第二章 几何图形的初步认识（复习讲义）数学冀教版2024七年级上册

第二章 几何图形的初步认识（复习讲义） ①掌握几何图形的概念与分类，学会图形的运动、展开与折叠； ②掌握直线、射线、线段的相关概念；学会计算线段的和差问题； ③掌握角度的相关概念，学会表示角，掌握角的换算方法； ④掌握余角和补角的概念，学会余角和补角的相关计算； ⑤掌握图形的旋转问题； 重点01 丰富的图形世界 简单几何体的分类： 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 重点02 图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 重点03 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． 关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： 重点04 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 知识05 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）. 重点06 线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 重点07 角的表示 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 重点08 余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 重点09方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 重点10 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 3.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 4.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 题型一 常见的几何体 1．下列物体中，形状类似圆锥的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组图形中，都是立体图形的是（　　） A．点、直线、四边形、长方体 B．三角形、长方形、正方体、圆锥 C．线段、相交线、长方体 D．长方体、正方体、圆锥、球 3．如图，图中是棱柱的有 ．（填标号） 4．如图，图中柱体的个数是 个． 题型二 几何体中的点、棱、面 5．下列几何体中，面数最多的是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法不正确的是（   ） A．长方体是四棱柱 B．五棱柱有7个面 C．八棱柱有16条棱 D．六棱柱有12个顶点 7．如图所示的几何体是由 个面组成的，其中平面有 个，曲面有 个；面与面相交形成 条线，其中直线有 条，曲线有 条． 8．图是一个直七棱柱，它的底面边长都是2cm，侧棱长是5cm．观察这个棱柱，请回答下列问题： (1)这个七棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状？这个七棱柱的侧面积是多少？ (2)这个七棱柱共有多少条棱？它们的长度和是多少？ (3)这个七棱柱共有多少个顶点？ (4)通过对七棱柱的观察，你能说出n棱柱共有几个顶点？几条棱？几个面吗？ 题型三 线段、射线、直线的联系与区别 9．下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 10．下列说法中，错误的有（    ） ①射线是直线的一部分 ②画一条射线，使它的长度为 ③线段和线段是同一条线段 ④射线和射线是同一条射线 ⑤直线和直线是同一条直线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．射线、线段都是 的一部分，射线有 个端点，线段有 个端点． 12．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 题型四 直线、线段、射线的数量问题 13．同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．无法确定 14．直线平行于直线，直线上有10个点，分别是、、、…、，直线上有11个点，分别是、、、…、，将上的每个点与上的每个点相连，可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点，这些线段一共有（   ）个交点．（不包括、、、…、，、、、…、） A．110 B．2475 C．9900 D．2024 15．在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条直线、n个点最多能确定 条直线． 16．平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 题型五 线段长短的比较 17．如图，从甲地到乙地已有一条环山公路a，现又花费人力物力修建隧道b，能解释这一现象最合理的数学知识是（　　） A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．点动成线 D．过一点可以作无数条直线 18．如图，把一段弯曲的河道改直可以缩短航程，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过两点有且只有一条直线 C．经过一点有无数条直线 D．两直线相交有且只有一个交点 19．下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 （填序号）： ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 20．如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画直线，画射线，连接； (2)连接，并反向延长至点E，使； (3)请在A，B，C，D四个点围成的四边形内找一点O，使最小，理由是______． 题型六 线段的和与差 21．点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 22．如图，线段在线段上，且，若线段的长度是-个正整数，则图中以A、B、C、D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（   ） A．28 B．29 C．30 D．27 23．已知线段，点C在线段所在的直线上，且点C到点A的距离为，则 ． 24．如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    题型七 线段中点的有关计算 25．如图，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 26．如图，已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，E为线段上一点，若线段，则的长度为 ． 27．点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 28． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 题型八 线段之间的数量关系 29．如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 30．如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 31．如图，已知、两点把线段分成三部分，是线段的中点，． (1)求的长； (2)点是线段的中点吗？为什么？ 32．如图，，点C在线段上，，点M是的中点，点N是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 题型九 角的相关概念与表示方法 33．图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 34．若内有条以为顶点的射线，则图中共有 个角． 35．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 36．如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 题型十 角的单位与角度制 37．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 38．按要求表示下列各角： (1)把转化为用度、分、秒表示的形式； (2)把转化为用度表示的形式． 39．单位换算： (1) ； (2) °； (3) ° ； (4) °． 40．计算： (1)； (2)． 题型十一 角的大小比较 41．若，，，则（   ） A． B． C． D． 42．若，，，则（    ） A． B． C． D． 43．若，，则 ．（填“”“”或“”） 44．比较角的大小：和． 题型十二 尺规作角 45．如图，点在的边上． (1)画射线； (2)用量角器测量，_______； (3)尺规作图：作，使（不写过程，需保留作图痕迹）． 46．如图，已知，请利用尺规在线段上找一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 47．如图，已知，是内的一条射线，利用尺规作图法在内作，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 48．