专题03正方形的性质与判定重难点题型专训（2个知识点+19大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2012）

专题03正方形的性质与判定重难点题型专训 （2个知识点+19大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 正方形性质理解 题型二 根据正方形的性质求角度 题型三 根据正方形的性质求线段长 题型四 根据正方形的性质求面积 题型五 正方形折叠问题 题型六 求正方形重叠部分面积 题型七 根据正方形的性质证明 题型八 正方形的判定定理理解 题型九 添一个条件使四边形是正方形 题型十 证明四边形是正方形 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 题型十五 中点四边形 题型十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型十七 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十八 四边形中的线段最值问题 题型十九 四边形其他综合问题 拓展训练一 方形的性质应用 拓展训练二 正方形折叠、重叠问题 拓展训练三 正方形的证明，判定及应用 拓展训练四 特殊平行四边形 知识点一：正方形的性质 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【即时训练】 1.（23-24九年级·广西南宁·期中）学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（    ） A．平行四边形，正方形 B．正方形，菱形 C．正方形，矩形 D．矩形，菱形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊的平行四边形，正确理解矩形，菱形，正方形之间的关系是解题的关键． 根据特殊的平行四边形的概念判断即可． 【详解】解：∵矩形和菱形是特殊的平行四边形，正方形即是菱形也是矩形， ∴是正方形，是菱形， 故选：B 2.（23-24九年级·湖北武汉·期末）下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（    ） A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角 【答案】A 【分析】利用正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质依次判断可求解． 【详解】解：菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直； 矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等； 正方形具有菱形和矩形的性质， 故选项B，C，D不符合题意； 菱形不具有的性质为：对角线长度相等， 故选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，注意熟记各性质定理是解此题的关键． 知识点二：正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 【即时训练】 1.（23-24九年级·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形． 甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形； 乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形． 下列判断正确的是（    ）    A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】D 【分析】利用折叠的性质和菱形、矩形、正方形的判定即可得出答案． 【详解】解∶①按照图①折叠，可得四边形的四边相等，原四边形是菱形或正方形； ②按照图②折叠，可得四边形的四个角相等，不能得四条边相等，原四边形是矩形； 故选∶ D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形、矩形、正方形的判定等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 2.（23-24九年级·重庆荣昌·期末）下列命题： ①对角线相等的菱形是正方形； ②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； ③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形； 其中是真命题的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意； 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意． 真命题有个， 故选A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度中等． 【经典例题一 正方形性质理解】 【例1】（24-25九年级上·广东清远·期末）下列的性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，比较正方形和矩形的性质，找出正方形具备而矩形不一定具备的特征即可． 【详解】解：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直；而正方形的对角线不仅相等、互相平分，还互相垂直， 因此“对角线互相垂直”是正方形具备而矩形不一定具备的性质． 故选：D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 【答案】(1)为直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、比例关系、勾股定理及其逆定理等初中数学知识点，解题关键在于通过设定正方形边长，利用比例关系计算各线段长度，再应用勾股定理验证直角三角形的条件，最后结合正方形面积求解目标线段的长度，体现了数学建模和逻辑推理的能力． （1）可通过设正方形边长，利用勾股定理计算三边平方关系来确定； （2）先由正方形面积得出边长的平方，再结合第（1）问结论求的长． 【详解】解：（1）为直角三角形．理由如下： 设正方形的边长为，则． 是的中点， ． 在正方形中， 在中，； 在中，； 在中，， ， 为直角三角形； （2）因为正方形的面积为16， ， ， （负值已舍去）． 1．（2025·河南驻马店·三模）下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（   ） A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质，它是中心对称图形，经过正方形的对称中心作互相垂直的两条线段，这两条线段把正方形分成的四部分面积相等． 【详解】解：如图，连接交于点O，则点O是正方形的对称中心； 则沿裁剪，分成面积相等的四部分； 当过点O，且时，沿裁剪，也分成面积相等的四部分； 一般地，只要沿着过正方形中心O裁剪，且裁剪的两刀相互垂直，则可以分成面积相等的四部分，因此裁剪方案有无数种； 故选：D． 2．（24-25八年级下·山西大同·期末）在正方形中，，则正方形的周长为（   ） A．9 B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质．根据正方形的性质，四条边长度相等，周长等于边长的4倍计算即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴正方形的周长为， 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）正方形具有而矩形不具有的性质：两条对角线互相垂直，并且每条对角线 ． 【答案】平分一组对角 【分析】根据正方形的性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】正方形具有而矩形不具有的性质：两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角， 故答案为：平分一组对角． 4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图2中，画出的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键． （1）连接正方形和矩形的对角线交于，作直线交于点，点即为所求； （2）延长交于点，则四边形是矩形，连接正方形和矩形的对角线，交于，作直线交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图点为所作中点 （2）解：如图点为所作中点 【经典例题二 根据正方形的性质求角度】 【例1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，为正方形对角线上的一点，过点作于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 根据正方形的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形中，F是对角线上一点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，根据题意得到，证明，求出，再由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线上一点， ． 又， ． ． ． 1．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据正方形的性质及直角三角形的特征可得，再根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及正方形、等边三角形的性质，先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵正方形，等边， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：45． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 【答案】 【分析】本题考场正方形的性质，等边对等角，根据正方形的性质，得到，等边对等角，求出，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题三 根据正方形的性质求线段长】 【例1】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先由勾股定理求出，证明四边形是矩形，根据是等腰直角三角形得，，由此即可得出的值． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度； 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）过点作于点，于点，利用正方形对角线平分对角的性质，得出，结合垂直关系证明两个直角三角形全等，从而得到； （2）由（1）的结论，且四边形为矩形，可知矩形是正方形．利用正方形的性质，通过证明与全等，将转化为已知长度的线段，从而求得的长度． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点， 四边形是正方形，是对角线， ． 又，， ，四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ． ； （2）四边形是正方形， ， ． ， ， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形性质、勾股定理，余角的性质，角平分线的性质，通过辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，这是一个由边长均为1的正方形组成的4×1网格，其中长度为的线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，正方形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理分别求出，根据题意判断即可． 【详解】解：如图： 由正方形可得， 由勾股定理得：，， ， ， 则长度为的线段是， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，将正方形在数轴上滚动（无滑动）一圈，则滚动后点在数轴上所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴，正方形的性质以及算术平方根的应用，先求出正方形的边长，求出正方形的周长，再分两种情况求出滚动后点在数轴上所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为６， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为， ∵滚动前顶点在数轴上表示的数为1， ∴当正方形在数轴上向右滚动（无滑动）一圈，则滚动后点在数轴上所表示的数为；向左滚动（无滑动）一圈，则滚动后点在数轴上所表示的数为； 故选：C． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质证明再根据三角形面积的不变性，得等式，勾股定理，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积应用，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解： 四边形为正方形，， ，． 又， ． ． 在中，，， ． ， ， ． ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，为正方形对角线的中点，延长至点，连接，，为等边三角形．若，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质，得，，结合勾股定理得，运用等边三角形的性质得，，则根据勾股定理列式计算得，即可作答． 【详解】解：四边形为正方形，， ，， 在中，， 为正方形对角线的中点，为等边三角形， ，，， ， 的长度为． 【经典例题四 根据正方形的性质求面积】 【例1】（2025七年级上·浙江绍兴·专题练习）如图，两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则两个正方形中的阴影部分甲和乙的面积差为（   ） A．28平方厘米 B．4平方厘米 C．17平方厘米 D．14平方厘米 【答案】D 【分析】本题考查正方形和三角形面积公式，数形结合是解题的关键． 根据阴影部分甲和乙同时加上空白小三角形面积再作差，差值不变作答即可． 【详解】解：由题意得：（平方厘米）． 故选D． 【例2】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图1，当时，与的面积相等．理由：因为，所以．又因为，所以． (1)【类比探究】如图2，在正方形的右侧作等腰三角形，，连接，求的面积． (2)【综合应用】如图3，在正方形的右侧作正方形，点B、C、E在同一直线上，，连接，求的面积． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根据平行线找到等底等高的三角形． （1）过点作于点，连接，可得，根据材料可知，再由等腰三角形性质可知，即可求出； （2）连接，证明，即可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，连接， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在正方形中，， ∴； （2）解：如图3，连接， ∵在正方形、正方形中， ∴， ∴， ∴， ∵在正方形中，，， ∴． 1．（24-25八年级下·四川攀枝花·阶段练习）如图，正方形的面积为8，菱形的面积为4，则的长是（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查正方形的性质和菱形的面积．连接，根据正方形的面积为8，求得，根据菱形的面积，即可得到结论． 【详解】解：连接， 正方形的面积为8， ， ， 菱形的面积为4， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得小正方形的边长为2，再由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点，可得，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵小正方形面积为4， ∴， ∵四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点， ∴， ∴阴影部分面积为， 故选：D． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，如图图A中外面正方形的面积是16平方分米，将图B放进图A组成一个新的图C，图C中小正方形的面积是 平方分米． 【答案】8 【分析】本题考查正方形的性质，解答本题关键是根据分割得到小正方形的面积就是大正方形面积的一半．图A中外面正方形的面积是16平方分米，如图分割，图C中外面大正方形的边长等于小正方形的对角线的长度，平均分成四份，小正方形的面积就是大正方形面积的一半，据此解答即可． 【详解】解：（平方分米）， 答：图C中小正方形的面积是8平方分米． 故答案为：8． 4．（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，点E在正方形内，且满足，，，求图中阴影部分的面积．    【答案】76 【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，再计算正方形的面积，从而得到阴影部分面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 正方形的面积是． 的面积是， 阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出正方形的边长． 