精品解析：广东省广州市第四中学2025-2026学年高一上学期入学摸底考试数学试卷

广州市第四中学2025学年高一入学摸底考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. D. 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 设函数，则有（ ） A. 是奇函数， B. 是奇函数， C. 是偶函数， D. 是偶函数， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下元素的全体能够构成集合的是（ ） A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程的实数解 D. 周长为10cm的三角形 10. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 是周期为4的周期函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数是偶函数，当时，，则________. 13. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______． 14. 设，若集合，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列关于的不等式： （1）； （2）． 16. 已知函数. （1）求； （2）若，求的值. 17. 已知正数、满足． （1）求的最大值，并求出此时、的值； （2）求的最小值，并求出此时、的值． 18. 设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 19. 已知为幂函数． （1）求的解析式； （2）用定义法证明：在上是减函数； （3）①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第四中学2025学年高一入学摸底考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的基本运算计算即可. 【详解】由， , 所以. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式、分式的意义直接运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B. 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定是：， 故选:A. 4. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，可得，满足题意， 但，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用从内及外复合函数求值即可求解. 【详解】， ． 故答案为：D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】由，则，故， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 8. 设函数，则有（ ） A. 是奇函数， B. 是奇函数， C. 是偶函数， D. 是偶函数， 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，由解析式计算一一判定选项即可. 【详解】因为函数表达式为，定义域为， 所以，所以为偶函数； 又，所以C正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下元素的全体能够构成集合的是（ ） A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程的实数解 D. 周长为10cm的三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】首先互异性是保证的，其次考虑确定性： 中国古代四大发明是确定的，能构成集合， 地球上的小河流的标准不确定，即一条河流没有标准判断它是不是小河流，不能构成集合， 方程的实数解只有两个1和，能构成集合， 周长为10cm的三角形是确定，三角形的周长要么等于10cm，要么不等于10cm，是确定的，能构成集合． 故答案为：ACD． 10. 十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得正确； 对于C中，由，可得C错误； 对于D中，由，可得D错误. 故选：AB. 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 是周期为4的周期函数 【答案】AC 【解析】 【分析】先由题意可得且函数的最小正周期为，然后结合条件逐项判断即可. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，得且. 由，得，即， 于是函数的最小正周期为. 对于A：，故A正确； 对于B：因为，的定义域是全体实数， 所以是偶函数，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：是周期为8的周期函数，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数是偶函数，当时，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解. 【详解】因为当时，， 所以当时，， 所以， 函数是偶函数， 所以， 所以， 故答案为：. 13. 已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由恒成立的等价条件为求解即可. 【详解】命题“，”是真命题， 又，则，解得． 故答案为：. 14. 设，若集合，则_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据两集合的元素相同求出，进而可得答案. 【详解】由易知，，由两个集合相等定义可知： 若，得，经验证，符合题意； 若，由于，则方程组无解. 综上可知，，，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列关于的不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式即可； （2）将分式不等式转换为，进一步求解即可. 【小问1详解】 由，得， 即， 所以，所以不等式的解集为； 【小问2详解】 由，得 则， 解得或，所以不等式的解集为． 16. 已知函数. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）先求，再求即可. （2）根据，，分类求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，所以. 【小问2详解】 因为，所以当时，，所以，不满足舍去； 当时，，所以，符合题意； 当时，，解得或舍去，所以. 综上，当时，或. 17. 已知正数、满足． （1）求的最大值，并求出此时、的值； （2）求的最小值，并求出此时、的值． 【答案】（1）的最大值为1，此时； （2）的最小值为，此时，. 【解析】 【分析】（1）直接由基本不等式即可求解； （2）由乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ∵，，∴， 又，∴，当且仅当时等号成立， ∴的最大值为1，此时； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最小值为，此时，. 18. 设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件转化为，即可根据包含关系求解， （2）根据集合的包含关系结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由得， 由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得，∴实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意知， 当，，得； 当，，得. 综上所述：实数的取值范围为. 19. 已知为幂函数． （1）求的解析式； （2）用定义法证明：在上是减函数； （3）①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）① ；② 【解析】 【分析】（1）由幂函数定义求解； （2）取值-做差-变形-判断符号-结论； （3）①由单调性求解；②分离参数，利用基本不等式求最值得范围. 【小问1详解】 由题意得，解得，则． 【小问2详解】 由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． 【小问3详解】 ①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $