亲爱的同学们，大家好。今天我们继续来更新高中数学必修第一册同步提高班视频系列课的专题四中的第四个题型，基本不等式的综合应用。这个基本不等式的综合应用可以说是咱们高考的一个重难点，尤其对于新高一的同学来讲的话，你们的期末考试有可能会出一些选填的一家主体，这个概率是很高的。我们以两道例题来讲解一下这类题型它的常见的解题技巧。首先我们来看一下图层例题，4-1若两个正实数XY满足X分之一加Y分之四等于一，且存在这样的XY使得X加四分之Y小于M方加3M有解。所以这是使不等式成立问题，就是能成立问题。我们换句说法就能成立问题。像原来我们讲了有一个什么恒成立问题，而这道题它是一道能成立问题，使得它有解，那么则实数M的取值范围还是一样的。大家可以将视频暂停，暂停之后可以看一下你做的结果跟老师讲的这个结果是不是一致的，这里面我们要保证有解，大家注意，要保证有解。如果是恒成立，只需让左端小于这个含参的，不就是右端是大于左端这个式子的它的最大值。如果是有解，那我们就只需满足听了，只需满足M方加3M大于它的最小值就可以了。就是大于X加四分之Y的这个最小值，这是此题的一个重要的解题思路。下面我们只需求最小值，你想你这个M方加3M只要大于它的最小值，那我就存在影响你。你只要比它的最小值大我就存在了。你要是比它最大值大，就是说你很比它大，那就是那种恒成立问题，它就不是能成立问题了，这是要注意的。好，下面我们看啊，我来求这个最小值就可以了。因为这个X加四分之Y它是等于X加四分之Y我去乘以一个一。这个一我们可以用那个X分之一加Y分之四换换掉。这个是前面咱们讲过的这个技巧，我们把这个整理一下，X加X分之一是一，四分之Y加它乘以4，4‱也是一，一加一是二，一个常数是二，然后再加上X乘以Y分之4就是Y分之4。X再加四分之Y乘以X分之一就是4X分之Y，刚好这两项符合基本不等式，就一正二定三相等，那么就大于等于2加上二倍的根号下Y分之4X我们去乘以Y除以4X刚好是个定值一，所以这个刚好算出最值是4。当然了，这个是当前仅当让其紧张这个Y分之4X等于4X分之Y的时候，等号成立，即最后我们可以算出来就是4X方等于它就是Y等于4X这个时候它是成立的。那那也就是说我们只需满足M方加上3，M大于它的最小值，这个最小值是4，那么只需满足它大于4即可。然后我们解这个1元2次不等式，那么解出来这个答案就是M大于一或者是M小于负四则此题答案选C，这是例题4-1，我们就讲到这里，下面我们再讲一道例题。还是一样的把视频暂停，然后你再看一下跟老师讲解是否是一致的。那么若对于任意的X属于零到正无穷大，X分之4，X方加一大于等于M恒成立，这就是恒成立问题。你看前面我们讲的是个能成立问题，那么这道题它是一个什么呢？恒成立问题。那么恒成立问题，我们只需满足M小于等于这个X分之4，X方加1，小于它的最小值就可以了。下面我们求这个最小值，就因为这个X分之4X方加1，我们把它拆成两项X分之4X方就是4X再加上一个X分之一，刚用进不等式，那么就大于等于二倍的根号下4X乘以X分之1。这个整理完了之后是四这个取等的条件我们就不再讨论了。就是当前仅当这个4X等于X分之一，这个G就可以解出X等于2分之1，这是可以的。注意，这里面我们不再细说了。也就是说我们只需满足M小于等于它的最小值4就可以了。对此题的答案就是填负无穷大到4。好，这是我们讲的综合问题。讲了两个，那么下面我们来看一下这个具体的综合应用的两个小练习。第一个我们看一下这是一个与数学文化有关的，而且以高斯作为问问题背景来出的。我们看啊高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有数学王子的称号。