2.1等式性质与不等式性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等关系与不等式、比较大小、重要不等式及不等式性质，从生活实例（限速、酸奶质量）导入，引导学生抽象数量关系，通过问题链搭建从实际到符号的学习支架，衔接性质探究。 其亮点是融合数学眼光、思维与语言，以赵爽弦图几何直观引入重要不等式，用反例辨析性质，实例分层且步骤清晰。帮助学生养成符号表达习惯，教师可借结构化总结和问题设计提升教学效率。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 在生活中,存在着大量相等关系和不等关系,例如大与小、长与短、高与矮、轻与重、不超过和不少于等等. 类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等,相等用等式表示不等用不等式表示. 章导语 1.用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的_.含有这些不等号的式子叫做不等式. 不等关系 不等式a≥b读作“a大于或等于b”,其含义是指“a>b或a=b”: 等价于“a不小于b”; 等价于若“a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确”. 新知一:不等关系与不等式 思考:常见的不等关系有哪些?你能用文字语言和符号语言表述吗? 文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 符号 语言 > ≥ < ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ 新知一:不等关系与不等式 [问题1] 用不等式(组)表示下列问题中的不等关系: v≤40 km/h m≤10 t (1) (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋 白质的含量p应不少于2.3%; 新知一:不等关系与不等式 (3)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 设三角形三边分别为,则 设P是直线AB外任意一点,PQ是P到AB的垂线段, C是直线AB上任意一点,则PC≥PQ A B C P Q 新知一:不等关系与不等式 问题2:某种杂志原本以每本2.5元的价格出售,可以售出8万本. 据市场调查发现, 杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2000本. 如何定价才能使涨价后的总收入不低于20万元? 设涨价之后的杂志每本定价元,则销售总收入为 万元, ≥20,求出不等式的解,即可求出定价 所以用不等式表示为: 单价涨了多少元 单价涨了多少个0.1元 销量少了多少个2000元 新知一:不等关系与不等式 小结:用不等式表示实际问题中的不等关系 从实际问题中抽象出不等关系 用字母表示不等关系中的量 用不等号连接字母,建立不等式 利用不等式的性质,解不等式不等式 总结 2.关于实数大小的基本事实 文字表示 符号表示 如果a-b是正数,那么_ a-b>0 _ 如果a-b等于0,那么_ a-b=0 _ 如果a-b是负数,那么_ a-b<0 _ a>b a>b a=b a=b a<b a<b 作差法 3.比较实数大小(作差法): 作差 变形(化为因式的积或平方和) 与0比较 新知二:比较实数或式子的大小 > 考点一:比较大小 [练习2]若,比较和的大小. 因为, 所以, 即 ,所以 法一 作商法 与“1”比较 法二 因为 作差法 与“0”比较 考点一:比较大小 第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合得到方法,给出了勾股定理的证明. 大正方形的构成: 4个全等的直角三角形 1个小正方形 等面积法 思考:你能在这个图中找到哪些相等和不等关系? 新知三:一个重要不等式 Q:对于任意的实数a,b,a2+b2≥2ab成立吗?试证明. (面积关系) a,b>0 大正方形面积 >4个直角三角形的面积和 大正方形面积 =4个等腰直角三角形的面积和 新知三:一个重要不等式 作差法 新知三:一个重要不等式 4 2 考点二:利用重要不等式求最值 5.等式的基本性质 性质1 如果a=b,那么_; 性质2 如果a=b,b=c,那么_; 性质3 如果a=b,那么_; 性质4 如果a=b,那么_; 性质5 如果a=b,c≠0,那么_. b=a a=c a c=b c ac=bc (1)性质1,2反映了相等关系自身的特性:对称性和传递性. (2)性质3,4,5反映了等式对四则运算不变性;运算中的不变性就是性质. 新知四:等式的性质 6.不等式的性质 性质1(对称性):如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b b<a. 性质2(传递性):如果a>b,b>c,那么a>c,即a>b,b>c _. a>c 性质3(可加性):如果a>b,那么a+c>b+c. 