第五章 《投影与视图》大单元教学设计 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第五章 投影与视图 一、课标要求 1.通过背景丰富的实例，了解投影、中心投影、平行投影、正投影的概念。 2.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。 3.通过实例，了解上述视图在现实生活中的应用。 4.在研究投影与视图的过程中，进一步发展空间观念。 二、内容分析: 1. 投影的概念 物体在光线照射下会在地面或其他平面上留下影子，这种现象称为投影。影子所在的平面即为投影面。 2. 中心投影 定义：由一个点光源发出的光线形成的投影为中心投影。例如手电筒和台灯的光线。 特点：光源、物体边缘上的点以及影子上的对应点在同一条直线上；物体相对于光源方向改变时，影子方向也发生变化。 3. 平行投影 定义：平行光线（如太阳光线）所形成的投影称为平行投影。 特点：物体的影子随时间变化而变化，同一时刻不同物体的影子长度与物体高度成正比；平行投影中对应点的连线相互平行。 4. 正投影 定义：当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影。 特点：正投影是平行投影的一种特殊形式，强调光线与投影面的关系，与物体位置无关；物体的正投影形状和大小与其相对于投影面的位置有关。 5. 视图的概念 视图定义：用正投影方法绘制的物体在投影面上的图形称为物体的视图。 三视图：包括主视图（从前往后看）、左视图（从左往右看）、俯视图（从上往下看），分别反映物体的长和高、高和宽、长和宽的视图。 绘图原则：看得见部分的轮廓画成实线，看不见部分画成虚线；三视图之间保持长对正、高平齐、宽相等[^2^]。 6.视图的应用 工程制图：在建筑、机械设计等领域，准确的视图是传达设计意图、指导生产和施工的重要工具。 艺术创作：艺术家利用视图原理表现物体立体感和空间深度，创造出视觉美感。 日常问题解决：如组装家具、摆放物品等，人们常常需要利用视图来判断物体的形状、大小和位置。 7.发展空间观念 空间图形与平面图形转化：通过画基本几何体的三视图，体会几何体与平面图形之间的联系。 提升学生的空间观念：学习过程中，学生需要将立体图形和平面图形之间相互转化，提升空间观念。 三、学情分析: 1.基础知识储备：学生已经学习了图形的基本性质和平行线、角等基础知识，这为理解投影概念打下了基础。 生活经验：学生对影子的形成有直观的生活经验，这有助于他们理解投影现象。 绘图能力：之前学习的绘图技能将帮助学生掌握如何绘制三视图。 2. 学习动机 通过介绍投影与视图在设计、艺术等领域的应用，可以激发学生的学习兴趣；学生可能会对如何使用投影与视图解决实际问题感到好奇，从而产生学习动力；对于对未来科学、工程或艺术领域感兴趣的学生，发展空间观念是一个重要的驱动力。 3. 认知障碍：投影与视图的概念较为抽象，学生可能难以形成清晰的认识；三视图的绘制和理解需要较强的空间想象力，这对于部分学生可能是一个挑战；专业术语如“正投影”、“平行投影”可能让学生感到困惑。 4.空间观念的发展 从具体到抽象：学生需要从具体的投影现象中抽象出数学概念，这是发展空间观念的关键一步；视图转换：学习如何从不同视角（主视图、左视图、俯视图）看物体，有助于提升空间转换能力；逻辑推理：通过绘图规则（长对正、高平齐、宽相等），学生可以锻炼逻辑推理能力。 四、单元目标： 在新课程标准下，核心素养的培养是教育的重要目标之一。对于北师大九年级数学上册第五章《投影与视图》，单元目标在核心素养培养方面体现在以下几个方面： 空间与图形意识 1.培养空间感知能力：通过对投影和视图的学习，学生能够理解三维空间与二维平面的关系，提升对空间图形的感知和认识。 2. 发展图形表达能力：学习如何准确绘制和解读三视图，增强将空间物体抽象为图形的能力。 3.掌握图形变换思维：理解投影过程中图形的变化规律，培养学生的空间想象和图形变换思维。 逻辑推理与数学思维 1. 提高逻辑思维能力：通过分析投影规则和视图绘制原则，锻炼学生的逻辑思维和批判性思考。 2. 培养数学建模观念：鼓励学生将现实生活中的物体通过数学模型（如三视图）表达出来，增强数学应用意识。 3.发展问题解决策略：面对复杂的视图绘制问题时，学生能够运用所学知识寻找解决方案，培养解决问题的策略和能力。 科学探究与创新意识 1. 激发科学探究兴趣：通过实验和观察不同物体的投影效果，引导学生进行科学探究。 2. 培养创新思维：鼓励学生在理解基本投影原理的基础上，探索新的绘制方法或改进现有技术。 3. 促进科技实践应用：介绍投影和视图在现代科技中的应用，如计算机辅助设计(CAD)，激发学生的科技创新意识。 联系社会与生活实践 1. 认识数学的社会价值：通过学习投影与视图在建筑、工程、艺术等领域的应用，理解数学与社会生活的紧密联系。 2. 增强生活实践能力：通过绘制和识别日常生活中物体的三视图，提升学生的生活实践能力。 3.培养审美与艺术感：通过艺术作品中的投影效果分析，培养学生的审美观念和艺术鉴赏能力。 新课程标准下的《投影与视图》单元不仅注重学生的知识掌握，更强调通过学习这一章节，学生能够在空间观念、逻辑思维、科学探究、社会实践等方面得到全面发展，实现核心素养的提升。教师在教学过程中应采取多元化的教学策略，鼓励学生积极参与、探究和实践，以达到预期的教育目标。 五、单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1. 投影的基本概念 定义与分类：介绍投影的定义，区分中心投影和平行投影，解释正投影的概念。 形成与特点：探讨不同投影类型的形成条件和基本特点，如中心投影的消失点和平行投影的阴影特点。 2. 视图的绘制与理解 三视图的绘制：详细讲解主视图、左视图和俯视图的绘制方法，强调“长对正、高平齐、宽相等”的原则。 视图的理解与应用：通过实例演示如何从三视图理解物体的形状和结构，讨论三视图在设计和工程中的应用。 3.空间观念的发展 空间与平面的关系：通过投影与视图的学习，帮助学生建立空间物体与其在平面上投影之间的关系。 空间想象力的培养：通过绘制和识别三视图，锻炼学生的空间想象力，提高空间图形的认知与构建能力。 4.实际应用与探究 日常生活中的应用：探讨投影与视图在日常生活中的实际应用，如艺术绘画、建筑设计等。 科学探究活动：设计实验和观察活动，让学生探究不同光源和角度下物体投影的变化规律。 （二）课时安排（课时教学设计由执教教师结合本班情况自行设计） 1. 投影的基本概念（2课时） 第1课时：介绍投影的定义、分类和基本特点，通过实例帮助学生理解。 第2课时：通过实验观察不同光源下的投影效果，引导学生总结投影形成和变化的特点。 2. 视图的绘制与理解（3课时） 第3课时：讲解三视图的绘制原则和方法，学生实践绘制简单物体的三视图。 第4课时：通过具体案例分析，学习如何从三视图理解物体的形状和结构。 第5课时：学生练习绘制复杂物体的三视图，并尝试从视图推断物体的实际形状。 3. 实际应用与探究（1课时） 探讨投影与视图在日常生活和专业领域的应用，如艺术和建筑；进行科学探究活动，如改变光源位置观察投影变化，鼓励学生发现和总结规律。 六、达成评价 在核心素养背景下，对《投影与视图》这一章节的达成评价需要综合考虑学生的知识掌握、技能应用、思维发展以及情感态度等方面。以下是具体的评价内容： 1. 知识理解与掌握 评价学生对投影的基本概念，包括中心投影和平行投影的定义、特点及其区分的理解程度；检查学生对三视图（主视图、左视图、俯视图）的识别和绘制能力，特别是是否能够准确运用“长对正、高平齐、宽相等”的绘图原则。 2. 技能应用与操作 观察学生在绘制三视图时的熟练度，包括工具的使用、线条的绘制以及尺寸的标注；通过实际操作考察学生是否能够根据给定的物体或模型准确绘制出三视图，或者根据三视图想象并构建出原始物体。 3. 空间想象力的发展 通过设计相关问题或任务，评估学生在二维图形与三维物体之间转换的思维能力，例如从平面视图想象出物体的立体形态；评价学生在解决涉及空间几何问题时所表现出的空间推理和想象力。 4.逻辑思维与表达能力 检查学生是否能够逻辑清晰地解释投影与视图的概念，以及它们在现实生活中的应用；评估学生在描述和解释三视图时使用专业术语的准确性和表达的清晰度。 5. 情感态度与价值观 观察学生在学习过程中的兴趣和热情，以及对探索投影与视图知识的积极性；评价学生是否认识到学习《投影与视图》对培养空间观念和解决实际问题的重要性。 6.实际应用与创新能力 鼓励学生将所学知识应用于实际生活中，如通过分析日常生活中的投影现象来加深对知识的理解；评价学生在创新性任务中的表现，例如设计一个简单的物体并绘制其三视图，或者利用计算机软件进行三维建模。 7. 合作学习与交流 在小组活动中评估学生的合作能力和交流技巧，包括在讨论和解决问题时的互动；观察学生是否能够在小组学习中积极分享自己的想法，并有效吸收他人的观点。 