如图，已知． (1)用直尺和圆规作一个角，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)请说明为什么这样作图能得到？ 题型十三 三角板中角度计算 49．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，若为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 50．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 51．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 52．如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 题型十四 几何图形中角度计算 53．如图，已知直线、相交于点O，是射线，，且，求的度数． 54．已知直线与直线交于点O，过点O作． (1)如图1，为内的一条射线，若，求证：． (2)如图2，若，求的度数． 55．如图，为直线上一点，，平分，，求的度数． 56．如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 题型十五 角度四则运算 57．计算： (1)； (2)； 58．计算： (1)； (2)． 59．计算： (1)； (2)． 60．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 题型十六 实际问题中角度计算 61．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 62．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 63．如图所示，一位同学把锐角的顶点放在量角器的中心，角的边、的读数分别为35、85，则的补角为 度． 64．一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 题型十七 角平分线的有关计算 65．如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 66．如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 67．如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么 （用含的式子表示）． 68．如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则 ； (2)射线在直线的上方时，射线的反向延长线与射线形成的夹角是α（），平分． ①若，求的度数为 ； ②是否存在α的值，使得与互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由． 题型十八 余角、补角 69．一个角的补角是，这个角的余角是多少度？ 70．如图： ． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 71．如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 72．已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 题型十九 平面图形的旋转 73．如图，绕A点顺时针旋转得，求． 74．如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 75．如图所示，画一画． (1)画出线段绕点A顺时针旋转后的线段（如图①所示）． (2)画出线段绕点B逆时针旋转后的线段（如图②所示）． (3)画出三角形绕点B逆时针旋转后的三角形（如图③所示）． (4)画出三角形绕点A顺时针旋转后的三角形（如图④所示）． 76．如图，将绕点顺时针旋转）后得到．    (1)如图1，当的对应边恰好经过点C时，若，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 基础巩固通关测 1．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得，如果O是线段的中点，那么线段的长度是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，教室的地面上，有个倾斜的畚箕（běnjī），箕面与地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如果，那么点M 线段的中点．（填“是”或“不是”） 6．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）用度表示：34度33分36秒 °． 7．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）直线上有、、三点，线段，，是的中点，则 ； 8．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，桌面上平放着一把长方形直尺和它上方的一块三角板，小明将三角板的直角顶点C紧靠直尺的边缘，若分别作出与的平分线与．则 ． 9．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知平分，平分，，． 求： (1)的度数； (2)的度数． 10．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在直线上顺次取三点，，，且，，线段的中点为，求线段的长． 11．（24-25七年级上·河北保定·期末）根据下列语句，画出图形．如图，已知四点． ①画直线； ②连接，相交于点； ③画射线，交于点． 12．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，是的平分线，是的平分线，． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 能力提升进阶练 13．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 14．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点．下列关于甲、乙的结论判断正确的是（   ） 甲：是线段的中点，且； 乙：在线段的延长线上找一点，使是线段的三等分点，则的长为9或12． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 15．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （      ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·河北沧州·期末）研究下列解题过程： 已知是的平分线，且，若，求的度数． 解：因为，，所以甲； 因为乙； 又因为是的平分线， 所以丙； 所以丁． 针对以上解题过程，下列数值不正确的是（    ） A．甲是 B．乙是 C．丙是 D．丁是 17．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 18．（24-25七年级上·北京海淀·阶段练习）点是直线上的一点，是线段的中点，若，，则的长是 cm． 19．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．请从，两题中任选一题作答，我选择 题． A． ． B．如果， ． 20．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，已知线段，延长线段至点C，使得．若点D是线段的中点，则线段 ．（用含a的代数式表示） 21．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 22．如图，点在直线上，，． (1)若，求的度数； (2)试猜想和的数量关系，并说明理由． 23．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则_____； (2)如图2，直角三角板的边在的内部． ①若恰好平分，求和的度数； ②请直接写出与之间的数量关系． 24．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，若经过t秒后，线段恰好平分，此时______°；______°；______秒； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由； (3)如图3，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间射线平分？请直接写出旋转时间t的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 几何图形的初步认识（复习讲义） ①掌握几何图形的概念与分类，学会图形的运动、展开与折叠； ②掌握直线、射线、线段的相关概念；学会计算线段的和差问题； ③掌握角度的相关概念，学会表示角，掌握角的换算方法； ④掌握余角和补角的概念，学会余角和补角的相关计算； ⑤掌握图形的旋转问题； 重点01 丰富的图形世界 简单几何体的分类： 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 重点02 图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 重点03 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． 