专题02矩形的性质与判定难点题型专训（2个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2012）

专题02矩形的性质与判定难点题型专训 （2个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 利用矩形的性质求角度 题型三 根据矩形的性质求线段长 题型四 根据矩形的性质求面积 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 题型七 矩形与折叠问题 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 题型九 矩形的判定定理理解 题型十 添一条件使四边形是矩形 题型十一 证明四边形是矩形 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 拓展训练一 矩形性质的理解及应用 正拓展训练二 矩形坐标、折叠问题 拓展训练三 矩形的证明、判定及应用 知识点一：矩形的性质 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【即时训练】 1.（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．内角和为 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2.（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（    ） A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度增大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 知识点二：矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）. 【即时训练】 1.（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24九年级下·贵州黔南·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【经典例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【例2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，作一个以为对角线的矩形． (2)在图2中，作一个以为边，且面积为15的平行四边形． 1．（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，矩形的对角线交于点O，则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．中位线 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为 米． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上． (1)请用无刻度的直尺画出的中点（保留作图痕迹）． (2)作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）． 【经典例题二 利用矩形的性质求角度】 【例1】（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·陕西咸阳·二模）如图，是矩形的对角线，已知，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平行四边形中，为边上一点，F为边上一点，四边形为矩形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在矩形中，与交于点O，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB= ° 4．（2023·贵州贵阳·二模）如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接交于点E，连接交于点F． 以下是小明、小红的对话． 小明：． 小红：°． 请判断他们的说法是否正确，并说明理由．    【经典例题三 根据矩形的性质求线段长】 【例1】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【例2】（23-24八年级下·湖南·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求线段的长度． 1．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，矩形的对角线、相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，，则矩形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京丰台·期末）图1是一种常见的倾斜式停车位．将其中一个停车位抽象成，车辆停放区域的轮廓近似看成矩形，如图2所示．已知，，．现有一辆长，宽的轿车， （填“能”或“不能”）完全停入矩形内．（参考数值：，） 4．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【经典例题四 根据矩形的性质求面积】 【例1】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（   ） A．、、均可求 B．、、均不可求 C．仅可求 D．不可求 【例2】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形（即）．棚宽．高，长，求覆盖在顶上的矩形塑料薄膜的面积． 1．（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（   ） A．24 B．12 C．10 D．8 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，用长为米的铝合金制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米，则的长是 米．（用含，的代数式表示）    4．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    【经典例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，已知，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D．8 【例2】（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．    证明：四边形是矩形， ，， ① °． ， ， ， ② ． 又， ③ ， ④ ． ⑤ ． 又， ． 4．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：． 【经典例题六 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（23-24九年级下·广西北海·期中）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)．请标出点A，并回答下列问题： （1）作AM⊥x轴于M，并延长AM至点B，使BM=AM，直接写出点B的坐标； （2）作AN⊥y轴于N，并延长AN至点D，使DN=AN，直接写出点D的坐标； （3）连接AO并延长至点C，使得CO=AO，直接写出点C的坐标； （4）直接说出四边形ABCD的形状．（不需要证明） 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 4．23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）在直角坐标系中，长方形的边可表示为，边可表示为．求： (1)长方形各顶点的坐标； (2)长方形的周长． 【经典例题七 矩形与折叠问题】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，将矩形纸片沿折叠（点E在上），使点A落在对角线上的处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，求点E到点B的距离． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知，，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 3．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则 ． 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，将一张矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在边上，记为，折痕为，再将边斜向上对折，使点落在上，记为，折痕为， (1)求证：； (2)根据以下描述：分别延长和交于点，过点作的平行线，分别交和的延长线于点和，请补全图形，并求的值． 【经典例题八 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）尺规作图：已知，找一个点P，使得点P到A，B，C三个顶点的距离相等． 1．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）在中，，点为斜边中点，，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·全国·期中）如图，已知是斜边上的中线． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，是斜边的中线，过点、分别作，，与交于点．求证：四边形是菱形． 【经典例题九 矩形的判定定理理解】 【例1】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 【例2】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，，E为边上一点．请用尺规作图法在四边形内部求作一点P，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 1．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．四角相等的四边形是矩形 B．三角相等的平行四边形是矩形 C．两角为直角的四边形是矩形 D．一角为直角的平行四边形是矩形 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形．下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（     ） A．测量四边形的三个角是否为直角 B．测量四边形的两组对边是否相等 C．测量四边形的对角线是否相等 D．测量四边形的其中一组邻边是否相等 3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 4．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形． 【问题解决】 (1)小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ (2)爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 【经典例题十 矩形的判定定理理解】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和，且使，连接，，，． (1)求证： (2)添加一个条件，使四边形为矩形．直接写出添加的这个条件，不需要说明理由． 1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）若添加一个条件，使得是矩形，则这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，要使成为矩形，则可添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，且对角线、相交于点O，请你添加一个条件使得四边形成为矩形，这个条件可以是 ． 4．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，O是的中点，连接，并延长交的延长线相交于点E，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件______，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【经典例题十一 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图在中，，，以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【例2】（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，点D是边的中点，，．求证：四边形是矩形． 1．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据是（   ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 3．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件 ，使四边形是矩形． 4．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 【经典例题十二 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（22-23九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，工人师傅将门砌到一定高度时，质检员要测一下门的四个角是否都为直角，请你帮质检员想一个检测的办法，并说明理由．    1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 3．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，点在上，且，则 ． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：． 【经典例题十三 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【例2】（2025·广东广州·三模）如图，，过点作，垂足为，在边上，，．求证：． 1．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D从点A出发沿着线段运动到点B，过点D作于于F，连接，在整个运动过程中，下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．一直变短 D．始终保持不变 3．（24-25八年级上 泉州·期末））如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形为矩形． 4．（24-25八年级下·广西贵港·期中）教材呈现：直角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你用不同于教材的方法去证明这个命题成立． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线．求证：．（证法提示：延长至点E，使，连接，则……） (1)请根据提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)结论运用： ①如图2，一根长度固定的木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，B端随之沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的距离______．（填变大，变小或不变） ②如图3，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接．若，求菱形的面积． 【经典例题十四 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【例2】（22-23八年级下·贵州黔南·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，    (1)求证：； (2)若点E、F分别为线段的中点，连接，，，求的长及四边形的面积． 1．（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 2．（22-23九年级上·海南海口·期中）如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ． 4．（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【拓展训练一 矩形性质的理解及应用】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）感知：如图①，．的对角线相交于点，，．证明：四边形是平行四边形： 拓展：如图②，矩形的对角线相交于点，，，判断四边形的形状，并说明理由： 应用：如图③，菱形的对角线相交于点，交的延长线于点，．求四边形的周长是_____． 1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．8 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 3．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，长方形的面积是100，为上一点，，为上一点，，则的面积是 ． 4．（2024年湖南省初中学业水平考试数学试题卷（万唯金卷））如图，两张完全相同的矩形纸片和矩形纸片叠合在一起，其中点与点重合，点与点重合． (1)求证：重叠部分的四边形是菱形； (2)若矩形的长为，宽为，求四边形的面积． 【拓展训练二 矩形坐标、折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为 (1)的长为_____________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)点为平面上一点，若四边形为矩形，则点的坐标为_____________． (4)点为直线上一个动点，的最小值是_____________． 1．（23-24八年级下·广西防城港·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形为线段上一点（如图甲），现将其沿折叠，F为C点关于的对称点，线段分别交于（如图乙），再沿折叠，F点关于的对称点Q恰好落在线段上，若度，则用含的代数式表示的度数为（   ）度 A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江丽水·阶段练习）如图，已知矩形纸片，点E和点F分别在边和上，且，H、G分别是边和上的点，现将纸片沿折叠，点A、B、C、D的对应点分别是N、M、P、，若，则的度数为 4．（23-24九年级下·北京顺义·开学考试）如图，矩形是一张放在平面直角坐标系中的纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在上取一点，使得沿折叠后，点落在轴上，记作点． (1)点的坐标是_____． (2)求折痕所在直线对应的函数解析式． (3)在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【拓展训练三 矩形的证明、判定及应用】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）给出下列四个命题：①若一个三角形三边的比为，则它是等腰直角三角形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③两个邻角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，的对角线，交于点，是等边三角形，，求的面积． 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为 ． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面上，底座的高为且，连杆，的长度均为，且，与始终在同一平面上． (1)如图2，转动连杆，，使点，，在同一直线上，且，求的度数； (2)如图3，为了让光线更佳，继续转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．（结果保留根号） 1．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，点D在上，，，下列四个判断中不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是矩形 2．（23-24八年级下·云南西双版纳·期末）如图，中，，，，D是的中点，的长是（  ）．    A．2.4 B．2.5 C．5 D．10 3．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，在矩形纸片中，点是的中点，连接，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，以大于的等长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，且直线刚好经过点．若，则的长度是（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，是的中点，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024年山西省初中学业水平测试信息卷九年级数学）如图，菱形的面积为12，对角线，相交于点O．过点作于点，连接．已知在菱形中，，则的长为（   ） A．4 B．2 C．3 D．2.5 7．（22-23九年级上·全国·期中）在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 8．（23-24九年级下·四川广安·阶段练习）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④平行四边形两对角线的平方和等于其四条边的平方和 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24七年级下·新疆和田·期中）如图，将破损的长方形纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，经测量得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·云南丽江·模拟预测）如图，菱形的面积为20，于点M，，将沿折到处，则的长为（　　） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    12．（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是： ． 如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比 13．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为 ． 14．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则 ． 15．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是 ．（填写序号） 16．（24-25九年级上·云南·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 17．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，分别过点、作、边的平行线交于点，、分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，满足什么数量关系时四边形是矩形，请说明理由． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度． 19．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 20．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02矩形的性质与判定难点题型专训 （2个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 矩形性质理解 题型二 利用矩形的性质求角度 题型三 根据矩形的性质求线段长 题型四 根据矩形的性质求面积 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 题型七 矩形与折叠问题 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 题型九 矩形的判定定理理解 题型十 添一条件使四边形是矩形 题型十一 证明四边形是矩形 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 拓展训练一 矩形性质的理解及应用 正拓展训练二 矩形坐标、折叠问题 拓展训练三 矩形的证明、判定及应用 知识点一：矩形的性质 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【即时训练】 1.（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）在下面性质中，菱形有而矩形没有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．内角和为 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据菱形和矩形的性质依次判定即可. 【详解】A. 菱形和矩形的对角线都互相平分，故A选项不符合题意； B. 菱形和矩形的内角和都为，故B选项不符合题意； C. 矩形的对角线相等，而菱形的对角线不相等，故C选项不符合题意； D.菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，故D选项符合题意. 故选：D 【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键. 2.（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（    ） A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度增大 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，熟悉性质是解题的关键． 由题意得向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，四边形四条边不变，故周长不变，高变小，底不变，故面积变小，即可选出答案． 【详解】解：向左扭动框架，由矩形变成了平行四边形，故A选项说法正确，A不符合题意； 此时对角线减小，对角线增大，故B选项说法正确，B不符合题意； 边上的高减小，面积就变小，故C选项说法错误，C符合题意； 四边形四条边都不变，周长就不变，故D选项说法正确，D不符合题意． 故选：C． 知识点二：矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）. 【即时训练】 1.（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知四边形是平行四边形，然后再根据四个选项所给条件一一进行判断即可得出答案． 【详解】解：在四边形中，对角线相交于点O，， 四边形是平行四边形， A、添加条件，可得四边形是菱形，但不一定是矩形，故符合题意； B、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意； C、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意； D、若，则，则，故四边形是矩形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的定义及判定定理是解答此题的关键． 2.（23-24九年级下·贵州黔南·期末）在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可； 【详解】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形为矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴四边形ABCD是矩形， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键． 【经典例题一 矩形性质理解】 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，作一个以为对角线的矩形． (2)在图2中，作一个以为边，且面积为15的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，矩形的判定和性质． （1）根据矩形的判定作出图形； （2）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，四边形是矩形，即为所求； （2）解：如图2，或均符合要求． 1．（2025·山西吕梁·三模）如图，在矩形中，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查矩形的性质，根据矩形的性质依次判断即可，熟练掌握其性质是解题关键． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∵O为中点， ∴，故选项A、B、C正确，不符合题意； 无法得出，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，矩形的对角线交于点O，则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．中位线 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质．根据矩形的性质“对角线互相平分”即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， 对角线互相平分， 即， 是的中线． 故选：B． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设未知数，利用勾股定理即可解答此题． 【详解】解：由图可知，四边形是矩形， ， ， 假设的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，， 故答案为：5． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上． (1)请用无刻度的直尺画出的中点（保留作图痕迹）． (2)作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形性质，菱形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，画出的中点即可； （2）根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形，画出点，即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，菱形即为所求； 或 或 【经典例题二 利用矩形的性质求角度】 【例1】（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 【例2】（2025·陕西咸阳·二模）如图，是矩形的对角线，已知，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，作角平分线，根据矩形的性质结合，得到，作的角平分线与交点即为，此时，则． 【详解】解：如图，作的角平分线与交点即为．    1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平行四边形中，为边上一点，F为边上一点，四边形为矩形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，由矩形的性质得，即得，再根据三角形内角和定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在矩形中，与交于点O，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形对角线互相平分且相等，可得，进而证明是等边三角形，推出，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB= ° 【答案】30 【分析】先证明是等边三角形，得到，再由四边形是矩形，得到，则． 【详解】解：∵四边形OD'DC为菱形， ∴， ∵在扭动过程中，CD的长度是不会发生变化的， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，熟知菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 4．（2023·贵州贵阳·二模）如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接交于点E，连接交于点F． 以下是小明、小红的对话． 小明：． 小红：°． 请判断他们的说法是否正确，并说明理由．    【答案】小明正确，小红不正确，理由见解析 【分析】由矩形得，为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断小明的说法正误；根据矩形的性质可得，便可判断小红的说法正误． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ，故小明的说法正确； ，， ， ，故小红的说法错误． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，关键是熟记这些图形的性质． 【经典例题三 根据矩形的性质求线段长】 【例1】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·湖南·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握矩形的判定的方法是解题的关键： （1）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，即可得证； （2）根据含30度的直角三角形的性质，求出的长，再根据矩形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，． 1．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，矩形的对角线、相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，掌握矩形的性质与三角形中位线的性质是解题的关键． 由矩形的性质得到点O是的中点，从而得到是的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴点O是的中点， ∵点是的中点，， ∴． 故选D 2．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，，则矩形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 根据矩形性质得，，则矩形的周长为，进而得，再由勾股定理求出，进而即可得出矩形的周长． 【详解】解：四边形是矩形，且，， ，，，， 矩形的周长为：， 在中，， 由勾股定理得：． ， 矩形的周长为56． 故选：D． 3．（24-25八年级下·北京丰台·期末）图1是一种常见的倾斜式停车位．将其中一个停车位抽象成，车辆停放区域的轮廓近似看成矩形，如图2所示．已知，，．现有一辆长，宽的轿车， （填“能”或“不能”）完全停入矩形内．（参考数值：，） 【答案】不能 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形，矩形．根据题意，分别计算矩形的长，宽，与轿车的长，宽相比较即可得到结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵现有一辆轿车的长，宽， ， ∴这辆轿车不能完全停入矩形内． 故答案为：不能． 4．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明全等、利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）由矩形的性质及已知，得；由平行线的性质得，结合，利用即可证明全等； （2）设，则；由（1）知，从而可得．在中，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又∵， ∴． （2）解：设，则， 由（1）知：， ∴． 在中， ， ∴， 解得：， ∴． 即的长是． 【经典例题四 根据矩形的性质求面积】 【例1】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（   ） A．、、均可求 B．、、均不可求 C．仅可求 D．不可求 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质可得，可得，，可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形（即）．棚宽．高，长，求覆盖在顶上的矩形塑料薄膜的面积． 【答案】覆盖在顶上的塑料薄膜需 【分析】考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理计算．首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，即是矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据勾股定理，得直角三角形的斜边， ∴覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为：． 1．（24-25八年级下·广西防城港·期末）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过点C作，垂足为点E．若，．则矩形的面积为（   ） A．24 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先根据矩形对角线的性质得到，由，根据即可求解． 【详解】解：∵矩形，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，先整理得，再结合图形得，因为已知与的面积差，则只需要知道的长，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则 ， 要求矩形的周长，求出即可， 现已知与的面积差， 则只需要知道的长． 故选：A． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，用长为米的铝合金制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米，则的长是 米．（用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】设，根据矩形，矩形，矩形的面积均相等，得出，再根据窗户框的总长为米，得出，从而表示出的长． 【详解】解：设， 矩形，矩形，矩形的面积均相等，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，列代数式，关键是根据矩形面积公式表示出的长． 4．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，对角线相交于点O，若，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴ 四边形是矩形． 矩形的面积． 故答案为：． 【经典例题五 利用矩形的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，已知，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练矩形的性质是解决本题的关键． 根据矩形的性质以及直角三角形的性质，得到，进而得到，即可解题． 【详解】解：矩形， ， ， ， ， ； 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形性质和角平分线的性质证明； （2）证明，证明四边形是平行四边形，再根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵是一个矩形草坪，对角线，相交于点， ∴， ∵是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴矩形的面积为， 故选：C 3．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．    证明：四边形是矩形， ，， ① °． ， ， ， ② ． 又， ③ ， ④ ． ⑤ ． 又， ． 【答案】①90； ②；③；④；⑤ 【分析】由直角三角形性质得出①，根据平角定义得出②，由全等的判定方法得出③④，由三角形全等性质得到⑤． 【详解】解：四边形是矩形， ，， °（直角三角形两锐角互余）． ， ， ， （同角的余角相等）． 又， （已知）， ． （全等三角形的对应边相等）． 又， ． 【点睛】本题考查了矩形性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定是解题关键． 4．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【经典例题六 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（23-24九年级下·广西北海·期中）如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 【例2】（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)．请标出点A，并回答下列问题： （1）作AM⊥x轴于M，并延长AM至点B，使BM=AM，直接写出点B的坐标； （2）作AN⊥y轴于N，并延长AN至点D，使DN=AN，直接写出点D的坐标； （3）连接AO并延长至点C，使得CO=AO，直接写出点C的坐标； （4）直接说出四边形ABCD的形状．（不需要证明） 【答案】（1）图见解析，B(3，-2)；（2）图见解析，(-3，2)；（3）图见解析，(-3，-2)；（4）四边形ABCD是矩形． 【分析】（1）根据题意作图； （2）根据题意作图； （3）根据题意作图； （4）根据有一个直角的平行四边形是矩形解题． 【详解】解：(1) 如图，B(3，-2) ； (2)如图，D(-3，2)； (3)如图，C(-3，-2)； (4)由图可知：AD=BD，AB=BC 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标、矩形的判定等知识，基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 2．（23-24九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，CB=OA， ∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B坐标为（6，3）， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标． 3．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 4．23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）在直角坐标系中，长方形的边可表示为，边可表示为．求： (1)长方形各顶点的坐标； (2)长方形的周长． 【答案】(1)，，， (2)18 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，是解题的关键． （1）根据边、的公共点为A，首先求出点A的坐标，从而得到点B、D的坐标，再根据点B的纵坐标与点D的横坐标求出点C的坐标即可； （2）根据x、y的取值范围求出、的长度，再根据长方形的周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵边可表示为，边可表示为， ∴点A的坐标为， ∵， ∴点B的坐标为， ∵， ∴点D的坐标为， ∵四边形是长方形， ∴点C的坐标为； （2）解：∵，，，， ∴，， ∴长方形的周长． 【经典例题七 矩形与折叠问题】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，将矩形纸片沿折叠（点E在上），使点A落在对角线上的处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质；熟练掌握折叠题目中找出相等的角是解题的关键． 由矩形的性质得，由折叠的性质得到相等的角，再根据图形找到角之间的关系，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，求点E到点B的距离． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题、勾股定理和矩形的性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．设折叠后与重合，连接，由于是折痕，可得到，设出未知数，在中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案． 【详解】解：设折叠后与重合，连接，设， ∵为折痕， ∴，， 在中，， ∴中，， ∴， 解得． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形 ∴ ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知，，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质求出对角线的长度，再根据菱形的面积计算公式计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，所得四边形的对角线互相垂直且平分， ∴得到的新的四边形为菱形，其边长，为对角线的一半， ∵，， ∴， ∴菱形的对角线长分别为和， ∴它的面积为， 故选：C． 3．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，将矩形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质等，掌握折叠前后角度之间的关系是解题的基础．在矩形中，，则，，又由折叠可知，，进一步得到的度数． 【详解】解：在矩形中，， ∴，， 由折叠可知， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，将一张矩形纸片的边斜着向边对折，使点落在边上，记为，折痕为，再将边斜向上对折，使点落在上，记为，折痕为， (1)求证：； (2)根据以下描述：分别延长和交于点，过点作的平行线，分别交和的延长线于点和，请补全图形，并求的值． 【答案】(1)见解析 (2)图形见解析；1 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质，角平分线的性质： （1）根据矩形的性质以及折叠的性质可得，即可解答； （2）由折叠的性质得：，，，然后根据角平分线的性质可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）尺规作图：已知，找一个点P，使得点P到A，B，C三个顶点的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线交于点P，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得点P到A，B，C三个顶点的距离相等． 【详解】解：如图，分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于两点，连接两点交于点P，点P即为所求． 1．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，是的中点， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）在中，，点为斜边中点，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】解：在中，，点为斜边中点，， 则， 故选：C． 3．（22-23八年级上·全国·期中）如图，已知是斜边上的中线． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 6 12 【分析】本题主要考查了直角三角形的斜边中线的性质，勾股定理， 对于（1），根据直角三角形斜边中线的性质可知，即可得出答案； 对于（2），先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据勾股定理求出答案. 【详解】解：（1）∵是斜边上的中线，， ∴； （2）∵是斜边上的中线，， ∴. 又∵, ∴． 故答案为：6；12． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，是斜边的中线，过点、分别作，，与交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、直角三角形斜边中线性质、平行四边形的判定与性质等知识，先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得出，然后根据菱形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵，，  ∴四边形为平行四边形， ∵中，，为斜边边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形． 【经典例题九 矩形的判定定理理解】 【例1】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 【例2】（2025·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，，E为边上一点．请用尺规作图法在四边形内部求作一点P，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据尺规作图作垂线的方法，过点作垂直，过点作，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求． 1．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．四角相等的四边形是矩形 B．三角相等的平行四边形是矩形 C．两角为直角的四边形是矩形 D．一角为直角的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理．根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、四角相等的四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意； B、三角相等的平行四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意； C、两角为直角的四边形不一定是矩形，原说法不正确，本选项符合题意； D、一角为直角的平行四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是否为矩形．下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（     ） A．测量四边形的三个角是否为直角 B．测量四边形的两组对边是否相等 C．测量四边形的对角线是否相等 D．测量四边形的其中一组邻边是否相等 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小． 根据矩形的判定定理逐项判断即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，三个角都是直角，则第四个角也是直角，能判定是矩形；故此选项符合题意； B、测量两组对边分别相等，能判定是平行四边形，不能判定是矩形；故此选项不符合题意； C、根据对角线相等的平行四边形是矩形，只测量对角线相等，不能判定是矩形；故此选项不符合题意； D、测量四边形的其中一组邻边是否相等，不能判定形状；故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）学习了四边形知识后，八年级数学兴趣小组开展检测学校雕塑（如图）底座正面四边形是不是一个矩形的实践活动． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：雕塑底座正面是一个平行四边形，但究竟是不是矩形有待验证． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先利用卷尺测量四条边，，，的长度，并测量出点B，D之间的距离； 第二步：通过计算验证底座正面四边形是不是一个矩形． 【问题解决】 (1)小明同学是这样测量的：利用卷尺测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，对角线的长是100厘米，则四边形是矩形吗？为什么？ (2)爱脑筋的小华同学说如果卷尺是没有刻度的，他也有办法检验四边形是不是矩形．请写出小华的检验方法并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用， （1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论； （2）在边上量取3个相等的小段，记，在边上量取4个相等的小段，记，这时只要量一下是否等于即可． 【详解】（1）解：垂直，理由为： 在中，因为厘米，厘米，厘米， 所以厘米， ， 所以， 所以四边形是矩形； （2）解：在边上量取3个相等的小段，记， 在边上量取4个相等的小段，记，， 这时只要量一下是否等于5个相等的小段，即，即可判断四边形是矩形． 【经典例题十 矩形的判定定理理解】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定方法，根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意； 故选D． 【例2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和，且使，连接，，，． (1)求证： (2)添加一个条件，使四边形为矩形．直接写出添加的这个条件，不需要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识； （1）根据题意得到，推出，再结合判定即可求出； （2）连接，与交于点O，根据题意证出四边形是平行四边形，即可求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， （）； （2）添加条件为：．理由如下， 连接，与交于点O．如图所示∶ ∵四边形是平行四边形，     ∴， 又∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴平行四边形为矩形． 1．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）若添加一个条件，使得是矩形，则这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 根据矩形的判定、平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：A选项，中有，添加该条件不能证明是矩形，不符合题意； B选项，添加后可证是矩形，符合题意； C选项，添加后证明是菱形，而非矩形，不符合题意； D选项，添加后证明是菱形，而非矩形，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）如图，要使成为矩形，则可添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：根据矩形的判定方法， A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意； B、添加，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意； C、由平行四边形的性质得到，添加多余，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到平行四边形为矩形，所以本选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，且对角线、相交于点O，请你添加一个条件使得四边形成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定定理，从角或对角线的角度添加条件即可判定平行四边形 是矩形．本题主要考查矩形的判定定理，熟练掌握“对角线相等的平行四边形是矩形” “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 【详解】解：可添加条件： ， 四边形 是平行四边形，且 平行四边形 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一） ． 4．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，O是的中点，连接，并延长交的延长线相交于点E，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件______，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2)当时（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定， 对于（1），根据平行四边形的性质得，即可得，再根据可得结论； 对于（2），由（1）可知，即可知四边形是平行四边形，再添加一个内角等于或对角线相等，答案不唯一． 【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵点O是的中点， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 当时， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【经典例题十一 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图在中，，，以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，根据题意正确作图是解题的关键； 根据题意作图，易得，，可证四边形是平行四边形，又，，可证四边形是矩形． 【详解】解：依题意作图如下： 连接，，由作图知，， 四边形是平行四边形， 又，， 四边形是矩形． 故选：B． 【例2】（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，点D是边的中点，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 1．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）四边形的对角线，交于点，下列各组条件不能判定四边形是矩形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理． 根据矩形的判定定理，逐一分析各选项条件是否满足矩形的定义或判定条件． 【详解】解：A、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项A不符合题意， B、，，说明四边形是平行四边形，，说明对角线垂直，此时平行四边形为菱形，但菱形的对角线不一定相等，无法保证四个角为直角，故不能判定为矩形，选项B符合题意， C、，，说明四边形是平行四边形，，说明有一个直角，根据“有一个直角的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，选项C不符合题意， D、，，可推出且，说明是平行四边形；，说明，结合平行四边形性质得，对角线相等，故可判定为矩形，选项D不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级下·河南开封·期末）如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据是（   ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：小明用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，，是平行四边形的对角线，且对角线交点为，E，F是上两点，且，连接，，，，添加一个条件 ，使四边形是矩形． 【答案】答案不唯一， 【分析】先证明四边形是平行四边形．结合，得证，即可证明四边形是矩形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是平行四边形的对角线，且对角线交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 4．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质等知识．先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用三线合一证明，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：是AC中点， ， 又， 四边形是平行四边形； ，是中点， ， ， 四边形是矩形． 【经典例题十二 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（22-23九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，工人师傅将门砌到一定高度时，质检员要测一下门的四个角是否都为直角，请你帮质检员想一个检测的办法，并说明理由．    【答案】先测量，，，，，的长度，若，，，则门的四个角都是直角，理由见解析 【分析】利用对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形为矩形， 这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键． 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出的度数是解此题的关键． 2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8cm， ∴AO=OB=AB=4cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)， 故答案为：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． 3．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在矩形中，，点在上，且，则 ． 【答案】15° 【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC， ∵， ∴∠BEA＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠BEA＝30°， ∵=BC， ∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°， ∵∠BCD＝90°， ∴90°−75°＝15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）根据四边形是矩形，，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【经典例题十三 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交延长线于点E，证明出四边形是矩形，得到，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于点E ∵，， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 【例2】（2025·广东广州·三模）如图，，过点作，垂足为，在边上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先证明四边形是矩形得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：， ∴， 又， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 1．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 由，，，根据勾股定理逆定理可得，证明四边形是矩形，再由矩形的对角线相等可求出． 【详解】解：，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ． 故选：． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，点D从点A出发沿着线段运动到点B，过点D作于于F，连接，在整个运动过程中，下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．一直变短 D．始终保持不变 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质．连接，证明四边形是矩形，可得，由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小， ∴点D从点A出发沿着线段运动到点B的过程中，则线段的值大小变化情况是先变短后变长． 故选：A． 3．（24-25八年级上 泉州·期末））如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形为矩形． 【答案】5 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质的运用是关键，根据题意，只需，即，由此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ， 设最快后，四边形为矩形， 要使四边形为矩形， 只需，即， 解得， 故最快后，四边形为矩形， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广西贵港·期中）教材呈现：直角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你用不同于教材的方法去证明这个命题成立． 已知：如图1，在中，，是斜边上的中线．求证：．（证法提示：延长至点E，使，连接，则……） (1)请根据提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)结论运用： ①如图2，一根长度固定的木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，B端随之沿地面向右滑行，在此滑动过程中，点P到点O的距离______．（填变大，变小或不变） ②如图3，点O为菱形的对角线的交点，过点C作于点E，连接．若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①不变；② 【分析】本题主要考查直角三角斜边中线等于斜边的一半，矩形的判定和性质，菱形的性质求面积，掌握矩形的判定和性质，菱形的性质求线段长即面积的计算是关键． （1）延长到点E，使，连接，则，可证四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解； （2）①根据（1）的证明，由的值不变得到点P到点O的距离也不变；②根据菱形的性质得到，根据是斜边上的中线，得到，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：延长到点E，使，连接，则， 是斜边上的中线， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ； （2）解：①根据题意，，是中点，结合（1）的证明，， ∵在移动过程中的值保持不变， ∴点P到点O的距离也不变， 故答案为：不变； ②四边形是菱形， ，且， ， 又， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积． 【经典例题十四 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．21 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 【例2】（22-23八年级下·贵州黔南·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，    (1)求证：； (2)若点E、F分别为线段的中点，连接，，，求的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6，48 【分析】（1）证明四边形是矩形，即可； （2）根据三角形中位线定理可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （2）解：∵点E、F分别为线段的中点，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键． 1．（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 过点，作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：过点，作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（22-23九年级上·海南海口·期中）如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定，勾股定理等知识，首先证明出四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，然后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 故选：C． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 4．（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【拓展训练一 矩形性质的理解及应用】 【例1】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角；连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点，   四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）感知：如图①，．的对角线相交于点，，．证明：四边形是平行四边形： 拓展：如图②，矩形的对角线相交于点，，，判断四边形的形状，并说明理由： 应用：如图③，菱形的对角线相交于点，交的延长线于点，．求四边形的周长是_____． 【答案】感知：见详解；拓展：四边形是菱形，理由见详解；应用：20 【分析】此题主要考查了度角所对的直角边是斜边的一半，矩形的性质以及菱形的性质和平行四边形的判定、矩形的判定等知识，正确掌握相关性质是解题关键． 感知：运用两组对边平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，即可作答． 拓展：结合矩形的性质，再利用邻边相等的平行四边形是菱形，进而得出答案； 应用：结合菱形的性质以及利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，再利用度角所对的直角边是斜边的一半，得出，即可得出答案． 【详解】解：感知：∵， ∴四边形是平行四边形， 拓展：四边形是菱形，理由如下： 证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴， 即， 故， ∴平行四边形是菱形． 应用：∵菱形的对角线相交于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形, ∴， ∵，， ∴ 即平行四边形的周长等于 1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，由矩形的性质得，，且，则，因为，所以是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，相交于点O， ，，且， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江金华·期末）在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，掌握矩形是中心对称图形是解题的关键． 根据矩形的性质分析即可． 【详解】解：如图，补全原图为两个矩形， ∵矩形是中心对称图形，分别是大小两个矩形的对称中心， ∴当直线经过时，必定平分该该直角铁皮的面积， 设交左边长方形的边于点F，交右边长方形的边于点E，的中点为O，N，G为右边长方形的顶点， 当这条直线绕点O旋转时，直线只要经过内部，均平分直角铁皮的面积； 因此还能存在无数条直线将该直角铁皮分成面积相等的两部分， 故选：D． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，长方形的面积是100，为上一点，，为上一点，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积，将几何问题转化为代数问题是关键，长方形的长为，宽为，则，，，利用代入数据计算即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则，，， ． 故答案为：． 4．（2024年湖南省初中学业水平考试数学试题卷（万唯金卷））如图，两张完全相同的矩形纸片和矩形纸片叠合在一起，其中点与点重合，点与点重合． (1)求证：重叠部分的四边形是菱形； (2)若矩形的长为，宽为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得：，，，，推出，四边形是平行四边形，证明，得到，即可得证； （2）由菱形的性质可得，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】（1）证明：两张完全相同的矩形纸片和矩形纸片叠合在一起，其中点与点重合，点与点重合, ，，，， ，四边形是平行四边形， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 【拓展训练二 矩形坐标、折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，中，点坐标为，点坐标为，点坐标为 (1)的长为_____________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)点为平面上一点，若四边形为矩形，则点的坐标为_____________． (4)点为直线上一个动点，的最小值是_____________． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据网格的特点，利用勾股定理即可求解； （2）根据网格的特点，利用勾股定理分别求出三边的长度，再根据勾股定理的逆定理即可判断； （3）根据矩形的性质和网格的特点分别作，，即可求解． （4）作点关于直线的对称点，连接、、、，根据轴对称的性质和两点间线段最短可知，即当、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，根据坐标求得即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：为直角三角形，理由如下： ，，， ， 为直角三角形． （3）解：四边形为矩形， ，，，， 过点作，过点作，如图所示， 根据网格的特点可知，点的坐标为． 故答案为：． （4）解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接、、、， 则， ， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长度， ，， ， ， 即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，两点间线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1．（23-24八年级下·广西防城港·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及间接法求三角形的面积，解题的关键是利用勾股定理正确求出BF的长度． 先证明，得到，设，则，根据勾股定理，求出x，然后利用的面积减去的面积，即可得到答案． 【详解】解：由折叠和矩形的性质可知，，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴； 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形为线段上一点（如图甲），现将其沿折叠，F为C点关于的对称点，线段分别交于（如图乙），再沿折叠，F点关于的对称点Q恰好落在线段上，若度，则用含的代数式表示的度数为（   ）度 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质得，再根据平角的定义得，根据三角形的内角和得，最后根据平角的定义表示出的度数． 【详解】解：根据折叠，得， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质和三角形的内角和，综合性较强，关键要找到折叠后各角之间的关系． 3．（24-25七年级下·浙江丽水·阶段练习）如图，已知矩形纸片，点E和点F分别在边和上，且，H、G分别是边和上的点，现将纸片沿折叠，点A、B、C、D的对应点分别是N、M、P、，若，则的度数为 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、折叠的特性，根据题意分析其它情况是解题的关键． 根据平行线的性质与判定和折叠的特性分析图形特征即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ， 由折叠可知：， ， ， 如图1， ，且与在直线的异侧，延长交于点L，设交于点I， ，， ， ， ， ， ， 如图2，，且与在直线的同侧，延长交于点J， ， ， ， ， 综上所述： 或， 故答案为：或． 4．（23-24九年级下·北京顺义·开学考试）如图，矩形是一张放在平面直角坐标系中的纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在上取一点，使得沿折叠后，点落在轴上，记作点． (1)点的坐标是_____． (2)求折痕所在直线对应的函数解析式． (3)在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，即可得到点的坐标； （2）设，则，而，在中，利用勾股定理求出t的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式即可； （3）设点P的坐标为，根据的面积为列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵沿翻折后，点B落在x轴上，记作点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解∶ 设，则， 而， 在中，， 即， 解得， ∴M点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解∶ 存在； 设点P的坐标为， 则的面积， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数和几何的综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的翻折、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【拓展训练三 矩形的证明、判定及应用】 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）给出下列四个命题：①若一个三角形三边的比为，则它是等腰直角三角形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③两个邻角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】逐一判断四个命题的正确性：①根据勾股定理验证是否为等腰直角三角形；②根据矩形的判定定理判断；③由邻角相等推导出直角；④举反例说明对角线相等且垂直的四边形不一定是菱形． 【详解】解：命题①：三边比为的三角形满足勾股定理，故为等腰直角三角形，正确， 命题②：平行四边形的对角线相等时，根据矩形判定定理，必为矩形，正确， 命题③：平行四边形邻角互补，若邻角相等则每个角为，故为矩形，正确， 命题④：对角线相等且垂直的四边形不一定是菱形。例如构造对角线相等且垂直但边不相等的四边形，故错误， 故选C． 【点睛】本题考查判断命题的真假、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定定理、菱形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，的对角线，交于点，是等边三角形，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的应用；先根据平行四边形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，然后判断是矩形，再根据勾股定理求出长，利用举行的面积计算解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的面积为． 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判断①结论；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判断②结论；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断③结论；根据等腰三角形三线合一的性质和对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，可判断④结论． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，①结论正确； ， 四边形是矩形，②结论正确； 平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，③结论正确； ，， 平分， 同③理：四边形是菱形，④结论正确； 即正确的有4个， 故选：D 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，与交于点， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴分别为的垂直平分线， ∴， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴四边形为矩形， ∴，故②正确； ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理得 ∵， ∴，故③错误； ∴正确的结论是①②， 故选：B． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，将一组邻边长分别为5和12的两个矩形和矩形拼成“”形图案，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，延长交于H，证明四边形是矩形，再求出、的长，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，延长交于H， ∵矩形和矩形的一组邻边长分别为5和12， ，，，， ，， ，四边形是矩形， ，， ， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面上，底座的高为且，连杆，的长度均为，且，与始终在同一平面上． (1)如图2，转动连杆，，使点，，在同一直线上，且，求的度数； (2)如图3，为了让光线更佳，继续转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)155° (2)连杆端点离桌面的高度为 【分析】此题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和，矩形的判定与性质，勾股定理的应用． （1）先求出，再根据，可得，即可解答； （2）过点B作于点O，证明四边形是矩形，可得，继而求出，根据勾股定理，得到，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）过点B作于点O，如图， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即连杆端点离桌面的高度为． 