【经典例题五 正方形折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）已知正方形的面积为81，点H是边上的一个动点，沿过点H的直线将正方形折叠，使顶点D恰好落在边上的三等分点E处，则线段的长是（   ） A．5.5 B．6.5 C．5或5.5 D．5或6.5 【答案】D 【分析】本题考查正方形的折叠问题，分类讨论，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 分类讨论：当时，当时，逐一分析求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ． ∴． 设，由折叠得 ． 如图①所示， 当时，． 由勾股定理，得 ， 解得； 如图②所示， 当时．由勾股定理，得 ， 解得． 综上所述，DH的长为5或6.5． 故选D． 【例2】（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质： （1）连接，证明，即可解答； （2）设，则，，在中，根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，，， ， ， ∴， ； （2）解：设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ，， ∴ ． 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）小花同学将手里的正方形纸片沿着下图方式进行两次对折后，在第二次折痕处剪掉一个等腰直角三角形如图所示，则展开正方形纸片得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了剪纸问题，正方形的性质，轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质展开空间想象． 利用正方形的性质和轴对称的性质可得结论． 【详解】 解：展开正方形纸片得到：． 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆外一点到圆上的最短距离；由翻折的性质可知：点在上运动的过程中，点的轨迹是一段圆弧，由此可以求出的最小值； 【详解】解：如图，连接，以为圆心，的长为半径画弧； 在正方形中，， ∴， 在中，， 由翻折的性质可知： 点在上运动的过程中，， ∴点的轨迹是以为圆心，半径为的一段弧； ∴当 三点共线时，有最小值， 此时， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】 （1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则______． 【深入实践】 （2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点．沿着，将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号． 【拓展迁移】 （3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ①______，______； ②求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①，；② 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理的运用，图象变换的性质，掌握正方形的性质，图形变换的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，由勾股定理得到，由四边形是正方形，可得，由此即可求解； （2）根据正方形的性质拼接即可； （3）①根据朱出与朱入可得，，则，由此即可求解；②在中，，在中，，又在中，，由此列式得，设，解得，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点， ∴，， ∴， ∵移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片， ∴， 故答案为：； （2）下图展示了两种不同的拼法， （3）将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，， ∴， ①如图所示， 根据朱出与朱入可得，，则，， ∴，； ②由①可知，， 在中，， 在中，， 又在中，， ∴，设， ∴， 解得， ∴， ∴正方形的边长是． 【经典例题六 求正方形重叠部分面积】 【例1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·吉林长春·期末）有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）． (2)当秒时，求的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围． (4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或或或13 【分析】（1）当点在上时，，当在的延长线时，； （2）当时，点在的右侧，此时的边长是3； （3）先根据临界确定两种情形：和，进而确定的边长，从而求得； （4）分为点在的右侧，在和之间及在左侧，设到距离是，距离是，列出二元一次方程组求得． 【详解】（1）解：当点在上时，， 当在的延长线时，， 故答案是或； （2）如图1， 作于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点和点重合时，点在上，此时， 当点和重合时，此时， 当点和和点重合时，此时， 当点在上时，此时， ∴当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图3， ∵， ∴，∴， 当时，如图4， 此时是五边形或三角形， ∴； （4）设点到的距离是，到的距离是， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， 此时， 当点在和之间时， 当时， ∵， ∴， 此时， 当时， ∵， ∴， 此时， 当点在的左侧时， ∵，， ∴， 此时， 综上所述：或或或13． 【点睛】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确分类，找出数量关系． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换． 2．（23-24八年级·全国·专题练习）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（    ）. A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】如图：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，易证≌，可得的面积是正方形的面积的，即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，即可解答. 【详解】解：如图， 连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点， 则，， ， ， ≌， 四边形AENF的面积等于的面积， 而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， 四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，边长为 4cm 的正方形 ABCD 先向上平移 2cm ，再向右平移1cm ，得到正方形 A ' B 'C ' D ' ， 此时阴影部分的面积为 .    【答案】6cm2 【分析】将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′， ∴平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为4-2=2cm，长为4-1=3cm， ∴S阴影部分=2×3=6 cm2， 故答案为6cm2. 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 4．（23-24七年级上·上海·期末）△ABC是一块含有角的直角三角板，四边形DEFG是正方形，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，BC＝12，DG＝4．现在将正方形DEFG向右沿BC方向平移，设水平移动的距离为d，正方形与直角三角板的重叠面积为S． (1)当平移的距离d＝ 时，正方形DEFG恰好完全移出三角板； (2)当平移的距离d＝2时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； 当平移的距离d＝5时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； (3)在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S，并写出相应d的取值范围． 【答案】(1)8 (2)14； (3) 【分析】（1）利用正方形与等腰直角三角形的对称性求出与的长，从而可得平移距离； （2）当时，重叠面积为正方形面积减去平移出去的三角形部分的面积；当时，重叠面积为三角形形状，直接计算即可； （3）当时，重叠面积为正方形面积减去平移出去的三角形部分的面积；当时，重叠面积为三角形形状，直接计算即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 由正方形与等腰直角三角形的对称性可知， ， 当平移的距离时，正方形恰好完全移出三角板． （2）解：当时，； 当时，． （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查了求正方形重叠部分面积，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【经典例题七 根据正方形的性质证明】 【例1】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①错误，②错误 D．①正确，②正确 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定以及菱形的性质，解题的关䋖是熟练掌握正方形和菱形的相关判定定理与性质． 分别分析当时，菱形的形状，以及当时，菱形的形状，从而判断对错． 【详解】解：①当时，菱形又是矩形，判定菱形是正方形， ②当时，推出是等边三角形，得到，不能判定菱形是正方形， ∴①正确，②错误． 故选：A． 【例2】（22-23九年级上·全国·期中）正方形中，E为的中点，F为的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质与全等三角形的判定与性质． 由，分别是正方形边，的中点知，证得，根据即可得，据此即可得证． 【详解】证明：设与交于点， 在正方形中，， ∵，分别是正方形边，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，是正方形的对角线上一点（不与点、重合），于点，于点，连结．有下列结论：①；②；③一定是等腰三角形；④．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 作，垂足为点N，延长，交于点M，根据矩形的性质证明即可得出①和④正确；再根据三角形内角和定理即可判断②正确；在根据点P的任意性可以判定③． 【详解】解：过点P作，垂足为点N，延长，交于点M， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， 四边形为矩形， ∴， ∴，故①正确； 在与中 ， 则， ∴，故④正确； 与中，，， ∴ ∴，故②正确； P是上任意一点，因而不一定是等腰三角形，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质，证明，得，，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ∵，， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ． 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且，现准备修建两条观光小路和，若小路长20米，则小路的长度为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形性质和判定，根据正方形性质证明，再利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， 小路长20米， ， 故答案为：20． 4．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，，连接，，平分，交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明，进而证明结论； （2）设，将和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． ． 【经典例题八 正方形的判定定理理解】 【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是真命题； B．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题； C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故原命题是假命题； D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题是假命题； 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 关于“矩形内折正方形的方法”的研究报告 研究人员：博学小组 成员1： 研究思路：①3个角都是▲的四边形是矩形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形． 操作：如图1，将矩形纸片沿折痕折叠，使点B落在上的点处，则四边形即为正方形． 证明：⋯． 成员2： 操作：①如图2，E为的中点，将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合；②如图3，将沿折痕折叠，使点E落在点处，展开后得到图4中的四边形，则四边形即为正方形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容： ； (2)请补全材料中“…”处的证明过程； (3)研究报告中成员2的操作得到的四边形 正方形．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)直角 (2)见解析 (3)是 【分析】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）根据矩形的性质得到，，由折叠性质得到，，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形； （3）连接，，由E为的中点，得到，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据折叠的性质得到，，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意，研究报告中“▲”处空缺的内容：直角， 故答案为：直角； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠性质可得：，， ∴四边形是正方形； （3）解：连接，， ∵E为的中点， ∴， ∵将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿折痕折叠，使点E落在点处， ∴，， ∴， ∴四边形即为正方形， 故答案为：是． 1．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 【答案】C 【分析】根据四边形之间的关系，解答即可． 本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知命题“正方形的四个角都是直角”，则它的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了逆命题，正方形的判定．写出逆命题，判定真假即可． 【详解】解：命题“正方形的四个角都是直角”的逆命题是“四个角都是直角的四边形是正方形”，是假命题． 故答案为：假． 4．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定．以点为圆心，为半径作，延长交于点，连接，，，，则四边形是正方形． 【详解】解：正方形即为所作， 证明：， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 【经典例题九 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形和正方形的判定，解题的关键是先判定四边形为矩形，再根据正方形的判定条件添加合适条件． 先根据已知角的条件判定四边形是矩形，再分析各选项能否使矩形变为正方形即可． 【详解】解： ∴四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形， 故选：D． 【例2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，对角线，相交于点，且． (1)求证：为矩形； (2)请添加一个条件，使矩形是正方形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的性质，等角对等边，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对角线互相平分可得，再证明，得到，则由对角线相等的平行四边形是矩形可证明结论； （2）根据有一组邻边相等的矩形是正方形求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为矩形； （2）解：添加条件，理由如下： ∵四边形是矩形，且 ∴矩形是正方形． 