专题19.2 实数（8大题型+能力训练） 2025-2026学年 沪教版（五四制）（2024）八年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题19.2 实数 知识点1：有理数的小数形式 1.有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2.分数与小数的互化 （1）分数化成小数的方法：分数化成小数即用分子除以分母. 当分子除以分母能够除尽时，分数可以化成有限小数， （2) 小数化成分数的方法。 知识点2：无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 知识点3：实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 知识点4：实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 知识点5：实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 知识点6：实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 知识点7：实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 题型01：有理数的小数形式 【例1】（2025上海八年级课时作业）下列各数中，能化为有限小数的分数是（ ） A． B． C． D． 【例2】（2025上海八年级课时作业）有理数和无理数的区别在于（　　） A．有理数是有限小数，无理数是无限小数 B．有理数能用分数表示，而无理数不能 C．有理数是正的，无理数是负的 D．有理数是整数，无理数是分数 【例3】（2025上海八年级课时作业）把循环小数写成分数形式为： ． 【例4】（2025上海八年级课时作业）将化成分数形式，并写出推理过程． 【例5】（2025上海八年级课时作业）若则______． 题型02：无理数的概念 【例6】（2024春•奉贤区期中）是（　　） A．有理数 B．分数 C．无理数 D．既是分数又是无理数 【例7】（2024春•杨浦区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数是无限不循环小数 C．不带根号的数一定是有理数 D．无理数就是带有根号的数 【例8】（24-25七年级下·四川德阳·期末）下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 【例9】（2024-25闵行区七年级下期中）在实数，，0，，，，…相邻两个1之间0的个数逐次加中，无理数的个数是 个． 【例10】（2023春•静安区期末）在实数3，，0.，，﹣，0，，π，3.14，，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有　　个． 题型03：无理数的估算、整数部分或小数部分 【例11】（2024-25奉贤区七年级下期中）已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例12】（2024-25徐汇区七年级下期中）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【例13】（2024-25松江区七年级下期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 题型04：实数概念与分类 【例14】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【例15】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数 C．是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数 【例16】（2024-25普陀区七年级下期中）下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 题型05：实数与数轴 【例17】（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【例18】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，在数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【例19】（2024-25青浦区七年级下期中）如图，将正方形置于数轴上，点A表示的数为3，点B表示的数为4，将正方形绕点A旋转，使得点C落在数轴上的点处，则点所表示的实数为 ； 题型06：实数的倒数、相反数与绝对值 【例20】（1）的倒数是_______； （2）相反数和绝对值都为的实数是_______； （3）的相反数是_______，绝对值是_______，倒数是_______． 【例21】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ． 题型07：实数的大小比较 【例22】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例23】（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）若，则一定是（   ） A．最小，最大 B．最小，a最大 C．最小，a最大 D．最小，最大 【例24】当时，a，，，之间的大小关系是 （用“＞”连接）． 【例25】比较大小： ________；________；________；________． 【例26】（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 题型08：近似数与精确程度 【例27】（23-24七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似值，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ． 【例28】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似值精确到 【例29】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）把圆周率精确到，其近似值为 ． 【例30】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）无锡经济开发区2024年秋学期新开学校8所，新校总投资26.5亿元，总建筑面积36.6万平方米，新增14880个学位．将数据14880用四舍五入法精确到1000，所得近似值用科学记数法表示为 ． 题型09：实数的运算 【例31】计算 (1) (2) 【例32】计算： (1)； (2)． 【例33】计算下列各题． (1)； (2)； (3)． 题型10：新定义下的实数运算 【例34】（2022上·上海杨浦·七年级上海同济大学附属存志学校校考开学考试）在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，则当时，的值 （“”和“”仍为有理数运算中的乘号和减号） 【例35】（2024下·上海崇明·七年级统考期末）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．