3.2.2奇偶性 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数图象及其性质 3.2.2 函数的奇偶性 观察下列图形,回顾有关轴对称与中心对称概念及图象特征. f(x)=x2 如何用“数学符号语言”来刻画函数图像的对称呢？ 引入 [思考1](1)从对称角度出发，下列两组函数图象各有什么特征？ (2)如何利用解析式从代数的角度描述这一图象特征？ 图象关于y轴对称 图象关于原点对称 对于函数f(x)， 有f(-1)=1=f(1); f(-2)=4=f(2); f(-3)=9=f(3); ∀x∈R，f(-x)=f(x) 对于函数f(x)， 有f(-1)=-2= - f(1); f(-2)=-4= - f(2); f(-3)=-6= - f(3); ∀x∈R，f(-x)= - f(x) 探究 新知一：奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 等价条件 前提 设f(x)的定义域为I 偶函数 ∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 ∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数 关于原点对称 备注 f(x)－f(-x)=0 f(x)＋f(-x)=0 ①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称 ②不能用特殊值判断奇偶性. 如: f(2)=f(-2),但f(x)不一定是偶函数 ③已知奇偶性可代特殊值求参数. ④若f(x)为奇函数且在x=0有定义，则必有f(0)=0. 证: f(0)= - f(0) 新知一：奇偶性 注 意： (2)由定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的（即定义域关于原点对称）． (1)定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 . 新知一：奇偶性 [例1]根据下列函数图象,判断函数奇偶性. y x y x y x -1 2 y x -1 1 考点一：判断奇偶性——图象 考点一：判断奇偶性——解析式 一看定义域 二看关系式or图象 不关于原点对称 关于原点对称 非奇非偶函数 f(x)=f(﹣x) 图象关于y轴对称 ﹣f(x)=f(﹣x) 图象关于原点对称 偶函数 奇函数 既奇又偶函数 3.奇偶性的判断方法 总结 考点一：判断奇偶性——解析式 [思考2]若f(x)和g(x)都是奇函数,则f(x)±g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)的奇偶性如何？ 探究 f偶g奇,则F(-x)=f(-x)·g(-x) =f(x)·[-g(x)]=﹣f(x)·g(x=﹣F(x) f奇g奇,则F(-x)=f(-x)－g(-x)= - f(x)－[-g(x)]= - f(x)+g(x)= - [f(x)－g(x)]= - F(x) 新知二：复合函数的奇偶性 [思考3]如果f(x)是定义在R上的任意一个函数,那么f(x)+f(-x)，f(x)-f(-x)的奇偶性如何？ [思考4]二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数的条件是什么？ 一次函数f(x)=kx+b(k≠0)是奇函数的条件是什么？ 探究 已知奇偶性可代特殊值求参数 4 定义法 考点二：已知奇偶性求参数 0 1 -1 考点二：已知奇偶性求参数 [例4]f(x)是R上的偶函数，且x∈(0,+∞)时，f(x)＝x2＋x－1， (1)求x∈(－∞,0)时, f(x)的解析式; (2)写出f(x)在定义域上的解析式. 考点三：已知奇偶性求解析式 考点三：已知奇偶性求解析式 x>0时,-x<0,先求f(-x), 再由f(-x)=﹣f(x)得到f(x). [练习5]f(x)是R上的奇函数，且x<0时，f(x)＝x2－2x+3， (1)求f(2)的值； (2)求f(x)在R上的解析式. 考点三：已知奇偶性求解析式 [思考5]观察以下函数,偶函数在对称区间上的单调性有什么特点？ 奇函数在对称区间上的单调性有什么特点？ 偶函数在对称区间上单调性相反 奇函数在对称区间上单调性相同 新知三：奇、偶函数的单调性 单调递增区间：[-1,0]，[1,+∞) 单调递减区间：[0,1]，(-∞,-1] 单调递增区间：(-∞,-1]，[1,+∞) 单调递减区间：[-1,0]，[0,1] [练习6]已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,将图象补充完整. 考点四：奇偶性+单调性 [例5]函数y=f(x)是R上的偶函数, 且在(－∞,0]上为增函数, 若f(a)≤f(2), 则实数a的取值范围是_____________. [练习7]函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m－1)>0,求实数m的取值范围. 考点四：奇偶性+单调性 [练习8]函数y=f(x)是定义在[－2,2]上的偶函数,且在区间[0,2]上单调递减,若f(1－m)<f(m)成立,求实数m的取值范围. 考点四：奇偶性+单调性 令x=y=-1, 则f(1)=f(-1)+f(-1),即2f(-1)=0,∴f(-1)=0. 解:(1)令x=y=1, 则f(1)=f(1)+f(1), ∴f(1)=0. (2)令y=-1, 则f(-x)=f(x)+f(-1), ∵f(-1)=0,∴f(-x)=f(x). ∴f(x)是R上的偶函数. ∀x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y) 考点五：抽象函数的奇偶性(选) 令y=﹣x, 则f(0)=f(x)+f(﹣x) 解:(1)证:令x=y=0, 则f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. =0 即∀x∈R, f(﹣x)=﹣f(x). ∴f(x)是R上的奇函数. 考点五：抽象函数的奇偶性(选) 考点五：抽象函数的奇偶性(选) [练习10]已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数a,b,都有f(ab)=af(b)+bf(a)成立. (1)求f(1)和f(-1)的值； (2)确定f(x)的奇偶性. 考点五：抽象函数的奇偶性(选) [练习11]已知函数f(x)定义在R上,若对任意的x,y∈R有f(y+x)+f(y-x)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0,请判断f(x)的奇偶性。 考点五：抽象函数的奇偶性(选) 未完待续…… $