1．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，点D在上，，，下列四个判断中不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形，逐项分析即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形，故B选项正确，不符合题意； C、∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形，故C正确，不符合题意； D、若平分，则四边形是菱形，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·云南西双版纳·期末）如图，中，，，，D是的中点，的长是（  ）．    A．2.4 B．2.5 C．5 D．10 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线定理求出的长．本题主要考查了勾股定理和直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理求斜边长度以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∵是的中点 ∴ 故选：B． 3．（24-25八年级下·广西百色·期末）如图，在矩形纸片中，点是的中点，连接，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，以大于的等长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，且直线刚好经过点．若，则的长度是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．通过线段垂直平分线的性质得到是解题的关键．先根据作图步骤得出是的垂直平分线，进而得到，再利用矩形的性质和勾股定理求出的长度． 【详解】解：由作图可知，是线段的垂直平分线， 连接 又直线经过点B， ， 又点E是的中点， ， 在矩形中，， 在中，， ． 故选：B． 4．（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，是边上的高，是的中点，若，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、含角的直角三角形的性质，掌握相关的性质、定理是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据含角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：在中，是的中点，， 则， 在中，， 则， 由勾股定理得：， 在中，， 则， 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得，，即可得到，由折叠的性质得，则，由三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线， ，， ， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ， ， ． 故选：C． 6．（2024年山西省初中学业水平测试信息卷九年级数学）如图，菱形的面积为12，对角线，相交于点O．过点作于点，连接．已知在菱形中，，则的长为（   ） A．4 B．2 C．3 D．2.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 7．（22-23九年级上·全国·期中）在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、根据矩形的性质得到是解题的关键．连接，先根据勾股定理逆定理可得，可得到四边形是矩形，从而得到，进而得到当的值最小时，值最小，即的最小值为直角三角形斜边上的高，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：连接， ∵在中，， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当的值最小时，值最小， ∵当为直角斜边上的高时，的值最小， ∴的最小值即为直角斜边上的高， 设直角斜边上的高为h， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为， 故选：B． 8．（23-24九年级下·四川广安·阶段练习）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④平行四边形两对角线的平方和等于其四条边的平方和 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题，解题的关键是灵活应用这些知识的应用． 【详解】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外，不符合题意； ②错误，理由：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意； ③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意； ④如图所示，平行四边形， 作，如图所示： ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中，由勾股定理，得，， ∴， 又∵， 即：， ∵， ∴， 故正确，符合题意； ⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形，故不符合题意． 正确的只有③④， 故选：B． 9．（23-24七年级下·新疆和田·期中）如图，将破损的长方形纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，经测量得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质，根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可知，根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 由折叠的性质可知， ． 故选：C． 10．（2025·云南丽江·模拟预测）如图，菱形的面积为20，于点M，，将沿折到处，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、翻折变换的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．利用菱形的面积为20，于点M，，求出，则，由翻折得出点在直线BC上，作于点E，则，证明四边形是矩形，则，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵菱形的面积为20，于点M，， ∴，，， ∴，， ∴， 由翻折得，， ∴， ∴点在直线BC上， 作于点E，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 11．（24-25八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（对角线互相平分且相等），． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 12．（2025·山西吕梁·三模）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子比较书架的两条对角线的长就可以判断，其中证明“四边形是矩形”的依据是： ． 如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 13．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，垂线段最短；利用矩形的性质转化为求的最小值是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，此时，利用面积相等即可求得的最小值，从而求解． 【详解】解：连接，如图所示； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当取得最小值时，取得最小值，此时； ∵，，， ∴由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 14．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换等知识点，弄清楚图形折叠后是解题的关键． 由长方形的性质可得，易得的度数，再根据折叠方法可得，然后用即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的方法可得：， ∴． 故答案为：． 15．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是 ．（填写序号） 【答案】② 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（、和）即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 当选择①时， 在和中， ， ∴； 当选择②时，不能判定； 当选择③时， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴； 当选择④时， 在和中， ， ∴； 综上，添加条件后，仍然不能判定的是②， 故答案为：②． 16．（24-25九年级上·云南·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 17．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，分别过点、作、边的平行线交于点，、分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，满足什么数量关系时四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、等腰三角形三线合一，熟悉特殊平行四边形的判定与性质是解决本题的关键． （1）由作法可知四边形是平行四边形， ，进而可得，即可证得四边形为平行四边形； （2）当时，由为的中点得，由此即可平行四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵由题意可知：,, ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∵、分别是、的中点，即：， ， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， （2）解：当时，四边形是矩形， 理由：∵，为的中点， ∴， ∴平行四边形为矩形． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度． 【答案】米，米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用．首先得出，进而得出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：作，垂足分别是E、F， 则由题意得：， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 所以， 所以， 又因为由勾股定理得， 所以． 答：旗杆的高度为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米． 19．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 20．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．解题时充分利用了菱形的对角线互相垂直平分、矩形的对角线相等的性质． （1）通过证明四边形是矩形来推知； （2）利用（1）中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得，然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ； （2）解：由（1）知，，，四边形是矩形， ． 在中，由勾股定理得， ，． 四边形是菱形， ，， 菱形的面积是：． 学科网（北京）股份有限公司 $$