例如，按此规定， ． 【例36】（2022秋·上海·七年级专题练习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：a*b=，如3*2==，那么12*（3*1）=______． 【例37】（2022春·上海·七年级专题练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4． 给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）=1； ②（2x）=2（x）； ③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x<11； ④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2019x）=m+（2019x）； ⑤（x+y）=（x）+（y）； 其中，正确的结论有__________（填写所有正确的序号）． 【例38】（2022春·上海·七年级专题练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n为非负整数时，若，则（如），给出下列关于<x>的结论： ①若<2x-1>=3，则实数x的取值范围为； ②当x≥0，m为非负整数时，有<x+m>=m+<x>； ③<x+y>=<x>+<y>； 其中，正确的结论有_______（填写所有正确的序号） 题型11：实数运算的实际应用 【例39】（2022上·上海·七年级专题练习）设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是 . 【例40】已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例41】设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【例42】已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【例43】根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 题型12：实数运算中的规律探究 【例44】（2023下·上海闵行·七年级统考期中）观察等式：，，，按上述规律，若，则 ． 【例45】观察下列各式： ＝＝＝2，即＝2 ＝＝＝3，即＝3，那么＝ ． 【例46】观察下列等式，并回答问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)请写出第⑤个等式：______，化简：______； (2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示） (3)比较与1的大小． 【例47】【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式________． (2)请根据上面式子的规律填空：________． (3)计算：． 【例48】观察下列各式：          请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)　　． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 题型13：科学计数法 【例49】将80800用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【例50】“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红．”已知荷花粉的直径大约为米，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【例51】据每日经济新闻报道，DeepSeek App从2025年1月11日上线以来至2025年2月9日，累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9700万．下列说法错误的是（    ） A．1.1亿用科学记数法表示为 B．9700万用科学记数法表示为 C．1.1亿与9700万的差用科学记数法表示为 D．1.1亿与9700万的和用科学记数法表示为 【例52】一个小数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 题型14：综合提升 【例53】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【例54】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 一、选择题 1．（22-23七年级下·上海·期中）在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.（2023-24黄浦区七年级下期中）下列说法：①＝-10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③-3是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2022春•杨浦区校级期中）若a、b是不相等的无理数，则（　　） A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数 C．a•b一定是无理数 D．不一定是无理数 4．（2023-24松江区七年级下期中） ，，，，且 a、b、c、d 为正数，则（    ） A． B． C． D． 5.（24-25七年级上·闵行区·期末）近似值1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.（22-23七年级下上海期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2023-24徐汇区七年级下期中）的相反数是 ． 8.（2023-24普陀区七年级下期中）化简的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 10.（24-25七年级上·安徽淮北·期末）近似值精确到 位． 11.（2023-24位育中学七年级下期中）设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 13．（2023-24嘉定区七年级下期中）下列叙述：①是一个负数；②0的相反数和倒数都是0；③全体实数和数轴上的点一一对应；④一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；⑤实数包括无理数和有理数；⑥两个无理数的和可能是无理数正确的序号是 ． 14．（2022春·上海·七年级期中）如果实数+2与﹣3在数轴上对应的点分别是点A和点B，那么AB的长度为_____． 15．（2022春·七年级单元测试）已知，则______． 16．比较大小： （填“”、“”或“”） 17．比较大小： 填“>”，“<”或“=”）． 18．