亲爱的同学们，大家好。今天咱们继续来讲解高中数学必修第一册同步提高班视频系列专栏课。今天咱们来讲解基本不等式中的题型一的第三类解法消元法。这个消元法可以说在基本不等式里面的很多的最值问题中，它可以说都可以应用，是一类比较常见的一般解法。对，这个方法我们称之为一般解法。你像上一期视频课我们讲的这个常值代换法，它是属于一种特殊解法。如果说你配送不出来一些这个定值问题的定值，那你这个解法可能就用不了。所以说咱们平时在学习的过程当中，一定要注意先一般后特殊。就是掌握技巧的时候一定要注意，先一般后特殊。那么在解题的时候我们刚好逆序，就是先特殊后一般。好，下面我们以两个小例题来讲解一下。首先看这个图层例题1-3，我们来看一下这个消元法。怎么来做这个消元呢？我们知道有两种，一种是代入消元，一种是换元这个消息，还有一个就是换元。消元就是比如说你两个变量我们换了之后转换成一个变量。你像你比如说我们像这个除尘例题1-3，如果说你要送长寿代换难度很大。当然了这道题我们可以这样来进行。第一小题我们来讲两种方法，一种是换元校园法，我们称之为换元校园化。好，我们看一下这个换元想法怎么用。换元想法的话我们看因为你要求的是谁呢？你求的是这个X加3Y的最小值，而且告诉我们XY都是正值，还告诉我们这样一个关系式在这里。现在我们由题目中的条件，我把这个X加3Y我把它整理一下，把这个XY移到等式的右端，我把X加3Y写成九减这个XY减9减XY好，现在我们进行这个变形，这个9减X我们把它进行配送。注意，我们现在另踢，注意，另T等于X加3Y这个它就大于等于，我直接用进不等式来看，就大于等于二倍的根号下X乘以3Y，即这个是等于这个二倍根号三倍的根号XY。我现在两边同时平方，两边同时平方，所以说我们可以得到T方，那么就大于等于12倍的XY好，由刚才所以说所以说XY，那么它就小于等于12分之T方。所以说9减XY你看加上负号就大于等于这个9减12分之T方，这个9减XY不就是T，对吧？我们刚才换元之后，这就是T那么TT是大于等于9减去12分之T方，然后再解决这个关于T的1元2次不等式就可以了。两边同时乘以12把T方移过来得到的是就是这个T方。加上一个12T减去108，大于等于零解除这解这个关于7的124不等式就可以了。因为T是正值，所以说最后得到这个T是大于等于6。因为这个我们可以拆成这个6乘18，所以一根是-12，一根是六，我们就解出T是大于等于六了，即最小值是16，那这个题就解完了。当然了我们这里面看取等的条件是否满足。你比如说第一个取整就是X等于3Y我们注意一定要研究，一定要思考，研究这个取等的。条件你比如说第一个取等的条件就是X等于3Y你把X等于3Y代到里面解解的话，这个T看是不是6。我发现它刚好是可以可以来，所以说这个题答案就是6，这是方法一，叫换元销量化。我们还有一个叫做方法2，我们称之为什么呢？代入消元法，这样还有一种方法叫做代入校园法。我们看这个带入轩辕法，怎么来解这个带入轩辕法呢？我们可以由第一个是我们消去X或者消去Y消去X你就是把X用Y表示。比如说我们消去X，原来的是我们把这个十字变形，把X加XY写在一起，X加XY那么就等于9减3Y所以这个X我们就写成9减3Y我们去除以这个X乘以XY把X提出来，就是X倍的一加Y你看这个可以写成一加YX除以一加Y那这样的话我X就是Y换掉了，所以X加3Y那么就等于一加Y分之九减去3Y然后我们再加上一个3万。那最后我们现在来配凑，把上方上方我们看啊，你这个不是减3万吗？那我们就减去三倍的一加Y就是我们配置和这个下面一样，这个系数前面是-3，那么就相当于你减个三，然后再加个3，所以这个常数这个位置写成一个十二，这样话保证是恒等变形一加Y然后再加上一个。