关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： 重点04 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 知识05 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）. 重点06 线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 重点07 角的表示 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 重点08 余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 重点09方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 重点10 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 3.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 4.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 题型一 常见的几何体 1．下列物体中，形状类似圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆锥的特点．根据圆柱、圆锥、球体、正方体的主要特点判断即可； 【详解】解：A是圆柱体，B是圆锥，C是球体，D是正方体， 故选：B． 2．下列各组图形中，都是立体图形的是（　　） A．点、直线、四边形、长方体 B．三角形、长方形、正方体、圆锥 C．线段、相交线、长方体 D．长方体、正方体、圆锥、球 【答案】D 【分析】此题考查的是立体图形的识别问题，关键在于区分立体图形与平面图形．由平面图形与立体图形的定义可知，平面图形是一个平面，而立体图形是由几个面围起来的，根据立体图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、只有长方体是立体图形，故选项不符合题意； B、只有正方体、圆锥是立体图形，故选项不符合题意； C、只有长方体是立体图形，故选项不符合题意； D、长方体、正方体、圆锥、球都是立体图形，故选项符合题意； 故选：D． 3．如图，图中是棱柱的有 ．（填标号） 【答案】②⑤⑥ 【分析】本题考查了立体图形的分类，熟练掌握了棱柱的定义是解题关键．棱柱是由几个侧面和两个底面组成，其中底面是多边形，侧面是平行四边形，两个底面平行且是完全相同的多边形，据此可找出棱柱即可得． 【详解】解：图中是棱柱的有②⑤⑥， 故答案为：②⑤⑥． 4．如图，图中柱体的个数是 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了柱体的识别，一个多面体有两个面互相平行且全等，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体就为柱体，柱体分为圆柱和棱柱，据此进行判断即可． 【详解】解：柱体有①③④⑤⑥，共5个． 故答案为：5． 题型二 几何体中的点、棱、面 5．下列几何体中，面数最多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的组成，几何体是由面围成的，而面又分为平面和曲面．能准确区分平面和曲面是解题的关键． 分别求出每个几何体的面数，再比较即可． 【详解】解：四棱锥有5个面，圆锥有2个面，长方体有6个面，圆柱有3个面， ∴面数最多的是长方体， 故选：C． 6．下列说法不正确的是（   ） A．长方体是四棱柱 B．五棱柱有7个面 C．八棱柱有16条棱 D．六棱柱有12个顶点 【答案】C 【分析】此题主要考查了认识立体图形，关键是认识常见的立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的特点． 根据四、五、六、八棱柱的特点可得答案． 【详解】解：A、长方体是四棱柱，选项说法正确，不符合题意； B、五棱柱有个面，选项说法正确，不符合题意； C、八棱柱有条棱，选项说法错误，符合题意； D、六棱柱有个顶点，选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 7．如图所示的几何体是由 个面组成的，其中平面有 个，曲面有 个；面与面相交形成 条线，其中直线有 条，曲线有 条． 【答案】 5 4 1 9 7 2 【分析】本题考查了几何体的构成要素及其分类的知识点，包括面（平面与曲面）、线（直线与曲线）的识别与计数，解题关键在于准确观察几何体结构，区分不同类型的面和线，并正确计数．先观察几何体，分别数出组成几何体的面的数量，再区分平面和曲面；接着数出面与面相交形成线的数量，再区分直线和曲线． 【详解】解：观察几何体可知，该几何体有上下两个底面（扇形），还有侧面（由 2个长方形平面和 1 个曲面组成），总共个面； 其中平面有上下底面中的扇形的面和 2个长方形侧面，共个平面； 曲面有 1 个（即侧面中圆形对应的曲面部分）； 面与面相交形成线，上下底面的边以及侧面的边，总共条线； 其中直线有上下底面中扇形的边和 2 个长方形侧面的边，共条直线； 曲线有 2 条（即上下底面中扇形的弧）． 故答案为：①5；②4；③1；④9；⑤7；⑥2． 8．图是一个直七棱柱，它的底面边长都是2cm，侧棱长是5cm．观察这个棱柱，请回答下列问题： (1)这个七棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状？这个七棱柱的侧面积是多少？ (2)这个七棱柱共有多少条棱？它们的长度和是多少？ (3)这个七棱柱共有多少个顶点？ (4)通过对七棱柱的观察，你能说出n棱柱共有几个顶点？几条棱？几个面吗？ 【答案】(1)9，上、下两个底面是七边形，侧面是长方形， (2)21， (3)14 (4)，， 【分析】本题考查了棱柱的基本特征，包括面、棱、顶点的数量及侧面积计算，解题的关键是理解直棱柱的结构特点，明确n棱柱中面、棱、顶点数量的规律． （1）直棱柱的面包括上下两个底面和侧面，底面为n边形时侧面有n个；侧面积为底面边长乘侧棱长再乘侧面数量． （2）n棱柱的棱包括上下底面的棱和侧棱，分别计算各类棱的数量和长度再求和． （3）n棱柱的顶点数量为底面顶点数的2倍． （4）通过七棱柱的特征归纳n棱柱面、棱、顶点的数量规律． 【详解】（1）解：这个七棱柱共有个面；上下两个底面是七边形，7个侧面是长方形． 侧面积为． 答：共有9个面，上、下两个底面是七边形，侧面是长方形，侧面积是． （2）解：这个七棱柱共有条棱；上下底面的棱各有7条，每条长，侧棱7条，每条长． 棱长和为． 答：共有条棱，棱长和是． （3）解：这个七棱柱共有个顶点． 答：共有个顶点． （4）解：n棱柱共有个顶点；共有条棱；共有个面． 答：n棱柱共有个顶点，条棱，个面． 题型三 线段、射线、直线的联系与区别 9．下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【答案】B 【分析】本题主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．根据直线和射线的定义解答即可． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项错误，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，符合题意； C、射线和射线表示不同的射线，选项错误，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，不符合题意． 故选：B． 10．下列说法中，错误的有（    ） ①射线是直线的一部分 ②画一条射线，使它的长度为 ③线段和线段是同一条线段 ④射线和射线是同一条射线 ⑤直线和直线是同一条直线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义．根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【详解】解：①射线是直线的一部分，正确； ②画一条射线，使它的长度为，射线是不可度量的，错误； ③线段和线段是同一条线段，正确； ④射线和射线是同一条射线，端点不同，错误； ⑤直线和直线是同一条直线，正确． 所以错误的有②④，共个． 故选：B． 11．射线、线段都是 的一部分，射线有 个端点，线段有 个端点． 【答案】 直线 1/一 2/二/两 【分析】根据射线、线段的定义：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．理解定义，填空即可． 【详解】解：∵直线上的一点和它一旁的部分叫做射线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段． ∴射线、线段都是直线的一部分，射线有1个端点，线段有2个端点． 故答案为：直线；1；2． 【点睛】本题考查了射线、线段的定义，理解射线、线段的定义是解题的关键． 12．学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题．    (1)数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ (2)射线上的点表示什么数？ (3)数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】(1)是一条射线，表示为射线 (2)非正数 (3)线段，线段 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 【详解】（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 题型四 直线、线段、射线的数量问题 13．同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，本题的关键是进行分类讨论，将三个点进行不同的排列，可得两个结果．根据题意画出图形，即可看出答案． 【详解】解：如图可以画3条直线或1条直线， 故选：C． 14．直线平行于直线，直线上有10个点，分别是、、、…、，直线上有11个点，分别是、、、…、，将上的每个点与上的每个点相连，可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点，这些线段一共有（   ）个交点．（不包括、、、…、，、、、…、） A．110 B．2475 C．9900 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了直线、线段、射线数量问题，直线，上分别取点，和点，，连接，，，，得到四边形，而这个四边形的对角线，的交点恰好是我们要计数的点，故只需要求出在直线和中有多少个满足条件的四边形就可以，由此计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 直线，上分别取点，和点，，连接，，，，得到四边形，而这个四边形的对角线，的交点恰好是我们要计数的点， 故只需要求出在直线和中有多少个满足条件的四边形就可以， 确定线段，有（种）， 确定线段，有（种）， 共可以产生个四边形， 故这些线段一共有个交点， 故选：B． 15．在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条直线、n个点最多能确定 条直线． 【答案】 10 【分析】本题考查了直线的确定．因为n个点中，过其中每一个点可以画条直线，由此即可得出平面内有个点（任三点不在同一直线），过其中任意两点画直线，最多画条． 【详解】解：∵在平面内，有 2 点最多画 1 条直线，有 3 点最多能画条直线，有 4 点最多能画条直线，有5点最多能画条直线，， ∴平面内有个点（任三点不在同一直线），过其中两点画直线，最多画条， 故答案为：10，． 16．平面上有A，B，C，D四点． (1)经过这四个点中任意两点可以作_______条直线． (2)当直线m上有n个点时，试用含n的式子表示线段的总条数为_______． (3)在一次联欢活动中，共有60人，若每人都与其余人握一次手，则共要握_______次手． (4)已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站（每两站之间距离不等），假如你是客运公司经理： ①要定_______种不同的票价；    ②要准备_______种不同的车票． 【答案】(1)1或4或6 (2) (3)1770 (4)①21，②42 【分析】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题． （1）分三种情况：当四个点在同一直线上时；当只有三个点在同一直线上时；当任意三点都不在同一直线上时，即可求解； （2）根据题意可得线段的总条数为，即可求解； （3）共要握手的次数为，即可求解； （4）①根据题意可得要定种不同的票价；②根据往返车票不同，可得车票的种类是票价的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：当四个点在同一直线上时，可以画1条直线； 当只有三个点在同一直线上时，可以画4条直线； 当任意三点都不在同一直线上时，可以画6条直线． 综上，经过平面上四个点中任意两点可以作1或4或6条直线； 故答案为：1或4或6 （2）解：当直线m上有n个点时，线段的总条数为 ； 故答案为： （3）解：若每人都与其余人握一次手，则共要握（次）； 故答案为：1770 （4）解：①因为客车中途停靠五个站(每两站之间距离不等)， 所以包括甲地和乙地共有七个站， 所以要定种不同的票价； 故答案为：21 ②因为往返车票不同， 所以要准备种不同的车票． 故答案为：42 题型五 线段长短的比较 17．如图，从甲地到乙地已有一条环山公路a，现又花费人力物力修建隧道b，能解释这一现象最合理的数学知识是（　　） A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．点动成线 D．过一点可以作无数条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键． 根据线段的性质可得答案． 【详解】解：能解释这一现象最合理的数学知识是两点之间线段最短． 故选：B． 18．如图，把一段弯曲的河道改直可以缩短航程，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过两点有且只有一条直线 C．经过一点有无数条直线 D．两直线相交有且只有一个交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题关键．根据线段的性质，可得答案． 【详解】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是：两点之间线段最短， 故选：A． 19．下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 （填序号）： ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短以及两点确定一条直线．根据两点之间，线段最短以及两点确定一条直线，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上，依据“两点确定一条直线”； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，依据“两点确定一条直线”； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程，依据“两点之间，线段最短”． 故答案为：③ 20．如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画直线，画射线，连接； (2)连接，并反向延长至点E，使； (3)请在A，B，C，D四个点围成的四边形内找一点O，使最小，理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，两点之间线段最短，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （2）根据题目要求画出图形； （3）连接，交于点O，点O即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点O即为所求．理由是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 题型六 线段的和与差 21．点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，解题的关键是根据题意分类讨论． 根据点的位置关系进行分类讨论，计算每种情况对应的线段长度即可． 【详解】解：若点在点左侧，， 若点在点右侧，， 故选：． 22．如图，线段在线段上，且，若线段的长度是-个正整数，则图中以A、B、C、D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（   ） A．28 B．29 C．30 D．27 【答案】A 【分析】本题考查了线段，先求出以、、、这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和，然后根据居已知可得所有线段的总和减去1的差一定是3的倍数，从而进行计算即可解答， 【详解】解：以、、、这四点中任意两点为端点有：、、、、、等，共六条， ， ∵，线段的长度是-个正整数， ∴所有线段的总和减去1的差一定是3的倍数， A、是的倍数，故A符合题意； B、不是的倍数，故B不符合题意； C、不是的倍数，故C不符合题意； D、不是的倍数，故D不符合题意； 故选A． 23．已知线段，点C在线段所在的直线上，且点C到点A的距离为，则 ． 【答案】4或8 【分析】本题综合考查了两点间的距离，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法． 如图1，当点C在线段上时，求得，如图2，点C在线段的延长线上时，求得． 【详解】解：如图1，当点C在线段上时， ∵，， ∴， 如图2，点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴， 故答案为：4或8． 24．如图，已知线段 ，点 C 在 的延长线上，且，求 的长度．    【答案】 【分析】本题考查线段的和差，根据求出长，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点 C 在 的延长线上， ∴． 题型七 线段中点的有关计算 25．如图，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握相关知识是解决问题的关键．首先根据，是线段上任意两点，可得，，所以；然后根据，，求出的值，即可求出的值；最后用的值加上的长度，求出线段的长是多少即可． 【详解】解：，是线段上任意两点，是的中点，是的中点， ，， ； ，， ， ， ． 故选：A． 26．