（2022春·上海·七年级开学考试）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若，则________． 三、解答题 19．（24-25七年级下·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 20．计算： (1)； (2)． 21．计算： (1)． (2)． 22．计算：（1）（2） 23．如图，正方形网格中的小正方形边长与数轴的单位长度都是1． (1)图1中的阴影部分为正方形，它的面积是_________； (2)请利用（1）的解答，在图1的数轴上画出表示的点；并简洁地说明理由． (3)如图2，请你利用正方形网格，设计一个面积方案，在数轴上画出表示，的点，并简洁地说明理由． 24.对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 25．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题19.2 实数 知识点1：有理数的小数形式 1.有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2.分数与小数的互化 （1）分数化成小数的方法：分数化成小数即用分子除以分母. 当分子除以分母能够除尽时，分数可以化成有限小数， （2) 小数化成分数的方法。 知识点2：无理数 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 知识点3：实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 知识点4：实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 知识点5：实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 知识点6：实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 知识点7：实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 题型01：有理数的小数形式 【例1】（2025上海八年级课时作业）下列各数中，能化为有限小数的分数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用有理数的除法法则计算可知． 【详解】解：A、=0.3…，故本选项错误； B、=0.2，故本选项正确； C、=0．42857…，故本选项错误； D、=0．1…，故本选项错误． 故选B． 【例2】（2025上海八年级课时作业）有理数和无理数的区别在于（　　） A．有理数是有限小数，无理数是无限小数 B．有理数能用分数表示，而无理数不能 C．有理数是正的，无理数是负的 D．有理数是整数，无理数是分数 【答案】B 【分析】本题考查有理数与无理数定义的应用，无理数是无限不循环小数，且无限不循环小数不能写成分数的形式，而有理数包括整数和分数，有限小数，无限循环小数，据此对各选项逐一分析即可．掌握有理数和无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：A．有理数可以是无限循环小数，故此选项不符合题意； B．有理数都可以用分数表示，无理数不能，故此选项符合题意； C．有理数和无理数都可以是正数和负数，故此选项不符合题意； D．有理数可以是分数，无理数不能写成分数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【例3】（2025上海八年级课时作业）把循环小数写成分数形式为： ． 【答案】 【分析】利用换元的方法即可求解，具体过程见详解． 【详解】解：设，① ∴，② 用②①得，， ∴，即， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查无限循环小数化分数的方法，掌握换元法求无限循环小数化分数的方法是解题的关键． 【例4】（2025上海八年级课时作业）将化成分数形式，并写出推理过程． 【答案】 解：设，则， ， 解得， 即化成分数形式为； 【例5】（2025上海八年级课时作业）若则______． 【答案】 解：， ． 故答案为：． 题型02：无理数的概念 【例6】（2024春•奉贤区期中）是（　　） A．有理数 B．分数 C．无理数 D．既是分数又是无理数 【分析】本题考查分数与无理数的概念辨析． 【解答】解：是一个无限不循环小数，是无理数，而所有的分数都是有理数，故A、B、D错误． 故选：C． 【点评】本题考查无理数的概念，正确理解无理数是无限不循环小数是解决本题的关键． 【例7】（2024春•杨浦区期末）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数是无限不循环小数 C．不带根号的数一定是有理数 D．无理数就是带有根号的数 【分析】根据无理数的概念判断即可． 【解答】解：A、无限不循环小数都是无理数，本选项说法错误； B、无理数是无限不循环小数，说法正确； C、π不带根号，是无理数， 则不带根号的数一定是有理数，说法错误； D、＝2，2不是无理数，则无理数就是带有根号的数，说法错误； 故选：B． 【点评】本题考查的是无理数的概念，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 【例8】（24-25七年级下·四川德阳·期末）下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根、无理数的定义及实数与数轴的关系．根据实数、无理数的定义和算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A：表示5的算术平方根，而非所有平方根．5的平方根为，故A错误． B：实数与数轴上的点一一对应，是实数，可用数轴上的点表示，故B错误． C：，而，则，故C错误． D：无法表示为两个整数之比，且是无限不循环小数，属于无理数，故D正确． 故选：D． 【例9】（2024-25闵行区七年级下期中）在实数，，0，，，，…相邻两个1之间0的个数逐次加中，无理数的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念及常见形式是关键． 无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数（如…相邻两个1之间0的个数逐次加1），由此即可求解． 【详解】解：，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们是无理数，共4个， 故答案为：4． 【例10】（2023春•静安区期末）在实数3，，0.，，﹣，0，，π，3.14，，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有　　个． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【解答】解：，﹣，π，，0.102030405…（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）是无理数， 故答案为：5个． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 题型03：无理数的估算、整数部分或小数部分 【例11】（2024-25奉贤区七年级下期中）已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 【例12】（2024-25徐汇区七年级下期中）若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 【例13】（2024-25松江区七年级下期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 题型04：实数概念与分类 【例14】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【例15】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．两个无理数的和还是无理数 C．是最大的负数 D．有理数和无理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类以及性质，根据实数的分类以及性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：A．实数分为正实数、负实数和零．所以原分类错误，故此选项不符合题意． B．两个无理数的和可能为有理数．例如，与的和为（有理数），所以原说法错误，故此选项不符合题意． C．负数没有最大值．例如，比大，所以原说法错误，故此选项不符合题意． D．根据实数定义，有理数和无理数统称为实数，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【例16】（2024-25普陀区七年级下期中）下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 题型05：实数与数轴 【例17】（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点表示的数为2， ∴点表示的数为， 故选：B． 【例18】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如图，在数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴与实数，数轴上两点间的距离，解题的关键是会用数轴上的数表示两点间的距离． 由已知易得点与点之间的距离，用点对应的数减去即可． 【详解】解：∵在数轴上表示、的对应点分别为、， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数是，点在点左边， ∴点表示的数是， 故选：． 【例19】（2024-25青浦区七年级下期中）如图，将正方形置于数轴上，点A表示的数为3，点B表示的数为4，将正方形绕点A旋转，使得点C落在数轴上的点处，则点所表示的实数为 ； 【答案】或 【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为3，点B表示的数为4， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 当正方形绕点A逆时针旋转，使得点C落在数轴上的点处时，如图： 此时表示的数为：； 当正方形绕点A逆时针旋转，使得点C落在数轴上的点处时，如图： 此时表示的数为：； 综上：表示的数为：或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查旋转的性质，实数与数轴．解题的关键是熟练掌握旋转的性质，用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 题型06：实数的倒数、相反数与绝对值 【例20】（1）的倒数是_______； （2）相反数和绝对值都为的实数是_______； （3）的相反数是_______，绝对值是_______，倒数是_______． 【答案】（1）；（2）；（3），， 【分析】此题考查了实数的性质，立方根，求实数的相反数，绝对值及倒数，正确理解各定义是解题的关键． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可； 【详解】解：（1）的倒数是， 故答案为：； （2）的相反数是， 的绝对值是， 故相反数和绝对值都为的实数是， 故答案为：； （3）， 故的相反数是，绝对值是，倒数是， 故答案为：，，． 【例21】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，实数的混合运算，根据相反数，倒数和绝对值的意义，得到，分和，两种情况进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴ 或； 故答案为：． 题型07：实数的大小比较 【例22】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 【例23】（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）若，则一定是（   ） A．最小，最大 B．最小，a最大 C．最小，a最大 D．最小，最大 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，选择一个合适的数代入是解题的关键，在所给的范围内选择一个具体的数代入后比较即可． 【详解】 可取，那么 最小，最大． 故选：A． 【例24】当时，a，，，之间的大小关系是 （用“＞”连接）． 【答案】 【分析】根据a的取值范围利用不等式的基本性质判断出，，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，即， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 【例25】比较大小： ________；________；________；________． 【答案】 【分析】分别计算的值即可得出；利用作差法即可得出；判断，，即可得出；得到，即可得出． 【详解】解：∵，∴； ∵，∴； ∵，∴；∵，∴，∴； ∵，∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握解答的方法是关键． 【例26】（2023下·上海宝山·七年级校考阶段练习）若是实数，且，则下列关系式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根，立方根，不等式的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵是实数，且， A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，不等式的性质，实数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型08：近似数与精确程度 【例27】（23-24七年级上·全国·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似值，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ． 【答案】 【分析】根据近似值的精确度进行求解即可． 