七、习题设计 在核心素养背景下，对《投影与视图》这一章节的每个主要知识点设计经典习题，有助于加深学生的理解和应用能力。以下是针对每个知识点的习题设计： 投影的基本概念（中心投影和平行投影） 1. 解释什么是平行投影，并给出与中心投影的区别。 2. 举例说明日常生活中哪里可以看到平行投影和中心投影的应用。 3. 提供两幅图片，一幅为中心投影，一幅为平行投影，要求学生识别并解释不同之处。 4. 如果一个物体从平行投影变为中心投影，其视图将如何变化？要求学生预测并绘制结果。 三视图的绘制与理解 1.给定一个物体的实物模型，要求学生绘制其三视图（主视图、左视图、俯视图）。 2.提供一组三视图，让学生分析该物体的空间结构，并指出哪个视图是正确的，哪个存在错误。 3.给出一个含有错误的三视图，要求学生找出错误并提供正确的绘制方法。 4.改变给定物体的位置或方向，要求学生根据新的状态重绘三视图。 空间想象力的发展 1. 给定一个复杂的二维图形，要求学生想象并描述其可能的三维形状。 2. 提供一个物体的三视图，要求学生构建出对应的三维模型。 3. 更改一个物体的投影角度或光源位置，让学生预测并绘制新视角下的视图，并与原视图进行比较。 4. 要求学生设计一个简单的物体，绘制其三视图，并解释如何通过这些视图来想象和构建该物体。 逻辑思维与表达能力 1. 要求学生解释“长对正、高平齐、宽相等”在三视图中的意义及其重要性。 2.在描述三视图时，正确使用专业术语说明视图间的关系。 3. 给定一组不完整的三视图，要求学生逻辑推断缺失的视图并完成它。 4. 设定一个实际工程问题，如设计一个简单的桥梁或建筑物，让学生解释如何使用三视图来表达设计思路。 第五章 投影与视图 1 投影 第1课时 中心投影 1.让学生体会投影的含义，理解中心投影的概念. 2.经历研究投影的定义、画中心投影的过程，在现实生活中体会投影现象. 3.通过举例说明我国古代对投影的应用，渗透德育于数学教学当中. 【教学重点】 中心投影的概念及识别. 【教学难点】 中心投影的画法. 一、情境导入，初步认识 举例或展示利用光线产生影子的生活现象和应用： （1）物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙面留下影子（可用教室灯光作试验）. （2）驴皮影是利用灯光的照射，把影子的形态反映到银幕上的表演艺术. （3）我国古代的计时器日晷，也是利用日影来观测时间的. （4）电影或幻灯片. 【教学说明】学生可以用自己的手指在墙面上投影来表演某些动物，可让学生来说说日晷的构成和大致原理.同时，再请学生举一些利用光线产生影子的例子.从而激起学生的好奇心和探索欲望. 二、思考探究，获取新知 1.归纳总结投影的含义. 投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影.照射的光线叫投影线，投影所在的平面叫投影面. 物体的投影和物体的形状有密切关系. 【教学说明】通过观察图片，建立感性认识，再通过语言描述建立理性认识(概念). 2.在所举的几个投影的例子中，投影线有什么不同？ 【教学说明】 学生：观察思考，提出自己的想法. 教师：总结归纳，给出中心投影的概念. 从一个点发出的光线所形成的投影称为中心投影. 3.如图，BE、DF是甲、乙两人在路灯下形成的影子，请在图中画出灯泡的位置. 分析：连结EA、FC，它们的延长线的交点即为灯泡的位置. 【教学说明】通过练习巩固提高. 三、运用新知，深化理解 1.皮影戏是在哪种光照射下形成的（ A ） A.灯光 B.太阳光 C.平行光 D.都不是 2.小刚走路时发现自己的影子越走越长，这是因为（ A ） A.从路灯下走开，离路灯越来越远 B.走到路灯下，离路灯越来越近 C.人与路灯的距离与影子长短无关 D.路灯的灯光越来越亮 3.两个物体映在地上的影子有时在同侧，有时在异侧，则这可能是 中心 投影. 4.如图，在平面直角坐标系内，一个点光源位于点A（0，5）处，线段CD⊥x轴，点D为垂足，C（3，1），则CD在x轴上的影长为 0.75 ，点C的影子的坐标为 （3.75，0） . 分析：连接AC并延长，交x轴于点B. 因为CD⊥x轴， 所以△BCD∽△BAO，所以. 因为OA=5，CD=1，OD=3， 所以. 解得BD=0.75， 即CD在x轴上的影长为0.75，点C的影子B的坐标为（3.75，0）. 5.路灯下站着小赵，小芳，小刚三人，小芳和小刚的影长如图，确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子. 解：如图所示，连接DC、FE并延长相交于点O，则点O即为路灯灯泡的位置，AB即为小赵在灯光下的影子. 6.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点沿OA所在的直线行走14米到B点时，影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 解：影子的长度变短了.∵CA∥PO， ∴△MCA∽△MPO， ∴， 即 ，解得 MA=5（米）. 同理， 即，解得 BN=1.5（米）. 5-1.5=3.5(米). 所以变短了3.5米. 7.如图1，在一间黑屋里用一白炽灯照射一个球（球在灯的正下方）. （1）球在地面上的阴影是什么形状？ （2）当把白炽灯向上移时，阴影的大小会怎样变化？ （3）若白炽灯到球心距离为1m，到地面的距离是3m，球的半径是0.2m，求球在地面上阴影的面积是多少？ 分析：（1）球在灯光的正下方，所以阴影是圆形； （2）根据中心投影的特点可知：在灯光下，物体离点光源越远它的影长越短，所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小； （3）先根据相似求出阴影的半径，再求面积. 解：（1）因为球在灯光的正下方，所以阴影是圆形； （2）白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小； （3）如图2，依题意得，球在地面上的投影为⊙O1，设光线与⊙O相切于点A，连接AO，则AO⊥BM，∵MO1⊥BO1，∠BMO1=∠OMA，∴△AOM∽△O1BM，∴. 设球在地面上投影的半径为r m， 而OM=1m，MO1=3m，AO=0.2m， 在Rt△AOM中，， 则，∴， 则. 【教学说明】解答本题的关键是利用中心投影的特点构造相似三角形，利用其对应边成比例求出阴影的半径表达式，从而求出面积. 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流. 1.布置作业：教材“习题5.2”中第2、3题. 2.完成练习册中相应练习. 第2课时 平行投影 1.体会平行投影的含义，掌握正投影的概念，了解投影的分类. 2.经历观察、思考的过程，感受生活中的投影广泛存在着，从中体会平行投影与中心投影的联系和区别. 3.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学应用意识. 【教学重点】 投影的分类和正投影的含义及画法. 【教学难点】 立体图形的正投影画法. 一、情境导入，初步认识 物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子.请观察下面三幅图片，感受日常生活中的一些投影现象. 二、思考探究，获取新知 1.观察下图，这三个图分别表示同一块三角尺在光照射下形成的投影，其中图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么区别？ 【教学说明】学生独立思考，在思考的基础上进行讨论和交流，最后得到正确答案；教师讲述：图（1）的投影线集中于一点，形成中心投影，图（2）、图（3）中，投影线相互平行，形成平行投影.图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线垂直照射投影面（即投影线正对投影面）. 【归纳结论】我们称投影线垂直照射投影面的平行投影为正投影. 2.把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同的位置： （1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面； （3）铁丝垂直于投影面. 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ 6.把一块正方形硬纸板P（例如正方形ABCD）放在三个不同的位置： （1）纸板平行于投影面； （2）纸板倾斜于投影面； （3）纸板垂直于投影面. 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？ 【归纳结论】当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同. 