第一章特殊平行四边形重难点检测卷-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（北师大版2012）

第一章特殊平行四边形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：特殊平行四边形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，的对角线与相交于点O．要使它成为矩形，需再添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 2．（2024·广东江门·二模）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·广东潮州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·湖南·中考真题）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在矩形中，对角线AC，BD交于点O，，，则BD的长为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 6．（2023 浙江绍兴·一模）图，在中，，，，点是斜边上一动点，连结，将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，连结，则在点从点出发向点运动的整个过程中，线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，线段的两个端点分别在边上滑动，且．若分别是的中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 8．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（  ） A．当平行四边形是矩形时， B．当平行四边形是正方形时， C．当平行四边形是菱形时， D．当平行四边形是矩形时， 10．（2023·广东潮州·模拟预测）如图，四边形是菱形，与相交于点O，，连接，下列结论错误的是（　　）    A． B． B． C． C． D． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，经测量，，则的面积为 ． 12．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则= ． 13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，对角线、相交于点，若再补充一个条件能使它成为矩形，则这个条件可以是 （只填一个条件即可）． 14．（23-24·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是 ． 15．（2024·江苏泰州·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝a，点E在边AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．若在AD边上存在两个不同位置的点E，使得点F落在∠C的平分线上，则a的取值范围为 ． 16．（23-24八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，矩形纸片中，已知，点落在点处，折痕为，，则的长为 ． 17．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，E为BC的中点，于点F，连结DE、EF，若∠FDE＝43°，则∠BEF＝ ． 18．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形中，垂直平分，垂足为，，那么菱形的面积是 ． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）如图，线段是矩形的对角线．    (1)实践与操作，利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为O，交于点E，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，需标明字母） (2)猜想与证明  试猜想四边形的形状，并加以证明． 20．（2022·福建龙岩·一模）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝CF．求证：∠DAF＝∠DCE． 21．（23-24九年级上·全国·课后作业）一个菱形的周长是，一条对角线长，求： （1）另一条对角线的长度； （2）菱形的面积． 22．（2023·福建厦门·二模）如图，若四边形的对角线与相交于点O，且，则四边形是正方形吗？ 23．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 24．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平行四边形中，交于点O，过点O作直线，分别交平行四边形的四条边于E，G，F，H四点，连接． (1)如图①，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，当时，四边形的形状是________； (3)如图③，在（2）的条件下，若，则四边形的形状是________． 25．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图1，菱形的对角线、相交于点，且，，分别过点、作与的平行线相交于点． (1)判断四边形的形状并证明； (2)点G从点A出发沿线段的方向以的速度运动了，连接，当时，求t的值． 26．（23-24）九年级·全国·单元测试）如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点为边上的一点，将正方形纸片折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，折痕为，连接． （1）求证：； （2）当点在边上移动（不与点、点重合）时，的周长是否发生变化？请证明你的结论． 27．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作丄，垂足为． 求的度数； 求线段的长； 求菱形的面积． 28．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，中，，、分别在、的延长线上，且，于，于，连接． 求证：四边形是矩形； 若，且四边形是正方形时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章特殊平行四边形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：特殊平行四边形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，的对角线与相交于点O．要使它成为矩形，需再添加的条件是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】A.四边形ABCD是平行四边形，∴，无法判断其为矩形，故此选项不符合题意； B.四边形ABCD是平行四边形，，是矩形，故符合题意； C.四边形ABCD是平行四边形，，是菱形，故不符合题意； D.四边形ABCD是平行四边形，平分，是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（2024·广东江门·二模）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形是正方形，得到，根据得到，选择即可． 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选C． 3．（22-23八年级下·广东潮州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质证明，可得 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，掌握矩形的性质并准确识图是解题的关键． 4．（2023·湖南·中考真题）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键． 5．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在矩形中，对角线AC，BD交于点O，，，则BD的长为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OB=AB，然后根据矩形的对角线互相平分可得BD=2OB，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=5， ∴BD=2OB=2×5=10． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键． 6．（2023 浙江绍兴·一模）图，在中，，，，点是斜边上一动点，连结，将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，连结，则在点从点出发向点运动的整个过程中，线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知点在AC上时，线段长度最短，故可求解． 