【详解】解：（）（精确到）； （）（精确到十分位） ； （）（精确到）； （）（精确到个位）； （）（精确到）； （）（精确到千分位）； 故答案为：；；；；；． 【点睛】此题考查了近似值与精确数的接近程度，可以用精确度表示，熟练掌握近似值与精确度的概念是解题的关键． 【例28】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．数精确到千分位是 B．将数精确到千位是 C．按科学记数法表示的数，其原数是 D．近似值精确到 【答案】B 【分析】本题考查了有效数字、精确度和科学记数法等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有效数字、精确度和科学记数法等知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A、数精确到千分位是，故A选项错误； B、将数精确到千位是，故B选项正确； C、按科学记数法表示的数，其原数是，故C选项错误； D、近似值精确到，故D选项错误； 故选：B． 【例29】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）把圆周率精确到，其近似值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求一个数的近似值，掌握四舍五入法是解决此题的关键．把万分位上的数字5四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例30】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）无锡经济开发区2024年秋学期新开学校8所，新校总投资26.5亿元，总建筑面积36.6万平方米，新增14880个学位．将数据14880用四舍五入法精确到1000，所得近似值用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了近似值和科学记数法等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．首先将原数用四舍五入法精确到1000可得15000，再根据科学记数法的表示形式即可获得答案． 【详解】解：14880用四舍五入法精确到1000，所得近似值用科学记数法表示， 可有． 故答案为：． 题型09：实数的运算 【例31】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数运算，熟练掌握算术平方根、立方根和绝对值的性质是解题关键． （1）根据算术平方根，立方根和绝对值的性质计算即可； （1）根据乘方，算术平方根，立方根和绝对值的性质计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【例32】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)120 (2) 【分析】（1）首先进行乘方运算、算术平方根运算和立方根运算，然后再进行乘除运算即可； （2）首先进行立方根运算、算术平方根运算以及乘方运算，然后相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算、乘方运算、平方根、立方根、负整数指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【例33】计算下列各题． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可； （2）先化简绝对值、计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可； （3）先计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的混合运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 题型10：新定义下的实数运算 【例34】（2022上·上海杨浦·七年级上海同济大学附属存志学校校考开学考试）在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，则当时，的值 （“”和“”仍为有理数运算中的乘号和减号） 【答案】 【分析】根据题意所给新运算，得出当时，，，代入进行计算即可． 【详解】解：当时，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要主要考查了新运算，解题的关键是正确掌握题目所给新运算的运算法则． 【例35】（2024下·上海崇明·七年级统考期末）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作．例如，按此规定， ． 【答案】2 【分析】估算的大小，利用新定义计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 则． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是弄清题中的新定义的求解方式． 【例36】（2022秋·上海·七年级专题练习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：a*b=，如3*2==，那么12*（3*1）=______． 【答案】 【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可． 【详解】解：∵3*1====1， ∴12*（3*1）=12*1==， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确理解计算公式是解题关键． 【例37】（2022春·上海·七年级专题练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4． 给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）=1； ②（2x）=2（x）； ③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x<11； ④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2019x）=m+（2019x）； ⑤（x+y）=（x）+（y）； 其中，正确的结论有__________（填写所有正确的序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据题意，可以直接判断①，②和⑤可以举反例判断，③和④可以根据题意利用不等式进行判断. 【详解】解：①（1.493）=1，故①正确； ②（2x）≠2（x），当x=0.3时，（2x）=1，2（x）=0，故②错误； ③若（x-1）=4，则4-≤x-1＜4+，解得:9≤x＜11，故③正确； ④m为整数，故（m+2019x）=m+（2019x），故④正确； ⑤（x+y）≠（x）+（y），例如x=0.3，y=0.4时，（x+y）=1，（x）+（y）=0，故⑤错误； 故答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查学生的理解能力，关键是认真审题，看到所得值是个位数四舍五入的值. 