【教学说明】结合图片对比辨析，加深理解和印象，让学生亲自进行观察、分析、探究，得到结论，培养学生的分析判断能力. 三、运用新知，深化理解 1.李华的弟弟拿着一个菱形木框在阳光下玩，李华发现菱形木框在阳光照射下，在地面上形成了各种图形的阴影，但以下一种图形始终没有出现，没有出现的图形是( D ) 分析：阳光下物体的投影是平行投影，其特点是：在同一时刻，物体中平行且相等的两条边的影子也平行且相等，在阳光下摆弄菱形木框时，菱形木框的对边的投影应该相等，它不可能是梯形. 2.下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( A ) 分析：A选项影子平行，且较高的树的影长大于较矮的树的影长，故A正确；B、C选项影子的方向不相同，故B、C错误；D选项树高与影长不成比例，故D错误. 【教学说明】太阳光是平行光线，因而投影是平行投影，同一时刻的平行投影的规律是：物大影大，影子同向. 3.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，则按照时间的先后顺序排列正确的是( B ) A.①②③④ B.④①③② C.④②③① D.④③②① 解析：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方，然后影长逐渐变小，过了正午，影子又逐渐变长，因此先后顺序为④①③②. 【教学说明】平行投影的特点和规律：在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小不同；不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变.从早晨到傍晚影子的指向是：正西→西北→正北→东北→正东，影长由长变短，再变长. 4.若线段AB在投影面上的正投影为A1B1，则线段AB与线段A1B1的大小关系是（ D ） A.AB=A1B1 B.AB>A1B1 C.AB<A1B1 D.AB≥A1B1 【分析】线段与投影面的位置关系决定线段AB与投影A1B1的大小关系，当线段AB平行于投影面时，AB=A1B1；当线段AB倾斜于投影面时，AB>A1B1；当线段AB垂直于投影面时，A1与B1重合，即A1B1=0，也就是AB>A1B1.综上所述，AB≥A1B1. 【教学说明】本题的主要目的是考察正投影的性质之一：当线段平行于投影面时，它的正投影长短不变；当线段倾斜于投影面时，它的正投影变短；当线段垂直于投影面时，它的正投影为一个点. 教师在讲解此题时，应引导学生体会到正投影的其它性质： 当平面图形的面平行于投影面时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，当平面图形的面倾斜于投影面时，它的正投影相对这个平面图形的形状、大小发生变化；当平面图形的面垂直于投影面时，它的正投影为一条线段. 一个物体（立体图形）的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.立体图形的正投影可以归结为点、线段及平面图形的正投影. 5.如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5米，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3米，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6米，则DE的长为 10m . 6.下面两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影？并说明理由. 解：第（1）幅图为平行投影，因为其投影线互相平行；第（2）幅图为中心投影，因为其投影线相交于一点. 四、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流. 1.布置作业：教材“习题5.2”中第2、3题. 2.完成练习册中相应练习. 2 视图 第1课时 物体的三视图 1.理解并掌握三视图的投影规律——长对正、高平齐、宽相等. 2.能绘制简单的三视图. 3.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图的位置关系、大小关系. 【教学重点】 从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图. 【教学难点】 简单的三视图的绘制. 