如图，已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，E为线段上一点，若线段，则的长度为 ． 【答案】7 【分析】本题考查线段和差，利用中点求线段长． 利用线段的中点意义求出，，再由线段和差即可计算． 【详解】解：∵线段，点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：7． 27．点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用线段的和求解； （2）先利用线段中点的意义得出，利用线段的和差得出，再得出，然后结合，，得出，从而可得，求得，再求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点C、点D在线段上，， ∴， 即； （2）解：∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， 即． 28． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 题型八 线段之间的数量关系 29．如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段和差倍分的计算． （1）利用线段的倍分关系即可证明； （2）利用线段中点性质得出，利用线段的倍分关系求出长度，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴, 由（1）得， ∴， ∴， ∴线段的长为． 30．如图，为线段上一点，，，、分别为、的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了线段和、差的运算及线段中点的概念，解答本题的关键是熟练掌握线段中点的概念及性质． （1）根据M，N分别为的中点可得，，再由即可求解； （2）先由 、 求出 ，再依据中点性质表示出和 ，最后计算两者比值． 【详解】（1）解：∵M是的中点， ∴， ∵N是CB的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵、分别为、的中点． ∴， ∴． 31．如图，已知、两点把线段分成三部分，是线段的中点，． (1)求的长； (2)点是线段的中点吗？为什么？ 【答案】(1)EC (2)点是线段的中点，见解析 【分析】本题考查了线段的比例分配、中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是根据线段比例设未知数，结合已知长度求出各段线段的长度，再利用中点性质解决问题． （1）①由，设每份为x，结合求x；②计算总长，根据E是中点得长度；③用求． （2）①计算和的长度；②比较与的关系，判断B是否为中点． 【详解】（1）解：∵两点把线段分成三部分， ∴设，，． ∵， ∴，解得． ∴． ∵E是线段的中点， ． ∴． （2）点B是线段的中点，理由如下： 由（1）知， ∴． ∵E是的中点，， ． ∴，即． ∴点B是线段的中点． 32．如图，，点C在线段上，，点M是的中点，点N是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了线段的比例关系与中点的性质，理解“中点平分线段”是解决本题的关键． （1）根据结合即可求解； （2）根据中点先求出与的长度，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵点M是的中点，， ∴， ∵点N是的中点，， ∴， ∴． 题型九 角的相关概念与表示方法 33．图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个放大5倍的放大镜看一个的角，仍然是，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个放大5倍的放大镜看一个的角，那么看到的仍然是的角， 故选：A． 34．若内有条以为顶点的射线，则图中共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查角的知识，解题的关键是掌握在一个角的内部引条射线共有个角，进行解答，即可． 【详解】解：方法一：∵内有条以为顶点的射线， ∴图中角的数量为：； 方法二：如图：角的数量为：． 故答案为：． 35．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 【答案】 （或） （或） （或） 【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）可以表示为或； （2）可以表示为或； （3）可以表示为或； 故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）． 36．如图所示，点B，D，C，F在同一条直线上． (1)图中哪个角可以用一个大写字母来表示？ (2)以A为顶点的角有几个？请表示出来． (3)与是同一个角吗？请说明理由． 【答案】(1)图中可以用一个大写字母表示的角是． (2)以A为顶点的角有3个，分别是． (3)与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同． 【分析】此题考查了角和角的表示，熟练掌握角的表示方法是关键． （1）根据角的表示方法解答即可； （2）根据角的表示方法解答即可； （3）根据角的表示方法解答即可． 【详解】（1）解：图中可以用一个大写字母表示的角是． （2）以A为顶点的角有3个，分别是． （3）与不是同一个角．理由：这两个角的顶点不同 题型十 角的单位与角度制 37．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的换算，回忆度、分、秒之间的换算关系，解题时要熟练掌握它们之间的换算关系并灵活运用． （1）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可； （2）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可． 【详解】（1）解：根据得：， 根据得：， 所以； （2）因为，， 所以． 38．按要求表示下列各角： (1)把转化为用度、分、秒表示的形式； (2)把转化为用度表示的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度制换算，解题关键是熟练运用度、分、秒的关系． （1）利用度、分、秒的关系，从度向分、秒方向逐步转化； （2）利用度、分、秒的关系，从分、秒向度方向逐步转化． 【详解】（1）解： ； （2） ． 39．单位换算： (1) ； (2) °； (3) ° ； (4) °． 【答案】(1)270 (2) (3)52，21，36 (4) 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进率及换算方法是解题的关键． （1）由大单位转换成小单位乘以60，乘以60即可． （2）由小单位转换成大单位除以60，除以转化即可． （3）根据度分秒的换算进行计算即可． （4）根据度分秒的换算进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：270． （2）解：， 故答案为：． （3）解：∵， ∴， 故答案为：52，21，36． （4）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 40．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的运算， 对于（1），根据，，再计算度分秒的和差即可； 对于（2），根据，再计算度分秒的和差． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十一 角的大小比较 41．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度的大小比较，需要先将的度数形式统一转化为度分秒的形式，再比较三个角的大小． 【详解】解：∵， ∴， ，则， 度的数值都为，比较分的数值， ∵， ∴， 故选：A． 42．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的比较大小，将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：A． 43．若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 44．比较角的大小：和． 【答案】 【分析】此题考查了角度的比较大小、度分秒之间的转换．把转化为，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即 题型十二 尺规作角 45．如图，点在的边上． (1)画射线； (2)用量角器测量，_______； (3)尺规作图：作，使（不写过程，需保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了射线，角的度量，尺规作图—作一个角等于已知角等知识，解题的关键是： （1）根据射线的定义即可求解； （2）根据用量角器度量角的方法，即可解答； （3）根据作一个角等于已知角的方法，分别在上方和下方作角即可． 【详解】（1）解∶如图，射线即为所求， ； （2）解∶ 用量角器测量，， 故答案为∶ ； （3）解：如图，、即为所求， ． 46．如图，已知，请利用尺规在线段上找一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质与作法，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质与作法，等腰三角形的性质是解题的关键． 