2.4　用因式分解法求解一元二次方程课件--2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级 上册 北师版 数学 4　用因式分解法求解 一元二次方程 第二章 一元二次方程 - 4　用因式分解法求解一元二次方程 探究与应用 课堂小结与检测 第二章　一元二次方程 探究　用因式分解法解一元二次方程 [问题情境] 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等,这个数是几?你是怎样求出来的? 探究与应用 [尝试计算] 小颖、小明、小亮都设这个数为x,根据题意,可得方程x2=3x.他们的解法如下: 小颖:解:由方程x2=3x,得x2-3x=0. 因此x=,所以x1=0,x2=3.所以这个数是0或3. 小明:解:方程x2=3x两边同时约去x,得x=3.所以这个数是3. 小亮:解:由方程x2=3x,得x2-3x=0,即x(x-3)=0.于是x=0,或x-3=0. 因此x1=0,x2=3.所以这个数是0或3. 他们做得对吗?为什么?你是怎么做的? 探究与应用 解:小颖的解法是正确的,她用了公式法解方程.小明的解法是错误的.因为方程两边同时约去x,要保证x≠0.丢掉了一个根.小亮的解法正确,他运用了因式分解法.求解本题还可以用配方法. 探究与应用 [概括新知] 因式分解法:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解 成两个一次因式的　　　　时,就可以根据“a·b=0,则a=0或 b=0”将方程转化为两个一元一次方程来求解,这种解一元二 次方程的方法称为因式分解法.  乘积 探究与应用 应用一　运用因式分解法求解一元二次方程 例1 (教材典题)解下列方程: (1)5x2=4x; 　 解:原方程可变形为 5x2-4x=0, x(5x-4)=0. x=0,或5x-4=0. ∴x1=0,x2=. 探究与应用 (2)x(x-2)=x-2. 解:原方程可变形为 x(x-2)-(x-2)=0, (x-2)(x-1)=0. x-2=0,或x-1=0. ∴x1=2,x2=1. 探究与应用 变式 解下列方程: (1)x2-9=2(x+3); 解:原方程可变形为 (x+3)(x-3)-2(x+3)=0, (x+3)(x-3-2)=0. x+3=0,或x-3-2=0. ∴x1=-3,x2=5. 探究与应用 (2)(2x+1)2=5(1+2x); 解:原方程可变形为 (2x+1)2-5(2x+1)=0, (2x+1)(2x+1-5)=0. 2x+1=0,或2x+1-5=0. ∴x1=-,x2=2. 探究与应用 (3)x(2x-5)=10-4x. 解:原方程可变形为 x(2x-5)+2(2x-5)=0, (2x-5)(x+2)=0. 2x-5=0,或x+2=0. ∴x1=,x2=-2. 探究与应用 例2 (教材典题)用因式分解法解下列方程: (1)x2-4=0; 　　 解:原方程可变形为 (x+2)(x-2)=0. x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2,x2=2. 探究与应用 (2)(x+1)2-25=0. 解:原方程可变形为 (x+1+5)(x+1-5)=0. x+1+5=0,或x+1-5=0. ∴x1=-6,x2=4. 探究与应用 变式 解方程:(x+3)2=(1-2x)2. 解:原方程可变形为(x+3)2-(1-2x)2=0, (x+3+1-2x)(x+3-1+2x)=0. x+3+1-2x=0,或x+3-1+2x=0. ∴x1=4,x2=-. 探究与应用 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)移——方程的右边等于0; (2)分——方程的左边因式分解成乘积的形式; (3)化——方程化为两个一元一次方程; (4)解——写出方程的两个解. 懂 步骤 探究与应用 应用二　灵活运用一元二次方程的解法 例3 选用适当的方法,解下列方程: (1)x2+8x-5=0; 　　  解:移项,得x2+8x=5. 配方,得x2+8x+16=5+16, 即(x+4)2=21. 开平方,得x+4=±. ∴x1=-4+,x2=-4-. 探究与应用 (2)2x2+5x+2=0; 解:这里a=2,b=5,c=2. ∵b2-4ac=52-4×2×2=9>0, ∴x=, 即x1=-,x2=-2. 探究与应用 (3)(2x+3)2=4(2x+3). 解:原方程可变形为(2x+3)2-4(2x+3)=0, (2x+3)(2x+3-4)=0. 2x+3=0,或2x+3-4=0. ∴x1=-,x2=. 探究与应用 十字相乘法解一元二次方程 (1)将x2+2x-35分解因式,我们可以按下面的方法解答: 解:步骤:①竖分二次项与常数项: x2=x·x,-35=(-5)×(+7); ②交叉相乘,验中项:7x-5x=2x; ③横向写出两因式:x2+2x-35=(x+7)(x-5). 【延伸拓展】 探究与应用 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相 乘法. (2)根据乘法原理:若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解下列方程: ①x2-10x+21=0; ②x2+2x=8; ③x2-5x-6=0. 探究与应用 解:①左边分解因式,得(x-3)(x-7)=0. x-3=0,或x-7=0. ∴x1=3,x2=7. ②整理,得x2+2x-8=0. 左边分解因式,得(x-2)(x+4)=0. x-2=0,或x+4=0. ∴x1=2,x2=-4. 探究与应用 ③左边分解因式,得(x-6)(x+1)=0. x-6=0,或x+1=0. ∴x1=6,x2=-1. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 列一元二 次方程 数学问题 解一元二次方程 分析 因式分解法 尝试计算 解法探究 应 用 求解 课堂小结与检测 [检测]　 1.方程x(2x+1)=0的解为　　　　　　.  2.一元二次方程x(2x-5)=4x-10的根是　　　　　　.  x1=0,x2=- x1=,x2=2 课堂小结与检测 3.解下列方程: (1)2(x-3)=3x(3-x); 解:方程可变形为2(x-3)+3x(x-3)=0, (x-3)(3x+2)=0. x-3=0,或3x+2=0. ∴x1=3,x2=-. 课堂小结与检测 (2)(x-2)2-16=0; (3)2x2-7x+6=0. 解:(2)方程可变形为(x-2+4)(x-2-4)=0. x-2+4=0,或x-2-4=0. ∴x1=-2,x2=6. (3)方程可变形为(2x-3)(x-2)=0. 2x-3=0,或x-2=0. ∴x1=,x2=2. 课堂小结与检测 谢 谢 观 看！ $$