一、情境导入,初步认识 如图，直三棱柱的侧棱与水平投影面垂直.请与同伴一起探讨下面的问题： （1）以水平投影面为投影面，在正投影下这个直三棱柱的三条侧棱的投影是什么图形？ （2）画出直三棱柱在水平投影面的正投影，得到的投影是什么图形？它与直三棱柱的底面有什么关系？ 【教学说明】先让学生自己独立尝试画图，同时每组两名学生在黑板上画图， 教师点评.引出三视图的概念. 二、思考探究，获取新知 1.上面的这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？ 物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常还要选择正面和侧面两个投影面，画出物体的正投影. 【归纳结论】从正面得到的视图叫做主视图，从上面得到的视图叫做俯视图，从左面得到的视图叫做左视图.主视图、俯视图、左视图三者合在一起叫做三视图. 【教学说明】通过活动，让学生成为课堂学习的主人，通过活动，让学生自主学习，合作交流，并能合理清晰地表达自己的思维过程，教师成为真正的组织者、引导者、合作者. 2.你能画出一个长方体的三视图吗？ 观察：主视图与物体的长和高有什么关系？与宽呢？ 俯视图与物体的长和宽有什么关系？与高呢？左视图与物体的高和宽有什么关系？与长呢？ 【归纳结论】在物体的三视图中，主视图可反映出物体的长和高，俯视图可反映出物体的长和宽，左视图可反映出物体的高和宽. 【教学说明】通过学生独立观察思考，小组合作，寻找物体的三视图的长和高与物体自身的长、宽、高之间的内在关系. 三、运用新知，深化理解 1.画出下图所示的一些基本几何体的三视图. 分析：画这些基本几何体的三视图时，要注意从三个方面观察它们.具体画法为： ①确定主视图的位置，画出主视图； ②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； ③在主视图正右方画出左视图.注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 解：如图 2.如图，从不同方向看下面左图中的物体，右图中三个平面图形分别是从哪个方向看到的？ 解答：分别是从上面，正面，侧面看到的. 3.如图所示，右面水杯的俯视图是(D) 4.图中①表示的是组合在一起的模块，在②③④⑤四个图形中，是这个模块的俯视图的是(A) A.② B.③ C.④ D.⑤ 5.下列物体是由四个小正方形搭成的，请画出它的主视图，左视图和俯视图. 解答： 6.如图为一个槽形工件，它是长方体中间切去了一个小的三角块，工人师傅要得到它的平面图形，请你画出它的三视图. 解答： 【教学说明】让学生感受从空间物体到平面图形的转换过程，让同学们学会识别三视图.培养学生的画图能力，在巡视过程中遇见问题当场解决. 四、师生互动，课堂小结 在画三视图时，三个视图不要随意乱放，应做到俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右边，三个视图之间保持：长对正，高平齐，宽相等. 1.布置作业：教材“习题5.4”中第1题. 2.完成练习册中相应练习. 第2课时 由三视图确定几何体 1.能够识别并描述三视图所表示的立体模型. 2.经历探索三视图还原实物图的过程，掌握由平面到空间的转换方法，进一步发展空间想象能力和综合分析能力. 3.培养学生学习立体几何的兴趣以及勇于探索实践的精神，体会本节知识对后续知识学习以及未来工作、生活的重要作用. 【教学重点】 由三视图想象实物模型，并画出模型草图. 【教学难点】 由三视图还原出实物图. 一、情境导入,初步认识 一个空间几何体的结构形状可以通过画它的三视图准确完整地表示出来，实际工作中，也经常需要根据三视图还原实物图，比如工人要根据三视图加工零件就得由三视图还原出实物图.这节课我们就来研究如何由三视图还原出实物图. 【教学说明】引入生活情境激发学生的学习欲望，自然地引入新课. 二、思考探究，获取新知 1.已知某几何体的三视图如图（1）所示，那么这个几何体是什么？若将图（1）中的俯视图改为图（2），那么这个几何体是什么？ 分析：图（1）中，由主视图和左视图可以看出此几何体可能是四棱锥或圆锥，再由俯视图判断此几何体应是四棱锥.若将图（1）中的俯视图改为图（2），则此几何体是圆锥. 【教学说明】从本题可以看出，要确定一个立体图形，必须具备主视图、左视图、俯视图三个视图；反之，给出三视图就能唯一确定一个空间图形. 2.