要在上找一点，使得，可借助线段垂直平分线的性质构造等量关系： 作的垂直平分线，与交于点，利用垂直平分线性质得到，进而由等腰三角形“等边对等角”得到，再根据三角形外角性质，是的外角，等于与之和，即． 【详解】 解： 分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点， 过这两个交点作直线，该直线即为的垂直平分线，与相交于点，点即为所求． 理由如下：因为点在的垂直平分线上， 所以，根据等边对等角，可得， 又因为是的外角，根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和， 所以． 47．如图，已知，是内的一条射线，利用尺规作图法在内作，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角．根据作一个角等于已知角的尺规作图方法即可作答． 【详解】解：如图所示，即为所求． ． 48．如图，已知． (1)用直尺和圆规作一个角，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)请说明为什么这样作图能得到？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用尺规作即可． （2）根据证明三角形全等即可解决问题． 【详解】（1）如图，′即为所求． （2）由作图可知，， ∴， ∴． 题型十三 三角板中角度计算 49．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点，若为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题的关键．设，则，得到，则，解得，再利用为的角平分线，求得，即可求出的度数． 【详解】设， ， ， 由题意可知，， ， ， 解得， ， 为的角平分线， ， ． 故选：． 50．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算， 先根据题意可知，根据，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 51．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 52．如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、余角、补角的定义，解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义． （1）根据题意得，结合，得，再把数值代入进行计算，求出答案即可； （2），故，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵ ∴， 则； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 依题意，设 根据题意得：， ∴， 则 即． 题型十四 几何图形中角度计算 53．如图，已知直线、相交于点O，是射线，，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角度计算、角的和差，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．由可得，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 54．已知直线与直线交于点O，过点O作． (1)如图1，为内的一条射线，若，求证：． (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键： （1）由垂直的定义得到，得到，进而推出，得到，即可证明； （2）平角的定义，求出，由垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 55．如图，为直线上一点，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，由角平分线的定义得，再根据平角的定义解答即可，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 56．如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)的补角是的余角是 (2)125° 【分析】本题考查了补角的意义，余角的意义，角平分线的意义，角的和差，解题关键是掌握上述知识，并能熟练求解． （1）根据补角的意义、余角的意义直接求解； （2）先利用两角之差求得，再利用角平分线的意义求得，然后利用两角之和求得的度数． 【详解】（1）解：∵和在直线上方， ∴， ∴的补角是， ∵， ∴， ∴的余角是． （2）因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 题型十五 角度四则运算 57．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键． （1）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （2）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与6相乘，然后依次进位． 【详解】（1）解： ； （2） ． 58．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的加减运算； （1）根据角度的加减运算法则，以及角度制的换算关系，逐一进行计算即可． （2）根据角度的加减运算法则，以及角度制的换算关系，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 59．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算法则，熟练掌握角的四则运算法则是解题关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 60．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角度的加、减、乘、除四则运算，熟练掌握角度的进制换算以及四则运算的规则是解题的关键． （1）将度、分、秒分别相加，再按照进制的原则进行进位处理． （2）将度、分、秒分别相减，若分或秒不够减，则按照进制的原则向高位借位． （3）将角度的度、分、秒分别与整数相乘，再按照进制的原则进行进位处理． （4）将角度的度除以整数，得到的商作为度的结果，余数换算为分后再继续除以整数，若还有余数则进一步换算为秒后再除以整数，或者将角度的度、分、秒分别除以整数，对余数部分进行适当的单位换算和进位处理． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 题型十六 实际问题中角度计算 61．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义和角的计算，熟练掌握余角的定义并能进行角的加减运算是解题关键． 根据余角的定义计算即可求解． 【详解】为水面，入射角为， ， 故选 C． 62．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 63．如图所示，一位同学把锐角的顶点放在量角器的中心，角的边、的读数分别为35、85，则的补角为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中角度计算问题，求一个角的补角等知识点，根据的两边在量角器上的读数求出其度数是解题的关键． 根据的两边在量角器上的读数求出其度数，然后再求其补角即可． 【详解】解：由题意可得： ， 则的补角为：， 故答案为：． 64．一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了利用光的反射定律和折射定律求角的度数，掌握光的反射和折射定律是解题的关键．过点作法线，由界面、入射角等于反射角即可求解． 【详解】解：过点作法线，得到界面， 由图可知是入射光线，是反射光线，是折射光线， 界面， ，得到， 入射角等于反射角， ， 与界面的夹角是， ， 故； 故答案为120°． 题型十七 角平分线的有关计算 65．如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 利用角的和差求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∵是的平分线， ， ∴， 故选：C． 66．如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了和差计算，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由角平分线的定义得到，，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵射线，分别平分， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 67．如图，是的平分线，是的平分线，已知，那么 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是角的平分线的定义，“从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线”．运用角平分线的定义解题即可． 