专题07 基本不等式6种常见考法归类讲义（75题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题07 基本不等式6种常见考法归类（75题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对基本不等式的理解 考点二 利用基本不等式比较大小 考点三 利用基本不等式证明不等式 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 （二）配凑法求最值 （1）凑项 （2）凑系数 （3）分离 （三）常数代换法 （四）消元法 （五）不等式法（整体化） （六）对勾函数求最值 （七）多次运用基本不等式 考点五 基本不等式的实际应用 考点六 基本不等式的恒成立问题 知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号） 其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点2：基本不等式的证明 （1）法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） （2）法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点5：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点6：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 策略方法 1.对基本不等式的理解 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． （2）变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 注：（1）不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？ 答案　相同．都是当且仅当a＝b时等号成立． (2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 答案　a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝. 2.运用基本不等式比较大小的注意点 (1)利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小,达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向．　 (2)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (3)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 3.利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 4.对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. (3)基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．　 5.配凑法求最值 其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． 形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 6.常数代换法求最值 常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，灵活运用“1”的代换，在不等式的解题过程中，常常将不等式乘“1”，除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替． 7.消元法求最值 消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． 8.不等式法（整体化）求最值 ①当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值. ②双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 9.对勾函数求最值 当基本不等式等号取不到时（即自变量无法满足 “一正、二定、三相等” 中的 “相等” 条件），可结合对勾函数的单调性求解最值。 10.多次运用基本不等式 多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致. 11.利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 12.求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 考点一 对基本不等式的理解 1．（2025高一·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【解析】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 2．（2025·河北·模拟预测）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【答案】D 【分析】根据基本不等式及求最值的条件，逐一分析判断，即可求解. 【解析】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确， 对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则， 求和的最小值，需要乘积为定值，而不为定值，所以（3）错， 故选：D. 3．（2025高一·内蒙古兴安盟·阶段练习）数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得，且，即可得答案. 【解析】由题设，且， 其中，或， 且， 由图知，即. 故选：A 4．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】BC 【分析】根据不等式成立的条件即可判断． 【解析】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 5．（2025高二·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解. 【解析】∵，，∴，当且仅当时等号成立， 若时，，则， 即“”是“”的必要不充分条件， 而无法推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 考点二 利用基本不等式比较大小 6．【多选】（2025高一·湖南娄底·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断AD选项，利用基本不等式可判断BC选项. 【解析】对于A选项，对任意的、，，即， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，当，时，由A选项可知， 则，故， 当且仅当时，等号成立， 故，B对； 对于C选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C错； 对于D选项，因为，，则， 故，D对. 故选：ABD. 7．（2025·北京）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 8．【多选】（2025·四川泸州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及不等式的性质依次判断各项的正误. 【解析】用替代中的，得到，当且仅当时取等号，故A正确； 取，则，故B错误； ，当且仅当时取等号，故C正确； 因为，所以， 即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 9．（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【解析】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 10．【多选】（2025高一·贵州·期末）已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项ABD利用不等式即可判断，而选项C举反例.即可得到答案. 【解析】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。 对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确. 对于选项C：当时，，故C错误. 对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：ABD 考点三 利用基本不等式证明不等式 11．（25-26高一·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【解析】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 12．（25-26高一·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解析】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 13．（2025高一·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【解析】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 14．（2024高一·全国·专题练习）已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先将证明的式子进行化简，运用已知条件，基本不等式“1”妙用即可计算证明. 【解析】证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立. 15．（2025高一·陕西西安·阶段练习）（1）已知，求证：. （2）设均为正实数，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可得证； （2）由，结合基本不等式，得到，进而得证. 【解析】（1）证明：由 ， 当且仅当时，等号成立， 所以. （2）证明：由 因为均为正实数，所以， 当且仅当时，等号同时成立， 所以， 所以 考点四 利用基本不等式求最值 （1） 直接法 16．（25-26高一·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【解析】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 17．（25-26高一·全国·课前预习）已知，若，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可. 【解析】因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2． 故答案为：2 18．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式直接求解． 【解析】因为，所以， 则，等号成立时，， 得函数的最小值为: 故答案为： 19．（2025高一·甘肃武威·期末）已知，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】由基本不等式直接进行求解即可. 【解析】，且，则， 当且仅当，即，即时，等号成立. 的最小值是8. 