山东省滕州市滕南中学2025-2026学年上学期八年级数学上册(北师大版)第1周周清试卷

八年级数学上册(北师大版)第1周周清试题 时间60分钟 满分100 班级 姓名 分数 一．选择题（每题4分，共32分） 1．如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（     ） A．6 B．5 C．8 D．7 2．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ） A． B． C． D． 3．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人玩跑步游戏，两人从同一地点同时出发，甲往西跑了12米，乙往北跑了16米，此时他们两人之间的距离为（    ） A．16米 B．20米 C．24米 D．32米 5．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 6．如图，一根长的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分，交于点，，，，则点到的距离为（   ） A．3 B．2.4 C．4 D．5 8．如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（    ）    A．小时 B．2小时 C．小时 D．4小时 二．填空题（每题4分，共16分） 9．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面8米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为15米，则这棵大树在折断前的高度为 米．    10．如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 11．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，底端离墙的距离为，当梯子下滑到时，，则 m． 12．如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ． 三．解答题（共52分） 13．（8分）已知在中，，，，，过点作于点． (1)求的长； (2)求的长． 14．（8分）如图，在四边形中，，，，，对角线．求四边形的面积． 15．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，求阴影部分面积. 16． （8分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，求AE2-CE2的值． 17．（10分）在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 18．（10分）如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 答案解析 八年级数学上册(北师大版)第1周周清试题 时间60分钟 满分100 班级 姓名 分数 一．选择题（每题4分，共32分） 1．如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（     ） A．6 B．5 C．8 D．7 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案． 【详解】解：每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， ∴由勾股定理得：； 故选：D． 2．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ） A． B． C． D． 【详解】 试题分析：找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形，有4个点满足条件．所以P（△ABC为直角三角形）=， 故选D 考点：1、直角三角形的判定  2、概率 3．《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意利用勾股定理可直接进行列式求解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高为尺， 由题意得：； 故选：A． 4．甲、乙两人玩跑步游戏，两人从同一地点同时出发，甲往西跑了12米，乙往北跑了16米，此时他们两人之间的距离为（    ） A．16米 B．20米 C．24米 D．32米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到直角三角形，并掌握勾股定理是解题关键．根据题意得甲乙二人所走路线构成一个直角，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，甲乙二人所走路线构成一个直角，即，，， 在中， ． 故选B. 5．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到海里，海里，海里，则可得，由勾股定理的逆定理得到，进而求出，则智能号轮船的航行方向是北偏东． 【详解】解：由题意得，海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵胜利号轮船沿北偏西方向航行， ∴， ∴， ∴智能号轮船的航行方向是北偏东， 故选：A． 6．如图，一根长的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：牙刷在杯内的长度，最短为竖直放置时长度为水杯高，此时露在杯子外面的长度为，最长； 当牙刷倾斜放置对角线位置时，杯内长度最长为，此时露在杯外的长度最短为． ∴， 故选：C． 7．如图，在中，平分，交于点，，，，则点到的距离为（   ） A．3 B．2.4 C．4 D．5 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵平分， ∴点到的距离， 故选：A． 8．如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（    ）    A．小时 B．2小时 C．小时 D．4小时 【分析】利用角度关系得到直角，再利用勾股定理求出，再使用路程公式求出时间即可． 【详解】， 连接，    中， 巡航船前去救助，沿直线方向用时最少， 故选C． 【点拨】本题考查解直角三角形，利用题中的数据找到直角三角形，并采用勾股定理求出路程是解题的关键． 二．填空题（每题4分，共16分） 9．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面8米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为15米，则这棵大树在折断前的高度为 米．    【分析】利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得： 在中，，（米），（米）， （米）， 这棵大树在折断前的高度为：（米）， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10．如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法，角平分线的性质，勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，求出；过点作，根据角平分线的性质，勾股定理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 根据作图可得是角平分线，如图所示，过点作于点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：， ． 11．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，底端离墙的距离为，当梯子下滑到时，，则 m． 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用．在中，根据勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理，可得：（米）， （米）， 在中，（米）， （米）， 故答案为：2． 12．如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ． 【分析】此题考查了平行线的性质、勾股定理．根据角平分线定义及平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ， ， ，， ， 于点， ， 故答案为：4． 三．解答题（共52分） 13．（8分）已知在中，，，，，过点作于点． (1)求的长； (2)求的长． 【分析】本题考查了勾股定理； （1）中，由勾股定理得，进而根据，即可求解； （2）根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：，，， 中，由勾股定理得：， ． （2）， ， ， ． 14．（8分）如图，在四边形中，，，，，对角线．求四边形的面积． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．在中，利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形的面积等于的面积与的面积之和即可得． 【详解】解：， 是直角三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， 则四边形的面积为： ， ． 15．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，求阴影部分面积. 【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵AB=5，AC=4， ∴， S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积 = = = = = =6. 【点拨】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键． 15．（8分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边．求水深和芦苇长各是多少尺？ 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， 即水深尺，芦苇长尺． 17． （8分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，求AE2-CE2的值． 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 17．（10分）在中，，进行如下操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为，若，，求的长； (2)如图2，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，，求的长． 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用． （1）由折叠的性质可得，然后设，，然后根据勾股定理即可求出． （2）由勾股定理求出，由折叠的性质可得：，进而求出，设，则，，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：， ∴在中， 设，则， 即 解得：， 即． （2）在， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 设，则，， 则， 解 解得：， 即． 18．（10分）如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题． （1）根据题意可知构成直角三角形，设，根据勾股定理即可求得的长度； （2）过点D作，垂足为F，于是构成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度． 【详解】（1）设旗绳的长度为，则旗杆的长为， 解得：，即． 答：旗绳的长度为． （2）由题意可知： 过点D作，垂足为F， 则， 答：标杆与旗杆的水平距离为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$