【详解】解：因为平分， 平分， 所以 ， ， 所以 ， ． 故答案为：． 68．如图，，射线在平面内． (1)若与互补，则 ； (2)射线在直线的上方时，射线的反向延长线与射线形成的夹角是α（），平分． ①若，求的度数为 ； ②是否存在α的值，使得与互余，若存在，求出α；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题主要考查了余角、补角，角平分线，解题的关键是读懂题意，确定射线位置，分情况讨论解决问题． 对于（1），根据题意可知的位置有两种情况，分情况讨论计算 的值； 对于（2）①，读懂题意，确定 的位置，根据角平分线定义，角的和差，计算的度数； ②读懂题意，根据的两种位置，分情况计算α的值． 【详解】（1）解： 如图，∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或； 故答案为：或； （2）解：① ∵， ∴， ∴. ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②存在，理由如下： ∵与互余， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵与互余， ∴. ∵， ， ∴， ∴， ∴的值为或． 题型十八 余角、补角 69．一个角的补角是，这个角的余角是多少度？ 【答案】 【分析】此题主要考查的是补角和余角的定义，首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角． 【详解】解：∵一个角的补角是， ∴这个角是， ∴这个角的余角是． 70．如图： ． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查互余的定义，几何图形中角度的计算，熟练掌握各个角之间的互余和数量关系是解决问题的关键． （1）根据，结合图形即可求出结论； （2）根据，结合题意得出各个角度，再根据即可得出结论． 【详解】（1）解：， 由可得， ， ； （2）解：由（1）知， ，， ，解得， ∴，， ． 71．如图，已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)写出图中的余角和补角； (2)若，求的度数； (3)写出与的关系，并说明理由； (4)若，求的度数． 【答案】(1)的余角是；的补角是； (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）由直角的定义可得，则由平角的定义可得，，再由度数之和为90度的两个角互为余角，度数之和为180度的两个角互为补角可得答案； （2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案； （3）同（2）思路求解即可； （4）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是； ∵， ∴的补角是； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 72．已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键． （1）根据即可得出答案； （2）设，根据平分可得，，然后表示出，再进行求解即可； （3）设，则，根据题意得，，结合，即可得出，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：在内部，， ， ， ； （2）解：设， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：，，三者之间的数量关系是：，理由如下： 设，则， ， ， 又， ． 题型十九 平面图形的旋转 73．如图，绕A点顺时针旋转得，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质， 先根据旋转的性质得，再结合求出，进而得出答案. 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得， ∴. ∵， ∴， ∴. 74．如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 【详解】（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转角度为， 故答案为：； （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 75．如图所示，画一画． (1)画出线段绕点A顺时针旋转后的线段（如图①所示）． (2)画出线段绕点B逆时针旋转后的线段（如图②所示）． (3)画出三角形绕点B逆时针旋转后的三角形（如图③所示）． (4)画出三角形绕点A顺时针旋转后的三角形（如图④所示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据旋转的性质即可画出旋转后点图形； （2）根据旋转的性质即可画出旋转后点图形； （3）根据旋转的性质即可画出旋转后点图形； （4）根据旋转的性质即可画出旋转后点图形． 【详解】（1）如图①所示，线段即为所求． （2）如图②所示，线段即为所求． （3）如图③所示，三角形即为所求． （4）如图④所示，三角形即为所求． 76．如图，将绕点顺时针旋转）后得到．    (1)如图1，当的对应边恰好经过点C时，若，求的长； (2)将继续旋转至如图2的位置，若，求旋转角的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题考查了旋转的性质，利用旋转的性质找到相等的边和角是关键． （1）根据旋转的性质得到，即可求出答案； （2）根据题意得到．由旋转的性质得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：由旋转可知， ∴． （2）解：∵ ∴． 由旋转可知 ∴ ∴ 即旋转角为． 基础巩固通关测 1．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 先根据已知条件求出，再根据和已知条件，求出，从而求出即可． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知的直角条件，通过角的和差关系，找出、、之间的联系进而代入各项逐一判断即可．本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴，故A项错误； ，故B项错误； ，故C项错误； ，故D项正确； 故选：D． 3．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得，如果O是线段的中点，那么线段的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查线段中点的定义和线段的和差，熟练掌握线段中点定义是解题关键． 先求出的长度，再由线段中点的定义可得，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是线段的中点， ∴， ∴． 故选：B 4．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，教室的地面上，有个倾斜的畚箕（běnjī），箕面与地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， ∴． 故选：C． 5．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如果，那么点M 线段的中点．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】根据线段中点的定义解答即可． 本题主要考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫做这条线段的中点． 【详解】解：，则点M是线段的中点． 故答案为：是． 6．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）用度表示：34度33分36秒 °． 【答案】34.56 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，熟知角度制的进率为60是解题的关键． 根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【详解】解：33分，36秒 34度33分36秒， 故答案为． 7．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）直线上有、、三点，线段，，是的中点，则 ； 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． 分两种情况讨论求解，点在右侧或点在左侧，根据线段和差以及线段中点的意义即可求解． 【详解】解：点在右侧时，如图： ∵线段，， ∴， ∵是的中点， ∴； 点在左侧时，如图： ∵线段，， ∴， ∵是的中点， ∴； 综上：或， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，桌面上平放着一把长方形直尺和它上方的一块三角板，小明将三角板的直角顶点C紧靠直尺的边缘，若分别作出与的平分线与．则 ． 【答案】225 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据平角的定义结合角平分线的定义得到，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵与分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：225． 