故答案为：8 20．（2025高二·安徽蚌埠·期末）已知，，若，则的（   ） A．最小值为4 B．最大值为4 C．最小值为8 D．最大值为8 【答案】A 【分析】由基本不等式即可求解. 【解析】由于，，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故选：A （二）配凑法求最值 （1） 凑项 21．（2025高一·河北唐山·期中）已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】，利用基本不等式可求最大值. 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 22．（2025高一·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解析】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 23．（2025高一·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【解析】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 24．（2025高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； 【答案】1 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最大值即可. 【解析】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． 25．（2025高一·全国·专题练习）若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，可得，利用均值不等式可求最小值. 【解析】因为， 令，则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：． （2） 凑系数 26．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得最值. 【解析】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立， 综上所述的最大值为， 故选：D. 27．（2025高一·全国·课前预习）已知，求的最大值； 【答案】 【分析】利用基本不等式,结合构造和为定值来求积的最大值，并注意说明取等号条件. 【解析】∵，∴， ∴， ∴当且仅当， 即时，． 28．（2025高二·广东深圳·期末）若正实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求最大值. 【解析】因为正实数，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 29．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【解析】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 30．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. （3） 分离 31．（2025高一·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【解析】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 32．（2025高一·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解析】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 33．（2025高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【解析】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 34．（2025高一·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得. 【解析】因关于的方程有两个相等的正根， 所以，所以. ， 当且仅当时取等号，所以有最大值. 故选：B. 35．（2025高一·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解. 【解析】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. （三）常数代换法 36．（2025高一·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 【答案】D 【分析】由均值不等式计算可得结果. 【解析】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 37．（25-26高三·江苏扬州·阶段练习）设，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合基本不等式即可求解最值. 【解析】由，，， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 38．（25-26高一·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【解析】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 39．（2025高三·全国·专题练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】解法一，利用代换法和均值不等式即可求解； 解法二，由权方和不等式：已知均为正实数，则，当且仅当时等号成立．来求解即可； 解法三，利用等式消元化为函数来求值域即可. 【解析】解法一：因为，， 所以 则 当且仅当时，取得最小值2. 解法二：由权方和不等式可得：， 当且仅当时，取得最小值2. 解法三：（消元化为函数值域法）由得，由，则， 即． 故当时，取得最小值为2. 故选：B. 40．（25-26高一·全国·课堂例题）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 41．（2025高二·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【解析】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 42．（2025高二·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【解析】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 43．（2025·福建泉州·模拟预测）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，，将代数式与相乘，展开后可求出的最小值. 【解析】因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 44．（2025高三·山东聊城·阶段练习）已知，为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由已知等式，对代数式整理，然后借助基本不等式确定代数式的最小值. 【解析】∵，为正实数，∴，， 又， ∴ ， 当且仅当，即，即，时取等号， 故当，时，取得最小值. 故选：B 45．（2025高三·辽宁沈阳·开学考试）若，，，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的代换法求解. 【解析】，，，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为16. 故选：A． （四）消元法 46．（2024高三·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【解析】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 47．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【解析】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 48．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据题设条件，求出，代入所求式，将其整理，运用基本不等式即可求得. 【解析】由可得：，将其代入，则有：， 因，故有：， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故答案为：. 49．（2025高一·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【解析】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 50．（2025·安徽安庆·模拟预测）若正数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】变形得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【解析】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： （5） 不等式法（整体化） 51．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【解析】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 52．（2025高一·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D． 【答案】A 【分析】由已知等式化简后用基本不等式即可解得结果. 【解析】∵，，， ∴， 令，则，即， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为4． 故选:A． 53．（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【解析】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 54．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求最值. 【解析】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立， ，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时，等号成立， 即，解得，或（舍去），故B错误； 对于C：， 令，，即，故C正确； 对于D，，令，，即，故D不正确， 故选：C． （6） 对勾函数求最值 55．（2025高三·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可判断. 【解析】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误. 故选：C. 56．（2025高一·全国·课后作业）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选项A，利用排除法，当时，； 选项B，由配方法，可得； 选项C，利用基本不等式，可得解； 选项D，采用换元法，令，则，再结合对勾函数的图象与性质，得解． 【解析】选项A，当时，，即A不符合题意； 选项B，，即B不符合题意； 选项C，，当且仅当，即时，等号成立，即C符合题意； 选项D，令，则在上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即D不符合题意． 故选：C． 57．（2025高二·陕西宝鸡·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 【答案】B 【分析】对于A，分、利用基本不等式求解即可； 对于B，由题意可知，利用基本不等式求解即可； 对于C，D由对勾函数的性质求解即可. 【解析】解：对于A，当时，，当时，等号成立； 当时，，当时，等号成立； 所以或，故错误； 对于B，因为，所以， 所以，当，即时，等号成立，故正确； 对于C，因为， 所以， 令，则有， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 所以，故错误； 对于D，因为，所以， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 即，故错误. 故选：B. 58．（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的最值为（   ） A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3 【答案】C 【分析】配凑目标式，利用基本不等式，即可求得目标式的最值. 【解析】因为，故，当且仅当时取得最小值3； 令，对函数，其在单调递减，在单调递增，无最大值. 故时，无最大值. 故选：C. 59．（2025高一·北京西城·期中）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先判断在上单调递增，再由单调性求最值即可 【解析】由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 故选：C （7） 多次运用基本不等式 60．（2025·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】64 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【解析】法一：因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最小值为64． 法二：因为，，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为64． 故答案为：64. 61．（2025·天津·模拟预测）已知，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】化简原式为，两次运用基本不等式可得结果. 【解析】 ， 当且仅当，即等号成立， 所以，的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 62．（2025高三·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值. 【解析】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 63．（2025·天津·模拟预测）设，那么 的最小值是 . 【答案】16 【分析】利用均值不等式求的最大值表达式，再利用均值不等式求解作答. 【解析】因，则，当且仅当，即时取“=”， 因此，，当且仅当，即时取“=”， 所以，当时，取最小值16. 故答案为：16 64．（2025高二·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得，再次利用基本不等式即可求解. 【解析】由于，故， ，当且仅当时，取等号， ，当且仅当时，原式取得最小值， 故选：D. 考点五 基本不等式的实际应用 65．（2025高一·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【解析】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 66．（2025高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【解析】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 67．（2025高一·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【解析】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 68．（2025高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 【答案】 【分析】设长方体长为m，高为m，依题意，可求得，利用基本不等式可求得，从而可得车厢的最大容积． 【解析】设长方体长为m，高为m，则有，即． ∵，当且仅当时，取等号 ∴，即，解得 ∴ ∴，当且仅当时，等号成立 ∴车厢的最大容积是 故答案为：． 69．（2025高一·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)米 【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案； （2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证； （3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值. 【解析】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）解：由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）解：做 成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 考点六 基本不等式的恒成立问题 70．（2025高一·全国·专题练习）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，将问题转化为对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，可设及，然后通过基本不等式求得答案. 【解析】由题意得，，整理得． 设，则， 再设，则 ，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以，即实数的最小值为． 故答案为：. 71．（2025高三·全国·专题练习）已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【解析】已知，，， 恒成立等价于恒成立. 又，则， . ，即， 解得（舍去）或， 的最小值为， 故选：B. 72．（2025高二·山东济宁·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得，得到，得到，令，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【解析】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 73．（2025高一·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【解析】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 74．（2025高一·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【解析】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 75．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可. 【解析】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题07 基本不等式6种常见考法归类（75题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对基本不等式的理解 考点二 利用基本不等式比较大小 考点三 利用基本不等式证明不等式 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 （二）配凑法求最值 （1）凑项 （2）凑系数 （3）分离 （三）常数代换法 （四）消元法 （五）不等式法（整体化） （六）对勾函数求最值 （七）多次运用基本不等式 考点五 基本不等式的实际应用 考点六 基本不等式的恒成立问题 知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号） 其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点2：基本不等式的证明 （1）法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） （2）法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点5：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点6：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 策略方法 1.对基本不等式的理解 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． （2）变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 注：（1）不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？ 答案　相同．都是当且仅当a＝b时等号成立． (2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？ 答案　a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝. 2.运用基本不等式比较大小的注意点 (1)利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小,达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向．　 (2)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形． (3)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 3.利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 4.对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面 (1)不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. (3)基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”．　 5.配凑法求最值 其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． 形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 6.