同样这边我们配出一个三倍的一加Y那就相当于你加个3，后面我们再减三好，我们继续来整理，这个是前面我们用分离常数，就是一加Y分之12。好，加上一个三倍的一加Y我把这两项写到一起，这边一加Y分之负四的三倍的一加Y就是-3，后面还有一个-3，后面就是减6。好，然后我们用进步的是大于等于二倍的根号下，这两项的乘积就是36，然后再减去一个636开出来是62，62减6就是六。你看当前减的这两个相等的时候很好吃力，这取等条件也是满足的这里面我们就不再细说了，这是第一小题的两种常见的解法，我们就讲解到这里。好，下面我们来讲解第二小题。如果说你有需要的话，你可以把这个视频暂停或者是截个屏，调平之后，往你的这个笔记本上整理也是可以的。下面我们来讲第二小题。这个第二小题是一个比较常规的高考题，我们来看一下这道题怎么做。第六小题仍然是我们把C先给消掉。由这个题目我们知道这个C是等于把C移过来，就是A方减去2AB再加上一个9B方，这是C。现在我们看题目中有一个条件，就是C分之AB取得最大值，看来我们得研究C分之AB的最大值才可以。因为这个C分之AB那么就等于这个C分支，现在我把这个C换掉，稍等一下把这个是一个擦掉。也就是说我们现在消元，你要消AB不好消，但是消C比较好消。接着我们先消C那分母就变成A方减去2AB再加上一个9B方。我们看这个分子就是AB那后面怎么办呢？后面我们把分子分母同时除以AB，同时除以AB这个分子就变成一分母。大家看啊A方除以AB就每一项都除以AB，A方除以AB就是变成A方，A除以B那么9B方除以AB就加上一个9B除以A好2-2，AB除以AB就是-2。我把这个常数写到后面来，这样的话这两项乘积就是一个定制结构。它就可以用进不等式，大于等于倒过来就是小于等于二倍的根号下B分之A乘以9B除以一个A开根号对吧？二倍根号下，然后再减2分之1，即2乘3这个九开除是3 6减2是4，那么这个最大值就是4分之1。但是我们这题不是让你求这个最大值，我们研究取等条件很重要。好，我们看取等，也就说当前仅当B分之A等于这个A分之9B时成立有最大值，对吧？即A方等于9B方，也就是A等于3B10C分之AB有这个最大值。这样的话我们把这个给我整理完了，这个解出来了。好，现在还是一样的消元。既然这样的话A可以用3B表示，那么干脆都用B来表示算了。A已经用B表示，我们看C所以此时这个C就等于A方减2AB加上一个9B方。好，现在我们把这个A用3B换掉，那就是3B的平方减去2A，就是2乘以3B然后在2AB再乘上一个B再加上一个9B方，我们把它整理。这边是9B方加9B方，18B方，18B方减6B方就是12。比方这样的话我们ABC都可以用B来表示。所以这个A分之3加上一个B分之一，再加减去一个C分之12A就是3B分之3B分之3A分之一A就是3B就是3B分之3加上一个B分之一减去C分之12就是12B方分之12。好，继续整理。你看B分之这个就是B分之一，加B分之一就是B分之2，B分之2减去这个B方分之一，然后我们配凑一下就可以了。负的B分之一减一的平方，然后我们看就减个一，我们再怎么办呢？再加上一个一就可以了，这就还原了。所以说大家可以看一下，这个很明显是小于等于一的，也就是只要让B取一就OK了，B是可以取得一的。所以说正确的答案是选C。这样的话我们就把这两个例题我们就先讲到这里，然后下面我们来巩固两道题。同样大家可以先将视频暂停，自己先做一做好。首先我们来看一下黄晨训练1-3的第一小题，已知A大于0，B大于02，A加B等于AB分之1，求A加2B的最小值。这个题还有其他方法，我们现在用我们这节课学的这种方法，消元法。我们看用消元法，比如这道题，我们可以消A消A，保留B消A的话你就把B看成未知数。我们把这个原式整理一下，就是用2A减去AB等于把B移到负一的那一段，就是负B减1。