9．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知平分，平分，，． 求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角的和差关系可得答案； （2）先由角平分线的定义求出，的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴． 10．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在直线上顺次取三点，，，且，，线段的中点为，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是理解题意．根据，进一步求出即可． 【详解】解: 如图, ， ， 是的中点， ， ． 11．（24-25七年级上·河北保定·期末）根据下列语句，画出图形．如图，已知四点． ①画直线； ②连接，相交于点； ③画射线，交于点． 【答案】画图见解析 【分析】本题主要考查直线、射线、线段；根据题意，分别画出直线、线段、射线即可． 【详解】解：如图： 12．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，是的平分线，是的平分线，． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，，求出即可求解； （2）先求出，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解是的平分线，是的平分线 ， 即 ， （2）解：， ， ∵是的平分线 ． 能力提升进阶练 13．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键． 分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8． 故选：A． 14．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点．下列关于甲、乙的结论判断正确的是（   ） 甲：是线段的中点，且； 乙：在线段的延长线上找一点，使是线段的三等分点，则的长为9或12． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【分析】本题可根据线段的相关性质，分别对甲、乙两个结论进行分析判断．本题主要考查了线段的相关性质，熟练掌握线段的和差关系以及三等分点的定义是解题的关键． 【详解】解：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点 ，是线段的中点，故甲正确 点在线段的延长线上，是线段的三等分点 当时，，；当时，，，故乙错误 故选：C． 15．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意得到，，找出旋转角即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由题意可得，， ∴旋转角为． 故选：C． 16．（24-25七年级上·河北沧州·期末）研究下列解题过程： 已知是的平分线，且，若，求的度数． 解：因为，，所以甲； 因为乙； 又因为是的平分线， 所以丙； 所以丁． 针对以上解题过程，下列数值不正确的是（    ） A．甲是 B．乙是 C．丙是 D．丁是 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义和角度和差，先求出，然后根据角平分线的定义得，最后通过角度和差即可求解，掌握角平分线的定义和角度和差是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以， 因为， 又因为是的平分线， 所以， 所以， 故选：． 17．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 【答案】M 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 18．（24-25七年级上·北京海淀·阶段练习）点是直线上的一点，是线段的中点，若，，则的长是 cm． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差，根据线段中点的定义，分点在点的左侧、右侧两种情况进行解答即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，当点在点的右侧时， ∵是线段的中点，，， ∴； 如图，当点在点的左侧时， ∵是线段的中点，，， ∴； 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 19．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．请从，两题中任选一题作答，我选择 题． A． ． B．如果， ． 【答案】 A（或者选B） 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角，解题的关键是利用角平分线和平角得出角的关系； A：根据角平分线的定义得到，，再根据平角的定义，结合代入计算； B：根据角平分线的定义求出，继而得到，再次利用角平分线求出，最后根据平角的定义求出结果； 【详解】解：A：，分别平分和， ， ， ； B： 平分，， ， ， 平分， ， ； 故答案为：A（或者选B）；； 20．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，已知线段，延长线段至点C，使得．若点D是线段的中点，则线段 ．（用含a的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算，弄清线段间的关系是解题的关键． 由题意得出，从而得出，再由点D是线段的中点得出，最后由即可解答． 【详解】解：∵线段，， ∴， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）由条件可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图，点在直线上，，． (1)若，求的度数； (2)试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20° (2)，见解析 【分析】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键． （1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案； （2）设，则，再利用，然后整理可得结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 设，则， ， ， ， ． 23．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则_____； (2)如图2，直角三角板的边在的内部． ①若恰好平分，求和的度数； ②请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角，角平分线的定义，熟练掌握余角，角平分线的定义，分情况讨论是解题关键． （1）根据两个角互为余角，求出的度数； （2）①根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出； ②根据角的和差关系求出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵恰好平分 ∴， ∴； ②与之间的数量关系为：； ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 24．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，若经过t秒后，线段恰好平分，此时______°；______°；______秒； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由； (3)如图3，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间射线平分？请直接写出旋转时间t的值． 【答案】(1)78，12，4 (2)平分，理由见解析 (3)t的值为7或113 【分析】本题考查角的计算、角平分线的定义、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． （1）根据角平分线的定义计算即可； （2）求出的值即可判断； （3）设根据，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图2中，∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴s, 故答案为：78，12，4； （2）解：结论：平分． 理由：∵， ∴， ∴． ∴平分． （3）解：∵平分， ∴， ∵三角板绕点O以每秒的速度，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周， ∴设 ∵ ∴ 解得 ∴经过7秒平分． 当停止时，旋转时，平分， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为7或113． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$