可知，计算方法正确的是小乐和小静，只有选项A符合。 故答案为：A 2．（25-26五年级上·全国·单元测试）连线课堂·运算的应用 （1）用计算器计算下面各题，你发现了什么。 5÷111＝（ ）     7÷111＝（ ）     9÷111＝（ ） （2）不计算，用发现的规律直接写出下面几题的商。 12÷111＝（ ） 15÷111＝（ ） 17÷111＝（ ） 我发现：它们的商的整数部分都是（    ），商都是（    ）小数，循环节有（    ）个数字，都是被除数的（    ）倍。 【答案】（1）0.045045…；0.063063…；0.081081… （2）0.108108…； 0.135135…； 0.153153… 0；循环；3；9 【思路引导】（1）直接用计算器计算，找出循环的数字，写出循环小数 （2）根据（1）的得数找出规律：它们的商的整数部分都是0，商都是循环小数，循环节有3个数字，都是被除数的9倍。据此分别写出12÷111；15÷111；17÷111的商即可。 【规范解答】（1）5÷111＝0.045045…；7÷111＝0.063063…；9÷111＝0.081081… （2）12÷111＝0.108108…； 15÷111＝0.135135…； 17÷111＝0.153153… 我发现：它们的商的整数部分都是0，商都是循环小数，循环节有3个数字，都是被除数的9倍。 故答案为：0.108108…；0.135135…；0.153153…；0；循环；3；9 3．（24-25五年级上·河南洛阳·期末）在、、中，最大的数是。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】先把循环小数的简写形式改写成无限小数形式，然后根据小数大小的比较方法进行比较。 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【规范解答】＝0.6767… ＝0.6777… 0.6777…＞0.6767…＞0.67 即＞＞0.67。 所以，在、、中，最大的数是。 原题说法正确。 故答案为：√ 4．（2025五年级上·全国·专题练习）直接写出得数。 ①    ②    ③    ④ ⑤    ⑥    ⑦    ⑧ 【答案】①0.6；②31；③4.8；④0.5； ⑤7.5； ⑥8.4；⑦6；⑧0 【规范解答】略 5．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）周末，小丽回老家看望爷爷。回到老家，就看到屋里有一大桶花生油，原来是爷爷挑花生榨油了。爷爷说：“这些花生油刚好63千克，爷爷想把这些油分装到小桶中，每个小桶最多能装7.5千克油，给你爸、你叔和小姑等人。”爷爷问小丽：“至少要准备多少个小桶，才能把油装完？” 【答案】9个 【思路引导】根据“桶的数量＝总油量÷每个小桶的最大装油量”，但桶的数量必须是整数，采用“进一法”，即可求出至少需要几个小桶才能把油装完。 【规范解答】（个） 答：至少要准备9个小桶，才能把油装完。 创新拓展 拔尖冲刺 6．（2025五年级上·海南海口·专题练习）超市促销，每瓶饮料4.5元，买4瓶送1瓶。妈妈用50元最多能买（    ）瓶。 A．11 B．12 C．13 【答案】C 【思路引导】促销活动为买4瓶送1瓶，即每5瓶花费4×4.5＝18元。计算50元能买多少组促销，剩余的钱再单独购买。 【规范解答】每5瓶需要4×4.5＝18（元） 50÷18＝2（组）……14（元） 14÷4.5＝3（瓶）……0.5（元） 5×2＋3 ＝10＋3 ＝13（瓶） 超市促销，每瓶饮料4.5元，买4瓶送1瓶。妈妈用50元最多能买13瓶。 故答案为：C 7．（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）当除数大于1时，商大于被除数；当除数小于1时，商小于被除数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】举例说明，例如：2÷2＝1，除数2大于1，商小于被除数；2÷0.2＝10，除数0.2小于1，商大于被除数。据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 当除数大于1时，商小于被除数；当除数小于1时，商大于被除数。原题说法错误。 