整理一下这个左边可以写成A倍的2减B等于负B减1，所以这个A就等于负B减1除以2减B那分子分母同时乘一个负一，我们写成B加1除以B减2就可以了。这个就代换完了。当然它有隐含条件，你像有些时候我们大于0，可以把B的隐含范围给算出来，对吧？这个B可以上面已经B加一已经是大于零的，所以说这个下面可以说B一定是大于二的这是要隐藏的范围。所以A加上一个二，B代进来，A就是B减二分之B加一再加上一个日币，同样配错，把那个分离常数上面写成B减2，加个二再加个一就是加个3除以B减2加上一个2B这个整理一下，就是B减二分之B减2就是一加上一个B减2分之3，当然这里我们配出一个二倍的B减2出来，就相当于你减个4，然后我们再加个4，所以这个就大于等于1加4是5，加上二倍的根号下这两个乘积，那就是6，所以最后答案就是5加2倍06。当前仅当这个B减2分之1，三等于二倍根号二倍的B减2的时候成立。实际上我们在解题过程当中，这个等号如果熟练的话可以不用写了。当然我们但是虽然说不用写，你的大脑中一定要注意计算。你不计算，因为有些题它除了有坑，他就是考第三个相等的条件。这个大家一定要注意，这此题的答案选A，这道题非常的常规，所以说我们还是用换元法这个消元法来解来讲。好，下面我们来看一下第二小题。这个第二小题我们通依然用这个校园法来讲来看，你看根据我们前面的这个用消元法的过程，我们来看一下依然用消元法。这道题跟前面那个题有点像，大家可以视频暂停之后，好好做一下，看一看。一样的，我们可以这样来进行，Z分支XY这个Z移过来，Z由这个原式Z就等于X方减去三倍的XY再加上一个四倍的Y方。所以说我们把这个代换掉，消元把Z这个圆先消掉，那就是X方减3，XY加上一个4Y方分之XY同样的因为XY都是正数，把XY除下来，分子变成一分母，X方除以XY就是X除以Y4，Y方除以XY就是加上一个4Y除以X减3，XY除以XY就是减3。下面是由最小值，你看这两项乘积是个定值，就是下方有最小值，倒过来是由最大值，那么小于等于二倍的根号下Y分之X乘以X分之4Y开根号，然后减去3分之1，所以这个最值就是4减3分之1就是一。我们主要是研究取等的条件，所以说我们看啊当前紧张，当前仅当Y分之X等于X分之4，Y10取得GX方等于4万方，GX等于2Y是Z分之XY有这个最大致一，所以说此时的这个Z把X等于2Y代进去，Z就等于X方，就是2Y的平方，减去3XY就是3乘2Y再乘上一个Y就是3XY再加上一个4Y方。我们把这个整理一下，4Y方加4Y方，8Y方减去6Y方就是了，2Y方所以这个X分之2加Y分之一减Z分之2，那么就等于X分之2。X2Y分之二就是Y分之一，加Y分之一就是Y分之2，减去Z是2Y方分之一，就是减去Y方分之一。你看跟刚才那个式是一模一样的，就是最后退出之后，它还是这样一个形式，所以说这个最大值小于等于一两题的这个结果是一模一样的。同类类型的题，那么今天的这个题型我们就上到这里，那么下面我们对这个换元法，注意这里面的这个标题，我没有改过来，这个是消元法，这个消元法，我们看一下消元法，消元法要注意对于含有多个变量的条件最值的问题的时候，我们若直接运用，基本不能是无法求最值的时候。我们可以尝试减少变量的个数，即根据取舍条件，我们可以建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式，转化为只含一个变量函数的最终极，即减元。往往是什么？三元化二元的二元化一元你要我们刚才有三元，对吧？我们把它换成二元，由二元再化成一元，最终就可以解了。今天这个课比较的重要，所以说大家一定如果没听懂的话，可以反复多听几次，或者跟学校同学老师探讨，或者给我留言也行。今天课就上到这里，感谢大家的收看，下期视频我们再见。