【例38】（2022春·上海·七年级专题练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n为非负整数时，若，则（如），给出下列关于<x>的结论： ①若<2x-1>=3，则实数x的取值范围为； ②当x≥0，m为非负整数时，有<x+m>=m+<x>； ③<x+y>=<x>+<y>； 其中，正确的结论有_______（填写所有正确的序号） 【答案】①② 【分析】根据定义即可判断①；分别表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式，可判断②；用举反例法可判断③. 【详解】解：由题意得： ①∵<2x-1>=3， 则3-≤2x-1＜3+， 解得：≤x＜，故正确； ②设＜x＞=n，则n−≤x＜n+，n为非负整数； ∴(n+m)−≤x+m＜(n+m)+，且n+m为非负整数， ∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞； ③举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1， ∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞， ∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立； 故答案为：①②. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解． 题型11：实数运算的实际应用 【例39】（2022上·上海·七年级专题练习）设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是 . 【答案】±1 【分析】因为x、y为有理数，所以x+2y也是有理数，根据二次根式的性质，只有同类二次根式才能合并，所以x、2y都不能与进行合并，根据实数的性质列出关系式，分别求出x、y的值再代入计算即可求解． 【详解】解：∵x、y为有理数， ∴x+2y为有理数， ∴ 解得 ∴=5-4=1，1的平方根是±1． 故答案为±1． 【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是明确题意，熟悉合并同类项的法则，求出相应的x、y的值． 【例40】已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 【例41】设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【答案】或1/1或 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 【例42】已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【答案】（1）10；（2）见解析 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积； （2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）边长为的正方形，则面积为， 则每个三角形的面积为， 则作图如下： . 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长． 【例43】根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 题型12：实数运算中的规律探究 【例44】（2023下·上海闵行·七年级统考期中）观察等式：，，，按上述规律，若，则 ． 【答案】 【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴第个式子为， ∴第个式子为 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键． 【例45】观察下列各式： ＝＝＝2，即＝2 ＝＝＝3，即＝3，那么＝ ． 【答案】n． 【分析】根据已知等式，可以得出规律，猜想出第n个等式，写出推导过程即可． 【解析】解：＝n． 故答案为：n． 【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键． 【例46】观察下列等式，并回答问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)请写出第⑤个等式：______，化简：______； (2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 【例47】【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式________． (2)请根据上面式子的规律填空：________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可； （2）所给是n+1个式子，根据规律即可得； （3）根据（2）得出的结论可知，利用规律即可得． 【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为， ∴第7个等式为：， 故答案为：； （2）解：根据材料中给出的规律可知：， 故答案为：； （3）解：根据（2）中的规律知， ． 【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，解题的关键是掌握是式子的规律． 【例48】观察下列各式：          请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)　　． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式 ． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导规律计算求解是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：由题意知，． 题型13：科学计数法 【例49】将80800用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：确定的值：将80800的小数点从末尾向左移动，使数值变为1到10之间的数，移动四位后得到8.0800，即； 确定的值：小数点向左移动了四位，因此； 验证结果：，与原数一致， 选项B符合科学记数法的要求，其他选项的或指数均不符合条件． 故选：B． 【例50】“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红．”已知荷花粉的直径大约为米，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 用科学记数法将表示为即可． 【详解】解：由题意可得， 故选：B． 【例51】据每日经济新闻报道，DeepSeek App从2025年1月11日上线以来至2025年2月9日，累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9700万．下列说法错误的是（    ） A．1.1亿用科学记数法表示为 B．9700万用科学记数法表示为 C．