根据三视图，描述立体图形的形状，并画出几何体的草图. 提示：上图是圆台的三视图，草图略. 【教学说明】根据三视图还原实物原型时，必须将各视图综合起来看，弄清三个视图之间的对应关系. 三、运用新知，深化理解 1.下面是一些立体图形的三视图，请在括号内填上立体图形的名称. 答案：圆柱 正三棱锥 2.下列图形都是几何体的平面展开图，你能说出这些几何体的名称吗？ 答案：圆锥 圆柱 正方体 三棱柱 3.若干桶方便面摆放在桌子上，如图是它的三视图，则这一堆方便面共有(B) A.5桶 B.6桶 C.9桶 D.12桶 4.下面是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是（B） A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.三棱柱 5.已知几何体的主视图和俯视图如图所示. （1）画出该几何体的左视图； （2）该几何体是几面体？它有多少条棱？多少个顶点？ （3）该几何体的表面有哪些你熟悉的平面图形？ 答案：（1）略（2）六面体，12条，8个（3）正方形，等腰梯形 6.一个由几个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图如图所示，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体的主视图和左视图. 提示：可摆实物进行分析. 答案：略. 7.由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，求x，y的值. 答案：x=1或x=2，y=3. 8.由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图，求组成几何体的小立方体个数的最大值与最小值. 提示：可摆实物进行分析. 答案：12个，7个 【教学说明】巩固提高.有些题目可以摆实物进行分析. 四、师生互动，课堂小结 1.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流. 2.总结要点： （1）要确定物体的空间形状，三个视图缺一不可. （2）根据三视图还原实物原型时，必须将各视图综合起来看，弄清三个视图之间的对应关系. （3）要学会由三视图还原成实物图，必须熟悉基本几何体的三视图，在此基础上对具体问题多思考、多想象、多探索. （4）画实物模型时只需画出草图即可，但要在练习中注意体会和总结画法，以便更好的表现出立体图的结构形状. 1.布置作业：教材“习题5.5”中第2题. 2.完成练习册中相应练习. 第五章 投影与视图 复习 1.通过复习系统掌握本章知识. 2.提高解决问题分析问题的能力，培养空间想象能力. 3.体会到数学来源于生活，应用于生活. 【教学重点】 投影和三视图. 【教学难点】 画三视图. 一、知识结构 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系. 二、释疑解惑，加深理解 (一)投影 1.中心投影：灯光的光线可以看成是从一点发出的（即为点光源），像这样的光线所形成的投影称为中心投影. 2.平行投影： 太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影. 3.中心投影光源的确定：分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为光源的位置. 4.如何判断平行投影与中心投影 分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，若两直线平行，则为平行投影；若两直线相交，则为中心投影，其交点是光源的位置. (二)视图 1.三种视图的内在联系 主视图反映的是物体的长和高；俯视图反映的是物体的长和宽；左视图反映的是物体的高和宽. 因此，在画三种视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，俯、左视图要宽相等. 2.三种视图的位置关系 一般地，首先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图的下面画出俯视图，在主视图的右边画出左视图. 3.三种视图的画法 首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线. 【教学说明】1.