函数Y等于X取整，这个也叫取整函数就称为纪念，它叫做高斯函数。当然了有同学说老师我怎么看那个高次函数，高等数学不一样。这个就是一个名字，大家也不要死抠。其中这个X取整代表的是不超过X最大整数，比如说你-2.1-2.1不超过它的最大整数就是-3。你可能不能取-2，你就说负二是比-2.1大，对吧？那么3.1不超过3.1的最大整数就是3，可是已知FX等于2的X加一次幂除以1加2的X方，那么则FX取整的值域是多少？也就是说我们必须把这个FX值域可以算出来，然后我们再看值域内的整数有哪些就可以了。下面我们对这个函数进行并行。原来的这个FX我可以写成2乘以2的X次幂除以一加上一个2X幂的平方，这是一步变形。我们可以用这个什么分子分母同时除以2的X幂，或者我们进行换元也可以。那我们就令T等于2X幂，那么上面就变成2T下方我们可以变成一加上一个T方分子分母同除以T就变成2除以谁呢？这个T分之一加上一个T大家看这个分母，这个分母它是一个对勾函数，对勾函数的图像在大于零的，注意，这个一定是大于0。因为根据指函数性质，对勾函数的存量，我们看这是T轴，这是Y这个就是Y等于T加上一个T分之一的草图，注意是草图，这个最低的坐标是一，我们知道这个一处对，它就是2，所以说这个T加上一个T分之一的范围一定是代表2。所以T加T分之一倒过来，那么它倒过来，你想你趋向于正面无穷大的时候，倒过来就是趋近于0，但是取不到0。反过来就对应的取二最小，倒过来就是最大是2分之1。所以说可以算出这个FX的它的范围，两边同时乘以2，那么就是零到谁呢？0到1，既然是0到1，我们看啊，所以说你这个取整之后，我们看一下，都是零点几的值。如果说XFX范围是零点几，就是从0到1开始的距离内，那么最大整数它是0，就它的范围就是0，全部取0。如果取一的时候刚好就是一，所以此时取整的这个值，它就是有两个字，一个是零，一个是一说。此题的单选A好，这是防尘训练4-1。下面我们再看一道防尘训练4-2，这个就是恒成立问题，跟刚才一样，我们分离这个参数来做，就是分餐或者是分离变量法也行。那我们把这个原式整理成M小于等于A加上一个3B去乘以这个A分之3，加上一个B分之一。然后我们只需满足M小于等于这个式子的最大值最小值即可，我们求出这个最小值。所以我们看啊因为这个A加3B去乘以A分之3加B分之1，把它整理一下，A乘以N分之3就是33，B乘以B分之一就是3 3加3是6加上A乘以B分之一就是B分之A加3B乘以A分之3就是A分之9B然后用基本不等式，那么它就刚好它满足一正二定三相等，就大于等于6加上二倍的根号下B分之A去乘以A分之9B这个里面刚好算出来根号九开出来就是三了，6加6就是十二。所以说我们只需满足M小于等于12就可以当然这个取等的条件我们要考虑一下，一定要注意这个趋势，肯定是可以的这此题的答案M的最大值它就是12，济南题选B。由这四道题我们来对这一类题型做一个简单的总结。我们来看一下方程指导利用基本不等式解题的这个常规的策略。一应用基本不等式判断不等式，首先要是否成立的条件是就对所给的不等式进行变形，然后我们要利用进步的是求解。第二个条件不等式最值问题就是通过条件转化为能利用进步的是形式求解就行了。你像刚才我们用那个常值代换，用代换的方法，我们可以把它配凑成这个基本不等式，就是把它进行变形，变成可以使用基本不等式的基本条件就可以了。就是我们所说的一正二定，剩下的一定要注意，一正二定三相等。第三个求参数最值范围要注意，成立的相关条件就可以了。今天课就上到这里，感谢大家收看下一期视频，我们再见。