1.1亿与9700万的差用科学记数法表示为 D．1.1亿与9700万的和用科学记数法表示为 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：选项A：亿即，符合科学记数法规则，正确，不符合题意； 选项B：9700万即，符合规则，正确，不符合题意； 选项C：亿与9700万的差为，正确，不符合题意； 选项D：亿与9700万的和为，科学记数法应为，而选项D写为，此时不满足，错误，符合题意； 故选：D 【例52】一个小数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，确定a的值以及n的值．先确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可． 【详解】解：∵， ∴原数中“0”的个数为（个）， 故选：C． 题型14：综合提升 【例53】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的估算方法估算出直，据此确定x、y的值，再代值计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ， 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为， ，， ， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴, ∴， ∴， ∴的相反数是． 【例54】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：；． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 【答案】(1)，6，2 (2)当时，，当时，， (3) 【分析】本题主要考查了无理数关于整数部分的计算，估计无理数大小是解题关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，再分和两种情况求解； （3）根据（2）的结论可得，由此求出a，b．代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，∴ ∵，即：，∴； ∵，，∴． 故答案为：，6，2 （2）∵n为整数，， ∴， 当时，， 当时，， （3）由（2）得 ， ， ∴ ∴． 一、选择题 1．（22-23七年级下·上海·期中）在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数． 【详解】∵，， ∴无理数为：（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）． 故选：A． 2.（2023-24黄浦区七年级下期中）下列说法：①＝-10；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③-3是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】根据平方根，算术平方根，立方根，实数与数轴，无理数的定义，实数的分类逐一分析即可． 【规范解答】解：①∵， ∴是错误的； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确； ③∵， ∴-3是的平方根，故说法正确； ④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确； ⑤两个无理数的和可能是有理数，如，故原说法是错误的； ⑥无限不循环小数是无理数，因此无理数都是无限小数，故说法正确； 综上分析可知，正确的是②③④⑥，共4个，故C正确． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了实数的分类，数轴及平方根、立方根、算术平方根的概念，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如 等，也有这样的数． 3．（2022春•杨浦区校级期中）若a、b是不相等的无理数，则（　　） A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数 C．a•b一定是无理数 D．不一定是无理数 【分析】根据有理数和无理数的定义和性质分析即可判定选择项． 【解答】解：A、当a＝2﹣，b＝2+，a+b＝4，a+b是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、当a＝1+，b＝2+，a﹣b＝﹣1，a﹣b是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、当a＝，b＝2，ab＝8ab是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、若a、b是不相等的无理数，则不一定是无理数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的． 4．（2023-24松江区七年级下期中） ，，，，且 a、b、c、d 为正数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，又由，则，，从而得，，又，则，由，则，从而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，a为正数， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题比较实数的大小，熟练掌握实数的大小比较汉则是解题的关键． 5.（24-25七年级上·闵行区·期末）近似值1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似值近似值与精确数的接近程度，可根据近似值的精确度求解． 【详解】解：近似值1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围， 故选：C． 6.（22-23七年级下上海期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出． 由题意可知，面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【规范解答】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：D． 二、填空题 7．（2023-24徐汇区七年级下期中）的相反数是 ． 【答案】/ 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数定义，只有符号不同的两个数叫做相反数，根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 8.（2023-24普陀区七年级下期中）化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 9．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 10.（24-25七年级上·安徽淮北·期末）近似值精确到 位． 【答案】十 【分析】本题考查判断近似值的精确数位，将科学记数法还原，确定数字8所在的数位即可． 