精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题（日新班）

丰城九中2025-2026学年高一日新开学考试数学试卷 命题人： 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（    ） A B. 且 C D. 2. 设都是非零向量，下列四个条件，使用成立充要条件是（ ） A. 与同向 B. C. 且 D. 3. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，是锐角，是钝角，则（ ） A. B. -1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 11. 出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约在公元920年给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式，这个公式等价于现在的，其中，我们称为余切函数.下列关于余切函数的说法正确的是（ ） A. 定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 与正切函数有相同的对称中心 D. 将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为非零向量与的夹角，定义：．若，，，则______． 13. 已知角α的终边经过点，则=______． 14. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的解集； （2）若方程在上存在两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 16. 函数部分图象如图所示． （Ⅰ）求的最小正周期及解析式； （Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值． 17. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若于，求的面积的最小值. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 19. 已知向量，，定义新运算：.若函数，则称为向量，的点积函数.例如：向量，，则向量，的点积函数. （1）若向量，（，），且向量，的点积函数，求的值； （2）若向量，，求向量，点积函数的值域； （3）若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年高一日新开学考试数学试卷 命题人： 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（    ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域和值域求出，从而求出交集. 【详解】由函数定义域可得：， 由值域可得，故. 故选：D 2. 设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（ ） A. 与同向 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分别表示与同向的单位向量分析判断即可. 【详解】由于分别表示与同向的单位向量， 因此的充要条件是与同向． 除A外，其它项均不为充要条件. 故选：A． 3. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值可判断AC，从而得解 【详解】因为的定义域为，且 ， 所以为奇函数， 故BD错误； 当时，令，易得， 解得， 故易知的图象在轴右侧的第一个交点为， 又，故C错误，A正确； 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换以及诱导公式计算即可． 【详解】因为， 所以，故． 故选：B. 5. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 6. 已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数单调递减，则每一段分段图象均单调递减，且整体也是单调递减. 【详解】由对任意，都有成立可得， 在上单调递减， 所以 ，解得， 故选:C. 7. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合两角和余弦公式可得，两边平方可求，根据同角三角函数关系可得，由此可得结论. 【详解】因为，， 所以，故， 两边平方，可得，又， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 8. 已知，，是锐角，是钝角，则（ ） A. B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要根据三角函数值缩小角的范围求值，从而求出及时，根据 ，利用，即可求得答案. 【详解】由题意知：，，又因为， 当时，，而， 所以，则， ，，又因为， 当时，，而， 所以，则， 所以， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】BC 【解析】 【分析】本题可根据余弦定理得到关于边的方程，再结合三角形有两解的条件，列出关于边的不等式，进而求出边的取值范围. 【详解】∵， ∴由余弦定理得：， 即， ∵三角形有两解， ∴方程有两个不相等的正根， ∴， 解得：， 结合选项可得B，C正确， 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的意义判断A，利用平均数和方差的计算公式判断B，利用百分位数的定义判断C，利用方差的性质判断D. 【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确； 对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是，所以， 这组数据的方差是，故B错误； 对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30， 又，即第70百分位数为第6个数为23，故C正确； 对于D，依题意，，则， 故数据标准差为，故D正确； 故选：ACD 11. 出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约在公元920年给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式，这个公式等价于现在的，其中，我们称为余切函数.下列关于余切函数的说法正确的是（ ） A. 定义域为 B. 在区间上单调递增 C. 与正切函数有相同的对称中心 D. 将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由余切函数定义、正切函数定义域即可验算；对于B，由正切函数单调性、复合函数单调性判断即可；对于C，由正切函数和余切函数的关系即可判断；对于D，由函数平移变换法则即可判断. 【详解】选项A，因为，所以，所以. 令，则，所以函数定义域为，故A正确. 选项B，因为，所以， 因为在上单调递增，所以在上单调递减，故B错误. 选项C，正切函数的对称中心为. 因为 ，所以余切函数的对称中心也为，故C正确. 选项D，因，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为非零向量与的夹角，定义：．若，，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用向量夹角公式求出，进而求出即可得解. 【详解】由，，，得，而， 因此，所以. 故答案为：6 13. 已知角α的终边经过点，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求得，结合诱导公式可求值. 【详解】因为角α的终边经过点，所以， 则． 故答案为：. 14. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案. 【详解】设，由得， 故 ， 由得， 故, 由于三点共线，故，则， 又，故， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的解集； （2）若方程在上存在两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出，解此不等式即可得解； （2）令，问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由得， 所以，，解得， 所以，不等式的解集为； （2）因为，令， 问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当或时，直线与函数在区间上的图象有两个交点. 因此，实数的取值范围是. 16 函数部分图象如图所示． （Ⅰ）求的最小正周期及解析式； （Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最大值为；最小值为． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由图可得，，根据周期公式可得，当时，，可得 ，因为， 所以，即可求出的解析式.（Ⅱ）对函数，化简可得，因为，所以，当，即时，即可求出的最大值；当，即时，即可求出的最小值． 【详解】（Ⅰ）由图可得，，所以 所以 当时，，可得 ， 因为， 所以 所以的解析式为 （Ⅱ） 因为，所以 当，即时，有最大值，最大值为； 当，即时，有最小值，最小值为．. 17. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若于，求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目信息利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得；（2）利用三角形面积公式可以求得，再根据基本不等式即可求得边长的取值范围，即可得面积最小值. 【小问1详解】 由可得 ，由正弦定理可得 由余弦定理可得， 又，所以 【小问2详解】 如下图所示： 三角形面积， 又，所以， 由（1）中可得，当且仅当时，等号成立； 即，得. 所以面积， 故的面积的最小值为 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由为方程的两个不等实数根，根据韦达定理求解，然后解一元二次不等式即可； （2）将不等式化简，令，可得对恒成立，只需满足，求解的范围； （3）根据二次函数与一次函数的性质求解函数与的值域，将问题转化为函数值域是函数值域的子集列不等式组求解. 【小问1详解】 由题意，为方程的两个不等实数根， ，所以不等式为 ， 解得或，所以不等式解集为. 【小问2详解】 对恒成立， 令，即对恒成立， 因为函数开口向上，故只需满足， 解得，所以的取值范围为 【小问3详解】 当时，，开口向上，对称轴为 当时，，，， 时，，由题意， 对任意，总存在，使成立， 即函数的值域是函数的值域的子集， 即，， 解得，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求解函数的存在性与恒成立问题一般可用以下的方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法. 19. 已知向量，，定义新运算：.若函数，则称为向量，的点积函数.例如：向量，，则向量，的点积函数. （1）若向量，（，），且向量，的点积函数，求的值； （2）若向量，，求向量，的点积函数的值域； （3）若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量，的点积函数定义写出函数解析式，对照可得的值，由向量的模长定义即可求得的值； （2）利用向量，的点积函数定义求得，通过换元，利用二次函数的单调性即可求得函数的值域； （3）根据点积函数的定义及三角恒等变换公式可得，求出该函数在上的值域，进而结合题意可得，求解即得. 【小问1详解】 由题意，， 则，，即， 所以； 【小问2详解】 因，， 则， 令（），则，对称轴为， 则函数上单调递增，当， ，则的值域为. 【小问3详解】 因，， 则， 于是， ， 当时，， 因在时的取值范围为， 故， 由存在，使得成立，即与有交集， 故需满足，解得，综上所述的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $