专题01菱形的性质与判定重难点题型专训（2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（北师大版2012）

专题01菱形的性质与判定重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一：利用菱形的性质求角度 题型二：利用菱形的性质求线段长 题型三：利用菱形的性质求面积 题型四：利用菱形的性质证明 题型五：添一个条件使四边形是菱形 题型六：证明四边形是菱形 题型七：根据菱形的性质与判定求角度 题型八：根据菱形的性质与判定求线段长 题型九：根据菱形的性质与判定求面积 拓展训练一 棱形性质的应用 拓展训练二 棱形的证明、判定及应用 知识点一：菱形的性质 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 【即时训练】 1.（23-24·广西·三模）如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为 °． 2.（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为 ．    知识点二：菱形的判定 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）． 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）． 3. 四条边相等的四边形是菱形（边） 【即时训练】 1.（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 2.（23-24九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 【经典例题一 利用菱形的性质求线段长】 【例1】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）在菱形中，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在菱形中，于点C．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在菱形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，已知，则 ． 4．（23-24九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【经典例题二 利用菱形的性质求线段长】 【例1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，，交于点O．若，，则菱形的边长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【例2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，菱形的对角线、交于点O，且，，E是上一点，若，求的长． 1．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）在菱形ABCD中，若，，则的长为（   ） A．3 B．6 C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在菱形中，与相交于点，，，则菱形的边长等于(　　) A．10 B． C．5 D．6 3．（23-24八年级下·吉林延边·期末）如图，在菱形中，，，则的长为 ． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，菱形的对角线长为，周长为，求对角线的长． 【经典例题三 利用菱形的性质求面积】 【例1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）一个菱形的周长是160，一条对角线长为40，求： (1)该菱形另一条对角线的长度； (2)该菱形的面积 1．（23-24八年级下·山东日照·期末）2024年5月29日16时12分，日照市海域成功发射谷神星一号火箭，搭载发射的天启星座25星星顺利进入预定轨道．据悉发射器底座含有部分菱形框架进行缓冲，每一个菱形的对角线分别为和，则菱形的面积是（　　）． A．6 B．3 C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）在菱形中，对角线，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 3．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为 ． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，若，．求菱形的面积． 【经典例题四 利用菱形的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）在菱形中，对角线、相交于点O，若，中，则菱形的周长为（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 【例2】（24-25八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图，菱形中，点E、F分别为、的中点，连接、．求证：． 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，菱形中，点E，F分别是，上的动点，，，与相交于点G，则下列结论：①；②是等边三角形；③．其中结论正确的有 个． 4．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，点E、F分别是上的点，连接，，求证：． 【经典例题五 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 【例2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 1．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形． 4．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加一个条件 ，并说明理由． 【经典例题六 证明四边形是菱形】 【例1】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）依据所标数据，下列选项中的平行四边形一定是菱形的是（   ） A． B． B． C． C． D． D． 【例2】（2025·山西·模拟预测）如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合的部分是什么形状的四边形？请说明理由． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用工具进行了测量，甲测量出两组对边分别平行，然后乙测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形，则横线处为（    ） A．两组对边分别相等 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形． 北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形． 下列说法正确的是（   ） A．北北和仑仑的作法都正确 B．北北和仑仑的作法都错误 C．北北的作法正确，仑仑的作法错误 D．北北的作法错误，仑仑的作法正确 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是 ． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形，，连接，点为的中点，连接并延长交于点，，连接．求证：四边形是菱形． 【经典例题七：根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·浙江温州·模拟预测）如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）． （2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角 为 1．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·模拟预测）小颖按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，两点；（）分别以，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点；（）连接，，．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 4．（2025·浙江台州·二模）如图，在中，，且． 任务①：请小明作的平分线；任务②：请小红作边上的高线； 小明的作法如图①：分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则为的平分线；小红的作法如图②：以为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；则为边上的高线． (1)判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法______；②小红的作法_______； (2)请从（1）中任选一项判断说明理由． 【经典例题八：根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，过点B作于点E，过点B作于点F．求证：． 1．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是 ． 4．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，周长是18，则的周长是多少． 【经典例题九 根据菱形的性质与判定求面积 】 【例1】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【例2】（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在四边形中，对角线交于点O，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 1．（2025·江西上饶·一模）一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含角的直角三角形纸片拼成一个四边形，则下列拼成的4个四边形中，其面积等于对角线乘积的一半的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为 （用含a的代数式表示）． 4．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在四边形中，与交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长和四边形的面积． 【拓展训练一 棱形性质的应用】 【例1】（2023·山东德州·一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点，点E在边BC（包括点、C）上，将△BDE沿着直线DE翻折得到△B′DE，设∠BDE为α，当α为（      ）度时，以点A、C、B′、D为顶点的四边形为菱形． A．60° B．30° C．30°或120° D．45°或60° 【例2】（2023·安徽安庆·二模）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推. (1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ． (2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求. (3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由. 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北唐山·二模）如图，由4个①四边形和4个②菱形可以拼成一个正八边形，再添加4个①四边形又可以拼成一个正方形．在最终拼得的正方形中，（    ） A．1 B． C． D．2 3．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）如图，，，三个菱形，，全等，菱形短对角线长为2，G在延长线上，的周长为 ． 4．（23-24八年级下·云南昭通·期中）操作实践 第一步：如图1，四边形是一个矩形纸片，，沿对角线将矩形剪开． 第二步：如图2，将沿对角线方向平移得到，分别连接，得到四边形； 第三步：如图3，将沿对角线方向继续平移，得到分别连接，得到四边形． 解决问题 (1)猜想第二步的图2中得到的四边形的形状，并说明理由． (2)设第三步的图3中的平移距离为m，则当四边形是菱形时，求m的值． (3)计算（2）中菱形的面积． 【拓展训练二 棱形的证明、判定及应用】 【例1】（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，将平行四边形沿对角线翻折，得到四边形，，交于点M，交于点．有如下四个结论：①；②；③四边形为菱形；④互相垂直且相等．上述结论中，所有正确结论的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 1．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江台州·二模）菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 3．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）以A点为圆心，5为半径画弧，再以B点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M、N两点，已知，则以A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是 ．    4．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，有一块五边形空地，某社区计划将其布置成疫情时期核酸检测场地两个区域，测得，，，，，求五边形的面积．（要求：结果保留根号） 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列事件中是必然事件的为（   ） A．袋子中有黄球和白球，摸出一个球为黑球 B．明天会下雪 C．菱形对角线相等 D．367个同学中至少有两个同学生日是同一天 2．（2025·贵州黔东南·二模）如图，菱形部件的对角线交于点O，点E为边的中点．小明想用刻度尺（单位：cm）测量菱形部件中的尺寸．他将边与刻度尺重合，使得点B，C对应的刻度为1，6，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，过的顶点B作边和的高，垂足分别为M，N，连接，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．四边形为菱形 4．（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到，延长到，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， 四边形是菱形，，， ① ， ， ② ， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·广西南宁·模拟预测）如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若，之间的距离为，上下两排挂钩，之间的距离为，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（   ） A． B． C． D．1 7．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图所示，是菱形对角线上的一点，若，设，则下列代数式为定值的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知菱形的边长为，于点，交于点，且，是对角线上的一动点，连接，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 9．（24-25八年级下·广西南宁·期末）“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，测得，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 11．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为 ． 12．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则 ． 13．（23-24七年级下·重庆忠县·期末）把一张矩形纸片沿着它的两条对称轴对折后成如图所示的图形，然后沿虚线剪下图①这“只角”，为了使得图①的展开图有一个内角为的菱形，若，则 ． 14．（2025·河北邢台·一模）如图，四边形是菱形，对角线所在直线是一条水平直线，过点作一条竖直直线，将直线沿水平方向向右平移，在平移过程中，直线落在菱形内部的线段长记作，若，，则正整数的值是 15．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，点D，F把线段分成三条线段，分别以这三条线段为一条对角线作菱形，菱形，菱形，连结组成四边形．若菱形的边长为，，则四边形的面积是 ． 16．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，用尺规在内作四边形，请根据作图痕迹判断四边形的形状并说明理由． 17．（23-24八年级下·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 18．（23-24九年级下·重庆·期中）在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形．请根据小西的思路完成以下作图与填空． 已知：如图，，连接． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，． (2)求证：四边形是菱形． 证明：， ∴① 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ③ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是 19．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）学习了平行四边形后，小芳进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中特别容易出现全等三角形，这样就可以利用平行四边形的性质构造全等来解决“仅用无刻度的直尺画出与已知线段相等的线段”的问题．在解决问题“如图，在菱形中，点是上一点，请仅用无刻度的直尺在线段上画点，使得”的过程中，小芳的作图过程是：连接交于点，连接并延长与相交于一点即为点．请你判断她画的是否正确，并说明理由． 20．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，在四边形中，，，连接． (1)如图1，若，判断四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求的大小． (3)当时，过点作于点，为上的一动点，连接． ①如图，若为的中点，，，，求的长． ②如图，过点作于点，交于点，过点作．若，，直接写出与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01菱形的性质与判定重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一：利用菱形的性质求角度 题型二：利用菱形的性质求线段长 题型三：利用菱形的性质求面积 题型四：利用菱形的性质证明 题型五：添一个条件使四边形是菱形 题型六：证明四边形是菱形 题型七：根据菱形的性质与判定求角度 题型八：根据菱形的性质与判定求线段长 题型九：根据菱形的性质与判定求面积 拓展训练一 棱形性质的应用 拓展训练二 棱形的证明、判定及应用 知识点一：菱形的性质 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 【即时训练】 1.（23-24·广西·三模）如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为 °． 【答案】35 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：25． 2.（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为 ．    【答案】/80度 【分析】本题考查了作图—垂直平分线，菱形的性质，根据题意得，点E在的垂直平分线上，则，即可得，根据四边形为菱形得，，可得，即可得；掌握作图—垂直平分线，菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点二：菱形的判定 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）． 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）． 3. 四条边相等的四边形是菱形（边） 【即时训练】 1.（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】当平分时，四边形是菱形，可知先证明四边形是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题． 【详解】解：当平分时，四边形是菱形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形． 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2.（23-24九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定及平移的性质，灵活选择判定定理是解题的关键．先根据题意可知四边形是平行四边形，再根据三种方案结合菱形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据平移可知，， ∴，， 四边形是平行四边形， ∴． 方案甲，添加不能判断四边形是菱形； 方案乙，由， 平行四边形是菱形； 方案丙，由， ∵， ∴， ∴， ， 平行四边形是菱形． 所以正确的是乙和丙． 故选：B． 【经典例题一 利用菱形的性质求线段长】 【例1】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段练习）在菱形中，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据菱形的对边平行可得，再由菱形的对角线平分一组对角可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·江西上饶·期中）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连结点B，D的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，由题意得，，，推出；根据，得出，即可求解； 【详解】解：∵是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在菱形中，于点C．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质，根据菱形的性质和三角形的内角和以及平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在菱形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形、三角形内角和定理，解题的关键是掌握菱形的性质，得出是等腰三角形，再利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在菱形中，已知，则 ． 【答案】64 【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴． 故答案为：64． 4．（23-24九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接，证明，得到，故可求解； （2）根据，求出，根据，得到，再利用故可求解． 【详解】（1）连接． ∵垂直平分． ∴． ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查菱形内的线段证明与角度求解，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质． 【经典例题二 利用菱形的性质求线段长】 【例1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，，交于点O．若，，则菱形的边长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】解：在菱形中，交于点O．若，， ∴，， ∴， ∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 即菱形的边长为4， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，菱形的对角线、交于点O，且，，E是上一点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理可得的长，然后根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）在菱形ABCD中，若，，则的长为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，先结合菱形的性质得，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：记的交点为O，如图所示： ∵在菱形ABCD中，，， ∴ ∴ 故选：D 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在菱形中，与相交于点，，，则菱形的边长等于(　　) A．10 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．根据菱形的对角线互相垂直得出，再利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， 菱形的边长为． 故选：C． 3．（23-24八年级下·吉林延边·期末）如图，在菱形中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形中求线段长，涉及菱形性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟记菱形性质、等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．先由菱形性质得到、，再由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，最后由等边三角形性质即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，，则， 又在菱形中，， 是等边三角形， 则， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，菱形的对角线长为，周长为，求对角线的长． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由四边形是菱形，求出边长为，，利用勾股定理即可求出，从而求出. 【详解】解：，菱形的周长为， ，． ∵四边形是菱形， ，， 在中， ． ． 【经典例题三 利用菱形的性质求面积】 【例1】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求菱形的面积．根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）一个菱形的周长是160，一条对角线长为40，求： (1)该菱形另一条对角线的长度； (2)该菱形的面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，菱形的周长与面积，掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的周长与面积公式是解题关键． （1）根据题意得出边长是40，再由菱形的性质及勾股定理求解即可； （2）根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形的周长是160 ∴边长是40． ∵一条对角线长为40， ∴这条对角线的一半为20， ∴另一条对角线长为； （2）该菱形的面积为． 1．（23-24八年级下·山东日照·期末）2024年5月29日16时12分，日照市海域成功发射谷神星一号火箭，搭载发射的天启星座25星星顺利进入预定轨道．据悉发射器底座含有部分菱形框架进行缓冲，每一个菱形的对角线分别为和，则菱形的面积是（　　）． A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半． 【详解】解：∵菱形的对角线分别为和， 则菱形的面积是， 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）在菱形中，对角线，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积公式，面积等于对角线乘积的一半，直接代入计算即可． 【详解】解：菱形的面积 故选：B． 3．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再根据菱形的面积公式计算即可得． 【详解】解：四边形是菱形， ， ∵，， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，若，．求菱形的面积． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理求出，进而得出，最后根据菱形的面积求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，                 ∴，                     ∴．                                     ∴菱形的面积． 【经典例题四 利用菱形的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）在菱形中，对角线、相交于点O，若，中，则菱形的周长为（   ） A．20 B．24 C．28 D．32 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 根据菱形对角线互相垂直平分得到，由此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵在菱形中，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴菱形的边长为5， ∴菱形的周长为． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图，菱形中，点E、F分别为、的中点，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由菱形的性质得到，，然后由中点的定义得到，然后证明出，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E、F分别为、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质逐一进行判断即可，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，，， 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质邻边相等、对角线互相垂直且平分进而分析即可．． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，， 故选：B． 3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，菱形中，点E，F分别是，上的动点，，，与相交于点G，则下列结论：①；②是等边三角形；③．其中结论正确的有 个． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查运用菱形的性质求解，主要的知识点有：全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质解题的关键是对几何图形的性质能够灵活应用． ①首先证为等边三角形，得，，结合已知条件可证；②得，，得，进而可得结论；③证明则可得结论． 【详解】解：在四边形是菱形中， ∵， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 又， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴为等边三角形，故②正确； ∵，， 又∵， ∴， 由①得，， ∴，故③正确． 故答案为：①②③． 4．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，点E、F分别是上的点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质推出，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴． 【经典例题五 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； B、当平分时，， ∵， ∴， ∴， ∴，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 、当，时，不能证明是菱形，故本选项符合题意； D、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，四边形对角线，交于点．，，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．先证明四边形是平行四边形，结合平分，可得，可得，从而可得结论. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当平分时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D符合题意； 而或或都不能得到四边形是菱形， 故选：D． 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键． 利用对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证． 【详解】解：对角线垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形． 要使成为菱形，则需添加的一个条件是，其余选项的条件均不能使为菱形，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形． 【答案】(或，答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 4．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个菱形，只需添加一个条件 ，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定． 利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形是菱形． 【详解】解：添加． 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【经典例题六 证明四边形是菱形】 【例1】（24-25八年级下·吉林·阶段练习）依据所标数据，下列选项中的平行四边形一定是菱形的是（   ） A． B． B． C． C． D． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 等 ），逐一分析选项即可得解．本题主要考查菱形的判定定理，熟练掌握“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” “一组邻边相等的平行四边形是菱形”等判定方法是解题的关键． 【详解】解： A、仅给出平行四边形及一个角和一条对角线相关信息，无法得出邻边相等，不能判定为菱形． B、平行四边形中，对角线互相垂直（由图中垂直符号可知 ），故该平行四边形是菱形． C、给出平行四边形的边和对角线长度，无法得出邻边相等或对角线垂直等菱形判定条件，不能判定为菱形． D、仅给出角的信息，无法得出邻边相等或对角线互相垂直，不能判定为菱形． 故选：B ． 【例2】（2025·山西·模拟预测）如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合的部分是什么形状的四边形？请说明理由． 【答案】菱形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质． 先根据纸条特征判断四边形是平行四边形，再通过作高，利用纸条宽度相等得到高相等，进而证明三角形全等，得出邻边相等，最终确定四边形的形状． 【详解】解：四边形是菱形， 理由：过点A作于E，于F， ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用工具进行了测量，甲测量出两组对边分别平行，然后乙测量出______，最后得到结论：地板瓷砖是菱形，则横线处为（    ） A．两组对边分别相等 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定．根据菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行判断即可得． 【详解】解：∵甲测量出两组对边分别平行， ∴此地板瓷砖是平行四边形， A、两组对边分别相等，也只能说明四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项符合题意； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、一组邻角相等，不能说明平行四边形是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）北北和仑仑想在一个平行四边形中用直尺和圆规作出一个菱形． 北北的作法： 如图1，在中，以点为圆心，为半径作弧交边于点E，再以点D为圆心，为半径作弧交边于点F，连结，则得到的四边形是菱形． 仑仑的作法： 如图2，在中，以点D为圆心，为半径作弧交边于点G，再以点G为圆心，为半径作弧交边于点H，连结，则得到的四边形是菱形． 下列说法正确的是（   ） A．北北和仑仑的作法都正确 B．北北和仑仑的作法都错误 C．北北的作法正确，仑仑的作法错误 D．北北的作法错误，仑仑的作法正确 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由北北的作法得，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，得北北的作法正确，由仑仑的作法得，无法通过一组对边平行一组对边相等证明四边形是平行四边形，故仑仑的作法错误，即可作答． 【详解】解：由北北的作法得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故北北的作法正确； 由仑仑的作法得 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴无法证明四边形是平行四边形， ∴更无法证明四边形是菱形， 故仑仑的作法错误， 故选：C 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是 ． 【答案】四边相等的四边形是菱形 【分析】本题考查的是菱形的判定，作一条线段等于已知线段，根据作图可得，结合菱形的判定可得结论. 【详解】解：由作图可知， ∴四边形是菱形（四边相等的四边形是菱形）． 故答案为：四边相等的四边形是菱形 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形，，连接，点为的中点，连接并延长交于点，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 由点O为的中点得到，由得到，，证得，得到，进而推出四边形是平行四边形，再根据即可得证． 【详解】证明：∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【经典例题七：根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 【例2】（2024·浙江温州·模拟预测）如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）． （2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角 为 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用菱形的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用平行四边形的性质得出符合题意的图形． 【详解】（1）满足条件的菱形ABCD如图1所示； （2）满足条件的平行四边形ABCD如图2所示． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定的和性质，平行四边形的判定和性质等知识，正确把握平行四边形以及菱形的性质是解题关键． 1．（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的判定定理得到是菱形，得到，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 2．（2025·四川南充·模拟预测）小颖按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交，于点，两点；（）分别以，为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧在内部交于点；（）连接，，．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，由作图可知，即得四边形是菱形，再根据菱形的性质解答即可，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 4．（2025·浙江台州·二模）如图，在中，，且． 任务①：请小明作的平分线；任务②：请小红作边上的高线； 小明的作法如图①：分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则为的平分线；小红的作法如图②：以为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；则为边上的高线． (1)判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法______；②小红的作法_______； (2)请从（1）中任选一项判断说明理由． 【答案】(1)正确；正确 (2)见解析 【分析】（1）他们的作图方法都是正确的； （2）①小明的作法：连接，，证明四边形菱形，即可证明平分； ②小红的作法：连接，，，证明是线段的垂直平分线，即可证明为边上的高线． 【详解】（1）解：他们的作图方法都是正确的， 故答案为：正确；正确； （2）解：①小明的作法： 连接，， 由作图知，， ∵， ∴四边形菱形， ∴平分； ②小红的作法： 连接，，， 由作图知，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴为边上的高线． 【经典例题八：根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，由作图过程可知，，可得四边形是菱形，则，可得，则可得． 【详解】解：由作图过程可知，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，过点B作于点E，过点B作于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，先证明四边形为菱形，得出，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的应用，作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F， 根据题意，得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴四边形的周长为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，两条笔直的公路相交于点两村的村民计划在点C处建一个小广场，若，小广场到公路的距离为，则小广场到公路的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质．连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则，根据题意可得四边形是菱形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作，垂足分别为点D，E，则， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即小广场到公路的距离为． 故选：A 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是根据等高得到边相等从而得到菱形． 根据等宽可得四边形是平行四边形，结合四边形面积即可得到，即可得到四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 可设两张等宽的纸条的宽为h，则， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ 故答案为： 4．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，周长是18，则的周长是多少． 【答案】(1)详见解析 (2)36 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）先由平行四边形的性质得到，，再由平行线的性质得到，，进而证明，得到，据此可证明结论； （2）证明四边形是菱形，得到，进而得到，则的周长是36． 【详解】（1）证明：在中，， ，， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形 （2）解；四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ，即， 即， ，即的周长是36． 【经典例题九 根据菱形的性质与判定求面积 】 【例1】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在的两边、上分别截取、，使．分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C．连结、、、．若，，则四边形的面积是（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】解：根据作图，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴． 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·广西百色·期末）如图，在四边形中，对角线交于点O，． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）证明，即可求证； （2）先证明四边形是菱形，再根据勾股定理可得，然后根据菱形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 1．（2025·江西上饶·一模）一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含角的直角三角形纸片拼成一个四边形，则下列拼成的4个四边形中，其面积等于对角线乘积的一半的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查角三角形到角所对直角边是斜边一半，四边相等的四边形是菱形． 根据角的直角三角形得到角所对直角边是斜边一半，结合菱形判定四边相等的四边形是菱形逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 第1个图：四边都是直角三角形斜边，是菱形还是正方形，其面积等于对角线乘积的一半，符合题意， 第2个图：四边都是直角三角形斜边，是菱形，其面积等于对角线乘积的一半，符合题意， 第3个图：2个角所对直角边刚好等于斜边，四边相等，是菱形，其面积等于对角线乘积的一半，符合题意， 第4个图：有两边是长直角边，两边是2个短直角边的和，四边不相等，不是菱形，其面积不等于对角线乘积的一半，不符合题意． 故选C． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图、菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的面积公式得到，从而可求出的长． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点A，B，连接，再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，，．若，四边形的面积为 ，则的长为 （用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查用尺规作图推导图形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，会利用对角线积表示面积达到解题目的．由作法知四边形为菱形，利用菱形面积公式对角线乘积的一半，可求，然后求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由作图得：， 四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在四边形中，与交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长和四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了菱形的判定与性质： （1）先由证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等，即可作答． （2）先得，结合勾股定理，得，根据对角线的乘积的一半即为菱形的面积，即可作答． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形． ， ． ， ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ． 在中，， ， ． 【拓展训练一 棱形性质的应用】 【例1】（2023·山东德州·一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点，点E在边BC（包括点、C）上，将△BDE沿着直线DE翻折得到△B′DE，设∠BDE为α，当α为（      ）度时，以点A、C、B′、D为顶点的四边形为菱形． A．60° B．30° C．30°或120° D．45°或60° 【答案】C 【分析】分为菱形点对角线，菱形的边长两种情况讨论即可 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点， ∴， 是等边三角形 折叠 ①如图，当为菱形的边长时， ，则 ②当为菱形的对角线时，此时与重合，如图 同理可得，则 故选C 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，确定是等边三角形是解题的关键． 【例2】（2023·安徽安庆·二模）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推. (1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ． (2)第个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求. (3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由. 【答案】(1)100 ，21 (2)20 (3)不可能拼成一个菱形，理由见解析 【分析】（1）观察图形，根据所给图形可得有阴影的三角形总数为：4，9，16，第9个图形中有阴影的三角形数为： ，故可求第（9）个图中阴影三角形的个数；非阴影三角形的个数为： ，故可得结论； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据菱形的特征和所给图形是等边三角形的特征解答即可． 【详解】（1）第（1）（2）（3）个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，由此可推测第（9）个图中阴影部分小三角形的个数是(9+1)2=102=100（个），空白三角形的个数为; 故答案为：100；21； （2）第n个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：=， 解得，或（舍去） 经检验，符合要求， 所以，； （3）设第（m）个图形可重新拼成一个菱形，第（m）个图形总的三角形个数为,     由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小三角形数为x2,则有： 解得， ∴不是正整数， ∴不可能拼成一个菱形． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题． 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理，连接，交于点，由菱形性质得，，，根据图可知，，，由勾股定理求出，当时，最小，即最小，最后由等面积法即可求解，读懂图象信息，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 根据图可知，，， ∴，， ∴， ∵同时运动， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 2．（2025·河北唐山·二模）如图，由4个①四边形和4个②菱形可以拼成一个正八边形，再添加4个①四边形又可以拼成一个正方形．在最终拼得的正方形中，（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据正多边形的性质求得中心角和多边形的内角，设正八边形的边长为a，通过直角三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，用a表示出菱形与八边形的面积，进而求得结果便可．本题主要考查了正多边形的性质，菱形的性质，关键是正确构造直角三角形，用正多边形的边长表示出各部分的面积． 【详解】过图2中菱形的顶点B作于E，设图3中正八边形的中心点为点O，一边为，连接，过M点作于P， 设正八边形的边长为a，则， 由正八边形的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 则， ∴， 空白部分面积的面积为： ， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正八边形的面积为：， ∵由4个①四边形和4个②菱形可以拼成一个正八边形，再添加4个①四边形又可以拼成一个正方形．最终拼得的正方形， ∴在小正方形，小正方形，小正方形，小正方形中，两部分分阴影面积是相等的， 即正八边形外围的阴影面积等于正八边形内围的阴影面积 ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分面积与空白部分面积之比为 故选：B． 3．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）如图，，，三个菱形，，全等，菱形短对角线长为2，G在延长线上，的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质、、等腰直角三角形的判定及勾股定理在计算中的应用，明确菱形的性质及根据勾股定理构建方程是解题的关键．连接，交于点K，交于点J，证明，设三个菱形边长为x，根据菱形的性质求出，得出，再根据求出x，即可解答． 【详解】解：连接，交于点K，交于点J， ∵，， ∴， ∵三个菱形，，全等，菱形短对角线长为2， ∴，，． ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴， 设三个菱形边长为x． 则，， ∴， ∴． ∵G在AD延长线上， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 所以，， 所以的周长为． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·云南昭通·期中）操作实践 第一步：如图1，四边形是一个矩形纸片，，沿对角线将矩形剪开． 第二步：如图2，将沿对角线方向平移得到，分别连接，得到四边形； 第三步：如图3，将沿对角线方向继续平移，得到分别连接，得到四边形． 解决问题 (1)猜想第二步的图2中得到的四边形的形状，并说明理由． (2)设第三步的图3中的平移距离为m，则当四边形是菱形时，求m的值． (3)计算（2）中菱形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)当四边形是菱形时，m的值为1 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的性质、平移的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质、勾股定理是解题的关键． （1）由平移可得，证出，由平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）由矩形的性质得出，证出，进而得到即可解答； （3）如图，延长交于点E．求出，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： 由矩形可得， 由平移可得：， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：同（1）可证∶四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形． 在矩形中，， ∴， ∴， 由平移可得． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形是菱形时，m的值为1； （3）解：如图，延长交于点E． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴菱形面积． 【拓展训练二 棱形的证明、判定及应用】 【例1】（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，将平行四边形沿对角线翻折，得到四边形，，交于点M，交于点．有如下四个结论：①；②；③四边形为菱形；④互相垂直且相等．上述结论中，所有正确结论的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，通过证明三角形全等得出边和角的关系，进而判断各个结论是否正确． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②由折叠得，， ∴， ∴，故②正确； ③由①可知，， 同理可得 ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形为菱形，故③正确； ④连接、、，、分别与交于点，如图， 由折叠得，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴，即，但无法判断的相等关系，故④错误， 综上，正确的结论是①②③， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)168 (3) 【分析】（1）根据题意证明出，得到，证明出四边形是菱形，得到，即可证明出四边形为筝形； （2）根据筝形的性质得到，，设，则，根据勾股定理求出，得到，然后利用筝形的面积代数求解即可； （3）首先由（2）得，，然后得到，证明出四边形是菱形，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用等面积法求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵在中， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴四边形为筝形； （2）∵四边形是筝形 ∴， ∴垂直平分 ∴， ∵，，， ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴筝形的面积； （3）如图所示，连接 ∵四边形为筝形 ∴由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴解得（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 2．（2025·浙江台州·二模）菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，涉及等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，先求出正六边形的内角以及外角，可证明为等边三角形，则，然后证明四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 同理可证明：四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：D． 3．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）以A点为圆心，5为半径画弧，再以B点为圆心，相同长度为半径画弧，交前弧于M、N两点，已知，则以A、B、M、N四点为顶点的四边形的面积是 ．    【答案】24 【分析】首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】根据题意可得，， ∴四边形是菱形， ∴设和交于点O，    ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，有一块五边形空地，某社区计划将其布置成疫情时期核酸检测场地两个区域，测得，，，，，求五边形的面积．（要求：结果保留根号） 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，连接与交于点．根据勾股定理求出，然后证明出四边形是菱形，求出，，然后分别求出和，进而求出五边形的面积． 【详解】解：连接，连接与交于点． ∵， ∴ ∵ ∴   ∴四边形是菱形 ∴， ∴在中， ∴    ∴ 答：五边形的面积为． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列事件中是必然事件的为（   ） A．袋子中有黄球和白球，摸出一个球为黑球 B．明天会下雪 C．菱形对角线相等 D．367个同学中至少有两个同学生日是同一天 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下必然发生的事件．逐一分析各选项是否符合必然事件的定义． 【详解】解：A、袋子中只有黄球和白球，摸出黑球为不可能事件，不符合题意． B、明天下雪受天气条件影响，属于随机事件，不符合题意． C、菱形的对角线相等是不可能事件，不符合题意． D、一年最多有366天，367个同学中必有两人生日在同一天，属于必然事件． 故选D． 2．（2025·贵州黔东南·二模）如图，菱形部件的对角线交于点O，点E为边的中点．小明想用刻度尺（单位：cm）测量菱形部件中的尺寸．他将边与刻度尺重合，使得点B，C对应的刻度为1，6，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的定义和性质， 根据菱形的性质可知，进而得出是的中位线，再根据中位线的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵点E是边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，过的顶点B作边和的高，垂足分别为M，N，连接，若，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．是等边三角形 D．四边形为菱形 【答案】C 【分析】本题主要查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．根据平行四边形的性质可得，再由四边形的内角和定理可得，可判定A；再由，，可得，可判定D；再证明，可得，从而得到，可判定B，即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴四边形为菱形，故D选项正确，不符合题意； ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到的大小关系， ∴无法确定的形状，故C选项错误，符合题意； 故选：C 4．（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到，延长到，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， 四边形是菱形，，， ① ， ， ② ， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，再证明，即可根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此可得答案． 【详解】证明：连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 故选：B． 5．（2025·广西南宁·模拟预测）如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握是解答本题的关键．先求出两个菱形的面积再减去重叠部分． 【详解】解：菱形的面积：， 这个图案的总面积为：， 故选：A． 6．（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若，之间的距离为，上下两排挂钩，之间的距离为，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理；掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可求，根据勾股定理求出长解题即可． 【详解】解：如图，连接，交于点O， ∴， ∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度是， 故选：D． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图所示，是菱形对角线上的一点，若，设，则下列代数式为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，代数式求值，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于、的等式． 连接，由菱形的性质推出，，，求出，由勾股定理得到，得到． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． 代数式为定值的是． 故选：B． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知菱形的边长为，于点，交于点，且，是对角线上的一动点，连接，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】C 【分析】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键 根据菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定等依次判断各选项即可 【详解】解：于点，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵对角线， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴，故B正确，不符合题意； 当点P与点F重合时，取得最小值， ∵菱形的边长为， ∴， 由B选项得：， ∴， ∴，选项C错误，符合题意； ∵菱形， ∴点A与点C关于BD对称， ∴， 当点A、P、E三点共线时，取得最小值即为AE， ∵， ∴， 即的最小值为，选项D正确，不符合题意； 故选：C 9．