【详解】∵将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，AC、B′C长度不变，故当A、、C在三点共线时，符合题意， 即点在AC上时，线段长度最短，即=AC-， ∵在中，，，， ∴AB=2BC=2， ∴AC=, ∴线段长度最短为AC-=， 故选D． 【点睛】此题主要考查三角形的长度求解，解题的关键是熟知轴对称变换的特点及含30°的直角三角形的性质． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，线段的两个端点分别在边上滑动，且．若分别是的中点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据三角形斜边中线的性质求得，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接． ． 分别是的中点， ． 当点在同一直线上时，取得最小值， 的最小值． 故选：B． 8．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、平移等知识点，确定的坐标是解题的关键． 先利用勾股定理求出，然后利用菱形的性质求出点的坐标，最后利用平移的性质求解即可． 【详解】解∶∵A，的坐标分别为，， ∴， ∵菱形， ∴， 又∵轴， ∴点的坐标为， ∵将菱形平移，使点A与原点重合， ∴菱形向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为，即． 故选∶A． 9．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（  ） A．当平行四边形是矩形时， B．当平行四边形是正方形时， C．当平行四边形是菱形时， D．当平行四边形是矩形时， 【答案】A 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的性质，根据矩形，菱形，正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、当平行四边形是矩形时，，结论正确，符合题意； B、当平行四边形是正方形时，，而，原结论错误，不符合题意； C、当平行四边形是正方形时，，原结论错误，不符合题意； D、当平行四边形是矩形时，对角线不垂直，原结论错误，不符合题意； 故选：A ． 10．（2023·广东潮州·模拟预测）如图，四边形是菱形，与相交于点O，，连接，下列结论错误的是（　　）    A． B． B． C． C． D． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质和勾股定理逐一进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确； 根据题意不能得到，故B错误； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确； 综上所述：结论错误的是B， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，经测量，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，，进而求得，勾股定理求得，即可求得的面积． 【详解】解：折叠， ，， ， ∵四边形是正方形 ∴ 中 ． ． 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 12．（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则= ． 【答案】16 【分析】利用AAS证明△AMB≌△CBN，得BC=AM，再利用勾股定理求出BM的长，从而解决问题． 【详解】解：如图， ∵正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点， ∴BM=BN，∠MBN=90°，∠MAB=∠NCB=90°， ∴∠MBA+∠CBN=90°， ∵∠MBA+∠AMB=90°， ∴∠AMB=∠CBN， ∴△AMB≌△CBN（AAS）， ∴BC=AM， ∵，， ∴AM=1，， ∴由勾股定理得：BM=2， ∴． 故答案为：16 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△AMB≌△CBN是解题的关键． 13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，对角线、相交于点，若再补充一个条件能使它成为矩形，则这个条件可以是 （只填一个条件即可）． 【答案】AC＝BD（答案不唯一） 【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件． 【详解】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是： AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形） 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质及矩形的判定方法，熟练掌握矩形和平行四边形的联系和区别是解答此题的关键． 14．（23-24·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】①存在无数个平行四边形，故①正确； ②平行四边形的包含矩形、菱形图形，故②正确； ③平行四边形不一定是矩形，故③正确； ④存在无数个平行四边形ABEF，故④正确； 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，熟记各定理是解题的关键． 15．（2024·江苏泰州·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝a，点E在边AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．若在AD边上存在两个不同位置的点E，使得点F落在∠C的平分线上，则a的取值范围为 ． 【答案】5≤a≤ 【分析】分两种情况：①点E，点F在落在∠C的平分线上，此时a的值最大；②点E与点D重合，点F落在点C上，此时a的值最小，依此进行求解即可． 【详解】①点E，点F在落在∠C的平分线上；如图1， 由折叠得，BF=AB=5，∠BFE=∠A=90°， ∴∠BFC=90°， ∵CE是∠BCD的平分线， ∴∠BCF=45°, ∴∠FBC=45°， ∴△BFC是等腰直角三角形， ∴BC=5，即a=5； ②点E与点D重合，点F落在点C上，如图2 ， 此时矩形ABCD是正方形， 因此BC=AB=5，即a=5； 所以a的取值范围为：5≤a≤5． 故答案为：5≤a≤5． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识；解题的关键是根据折叠的性质运用勾股定理求解． 16．（23-24八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，矩形纸片中，已知，点落在点处，折痕为，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的性质及翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 先根据矩形的特点求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， 是翻折而成， ，，是直角三角形， ， 在中，， 设， 在中，， 即， 解得， 则． 故答案为：12． 17．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，E为BC的中点，于点F，连结DE、EF，若∠FDE＝43°，则∠BEF＝ ． 【答案】 【分析】如图，延长，交于点，根据平行线的性质和已知条件求得，， 进而求得，再证明，可知,根据斜边上的中线可知，求得，进而利用三角形内角和定理求得，即可求得． 【详解】如图，延长，交于点， 四边形是平行四边形，， ， ， ，， E为BC的中点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，构造是解题的关键． 18．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形中，垂直平分，垂足为，，那么菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和垂直平分线得到△ABC是等边三角形，利用勾股定理求出高AE的长即可解题. 【详解】解：在菱形ABCD中,AB=BC, ∵AE垂直平分BC， ∴AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵AB=4， ∴由勾股定理得,AE= ， ∴菱形ABCD的面积=4×=. 故答案为. 【点睛】本题考查了菱形的面积,属于简单题,求出△ABC是等边三角形,进而求出高AE是解题关键. 三、解答题（10小题，共66分） 19．（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）如图，线段是矩形的对角线．    (1)实践与操作，利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为O，交于点E，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，需标明字母） (2)猜想与证明  试猜想四边形的形状，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 【分析】（1）利用尺规作垂直平分线的方法求解即可； （2）首先证明出，得到，然后结合证明出四边形是平行四边形，然后利用即可证明出四边形是菱形． 【详解】（1）所求垂直平分线如图所示：·    （2）四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 20．（2022·福建龙岩·一模）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝CF．求证：∠DAF＝∠DCE． 【答案】证明见解析 【分析】利用菱形的性质证明AD＝CD，DE＝DF，再证明，从而可得答案． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∵AE＝CF， ∴AD－AE＝CD－CF，即DE＝DF， ∵D＝D，AD＝CD，DE＝DF ∴， ∴DAF＝DCE． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 21．（23-24九年级上·全国·课后作业）一个菱形的周长是，一条对角线长，求： （1）另一条对角线的长度； （2）菱形的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由四边形ABCD为菱形，可得AB=BC=CD=AD，BD=60cm，BO=DO=30cm，AO⊥BO，根据周长求出AB=50cm，再根据勾股定理求出AO，利用勾股定理求出AO即可； （2）利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=CD=AD，BD=60cm，BO=DO=30cm，AO⊥BO， ∵C菱形=200cm， ∴4AB=200cm， ∴AB=50cm， 在Rt△AOB中，由勾股定理cm， ∴AC=2AO=80cm； （2）S菱形=cm2． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，菱形的周长与面积，掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的周长与面积公式是解题关键． 22．（2023·福建厦门·二模）如图，若四边形的对角线与相交于点O，且，则四边形是正方形吗？ 【答案】四边形是正方形． 【分析】根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，求出AC＝BD，得出四边形是矩形，根据勾股定理的逆定理求出AC⊥BD，根据正方形的判定推出即可． 【详解】解：四边形ABCD是正方形， 理由是：∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形， ∵， ∴OA2＋OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， 即AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定的应用，主要考查学生的推理能力，注意：对角线互相垂直的矩形是正方形，难度适中． 23．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）选一个条件即可； （2）先由平行四边形的性质得到，证明，得到，根据平行线的性质得到，即，即可证明为矩形． 【详解】（1）解：添加的条件是①， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ． 又， ， 为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 24．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平行四边形中，交于点O，过点O作直线，分别交平行四边形的四条边于E，G，F，H四点，连接． (1)如图①，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，当时，四边形的形状是________； (3)如图③，在（2）的条件下，若，则四边形的形状是________． 【答案】(1)四边形EGFH是平行四边形，理由见解析； (2)菱形； (3)菱形． 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定． （1）由平行四边形的性质可知，点O是的对称中心；则，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据菱形的判定即可得到答案； （3）由（2）可知，四边形是菱形，当时，对四边形的形状不会产生影响，即可得到答案． 【详解】（1）四边形是平行四边形； 证明：∵的对角线交于点O， ∴点O是的对称中心； ∴； ∴四边形是平行四边形； （2）证明∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形； （3）证明：由（2）可知，四边形是菱形， 当时，对四边形的形状不会产生影响， 故答案为：菱形 25．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图1，菱形的对角线、相交于点，且，，分别过点、作与的平行线相交于点． (1)判断四边形的形状并证明； (2)点G从点A出发沿线段的方向以的速度运动了，连接，当时，求t的值． 【答案】(1)四边形是矩形，证明见解析； (2)或． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查矩形的判定、菱形的性质，解题的关键是学会利用数形结合解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）四边形是矩形．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据，则，分两种情形构建方程求解即可． 【详解】（1）结论：四边形是矩形． 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）四边形是菱形，，， ，， ， ， 或， 解得或， 满足条件的的值为1或3； 26．（23-24）九年级·全国·单元测试）如图，现有一张边长为4的正方形纸片，点为边上的一点，将正方形纸片折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，折痕为，连接． （1）求证：； （2）当点在边上移动（不与点、点重合）时，的周长是否发生变化？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案； （2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8； 【详解】（1）由折叠的性质，得，， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． （2）的周长不变．证明如下： 过点作，垂足为． 由（1）知． 在和中， ∴， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∴的周长为． 故的周长不发生变化． 【点睛】考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键． 27．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作丄，垂足为． 求的度数； 求线段的长； 求菱形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据菱形的性质可得AB=AD，然后根据∠A=60°，即可得出△ABD为等边三角形，即可得出∠ABD的度数； （2）根据O为BD中点，∠ABD=60°，容易求出BE的长度； （3）过D作DF⊥AB于点F，可得DF=2OE，然后根据底×高即可求出菱形的面积． 【详解】解：（1）在菱形中， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； （2）∵是对角线的中点， ∴， ∵， ∴； （3）过作于点， 由可得：， ∵，点为中点， ∴， 则． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质，得出△ABD为等边三角形． 28．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，中，，、分别在、的延长线上，且，于，于，连接． 求证：四边形是矩形； 若，且四边形是正方形时，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1根据矩形的判定证明即可； （2）利用含30°的直角三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵于，于， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 设正方形的边长为，与交点为， ∵， ∴， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质与判定，关键是利用含30°的直角三角形的性质解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$