1．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；根据正方形的判定方法解答即可． 【详解】解：选项A（①②）： 条件①：平行四边形邻边相等，说明是菱形， 条件②：同理，邻边相等，仍为菱形， 两条件均使四边形为菱形，但无法保证存在直角，故不能判定为正方形； 选项B（②③）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件③（对角线相等）使平行四边形为矩形，故能判定四边形为正方形； 选项C（①④）： 条件①使平行四边形为菱形， 条件④：菱形邻角互补，又相等则每个角为，故能判定四边形为正方形； 选项D（②④）： 条件②使平行四边形为菱形， 条件④同理使每个角为90°，故能判定四边形为正方形； 故选：A． 2．（24-25八年级下·海南·期末）如图，在中，．要使得四边形是正方形，还需增加一个条件． 在下列增加的条件中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的判定，准确利用平行四边形的性质是关键． 根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答； 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴四边形是矩形， A、当时，就是正方形，不符合题意； B、当∠时，无法确定就是正方形，符合题意； C、当时，就是正方形，不符合题意； D、当时， ∴， ∴，就是正方形，不符合题意； 故选B． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形中，添加一个条件： ，可使四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，由正方形的判定方法直接求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， 四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，为斜边上的中线，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形是正方形． (1)你添加的条件是 ； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，正方形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据正方形的判定定理添加条件即可； （2）首先根据直角三角形的性质得到，然后证明出四边形是菱形，然后结合即可证明出四边形是正方形． 【详解】（1）添加的条件为； （2）∵在中，为斜边上的中线， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形． 【经典例题十 证明四边形是正方形】 【例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的判定，据选项依次进行判断即可． 【详解】选项A条件： （邻边相等）且（对角线垂直）． 结论：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直也是菱形，因此无法确定为正方形。 选项B条件： （邻边垂直）且（对角线相等）． 结论：邻边垂直的平行四边形是矩形，对角线相等也是矩形，因此无法确定为正方形． 选项C条件： （对角线相等，即）且（邻边相等）． 结论：，平行四边形对角线互相平分，说明是矩形． ，邻边相等，说明是菱形． 既是菱形又是矩形，因此能推出正方形． 选项D条件： （对角线相等）且（重复对角线相等）． 结论：仅说明是矩形，无法确定邻边是否相等，因此不能推出正方形． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 根据可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形． 【详解】 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ）   A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定定理，矩形的性质，解题的关键是掌握邻边相等的矩形是正方形；由矩形的性质可得，由折叠可知，， ，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠可知，， ， ∴四边形是正方形， 故选：． 2．（2023·河南周口·一模）下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的菱形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，正方形的判定等知识，根据正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的菱形是正方形，是假命题，推不出正方形，本选项符合题意． B、有一个角是直角的菱形是正方形是真命题，本选项不符合题意． C、有一组邻边相等的矩形是正方形是真命题，本选项不符合题意． D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的判定等知识，先利用平行四边形的性质得到，从而证明四边形是矩形，再结合即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 【经典例题十一 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【例2】（2024·山东潍坊·二模）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 1．（23-24·福建厦门·一模）已知菱形ABCD与线段AE，且AE与AB重合．现将线段AE绕点A逆时针旋转180°，在旋转过程中，若不考虑点E与点B重合的情形，点E还有三次落在菱形ABCD的边上，设∠B=α，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过临界值的情况结合图形分析，可知当60°< <90°时满足题意. 【详解】解：因为AE与AB重合，在旋转过程中必过D点，所以需要满足AE与边BC、CD有交点，此时考虑临界值位置：当AB=AC时，旋转过程经过C、D两点，如图，AB=BC=AC，△ABC为等边三角形，所以α=60°，易知当α＞60°时即有三个交点，而当α=90°时，菱形ABCD为正方形，此时AB不会与BC有交点（不考虑点E与点B重合的情形），∴60°< <90°， 故选C. 【点睛】本题主要考查菱形的性质和正方形的性质，结合图形分析出临界值情况是解题关键. 2．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质以及平行线的性质解答即可． 【详解】∵夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上， ∴∠BAD=90°，∠DFE=60°， ∵l1∥l2，A、D、F在一条直线上， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠DFE， 即∠1+90°=∠2+60°， 可得：∠2-∠1=30°， 故选B． 【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和等边三角形的性质以及平行线的性质解答． 3．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，小志同学将边长为3的正方形塑料模板与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点处，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】9 【分析】首先判定△ABE≌△ADF，然后即可得出四边形的面积即为正方形塑料模板的面积，即可得解. 【详解】由已知得，∠EAF=90°，∠BAD=90°，AB=AD ∴∠EAB=∠FAD ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴ 故答案为9. 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质和正方形的性质，熟练掌握，即可解题. 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知、两点在正方形的对角线上移动，为定角，连接、，并延长分别交、于、两点，则与在、两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论． 【答案】始终为定角，这定角为的倍 【分析】因为BD为正方形ABCD的对角线, 则∠1=∠3, ∠2=∠4, 用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC+∠FNC可得结论. 【详解】∵为正方形的对角线， ∴，， ∴． 同理． ∴． ∵， ∴总与相等． 因此始终为定角，这定角为的倍． 【点睛】本题主要考查正方形的性质. 【经典例题十二 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A．2 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用正方形的性质得到OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，利用等角的余角相等可证得∠CON＝∠DOM，则可判断△OCN≌△ODM，所以S△OCN＝S△ODM，从而得到S△ODC＝S四边形MOND＝2，然后利用等腰三角形的面积计算出OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∵∠CON＋∠DON＝90°，∠DOM＋∠DON＝90°， ∴∠CON＝∠DOM， 在△OCN和△ODM中， ， ∴△OCN≌△ODM（ASA）， ∴S△OCN＝S△ODM， ∴S△OCN＋S△DON=S△ODM＋S△DON， 即S△ODC＝S四边形MOND＝2， ∵OD•OC＝2， 而OD＝OC， ∴OD＝2， ∴BD＝2OD＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．证明△OCN≌△ODM是解决问题的关键． 【例2】（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析（2）6 【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形； （2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−2）2＋（x−3）2＝52，求出AD＝x＝6． 【详解】（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF为矩形， ∵AE＝AD，AF＝AD， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3， 设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x， 则BG＝EG−BE＝x−2，CG＝FG−CF＝x−3， 在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x−2）2＋（x−3）2＝52， 解得：x＝6或−1（舍去）． ∴AD＝6． 【点睛】本题考查了对折的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理可求AE的长，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为12， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用面积法求GH的长是本题的关键． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且，则的长为（    ） A．5 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意图形的特点可知阴影部分的边长，再根据，找到边长的关系即可求解． 【详解】设AB=c,AC=b,BC=a 由图可得阴影部分的长为b-(c-a)，宽为b-(c-a)，故为正方形 ∴b-(c-a)=2 又a+b=7 ∴c=5 故选A． 【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据图形的特点求出阴影部分的边长． 3．（23-24九年级上·广东珠海·开学考试）如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    【答案】 【分析】判定四边形是正方形，即可得到，再根据，即可利用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示，连接，    由折叠可得，， 又， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，， 又， ， 由折叠可得，， 中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是，求这个矩形的各边长． 【答案】 【分析】根据题意，可得是等腰直角三角形，进而可得四边形是正方形，勾股定理求得正方形的边长即可解决问题． 【详解】如图， 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 即， ， 四边形是正方形， ， 则这个矩形的各边长都是． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 【经典例题十三 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，比的应用，根据相相邻两边长之比和矩形纸片的面积求得矩形相邻两边的长是解答关键． （1）利用相邻两边长之比为，设长与宽分别为，根据矩形纸片的面积为，列出方程求解； （2）先求出正方形的边长和正方形的边长，再利用面积公式求解． 【详解】（1）解：设长与宽分别为 ， ， 解得，（不符合题意舍去）， ，． 则相邻的两边长分别为． （2）解： ． 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在边长为1的正方形中，当第1次作，第2次作；第3次作，……依次方法继续作垂直线段，当作到第10次时，所得的最小的三角形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，然后根据等腰直角三角形的性质求出△AOD的面积，再求出△AOE的面积，△AEF的面积，根据计算结果可得下一次得到最小的三角形的面积是上一次三角形的，然后写出第10次时所得的最小的三角形的面积即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，边长为1， ∴AB=AD，正方形的面积为1， 第1次作AO⊥BD,则最小△AOD的面积=××1==， 第2次作EO⊥AD,最小△AOE的面积=×==； 第3次作EF⊥AO,最小△AEF的面积=×=， …， 依此类推,作到第10次时,最小三角形的面积=. 故选B． 【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据图形的特点找到变化规律． 2．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位.    A．48 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和等腰三角形的性质，设,结合勾股定理，求得正方形的边长，即可求得答案. 【详解】   ∵与都是正方形， ∴， ∴， 设, ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴正方形的面积是：36， 故选： 【点睛】本题考查了正方形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，勾股定理的应用是解题的关键. 3．（22-23九年级上·四川达州·期中）一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是，那么矩形的面积为 ． 【答案】18 【分析】根据题意易得这个矩形的是正方形，再根据正方形中两边与对角线构成的三角形是等腰直角三角形，结合勾股定理可得边长的值，进而可得其面积． 【详解】解：根据题意可知，一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是， 可得矩形的两边与对角线构成的三角形是等腰直角三角形， 故这个矩形是正方形． 设矩形的边长为a， 则，即， 则矩形的面积为， 故答案为18． 【点睛】本题考查正方形的判断，等腰直角三角形的三边关系等，根据已知条件求证出这个矩形是正方形是解题的关键． 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，把边长为的等边三角形绕边的中点O旋转，得到． (1)四边形是什么样的四边形？说明理由． (2)求四边形的两条对角线的长度． (3)求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)，． (3) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理． （1）直接利用中心对称的性质，结合菱形的判定方法得出答案； （2）直接利用中心对称的性质利用勾股定理得出答案； （3）直接利用菱形面积对角线乘积的一半得出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：把边长为的等边绕边的中点旋转，得到， ， ， 四边形是菱形； （2）解：把边长为的等边绕边的中点旋转，得到， ，， ， ， 四边形的两条对角线的长度分别为和； （3）解：四边形的面积为：． 