推论:a+b>c _. a>c-b 这表明:不等式中任何一项可以改变符号后移到不等式另一边. A a A1 a+c B b B1 b+c 新知五:不等式的性质 性质4(可乘性):如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么_. 性质5(同向可加性):如果a>b,c>d,那么_. ac<bc a+c>b+d 如:若x≥2, y≥3,则4x+y≥11. 可加性 传递性 注意乘数的符号 新知五:不等式的性质 同向不等式相加,不等号方向不变;不能同向相减. [思考]观察下列问题,思考两个不等式能够同向相减吗? 3>2,1>-2,但3-1<2-(-2) > 性质4(可乘性):如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc. 性质5(同向可加性):如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 新知五:不等式的性质 [例3]已知-1<x<4,2<y<3. (1)求x-y的取值范围; (2)求3x+2y的取值范围. 【解】因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2. 【解】由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18. 关键:减化加 考点三:利用同向可加性求范围 方法:待求的整体用已知的整体表示 考点三:利用同向可加性求范围 考点三:利用同向可加性求范围 性质6(同向可乘性)如果a>b>0,c>d>0,那么_. ac>bd (不等式不可同向相除) 关键:除化乘 考点四:利用同向可乘性求范围 考点四:利用同向可乘性求范围 考点四:利用同向可乘性求范围 1.对称性 2.传递性 3.可加性 5.同向可加性 4.可乘性 6.同向可乘性(同号) 7.正数乘方性 8.正数开方性 证 新知五:不等式的性质 [例5] 用不等号 “>”或 “<”填空: (1) 如果a>b>0,c<d<0,那么ac bd; (2)如果a>b>0,那么 ; (3)如果a>b>c>0,那么 > < < 考点五:利用不等式的性质比较大小 D 考点五:利用不等式的性质比较大小 D 考点四:利用不等式的性质比较大小 考点五:证明不等式 1.关于实数大小的基本事实: 2.比较实数大小: (1)作差法:作差 变形(化为因式的积或平方和) 与0比较 (2)作商法:作商 变形(化为因式的积或商) 与1比较 (3)特殊值法:常用于小题证明不等式不成立. (4)性质法 3.重要不等式: 可用于求最值 总结 1.对称性 2.传递性 3.可加性 5.同向可加性 4.可乘性 6.同向可乘性(同号) 7.正数乘方性 8.正数开方性 证 新知五:不等式的性质 总结 未完待续…… = 解:因为2<b<8,所以<<. 又1<a<4,所以1 <a <4 , 即<<2. 所以的取值范围是<<2. [练习7]对于实数a,b,c下列命题中的真命题是( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则eq \f(1,a)>eq \f(1,b) C.若a<b<0,则eq \f(b,a)>eq \f(a,b) D.若a>b,eq \f(1,a)>eq \f(1,b),则a>0,b<0 法一:∵c2≥0,∴c=0时,有ac2=bc2,故A为假命题; 由a>b>0,有ab>0 eq \f(a,ab)>eq \f(b,ab) eq \f(1,b)>eq \f(1,a),故B为假命题;eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a<b<0 -a>-b>0 -\f(1,b)>-\f(1,a)>0,a<b<0 -a>-b>0)) eq \f(a,b)>eq \f(b,a),故C为假命题; eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b b-a<0,\f(1,a)>\f(1,b) \f(1,a)-\f(1,b)>0 \f(b-a,ab)>0))ab<0.∵a>b,∴a>0且b<0,故D为真命题. [练习7]对于实数a,b,c下列命题中的真命题是( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则eq \f(1,a)>eq \f(1,b) C.若a<b<0,则eq \f(b,a)>eq \f(a,b) D.若a>b,eq \f(1,a)>eq \f(1,b),则a>0,b<0 法二:特殊值排除法. 取c=0,则ac2=bc2,故A错. 取a=2,b=1,则eq \f(1,a)=eq \f(1,2),eq \f(1,b)=1.有eq \f(1,a)<eq \f(1,b),故B错. 取a=-2,b=-1,则eq \f(b,a)=eq \f(1,2),eq \f(a,b)=2,有eq \f(b,a)<eq \f(a,b),故C错. [例6]已知c>a>b>0,求证:>. 证明:因为c>a>b>0, 所以0<c-a<c-b,所以0<<, 即>>0,又因为a>b>0, 所以>. $$