以问题串的形式呈现,既可以帮助学生梳理知识,又增强了学生回答问题的针对性，增进师生的交流,促进学生回顾反思;2.意在让学生温故知新，为下一步巩固训练，形成技能作铺垫. 三、典例精析，复习新知 1.一个用于防震的L形包装塑料泡沫如图所示，则该物体的俯视图是（ ） 解：从上面看该组合体，俯视图是一个矩形，并且被一条棱隔开，故选B. 2.如图所示几何体的主视图是（ ） 解：从正面看，此图形的主视图由3列组成，从左到右小正方体的个数是：1，3，1. 故选B. 3.下列四幅图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ） 解：因为太阳光的光线是平行的. 过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线平行的就是阳光下的影子，因而选D. 4.（1）如图①是同一时刻两棵小树的影子，请你在图中画出形成树影的光线，并判断它是太阳光还是灯光的光线？若是灯光，请确定光源的位置. （2）请判断如图②的两棵小树影子是太阳光还是灯光下形成的？并画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示）. 解：（1）如图①是过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线相交，故是灯光，交点A就是光源. （2）如图②所示，是太阳光的光线. 原因是过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线平行. 然后再过旗杆的顶端作一条与已知光线平行的直线，交地面于一点，连结这点与旗杆底端的线段就是旗杆的影子. 【教学说明】通过设置学习小组，以任务驱动式，引导学生进行小组竞学，探求解题规律技巧，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，提高课堂效率. 四、复习训练，巩固提高 1.下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是（C） 2.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（D） A.小明的影子比小强的影子长 B.小明的影长比小强的影子短 C.小明的影子和小强的影子一样长 D.无法判断谁的影子长 3.请写出三种视图都相同的两种几何体：正方体、球体. 4.身高相同的甲、乙两人分别在距同一路灯2米处、3米处，路灯亮时，甲的影子比乙的影子短（填“长”或“短”）. 5.下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（C） 6.分别画出下图中立体图形的三视图： 解： 7.确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子. 8.已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根石柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m. （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长. 解：（1）如图，EF即为DE在阳光下的投影. （2）∵， ∴DE==10（m）. 【教学说明】通过设置学习小组，引导学生进行小组竞学，探求解题规律技巧，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，提高课堂效率. 五、师生互动，课堂小结 今天我们共同复习了视图与投影，知道了视图与投影之间的关系（在特殊位置下物体的平行投影即是物体的三种视图）.如何画三视图、利用投影的性质可以测量旗杆、建筑物、路灯等物体的高度，即利用“平行投影时不同物体在同一时刻，物体与物体的影长成比例”或相似三角形的性质进行求解.那么你在哪些方面存在疑惑呢？ 【教学说明】该环节是为了提高学生归纳问题的能力，鼓励学生积极表达自己的观点，充分体现以学生为主体，教师为主导的教学原则.本环节的设置使学生学会从系统的角度把握学习方法，努力使知识结构化、网络化，引导学生注意各知识点之间的联系. 布置作业：教材“复习题”中第3、5、9题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$