【经典例题十四 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分，据此可判断A、B、D，根据矩形的判定方法可判断C． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形不一定是矩形， ∴不一定成立， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 1．（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 2．（23-24九年级上·甘肃白银·期中）如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，可证，，，，由此即可求解． 【详解】解：正方形中，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∵与是等底等高的两个三角形， ∴与的面积相等，，即， ∵，， ∴，故结论③正确； 由结论①，②可知，， ∵， ∴， ∴．故结论④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判断和性质，等底等高的两个三角形面积相等知识的综合，掌握正方形的性质，三角形全等的判断和性质是解题的关键． 3．（2024·江苏南京·二模）如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是 ．    【答案】1 【分析】连接，则，根据三角形中位线定理，得． 【详解】连接，因为正方形，， 所以， 因为E，F分别是的中点， 所以． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 4．（24-25八年级下·全国·期中）如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，由正方形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是正方形． 【详解】证明：∵正方形的对角线相交于点O， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 【经典例题十五 中点四边形】 【例1】（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键 利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解． 【详解】如图：连接，交于点O， 因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴，， ∴， ∵四边形面积为，， ∴， 解得 ． ∴ 在中 ． 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·河南开封·期中）已知：如图四边形四条边上的中点E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形，四边形的形状是什么？并证明结论． 【答案】平行四边形，证明见解析 【分析】连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形． 【详解】解：四边形EFGH的形状是平行四边形． 证明：如图，连接BD， ∵E、H分别是AB、AD中点， ∴EH∥BD，EH=BD， 同理FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形病正确的运用中位线定理，难度不大． 1．（23-24·湖南娄底·中考真题）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断． 【详解】如图：菱形中，分别是的中点， ， 故四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形． 【详解】解：如图，    根据题意得，是的中点， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形． 故选：D． 3．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理 ，四边形的综合；根据题意得到四边形为菱形，结合勾股定理得到，再计算周长即可． 【详解】解：由题知：四边形为菱形； ， ， 所以形的周长为米， 故答案为：． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【答案】平行四边形；（1）AC＝BD，理由见解析；（2）AC⊥BD，理由见解析；（3）AC＝BD且AC⊥BD，理由见解析； 【分析】连接AC，BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案. 【详解】解：四边形EFGH为平行四边形； 连接AC，BD ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，，，， ∴， ∴四边形EFGH为平行四边形； （1）AC＝BD， 理由：如图①四边形ABCD的对角线AC＝BD， ∵四边形EFGH为平行四边形，且，， ∴EH＝GH， ∴平行四边形EFGH为菱形． （2）AC⊥BD， 理由：如图②四边形ABCD的对角线互相垂直， ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥HE， ∵四边形EFGH为平行四边形． ∴四边形EFGH为矩形． （3）AC＝BD且AC⊥BD， 理由：如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直， 综合（1）（2）可得四边形EFGH为正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【经典例题十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 【例1】（23-24七年级上·黑龙江大庆·开学考试）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分的面积． 【例2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图，P是的边上一点，过点P作一条直线l把这个四边形分成面积相等的两部分（用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）； (2)如图，在的网格中，A，B，C均在格点上，请找一格点D，使得为等腰三角形（找到一个即可）； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想解题是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质和三角形全等的性质可证：经过平行四边形的对角线的交点的直线将平行四边形的面积等分； （2）经观察发现，图中不存在使得的格点D，利用勾股定理得出，再从图中找出满足或的格点D即可． 【详解】（1）作图如下： （2）作图如下： 均为满足为等腰三角形的点． 1．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 【答案】C 【分析】根据四边形周长及面积公式即可解答本题，注意两四边形底边为同边AD 【详解】∵沿方向平移得到． ∴四边形与四边形均为平行四边形． ∵． ∴四边形与四边形周长不相等． ∵四边形与四边形底边同为AD，且高相等． ∴四边形与四边形面积相等． 故本题选择C 【点睛】本题考查了平移的性质及四边形的周长、面积公式，正确掌握上述知识点是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 4．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 【答案】5 【分析】如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等，因此阴影部分就转化成了小正方形的一半，且阴影部分的面积已知，据此即可求出小正方形的面积． 【详解】解：如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等． ∴ 【点睛】本题考查等底等高的三角形面积相等，解答此题的关键是明白：阴影部分的面积就等于小正方形的面积的一半． 【经典例题十七 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 【例2】（23-24八年级下·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题． (1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值； (2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解：由题意，得，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得， 故当时，四边形为矩形． （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形． 在中，， 时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 1．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可． 【详解】由题意可得，，， 当时， 由可得四边形是平行四边形 ∴，解得， 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是解本题的关键． 2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 【答案】B 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是矩形． 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解． 3．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    【答案】6或11/11或6 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 4．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点A沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动，同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为秒． (1)在时，点坐标______，点坐标______． (2)当为何值时，四边形是矩形？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了矩形的判定、坐标与图形性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． （1）根据点、的坐标求出、、，再根据路程速度时间求出、，然后求出，即可得出结论； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当时，四边形是矩形，然后列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，，， 当时，，， ， 点，； 故答案为：；； （2）解：根据题意：，， 则， 当四边形是矩形时，， ， 解得：， 时，四边形是矩形． 【经典例题十八 四边形中的线段最值问题】 【例1】（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于直线AC对称， ∴DN=BN， 连接BD，BM交AC于N′，连接DN′， ∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值， ∴AC是线段BD的垂直平分线， 又∵CD=4，DM=1 ∴CM=CD-DM=4-1=3， 在Rt△BCM中，BM= 故DN+MN的最小值是5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键． 【例2】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）； (2)求出△BPE周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明△AB P′≌△AD P′，即可求解； （2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小． 理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC， ∵AP′=AP′， ∴△ABP′≌△ADP′， ∴BP′=DP′， ∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE， 即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小； （2）解：由（1）得：B P′=DP′， ∴P′B＋P′E＝DE． ∵BE＝2，AE＝3BE， ∴AE＝6． ∴AD＝AB＝8． ∴DE＝＝10． ∴PB＋PE的最小值是10． ∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1．（2024·黑龙江绥化·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵四边形是矩形， ∴，，∠QCE＝90°， ∵， ∴, ∵点F点关于BC的对称点G， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴GH＝DF＝6，∠H＝90°, ∵点E是CD中点， ∴CE=2， ∴EH＝2+4＝6， ∴∠GEH＝45°， ∴∠CEQ＝45°， 设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x， 在△CQE中， ∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°， ∴CQ＝EC， ∴6﹣x＝2， 解得x＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求． 2．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵菱形ABCD中，∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， ∴点B、D关于AC对称， 如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值， ∵E为AB的中点，∠DAB=60°， ∴DE⊥AB， ∴ED=， ∴EF+BF的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ． 【答案】2 【分析】当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形PBQO是平行四边形， ∴PH=HQ，OH=HB， 当PQ⊥OA时，PQ最短， ∵∠AOB=30°，OB=4， ∴OH=2， ∴PH=1, ∴PQ=2PH=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，. （1）若、、三点共线，求的长； （2）求的面积的最小值. 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）利用勾股定理求出AO长，易得AE长，由正方形的性质利用SAS可证，根据全等三角形对应边相等可得结论； （2）过点作于点，当三点共线，最小，求出EH长，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由旋转得：，， ∵是边的中点，∴. 在中，. ∴. ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴. 在和中 ∴. ∴. （2）由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动. 过点作于点. ∵， ∴ 当三点共线，最小，. ∴. 【点睛】本题是正方形与三角形的综合题，涉及的知识点主要有正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键. 【经典例题十九 四边形其他综合问题】 【例1】（2024·山西临汾·一模）我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（    ） A．一般到特殊 B．数形结合思想 C．模型思想 D．分类讨论思想 【答案】A 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：A． 【例2】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）已知，在矩形中，，，四边形的三个顶点，，分别在矩形边，，上，． (1)如图，当四边形为正方形时，求的面积；    (2)如图，当四边形为菱形，设，的面积为，求与的函数关系式；    (3)在（2）的条件下，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见详解 【分析】（1）过点作于，证明，，由此即可求解； （2）过点作延长线于，连接，证明，，由此即可求解； （3）假设，则，分别求出，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵如图所示，过点作于，    ∴在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， 同理可证：， ∴， ∴，则． （2）解：如图所示，过点作延长线于，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：面积不能等于，理由如下： 若，则， ∴， 此时在中，， 在中，， ∴，即点已经不在边上，故不能有． 【点睛】本题主要考查矩形，正方形，菱形的性质，及三角形全等的判定和性质的综合，掌握几何图形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1．（2023·陕西宝鸡·一模）在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．18 C．15 D．12 【答案】D 【分析】令与的交点为O，可得，解答即可． 【详解】令与的交点为O， 则 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，注意：求不规则图形的面积可由三角形的面积相加． 2．（22-23九年级上·四川成都·期末）下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，进行判断即可得． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法错误，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直平分，选项说法正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等，选项说法正确，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键是掌握这些性质． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或 【分析】利用点E是中点求出BE和CE，分当Q运动到E和C之间、当Q运动到E和B之间两种情况分析； 【详解】∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝BC＝×12＝6， ①当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CE﹣CQ＝6﹣2t， ∴4﹣t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则AP＝t，DP＝AD﹣AP＝4﹣t，CQ＝2t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣6， ∴4﹣t＝2t﹣6， 解得：t＝， ∴当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或． 【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 4．（2024·甘肃武威·三模）如图，在四边形ABCD中，，点E是对角线AC上一点，． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)分别过点E，B作，，当和满足怎么样的数量关系时，四边形EFCD是菱形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据得，根据等量代换得得，即可证得结论； （2）根据，得四边形ABEF是平行四边形，根据平行四边形的性质，，根据四边形ABCD是平行四边形得，，等量代换得，，即可得四边形EFCD是平行四边形，根据，即可得平行四边形EFCD是菱形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）当时，四边形EFCD是菱形，理由如下： 解：∵，， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形EFCD是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴EF=FC， ∴平行四边形EFCD是菱形． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识点并能准确应用其解决问题． 【拓展训练一 正方形的性质应用】 【例1】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，灵活运用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，也考查了正方形的性质和点的坐标变换规律问题解决方法． 过C点作轴于H点，如图，先证明得到，，则，所以，由于，则逆时针旋转503次相对于顺时针旋转，然后根据旋转的性质得到次旋转后点的坐标为，即可作答． 【详解】解：过C点作轴于H点，如图， ∵，， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且旋转次 ∴ ∴逆时针旋转503次相对于顺时针旋转， 即把绕点顺时针旋转，得，过作轴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵点在第四象限 ∴点的坐标为 故选：B 【例2】（2024·湖南长沙·模拟预测）李老师在课堂上提出一个问题： 如图（1），在直角三角形纸片中，，，．四边形是正方形，求图中阴影部分的面积． 下面是某个数学小组的讨论片段． 小明：先证明，再根据相似三角形的对应边的比例关系，列出方程，求得正方形的边长，即可求得阴影部分的面积． 小芳：小明的方法比较麻烦，只要将绕点E逆时针旋转一定的角度至的位置，如图（2），就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解决问题． (1)根据小芳的方法，旋转角的度数为______； (2)请选择小芳的方法，写出详细的求解过程． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质等知识点，掌握旋转的性质成为解题的关键． （1）由题意可得旋转后线段的对应边与重合，然后结合正方形的性质即可解答； （2）由旋转的性质得、、，再说明旋转后，C，，B共线，即阴影部分的面积；再证明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得旋转后线段的对应边与重合， ∵四边形是正方形， ∴,即, ∴小芳的方法，旋转角的度数为． 故答案为：． （2）解：由旋转的性质得：，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴旋转后，C，，B共线， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∴， ∴图1中阴影部分的面积为30． 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接、，、交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据正方形的性质确定，，再利用菱形的性质，确定，，，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质，确定，解答即可． 【详解】解：∵正方形 ∴，， ∵菱形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）实验基地有一块正方形地，现用篱笆分成三块培育三种花苗（如图所示），，分别为正方形的边和对角线的中点，根据所标尺寸，所需栅栏，的总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，由题意可得，，再由勾股定理可得，由三角形中位线定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵，分别为正方形的边和对角线的中点， ∴， ∴所需栅栏，的总长为， 故选：D． 3．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）如图，正方形和正方形，点为正方形对角线的中点，，则图中的阴影部分面积为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正方形的性质，过点作于点，连接,根据正方形性质得，，进而得，，证明是等腰直角三角形，得，再由三角形的面积公式分别求出，，继而可得图中的阴影部分面积． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， ，， 四边形和四边形都是正方形， ，，， ，， ∵点为正方形对角线的中点， ∴， ，， ，， ． 即图中的阴影部分面积为1． 故答案为：1． 4．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）如图，四边形是梯形，是平行四边形，是正方形，是长方形．已知，厘米，厘米，求阴影部分的面积． 【答案】20平方厘米 【分析】本题考查梯形，平行四边形的性质，正方形的边长，长方形面积的计算；阴影部分面积是长方形面积的一半，同时是平行四边形面积的一半，根据，的长度，表示出的长度，求出的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】解：由长方形可知： ， 由平行四边形可知， 厘米，厘米， 厘米， 由梯形可得厘米， 由正方形可知厘米，， 平方厘米， 平方厘米． 【拓展训练二 正方形折叠、重叠问题】 【例1】（2024·贵州毕节·一模）如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点P处、分别是折痕，若点P沿从点B向点D移动，则阴影部分的周长（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当占P在中点处时，阴影部分周长最大 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形与折叠问题，勾股定理，根据题意知，可证明四边形是矩形，可得，由勾股定理得，从而可求出阴影部分周长进而解决问题 【详解】解：根据题意知，，且均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴阴影部分的周长 ∵是定值， ∴阴影部分的周长不变， 故选：D 【例2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 在学习菱形的时候，小明发现菱形符合八年级上学期学过的筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，菱形是一种特殊的筝形． 【初步应用】 （1）如图1，在菱形中，点是边的中点，点是射线上一点，连接，，将沿所在直线翻折到，点恰好落在上．求证：四边形和四边形都是筝形． 【类比迁移】 （2）如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并证明． 【解决问题】 （3）将（1）中的“菱形”改为“矩形”，增加“，，且”，其他条件不变，请直接写出______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）或 【分析】（1）由折叠得到，即可证明四边形是正方形；如图所示，连接，首先得到，由菱形得到，等量代换得到，得到，即可证明四边形是筝形； （2）由（1）得，设，，表示出，，然后根据勾股定理得到，代入整理得到，进而表示出，即可得到； （3）由矩形得到，，由筝形得到，，设，然后根据题意分两种情况讨论：当G在线段上时，当G在射线上时，根据勾股定理得到，进而分别求解即可． 【详解】解：（1）∵将沿所在直线翻折到 ∴， ∴四边形是筝形； 如图所示，连接 ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 由折叠得， ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是筝形； （2），证明如下： 由（1）得，四边形和四边形都是筝形 设， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴解得 ∴ ∴； （3）∵四边形是矩形，， ∴， 由（1）得，四边形和四边形都是筝形 ∴， 设 如图所示，当G在线段上时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴； 如图所示，当G在射线上时， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 综上所述，或． 【点睛】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（    ） A．49 B．65 C．78 D．97 【答案】A 【分析】分别设A、B两个正方形的边长为和，利用正方形性质，可知叠放在一起后阴影部分的小正方形边长是，并列在一起后边长为，用和表示出阴影部分面积，列出方程组解答即可求出和的长，即可得出结果． 【详解】解：设A正方形边长为，B正方形边长为， 由图可知①中小正方形的边长为，面积为1， ， ， ， 由图可知②中新构造出的正方形边长为， 面积， ， ， ， 解得：或（舍去）， 当时，， 新构成的正方形面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． 3．（2024·重庆九龙坡·一模）如图，已知点、点分别是正方形的边、上的点，将正方形沿折叠，点、点的对应点分别为点、点，点恰好落在边上，交于点，连接交于点，当度时，请用含的式子表示为__________度． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形的外角等知识，熟练运用角的等量代换是解题的关键． 利用角的等量代换进行转化求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴由翻折的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为正方形对角线， ∴ ∴， 故答案为： 4．（24-25七年级下·河北保定·期末）【操作与发现】 已知正方形与正方形，面积均为4．将正方形的顶点与正方形的中心重合摆放． （1）如图1，当经过点B，经过点时，此时两个正方形重叠部分的面积是______． （2）如图2，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积______发生变化（填“会”或“不会”），请说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 【答案】（1）1；（2）不会，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质求解即可； （2）根据正方形的性质得到，然后得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，然后根据正六边形和全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵正方形与正方形，面积均为4，当经过点B，经过点时， ∴两个正方形重叠部分的面积的面积； （2）不会，理由如下： 如图所示，连接，，设与交于点H，与交于点M ∵正方形与正方形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积不会发生变化； （3）如图所示，当两个正六边形有两个顶点重合时， ∴， ∴； 如图所示，当和交于点Q，和交于点R时， ∵六边形和六边形都是正六边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； 综上所述，重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系为． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【拓展训练三 正方形的证明，判定及应用】 【例1】（2025·浙江杭州·三模）如图，四边形为正方形，点P是边上方一点，且满足，下列各式的值为定值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点．过点B作，交的延长线于点E，则，根据得，根据正方形性质得，进而得，判定和全等得，则，在中由勾股定理得，继而得，据此即可得出答案． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点E，如图所示： ， 在中，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即， 为定值， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）如图，的面积为32，，，点E、F分别在边上，且．动点P从点E出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点F出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．过点P、Q分别作的垂线，垂足分别为N、M，设点P的运动时间为，四边形与重叠部分的面积为y． (1)的长为______； (2)当四边形是正方形时，求x的值； (3)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)连接交于点G，连接交于点H，当四边形是正方形时，直接写出此时x的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和正方形的判定和性质，求函数解析式等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）根据可求得结果； （2）可推出四边形是矩形，当时，矩形是正方形，进而得出结果； （3）作于，可求得，分三种情况讨论即可； （4）根据四边形是正方形，从而得出，进而得出，从而． 【详解】（1）解：如图， 由得： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴当时，矩形是正方形， ∴， ∴； （3）解：如图，作于， ， ， ， ∴当时，点在处， 当时，， ， 如图： 当时， 设交于，交于， ，， ， ， 综上所述：； （4）解：如图： ∵四边形是正方形， ， ， ， ． 1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理：有一个角为直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形逐一判断即可． 【详解】解：①若，根据对角线相等的菱形是正方形即可得菱形是正方形，①符合要求； ②是菱形具有的性质，不能得出菱形是正方形，②不符合要求； ③，则，根据有一个角为直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，③符合要求； ④若菱形是正方形，则，由，可得，故不能得出菱形是正方形，④不符合要求； 故符合要求的为①③， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定定理以及正方形与菱形的关系，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 3．（2023·福建宁德·一模）如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则 °． 【答案】 【分析】根据旋转角等于对应边所在直线的夹角求直线与的夹角即可． 【详解】延长与交于点， ∵可以由绕某一点顺时针旋转得到， ∴， ∵将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的折叠，旋转的性质，正方形的判定，解题的关键是理解旋转角等于对应边所在直线的夹角． 4．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；（2）①仍然成立，理由见解析，②；（3） 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 【拓展训练四 特殊平行四边形】 【例1】（2023·山东济南·一模）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：矩形的对角线将矩形分割成面积相等的四部分，如图，因为△DOF和△EOB是全等三角形，将△DOF切割到△EOB与△AOE合并成△AOB，刚好占了该矩形面积的，所以P落在阴影部分的概率是. 考点：矩形的性质和事件概率 点评：该题主要考查学生对矩形相关性质的掌握，同时考查对事件发生的概率的计算． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 【答案】(1)B (2)24 (3)详见解析 【分析】（1）根据“和谐四边形”的定义进行判断即可； （2）由于对角线互相垂直，所以四边形的面积可化为的和，再求解即可； （3）先证明，再证得，求得，由等腰三角形三线合一性质可得，从而证得结论． 【详解】（1）解：菱形的两条对角线互相垂直，且两条对角线互相平分，符合“和谐四边形”的定义， 故选：B； （2）解：设与相交于点， ， 的面积为：， 的面积为：， 四边形的面积：， ， ， ， 故答案为：24； （3）证明：，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， （三线合一性质）， 四边形是“和谐四边形”． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质及三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握对“和谐四边形”的理解． 1．（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 2．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了特殊四边形的动点问题，全等三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．设运动时间为，由题意得可知，，，，分两种情况讨论：①；②，利用全等三角形的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，，则， ①若，则，， ，， ，； ②若，则，， ，， 解得：， ， 解得：a＝， 综上，a的值为2或． 故选：D． 3．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 4．（23-24八年级下·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． (1)如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)① ；②t的值为1或3 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，，，然后得到，然后证明出，即可得到； （2）①过点M作于点P，首先证明出四边形为正方形，得到，然后利用勾股定理求出； ②首先得到，然后分点M在DC上和点M在点C的右侧两种情况讨论，然后分别列方程求解即可． 【详解】（1）． 理由：四边形ABCD为矩形， ，，． 当秒时，，则， ． 在和中， ， ， ． （2）①如图，过点M作于点P， 则． 四边形为矩形， ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形， ， 秒，则， ． 在中，． ②由题意，得，． 四边形是矩形， ， 当时，则以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形． 当点M在上时，即时，， ，得，解得； 当点M在点C的右侧时，即时，， ，解得． 综上所述，t的值为1或3． 【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，几何动点问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1．（2025·广东佛山·三模）如图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个与图1中完全相同的直角三角形分别摆放为如图2、图3所示的图形，其中阴影小正方形的面积分别记为，则的值为（    ） A．9 B．4 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点． 设直角三角形另一直角边为a，然后分别用a表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可． 【详解】解：设直角三角形的另一直角边为a，则 ， ， ． 故选A． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的对角线与相交于点O，E、F分别是的中点，连接，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，根据题意得是的中位线，得出，根据正方形性质得出，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点O是正方形的中心，连接交于点F，连接．记的面积，正方形的面积为S．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形，勾股定理的运用，面积的计算，如图所示，连接，设正方形的边长为，即，得到，，，结合面积的计算得到，则，正方形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，点O是正方形的中心， ∴，点共线， 设正方形的边长为，即， ∴，， ∴， 设点到的高为， ∴， ∴， ∴正方形， ∴， 故选：A ． 4．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　） A．12 B．13 C．14 D．18 【答案】C 【分析】根据正方形的中心对称性，得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，即可解答． 【详解】解：∵正方形具有中心对称性，则每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的， ∴ = =14 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的中心对称性，根据中心对称性得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的是解题的关键． 5．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，有一个角为的一张直角三角形纸片，沿图中的中位线剪开后，不能拼成的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形的拼接与四边形的判定，关键在于理解中位线性质以及不同四边形的特征，通过实际操作将剪开的直角三角形中位线部分与剩余部分进行拼接，分析能拼成的四边形形状，从而判断不能拼成的四边形． 【详解】解：选项A：将剪开的小三角形与梯形的直角边拼接，可得到矩形， 因为中位线平行于底边，拼接后有三个直角，符合矩形特征； 选项B：将小三角形的斜边与梯形的斜腰拼接（非直角边拼接）， 由于中位线长度是底边的一半，且三角形有一个角为，可拼成菱形（四条边相等）； 选项C：因为原三角形是有一个角为的直角三角形， 无论怎样拼接，都无法得到四个角都是且四条边都相等的正方形； 选项D：将小三角形的一条边与梯形的非平行边拼接， 利用中位线性质和平行关系，可拼成等腰梯形（两腰相等）． 故选：C． 6．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊四边形的判定方法，根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边是菱形，故不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； 故选：A． 7．（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，过D作于H，由角平分线的性质推出，，判定四边形是正方形，得到，由勾股定理求出，判定，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 10．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在四边形中，，，且，则下列说法：①四边形是菱形；②；③若，，则四边形的面积为24；④若，则是等边三角形；⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是正方形．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，菱形的面积，等边三角形的判定，矩形的判定；由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质及菱形的面积逐一判断即可． 【详解】解：①，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 故①正确； ②四边形是菱形， ， 故②正确； ③，， 四边形的面积为， 故③正确； ④四边形是菱形，， ，， 是等边三角形； 故④正确； ⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是矩形． 故⑤错误； ①②③④正确，共个； 故选：C． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边对等角的性质，三角形外角的性质，关键是掌握正方形的对角线平分一组对角． 根据等边对等角的性质可得，然后根据正方形的对角线平分一组对角，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行列式求出． 【详解】解：， ， 是正方形的对角线， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作于点P，于点Q，则可证明，得出，根据得出答案即可． 【详解】解：如图，过点E作于点P，于点Q， 则， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 13．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积， ∴S阴＝S正方形ABCD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 14．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解． 【详解】解：作轴于点，轴于点，连接，如图， ∵， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 15．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，ABCD的顶点在矩形的边上，点与点不重合，若的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 . 【答案】4 【分析】根据平行四边形的性质求出AD=BC，DC=AB，证△ADC≌△CBA，推出△ABC的面积是4，求出AC×AE=8，即可求出阴影部分的面积． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，DC=AB， ∵在△ADC和△CBA中 ， ∴△ADC≌△CBA， ∵△ACD的面积为4， ∴△ABC的面积是4， 即AC×AE=4， AC×AE=8， ∴阴影部分的面积是8﹣4=4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用面积公式进行计算的能力，题型较好，难度适中． 16．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，四个 4×4规格相同的正方形网格，按下列要求画格点正方形（4个顶点均在格点的正方形）． (1) 在图甲中画出与图 1 中阴影部分面积相等的正方形； (2)在图乙中画出与图 2 中阴影部分面积相等的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用数形结合判断出正方形的边长为2，画出正方形即可； （2）利用数形结合判断出正方形的边长为，画出正方形即可； 本题考查作图，应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合思考问题． 【详解】（1）解： （2） 17．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，正方形和正方形有一个公共顶点 D，，点分别是的中点，连结． (1)如图1，当三点共线时，求的长． (2)如图2，当三点不共线时，连结，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当 三点共线时，求 的值． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意及三角形的中位线定理即可解答； （2）连接，交于点M，交于点N，证明，根据角的等量代换得到，利用三角形的中位线定理即可得证； （3）记交于点P，利用勾股定理即可解答 【详解】（1）解：∵三点共线，正方形和正方形有一个公共顶点， ∴三点共线， ∵点H、点O分别是线段和的中点， ∴是的中位线， ∴， ， ∴， ， 即， ∴， （2）证明：如图，连接，交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵在和中， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点H、点O分别是线段和的中点， ∴OH是△CEG的中位线，即， ∴， （3）解：记交于点P， ∵， ∴， ， ∴， 即， ， ， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图1，的三边分别为，以为一边作正方形，点在边上，将裁剪拼接至位置，如图2，请用图1、图2的面积不变证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的几何证明，先求出正方形的面积为，四边形的面积，根据正方形的面积与四边形的面积相等，得出，即可证明结论． 【详解】证明：连接， ， 正方形的面积为， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形的面积， 正方形的面积与四边形的面积相等， ， ， ∴． 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 20．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)135 (2)成立，见解析 【分析】（1）根据新定义，得，结合，，计算即可． （2）连接，根据得到，结合，得到，继而得到得证． 本题考查了四边形综合题，新定义难题，等腰三角形的判定和性质，四边形的内角和定理，熟练掌握新定义，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据新定义，得， ∵，， ∴， 故答案为：135． （2）连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03正方形的性质与判定重难点题型专训 （2个知识点+19大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 正方形性质理解 题型二 根据正方形的性质求角度 题型三 根据正方形的性质求线段长 题型四 根据正方形的性质求面积 题型五 正方形折叠问题 题型六 求正方形重叠部分面积 题型七 根据正方形的性质证明 题型八 正方形的判定定理理解 题型九 添一个条件使四边形是正方形 题型十 证明四边形是正方形 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 题型十五 中点四边形 题型十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型十七 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十八 四边形中的线段最值问题 题型十九 四边形其他综合问题 拓展训练一 方形的性质应用 拓展训练二 正方形折叠、重叠问题 拓展训练三 正方形的证明，判定及应用 拓展训练四 特殊平行四边形 知识点一：正方形的性质 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 性质：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【即时训练】 1.（23-24九年级·广西南宁·期中）学习了四边形之后，小颖同学用如下图所示的方式表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的“M”和“N”分别表示（    ） A．平行四边形，正方形 B．正方形，菱形 C．正方形，矩形 D．矩形，菱形 2.（23-24九年级·湖北武汉·期末）下列性质中，矩形、正方形都具有，但是菱形却不具有的性质是（    ） A．对角线长度相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．一组对角线平分一组对角 知识点二：正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 【即时训练】 1.（23-24九年级·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否为正方形． 甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形； 乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形． 下列判断正确的是（    ）    A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 2.（23-24九年级·重庆荣昌·期末）下列命题： ①对角线相等的菱形是正方形； ②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； ③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形； 其中是真命题的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【经典例题一 正方形性质理解】 【例1】（24-25九年级上·广东清远·期末）下列的性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（    ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 1．（2025·河南驻马店·三模）下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（   ） A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种 2．（24-25八年级下·山西大同·期末）在正方形中，，则正方形的周长为（   ） A．9 B．12 C． D．6 3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）正方形具有而矩形不具有的性质：两条对角线互相垂直，并且每条对角线 ． 4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图2中，画出的中点． 【经典例题二 根据正方形的性质求角度】 【例1】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，为正方形对角线上的一点，过点作于点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形中，F是对角线上一点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 1．（24-25八年级下·广西钦州·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边，则 度． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 【经典例题三 根据正方形的性质求线段长】 【例1】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 【例2】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度； 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，这是一个由边长均为1的正方形组成的4×1网格，其中长度为的线段是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，将正方形在数轴上滚动（无滑动）一圈，则滚动后点在数轴上所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，于点，若，，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，为正方形对角线的中点，延长至点，连接，，为等边三角形．若，求的长度． 【经典例题四 根据正方形的性质求面积】 【例1】（2025七年级上·浙江绍兴·专题练习）如图，两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则两个正方形中的阴影部分甲和乙的面积差为（   ） A．28平方厘米 B．4平方厘米 C．17平方厘米 D．14平方厘米 【例2】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图1，当时，与的面积相等．理由：因为，所以．又因为，所以． (1)【类比探究】如图2，在正方形的右侧作等腰三角形，，连接，求的面积． (2)【综合应用】如图3，在正方形的右侧作正方形，点B、C、E在同一直线上，，连接，求的面积． 1．（24-25八年级下·四川攀枝花·阶段练习）如图，正方形的面积为8，菱形的面积为4，则的长是（   ） A．4 B． C．2 D．1 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，如图图A中外面正方形的面积是16平方分米，将图B放进图A组成一个新的图C，图C中小正方形的面积是 平方分米． 4．（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，点E在正方形内，且满足，，，求图中阴影部分的面积．    【经典例题五 正方形折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）已知正方形的面积为81，点H是边上的一个动点，沿过点H的直线将正方形折叠，使顶点D恰好落在边上的三等分点E处，则线段的长是（   ） A．5.5 B．6.5 C．5或5.5 D．5或6.5 【例2】（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）小花同学将手里的正方形纸片沿着下图方式进行两次对折后，在第二次折痕处剪掉一个等腰直角三角形如图所示，则展开正方形纸片得到的图形是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为 4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】 （1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则______． 【深入实践】 （2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点．沿着，将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号． 【拓展迁移】 （3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ①______，______； ②求正方形的边长． 【经典例题六 求正方形重叠部分面积】 【例1】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·吉林长春·期末）有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）． (2)当秒时，求的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围． (4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 2．（23-24八年级·全国·专题练习）将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（    ）. A．2 B．3 C．6 D．8 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，边长为 4cm 的正方形 ABCD 先向上平移 2cm ，再向右平移1cm ，得到正方形 A ' B 'C ' D ' ， 此时阴影部分的面积为 .    4．（23-24七年级上·上海·期末）△ABC是一块含有角的直角三角板，四边形DEFG是正方形，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，BC＝12，DG＝4．现在将正方形DEFG向右沿BC方向平移，设水平移动的距离为d，正方形与直角三角板的重叠面积为S． (1)当平移的距离d＝ 时，正方形DEFG恰好完全移出三角板； (2)当平移的距离d＝2时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； 当平移的距离d＝5时，正方形与直角三角板的重叠面积为S＝ ； (3)在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S，并写出相应d的取值范围． 【经典例题七 根据正方形的性质证明】 【例1】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①错误，②错误 D．①正确，②正确 【例2】（22-23九年级上·全国·期中）正方形中，E为的中点，F为的中点，求证：． 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，是正方形的对角线上一点（不与点、重合），于点，于点，连结．有下列结论：①；②；③一定是等腰三角形；④．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点在边上，于点，于点，若，，则的长为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 3．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且，现准备修建两条观光小路和，若小路长20米，则小路的长度为 米． 4．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，，连接，，平分，交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【经典例题八 正方形的判定定理理解】 【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【例2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读，并完成相应任务． 关于“矩形内折正方形的方法”的研究报告 研究人员：博学小组 成员1： 研究思路：①3个角都是▲的四边形是矩形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形． 操作：如图1，将矩形纸片沿折痕折叠，使点B落在上的点处，则四边形即为正方形． 证明：⋯． 成员2： 操作：①如图2，E为的中点，将矩形纸片沿折痕，折叠，使A，B两点的落点重合；②如图3，将沿折痕折叠，使点E落在点处，展开后得到图4中的四边形，则四边形即为正方形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容： ； (2)请补全材料中“…”处的证明过程； (3)研究报告中成员2的操作得到的四边形 正方形．（填“是”或“不是”） 1．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）从一般到特殊是一种重要的数学思想，如图通过类比的方法展现了认识三角形与平行四边形图形特征的过程，你认为“?”处的图形名称是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．正方形 D．矩形 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知命题“正方形的四个角都是直角”，则它的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 4．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 【经典例题九 添一个条件使四边形是正方形】 【例1】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，对角线，相交于点，且． (1)求证：为矩形； (2)请添加一个条件，使矩形是正方形．（不需要说明理由） 1．（24-25八年级下·河南商丘·期末）已知四边形为平行四边形，从下列条件中：①；②；③；④，任选其中两个，不能判定四边形为正方形的组合是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 2．（24-25八年级下·海南·期末）如图，在中，．要使得四边形是正方形，还需增加一个条件． 在下列增加的条件中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形中，添加一个条件： ，可使四边形是正方形． 4．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，为斜边上的中线，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件（不再添加其他线条和字母），使得四边形是正方形． (1)你添加的条件是 ； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【经典例题十 证明四边形是正方形】 【例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【例2】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，将长方形纸片折叠，使A点落在 上 的F 处，折痕为， 若 沿 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（    ）   A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 2．（2023·河南周口·一模）下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的菱形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 3．（24-25八年级上·北京·期末）四初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形． 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 【经典例题十一 根据正方形的性质与判定求角度】 【例1】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【例2】（2024·山东潍坊·二模）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 1．（23-24·福建厦门·一模）已知菱形ABCD与线段AE，且AE与AB重合．现将线段AE绕点A逆时针旋转180°，在旋转过程中，若不考虑点E与点B重合的情形，点E还有三次落在菱形ABCD的边上，设∠B=α，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，小志同学将边长为3的正方形塑料模板与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点处，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点，则四边形的面积是 ． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知、两点在正方形的对角线上移动，为定角，连接、，并延长分别交、于、两点，则与在、两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论． 【经典例题十二 根据正方形的性质与判定求线段长】 【例1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　） A．2 B． C．4 D．2 【例2】（23-24九年级上·福建龙岩·期末）如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且，则的长为（    ） A．5 B．9 C． D． 3．（23-24九年级上·广东珠海·开学考试）如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为 .    4．（23-24九年级上·全国·课后作业）一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是，求这个矩形的各边长． 【经典例题十三 根据正方形的性质与判定求面积】 【例1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（    ） A．15 B．20 C．25 D．30 【例2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示． (1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长； (2)求图（2）正方形与正方形的面积． 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，在边长为1的正方形中，当第1次作，第2次作；第3次作，……依次方法继续作垂直线段，当作到第10次时，所得的最小的三角形的面积是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）图中有三个正方形，若阴影部分面积为4个平方单位，则最大正方形的面积是（ ）平方单位.    A．48 B．12 C．24 D．36 3．（22-23九年级上·四川达州·期中）一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是，那么矩形的面积为 ． 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，把边长为的等边三角形绕边的中点O旋转，得到． (1)四边形是什么样的四边形？说明理由． (2)求四边形的两条对角线的长度． (3)求四边形的面积． 【经典例题十四 根据正方形的性质与判定证明】 【例1】（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点O，且，则下列式子不正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 1．（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·甘肃白银·期中）如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 3．（2024·江苏南京·二模）如图，在正方形中，E，F分别是的中点．若，则的长是 ．    4．（24-25八年级下·全国·期中）如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 【经典例题十五 中点四边形】 【例1】（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【例2】（23-24八年级下·河南开封·期中）已知：如图四边形四条边上的中点E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形，四边形的形状是什么？并证明结论． 1．（23-24·湖南娄底·中考真题）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 3．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户(四边形)，工人师傅准备连接窗户各边中点来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为米，边的长为米，那么四边形的周长为 米． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 【经典例题十六 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 【例1】（23-24七年级上·黑龙江大庆·开学考试）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图，P是的边上一点，过点P作一条直线l把这个四边形分成面积相等的两部分（用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）； (2)如图，在的网格中，A，B，C均在格点上，请找一格点D，使得为等腰三角形（找到一个即可）； 1．（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至的位置，针对四边形与四边形，下列说法正确的是（） A．周长与面积都相等 B．周长等，面积不等 C．周长不等，面积等 D．周长面积都不相等 2．（23-24八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 4．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 【经典例题十七 （特殊）平行四边形的动点问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【例2】（23-24八年级下·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 1．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形 3．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    4．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，点，的坐标分别为，，动点从点A沿以每秒个单位的速度运动；动点从点沿以每秒个单位的速度运动，同时出发，当一个点到达终点后另一个点继续运动，直至到达终点，设运动时间为秒． (1)在时，点坐标______，点坐标______． (2)当为何值时，四边形是矩形？ 【经典例题十八 四边形中的线段最值问题】 【例1】（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【例2】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB． (1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）； (2)求出△BPE周长的最小值． 1．（2024·黑龙江绥化·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 2．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，. （1）若、、三点共线，求的长； （2）求的面积的最小值. 【经典例题十九 四边形其他综合问题】 【例1】（2024·山西临汾·一模）我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（    ） A．一般到特殊 B．数形结合思想 C．模型思想 D．分类讨论思想 【例2】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）已知，在矩形中，，，四边形的三个顶点，，分别在矩形边，，上，． (1)如图，当四边形为正方形时，求的面积；    (2)如图，当四边形为菱形，设，的面积为，求与的函数关系式；    (3)在（2）的条件下，的面积能否等于？请说明理由． 1．（2023·陕西宝鸡·一模）在四边形中，连接与，若，且，，则四边形的面积是（   ） A．24 B．18 C．15 D．12 2．（22-23九年级上·四川成都·期末）下列说法不正确的是（   ） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝12，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 4．（2024·甘肃武威·三模）如图，在四边形ABCD中，，点E是对角线AC上一点，． (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)分别过点E，B作，，当和满足怎么样的数量关系时，四边形EFCD是菱形？请说明理由． 【拓展训练一 正方形的性质应用】 【例1】（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，正方形中，其中，，将正方形绕点逆时针旋转，每次旋转，问次旋转后点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·湖南长沙·模拟预测）李老师在课堂上提出一个问题： 如图（1），在直角三角形纸片中，，，．四边形是正方形，求图中阴影部分的面积． 下面是某个数学小组的讨论片段． 小明：先证明，再根据相似三角形的对应边的比例关系，列出方程，求得正方形的边长，即可求得阴影部分的面积． 小芳：小明的方法比较麻烦，只要将绕点E逆时针旋转一定的角度至的位置，如图（2），就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解决问题． (1)根据小芳的方法，旋转角的度数为______； (2)请选择小芳的方法，写出详细的求解过程． 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，连接、，、交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）实验基地有一块正方形地，现用篱笆分成三块培育三种花苗（如图所示），，分别为正方形的边和对角线的中点，根据所标尺寸，所需栅栏，的总长为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）如图，正方形和正方形，点为正方形对角线的中点，，则图中的阴影部分面积为 ． 4．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）如图，四边形是梯形，是平行四边形，是正方形，是长方形．已知，厘米，厘米，求阴影部分的面积． 【拓展训练二 正方形折叠、重叠问题】 【例1】（2024·贵州毕节·一模）如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点P处、分别是折痕，若点P沿从点B向点D移动，则阴影部分的周长（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当占P在中点处时，阴影部分周长最大 D．保持不变 【例2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 在学习菱形的时候，小明发现菱形符合八年级上学期学过的筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，菱形是一种特殊的筝形． 【初步应用】 （1）如图1，在菱形中，点是边的中点，点是射线上一点，连接，，将沿所在直线翻折到，点恰好落在上．求证：四边形和四边形都是筝形． 【类比迁移】 （2）如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并证明． 【解决问题】 （3）将（1）中的“菱形”改为“矩形”，增加“，，且”，其他条件不变，请直接写出______（用含的代数式表示）． 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 2．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（    ） A．49 B．65 C．78 D．97 3．（2024·重庆九龙坡·一模）如图，已知点、点分别是正方形的边、上的点，将正方形沿折叠，点、点的对应点分别为点、点，点恰好落在边上，交于点，连接交于点，当度时，请用含的式子表示为__________度． 4．（24-25七年级下·河北保定·期末）【操作与发现】 已知正方形与正方形，面积均为4．将正方形的顶点与正方形的中心重合摆放． （1）如图1，当经过点B，经过点时，此时两个正方形重叠部分的面积是______． （2）如图2，将正方形绕点旋转，在旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积______发生变化（填“会”或“不会”），请说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 【拓展训练三 正方形的证明，判定及应用】 【例1】（2025·浙江杭州·三模）如图，四边形为正方形，点P是边上方一点，且满足，下列各式的值为定值的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）如图，的面积为32，，，点E、F分别在边上，且．动点P从点E出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点F出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．过点P、Q分别作的垂线，垂足分别为N、M，设点P的运动时间为，四边形与重叠部分的面积为y． (1)的长为______； (2)当四边形是正方形时，求x的值； (3)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (4)连接交于点G，连接交于点H，当四边形是正方形时，直接写出此时x的值． 1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①；②；③；④，其中符合要求的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 3．（2023·福建宁德·一模）如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则 °． 4．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【拓展训练四 特殊平行四边形】 【例1】（2023·山东济南·一模）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 1．（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 2．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，已知，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若某时刻以A、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．2或 D．2或 3．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 4．（23-24八年级下·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． (1)如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 1．（2025·广东佛山·三模）如图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个与图1中完全相同的直角三角形分别摆放为如图2、图3所示的图形，其中阴影小正方形的面积分别记为，则的值为（    ） A．9 B．4 C．1 D．0 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的对角线与相交于点O，E、F分别是的中点，连接，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点O是正方形的中心，连接交于点F，连接．记的面积，正方形的面积为S．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　） A．12 B．13 C．14 D．18 5．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，有一个角为的一张直角三角形纸片，沿图中的中位线剪开后，不能拼成的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 6．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 7．（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 9．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 10．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在四边形中，，，且，则下列说法：①四边形是菱形；②；③若，，则四边形的面积为24；④若，则是等边三角形；⑤若顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是正方形．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，是正方形边延长线上的一点，且，则的度数为 12．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 13．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 ． 14．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则 ． 15．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，ABCD的顶点在矩形的边上，点与点不重合，若的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 . 16．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图所示，四个 4×4规格相同的正方形网格，按下列要求画格点正方形（4个顶点均在格点的正方形）． (1) 在图甲中画出与图 1 中阴影部分面积相等的正方形； (2)在图乙中画出与图 2 中阴影部分面积相等的正方形． 17．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，正方形和正方形有一个公共顶点 D，，点分别是的中点，连结． (1)如图1，当三点共线时，求的长． (2)如图2，当三点不共线时，连结，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当 三点共线时，求 的值． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图1，的三边分别为，以为一边作正方形，点在边上，将裁剪拼接至位置，如图2，请用图1、图2的面积不变证明勾股定理． 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 20．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$