2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册第二章2.4用因式分解法求解一元二次方程 一、选择题 1．方程的根是（　　） A． B． C．， D．， 2．已知三角形的两边分别是3和5，第三边是方程的根，则这个三角形的周长为（　　） A． B．或 C． D．9 3．设，则的值为（　　） A．或3 B．或5 C．3 D．5 4．硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 5．若方程x2+px+q＝0的根是2和3，那么代数式x2-px+q可分解因式为（　　） A．（x-2）（x-3） B．（x+2）（x+3） C．（x+2）（x-3） D．（x-2）（x+3） 6．某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（　　）． A．10米 B．12米 C．15米 D．10或15 7．解方程，最适当的解法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 8．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A．12 B．9 C．15 D．12或15 9．的解为（　　） A． ， B．， C． D． 10．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．一元二次方程的解为　 　． 12．若，则　 　． 13．如下图，社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为160平方米．求通道的宽是　 　米． 14．用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则p的值是　 　． 15．在解一元二次方程 时，小红看错了常数项 n ，得到方程的两个根是 ．小明看错了一次项系数m ，得到方程的两个根是，则原来的方程的根为　 　． 16．若直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的面积是　 　． 17．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成六块作试验田，要使实验田总面积为570，问道路应为多宽　 　． 三、计算题 18．用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 19．解下列方程： （1）； （2）． 四、解答题 20．如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答： （1）若苗圃园的面积为，求x的值； （2）苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 21．在解方程时，嘉淇同学的解答如下： 解：将方程左边分解因式，得，…① 方程两边都除以，得，…② 解得．…③ （1）已知嘉淇的解答是错误的，开始出现错误的步骤是　 　(填序号)； （2）请给出正确的解答过程． 22．书画装裱是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国民族传统的一门特殊艺术．图1是《千里江山图》，它是长为，宽为的矩形，现要在该画的四周外围镶上一条宽度相同的边衬，制成一幅挂图，如图2，若整幅挂图的面积为，则挂图的边衬的宽度是多少？设边衬的宽度为． （1）挂图的长为______cm，宽为______cm．（用含的代数式表示） （2）请列出方程，并求出的值． 23．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（不用篱笆围），设AD长为米. （1）用含有的代数式表示边AB的长，并直接写出的取值范围； （2）当矩形场地的面积为160平方米时，求AD的长． 24．用一根长为的铁丝围成一个矩形． （1）当矩形面积为时，长、宽分别是多少？ （2）能围成面积为的矩形吗？请说明理由． 25．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：； （2）已知实数，满足，求的值． 26．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． （1）当_________时，？当_________时，的长度为？ （2）连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】， 12．【答案】4 13．【答案】3 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】6 17．【答案】m 18．【答案】（1） （2） 19．【答案】（1）， ； （2）． 20．【答案】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：x的值为9； （2）解：苗圃园的面积不能达到，理由如下：假设苗圃园的面积能达到， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到． 21．【答案】（1）② （2）解： ， 将方程左边分解因式，得： ， 移项得： ， 因式分解得： ， 故 或 ， 解得： ， 22．【答案】（1）； （2） 23．【答案】(1) (36-2x)米，；(2)10米． 24．【答案】（1）解：设矩形的长为，则宽为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时， ，不合题意，舍去； 当时， ，符合题意， 答：当矩形面积为时，长为，宽为； （2）不能围成，理由如下： 设矩形的长为，则宽为， 依题意得：， 整理得：， ， 该方程无解， 不能围成面积为的矩形． 25．【答案】（1），； （2）． 26．【答案】（1）；4 （2）存在， （3）存在， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$