【详解】解：，8是十位数字， ∴近似值精确到十位； 故答案为：十． 11.（2023-24位育中学七年级下期中）设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知（其中、为最接近的正整数），则的值为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据计算m、n的值是解决本题的关键． 估算无理数的大小，求得m、n的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，、为最接近的正整数， ∴，， ∴ 故选：C． 13．（2023-24嘉定区七年级下期中）下列叙述：①是一个负数；②0的相反数和倒数都是0；③全体实数和数轴上的点一一对应；④一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；⑤实数包括无理数和有理数；⑥两个无理数的和可能是无理数正确的序号是 ． 【答案】③⑤⑥ 【分析】根据二次根式有意义的条件、相反数和倒数的定义、实数与数轴一一对应关系、平方根的性质、实数的分类和无理数的运算逐一判断即可． 【详解】解：无意义，故①错误； 0的相反数是0，0没有倒数，故②错误； 全体实数和数轴上的点一一对应，故③正确； 一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故④错误； 实数包括无理数和有理数，故⑤正确； 两个无理数的和可能是无理数或有理数，故⑥正确． 故答案为：③⑤⑥． 【点睛】此题考查的是实数的分类、相关概念及运算，掌握二次根式有意义的条件、相反数和倒数的定义、实数与数轴一一对应关系、平方根的性质、实数的分类和无理数的运算是解决此题的关键． 14．（2022春·上海·七年级期中）如果实数+2与﹣3在数轴上对应的点分别是点A和点B，那么AB的长度为_____． 【答案】5 【分析】根据数轴两点间的距离，较大的数减较小的数，可得答案． 【详解】解：由题意，得 （+2）﹣（﹣3）＝+2﹣+3＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用较大的数减较小的数,是解题关键． 15．（2022春·七年级单元测试）已知，则______． 【答案】 【分析】根据完全平方公式求得，将已知代数式的值代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的性质，完全平方公式，掌握实数的混合运算是解题的关键． 16．比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据无理数的估算可得，，由此即可得． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算、算术平方根、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 17．比较大小： 填“>”，“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】根据实数的大小比较的方法，先将两个无理数平方，根据正数平方越大，原实数就越大即可得． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握用作差法比较实数大小是解题的关键． 18．（2022春·上海·七年级开学考试）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，如．若，则________． 【答案】-1 【分析】直接利用新定义得出关于x的方程，进而得出答案． 【详解】解：由，得， ∴，即：， 解得：x=-1， 故答案是：-1． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次方程的解法，正确列出方程是解题关键． 三、解答题 19．（24-25七年级下·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． (1)整数：{　      …}； (2)分数：{　      　…}； (3)无理数：{　      　…}． 【答案】(1)、、0 (2)、、 (3)、、（每两个1之间依次多一个0） 【分析】本题主要考查了实数的分类、无理数、有理数之间的关系，立方根，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数． （1）根据整数的定义进行填空即可； （2）根据分数的定义进行填空即可； （3）根据无理数的定义进行填空即可． 【详解】（1）解：，， ∴整数有：、、0； （2）解：分数有：、、； （3）解：无理数有：、、（每两个1之间依次多一个0）． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】略 21．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，涉及到了零指数幂、负整指数幂、平方根、立方根定义，化简绝对值． （1）原式利用算术平方根及立方根的定义，化简绝对值计算即可得到结果； （2）原式利用算术平方根的定义，化简绝对值，零指数幂、负整指数幂计算即可得到结果． 熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2） ． 22．计算：（1）（2） 【答案】（1）（2） 【详解】解：（1）原式 ． （2） ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，绝对值，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． 23．如图，正方形网格中的小正方形边长与数轴的单位长度都是1． (1)图1中的阴影部分为正方形，它的面积是_________； (2)请利用（1）的解答，在图1的数轴上画出表示的点；并简洁地说明理由． (3)如图2，请你利用正方形网格，设计一个面积方案，在数轴上画出表示，的点，并简洁地说明理由． 【答案】(1)10 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）用大正方形的面积减去三角形的面积即可； （2）找到阴影部分面积为的正方形即可得到答案； （3）找到阴影部分面积为的正方形即可得到答案． 【详解】（1）解：图1中的阴影部分面积为：； 故答案为：10． （2）解：图1中的正方形面积为10， 它的边长为， 在数轴取， 则点A表示的数分别为， （3）解：如图，阴影部分为正方形，面积为5； 所以，其边长为， 在数轴上截取，（数轴的1个单位长度）， 则点K表示的数为，点D表示的数． 【点睛】本题主要考查正方形的性质以及网格，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 24.对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 【答案】（1）， （2），， （3） （4） 【思路引导】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【规范解答】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$