故答案为：× 8．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）计算下面各题，能简算的要简算。                   【答案】6.9；2.31；70.3 32；10；12500 【思路引导】，先算乘法，再算除法； ，根据乘法结合律，将后两个数进行结合，2.31×（0.25×4），先算小括号里的乘法，再算括号外的乘法； ，逆用乘法分配律，先算（11.8－1.8），再与7.03相乘； ，从左往右算； ，交换中间两个乘数的位置，转化成，同时算出两边小括号里的乘法和除法，最后算括号外的乘法； ，逆用乘法分配律，先算（99＋1），再与125相乘。 【规范解答】 ＝2.31×（0.25×4） ＝2.31×1 ＝2.31 ＝7.03×（11.8－1.8） ＝7.03×10 ＝70.3 ＝12.8÷0.4 ＝32 ＝（99＋1）×125 ＝100×125 ＝12500 9．（25-26五年级上·全国·单元测试）奇奇暑假和父母乘邮轮游三峡，领略壮丽的自然风光。行至宜昌时，邮轮逆流而上。若邮轮的静水速度是38.4千米/时，水流速度是1.6千米/时，逆流段全长660千米，行驶完这段路程大约需要多长时间？（结果保留两位小数） 【答案】17.93时 【思路引导】已知邮轮静水速度是38.4千米/时，水流速度是1.6千米/时，根据逆流速度＝静水速度－水流速度，可得逆流速度为（38.4－1.6）。已知逆流段全长660千米，根据时间＝路程÷速度，用660除以（38.4－1.6）即可。 【规范解答】660÷（38.4－1.6） ＝660÷36.8 ≈17.93（时） 答：行驶完这段路程大约需要17.93时。 10．（23-24五年级上·广东东莞·期中）东莞市为鼓励居民节约用水，实行按月分段计费的方法收取水费。收费标准如图：（其中不足1吨按1吨计算） 阶梯 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 居民用水量 22吨及以下 23～40吨 41吨以上 计费单价 1.72元/吨 2.58元/吨 5.16元/吨 （1）小明家上个月的用水量为19.6吨，应缴水费多少元？ （2）小红家上个月的用水量为24吨，应缴水费多少元？ （3）小刚家上个月的水费是68.8元，则他家用水多少吨？ 【答案】（1）34.4元 （2）43元 （3）34吨 【思路引导】（1）已知小明家上个月的用水量为19.6吨，按20吨计；20吨＜22吨，在第一阶梯计费；用水量为20吨，单价1.72元，根据“总价＝单价×数量”，求出小明家上个月应缴的水费。 （2）已知小红家上个月的用水量为24吨，24吨＞22吨，分两个阶梯计费： 第一阶梯：用水量为22吨，单价1.72元； 第二阶梯：用水量（24－22）吨，单价为2.58元； 根据“总价＝单价×数量”，分别求出两个阶梯的费用，再相加，即是小红家上个月应缴的水费。 （3）已知小刚家上个月的水费是68.8元，先根据“总价＝单价×数量”，分别求出第一阶梯、第二阶梯的水费，再相加，求出第一、第二阶梯的总水费，与68.8元进行比较，得出小刚家上个月用水量没有超过第二阶梯的用水量； 用小刚家上个月缴的总水费减去第一阶梯的水费，即是第二阶梯的水费，根据“数量＝总价÷单价”求出第二阶梯的用水量；然后用第一阶梯的用水量加上第二阶梯的用水量，即是小刚家上个月的用水量。 【规范解答】（1）19.6≈20 1.72×20＝34.4（元） 答：小明家上个月应缴水费34.4元。 （2）1.72×22＋2.58×（24－22） ＝1.72×22＋2.58×2 ＝37.84＋5.16 ＝43（元） 答：小红家上个月应缴水费43元。 （3）1.72×22＋2.58×（40－22） ＝37.84＋2.58×18 ＝37.84＋46.44 ＝84.28（元） 68.8＜84.28，所以小刚家上个月用水量没有超过第二阶梯的用水量。 22＋（68.8－1.72×22）÷2.58 ＝22＋（68.8－37.84）÷2.58 ＝22＋30.96÷2.58 ＝12＋22 ＝34（吨） 答：小刚家上个月用水34吨。 【考点剖析】本题考查分段计费问题，弄清楚每段的临界点和每段的收费标准，然后根据单价、数量、总价之间的关系列式计算。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$