常数代换法求最值 常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，灵活运用“1”的代换，在不等式的解题过程中，常常将不等式乘“1”，除以“1”或将不等式中的某个常数用等于“1”的式子代替． 7.消元法求最值 消元法，即根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． 8.不等式法（整体化）求最值 ①当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值. ②双换元求最值：若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 9.对勾函数求最值 当基本不等式等号取不到时（即自变量无法满足 “一正、二定、三相等” 中的 “相等” 条件），可结合对勾函数的单调性求解最值。 10.多次运用基本不等式 多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致. 11.利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 12.求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 考点一 对基本不等式的理解 1．（2025高一·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 2．（2025·河北·模拟预测）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 3．（2025高一·内蒙古兴安盟·阶段练习）数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 4．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 5．（2025高二·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 利用基本不等式比较大小 6．【多选】（2025高一·湖南娄底·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．【多选】（2025·四川泸州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2025高一·贵州·期末）已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 考点三 利用基本不等式证明不等式 11．（25-26高一·全国·课后作业）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 12．（25-26高一·全国·单元测试）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 13．（2025高一·四川成都·期中）已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 14．（2024高一·全国·专题练习）已知a，b，c均为正实数，且．求证：． 15．（2025高一·陕西西安·阶段练习）（1）已知，求证：. （2）设均为正实数，求证：． 考点四 利用基本不等式求最值 （1） 直接法 16．（25-26高一·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（25-26高一·全国·课前预习）已知，若，则的最大值为 ． 18．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 19．（2025高一·甘肃武威·期末）已知，且，则的最小值是 . 20．（2025高二·安徽蚌埠·期末）已知，，若，则的（   ） A．最小值为4 B．最大值为4 C．最小值为8 D．最大值为8 （二）配凑法求最值 （1） 凑项 21．（2025高一·河北唐山·期中）已知，则的最大值为 . 22．（2025高一·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．（2025高一·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 24．（2025高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； 25．（2025高一·全国·专题练习）若，，则的最小值为 ． （2） 凑系数 26．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 27．（2025高一·全国·课前预习）已知，求的最大值； 28．（2025高二·广东深圳·期末）若正实数，满足，则的最大值是 ． 29．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．（2025高三·全国·专题练习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． （3） 分离 31．（2025高一·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 32．（2025高一·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 33．（2025高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．（2025高一·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 35．（2025高一·全国·阶段练习）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． （三）常数代换法 36．（2025高一·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 37．（25-26高三·江苏扬州·阶段练习）设，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高一·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 39．（2025高三·全国·专题练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 40．（25-26高一·全国·课堂例题）若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 41．（2025高二·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 42．（2025高二·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 43．（2025·福建泉州·模拟预测）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 44．（2025高三·山东聊城·阶段练习）已知，为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 45．（2025高三·辽宁沈阳·开学考试）若，，，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 （四）消元法 46．（2024高三·上海·竞赛）若正实数满足，则的最小值是 . 47．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，，则的最小值为 ． 48．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是 ． 49．（2025高一·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 50．（2025·安徽安庆·模拟预测）若正数x，y满足，则的最小值是 . （5） 不等式法（整体化） 51．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 52．（2025高一·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D． 53．（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 54．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． （6） 对勾函数求最值 55．（2025高三·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 56．（2025高一·全国·课后作业）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 57．（2025高二·陕西宝鸡·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 58．（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的最值为（   ） A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3 59．（2025高一·北京西城·期中）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． （7） 多次运用基本不等式 60．（2025·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 61．（2025·天津·模拟预测）已知，则的最小值为 . 62．（2025高三·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 63．（2025·天津·模拟预测）设，那么 的最小值是 . 64．（2025高二·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 考点五 基本不等式的实际应用 65．（2025高一·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 66．（2025高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      67．（2025高一·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 68．（2025高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 69．（2025高一·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 考点六 基本不等式的恒成立问题 70．（2025高一·全国·专题练习）若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 71．（2025高三·全国·专题练习）已知，若对任意正数，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 72．（2025高二·山东济宁·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 73．（2025高一·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 74．（2025高一·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 75．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 $$