（24-25八年级下·广西南宁·期末）“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，测得，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．设交于点，根据菱形的性质可得，，，在中，利用勾股定理可得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，设交于点， ∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴． 故选：B． 10．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框的对角线交于点，四边形内框是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线的长为，则内框和外框之间阴影部分的面积为（   ） A．96 B．84 C．66 D．48 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，根据菱形的性质得到，则由勾股定理可得，进而可得，求出，再证明四边形是菱形，得到，据此根据列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：D． 11．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形面积公式． 根据菱形的性质和勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，，， ， ， 为的中点， ， 菱形的面积， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋比固定时长了1倍，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据当四边形是菱形时，橡皮筋比固定时长了1倍，可得，结合菱形的性质，得到，即是等边三角形，即可得到． 【详解】解： 当四边形是菱形时，橡皮筋比固定时长了1倍， ， 又 四边形是菱形， ，， ，即是等边三角形， ， ． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·重庆忠县·期末）把一张矩形纸片沿着它的两条对称轴对折后成如图所示的图形，然后沿虚线剪下图①这“只角”，为了使得图①的展开图有一个内角为的菱形，若，则 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了菱形的性质：对角线平分一组对角，由题意得是解题关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴由题意得： ∴ 故答案为： 14．（2025·河北邢台·一模）如图，四边形是菱形，对角线所在直线是一条水平直线，过点作一条竖直直线，将直线沿水平方向向右平移，在平移过程中，直线落在菱形内部的线段长记作，若，，则正整数的值是 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．连接交于点，根据菱形的性质可得，，，根据勾股定理求出，进而得到，根据当直线运动到点或点时，最小，最小值为，当直线运动到与重合时，最大，最大值为，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， 当直线运动到点或点时，最小，最小值为， 当直线运动到与重合时，最大，最大值为， ， 正整数的值是， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，点D，F把线段分成三条线段，分别以这三条线段为一条对角线作菱形，菱形，菱形，连结组成四边形．若菱形的边长为，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，解题关键是运用菱形的对角线互相垂直且平分是解题的关键． 连接、、，分别交于点、、，设，，求出，，，运用勾股定理求得，，即可得解． 【详解】解：连接、、，分别交于点、、，如图所示， ， ， ， 设，， 即， 四边形、、都是菱形， ，，， ，， ，， 菱形的边长为，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，用尺规在内作四边形，请根据作图痕迹判断四边形的形状并说明理由． 【答案】四边形是菱形，详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．根据四边形是平行四边形，推出，结合作图痕迹，可知，，从而得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， 由作图可知：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 17．（23-24八年级下·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）①；②6或 【分析】（1）由菱形的性质可得出，，再结合已知条件，即可证明，由全等的性质即可得出． （2）由(1)得∶，，再结合已知条件，即可得出，即可证明，由全等的性质即可得出． （3）①过点E作于点H，则，由已知条件得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由已知条件得出进一步即可得出，求出即可得出答案． ②连接，过点B作于点M，则，利用菱形的性质以及含直角三角形的性质得出，再结合①得出，然后分两种情况，当点G在线段上时， 当点G在射线上时，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中 ∴， ∴． （2）仍然成立，理由如下∶ 由(1)得∶，， 又， ∴ 即 在和中 ∴ ∴； （3）①如图，过点E作于点H，则． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． ∴菱形的边长． ②如图，在菱形中， ，，连接 过点B作于点M，则 ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由①知菱形的边长为， ∴． 当A，B，F三点在同一条直线上时，易得A，G，C三点也在同一条直线上． 分两种情况∶ 当点G在线段上时， 当点G在射线上时，． 综上，的长为6或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，学会分类思想以及画出图形是解题的关键． 18．（23-24九年级下·重庆·期中）在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形．请根据小西的思路完成以下作图与填空． 已知：如图，，连接． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，． (2)求证：四边形是菱形． 证明：， ∴① 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ③ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是 【答案】(1)答案见详解 (2)，，，菱形． 【分析】本题考查作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题；（1）根据要求作图；（2）根据领边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）如图所示： （2）证明：， ∴①， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ③， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是菱形． 故答案为：，，，菱形． 19．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）学习了平行四边形后，小芳进行了拓展性研究．她发现，平行四边形中特别容易出现全等三角形，这样就可以利用平行四边形的性质构造全等来解决“仅用无刻度的直尺画出与已知线段相等的线段”的问题．在解决问题“如图，在菱形中，点是上一点，请仅用无刻度的直尺在线段上画点，使得”的过程中，小芳的作图过程是：连接交于点，连接并延长与相交于一点即为点．请你判断她画的是否正确，并说明理由． 【答案】正确，见解析 【分析】本题考查菱形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质；根据题意，则，，根据全等三角的判定和性质，则得到 ，推出，，再根据全等三角形的判定和性质，则，即可． 【详解】正确，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 20．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，在四边形中，，，连接． (1)如图1，若，判断四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，求的大小． (3)当时，过点作于点，为上的一动点，连接． ①如图，若为的中点，，，，求的长． ②如图，过点作于点，交于点，过点作．若，，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到； （3）①由为的中点，得到，求得，根据勾股定理得到结论； ②根据垂直的定义得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，求得，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ， ， ， ； （3）①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 连接， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 又∵， ∴ ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$