第一次月考试卷（北师大版九上特殊平行四边形、 一元二次方程）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版）

2025-2026学年度北师大数学九年级上册第一次月考试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试范围： （特殊平行四边形、 一元二次方程） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（    ） A．6 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查了求菱形面积，熟知菱形面积计算公式是解题的关键． 根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴该菱形的面积为． 故选B． 2．（本题3分）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意，得到根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 3．（本题3分）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 4．（本题3分）如果关于x的方程有一根为，则p、q应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意将代入方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程有一根为， ，即． 故选：B． 5．（本题3分）在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了矩形和正方形的判定，解题的关键是先判定四边形为矩形，再根据正方形的判定条件添加合适条件． 先根据已知角的条件判定四边形是矩形，再分析各选项能否使矩形变为正方形即可． 【详解】解： ∴四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形， 故选：D． 6．（本题3分）如图，菱形的对角线交于点O，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题主要考查了菱形的性质．熟练掌握菱形对边平行，对角线互相垂直，是解题的关键． 根据菱形对边平行得到，根据，即可得到． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．（本题3分）若一元二次方程的两根为与，则的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得．由①式求出m的值，再代入②式即可得解． 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∵与是一元二次方程的两根， ∴， 由①得， ∴，， 代入②得，， ∴． 故选：C． 8．（本题3分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：）在之间．每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的面积成正比例，且比例系数为．如果薄板的边长为时，每张薄板的出厂价为元．工厂根据需要生产了一种合金薄板，出厂价为元，那么生产的这种薄板的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系． 根据题意，由边长为时出厂价为元，可求出基础价，再利用出厂价为10元时的总价，列方程求解即可． 【详解】解：当边长为时，面积， 浮动价为（元）， 基础价为（元）， 设生产的这种薄板的边长为，，则， 解得，， 边长在范围内，符合题意， 故选： ． 9．（本题3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长等于（   ） A．11 B．14 C．10 D．11或14 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、构成三角形的条件 【分析】本题考查了解一元二次方程，整理方程得，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， 则， 则或， 所以，， 因为，所以舍去， 所以三角形第三边的长为， 所以三角形的周长， 故选：B． 10．（本题3分）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（   ） 原方程 甲 乙 丙 丁 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， ∴按步骤顺序，乙同学负责的步骤是错的， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（本题3分）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程无实数根得到根的判别式，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．（本题3分）某中学组织九年级学生进行篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛两场，若计划安排12场比赛，设共有个班参赛，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用比赛的总场数九年级班级数（九年级班级数），即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 13．（本题3分）将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 【答案】7 【知识点】配方法的应用 【分析】此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．解题时，先移项，再在方程的两边都加上16，配方后可求解，的值，从而可得答案． 【详解】解：∵， 移项得： ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：7． 14．（本题3分）能使矩形为正方形的条件是 （填上一个符合题目要求的条件即可）． 【答案】一组邻边相等（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题主要考查了正方形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定方法进行添加条件即可． 【详解】解：有一组邻边相等的矩形是正方形， 所以添加的条件为：一组邻边相等，（答案不唯一）， 故答案为：一组邻边相等． 15．（本题3分）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 可使菱形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用菱形的性质证明、添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 16．（本题3分）若方程的两个根为，则 ． 【答案】2 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，先根据因式分解法求出一元二次方程的解，然后代入计算解答即可． 【详解】解： ， 解得，， ∴， 故答案为：2． 17．（本题3分）如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O． 则点C的坐标 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了菱形的性质，求关于原点对称的点的坐标，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，结合题意即可求出结果． 【详解】解：四边形为菱形， ， 点O为坐标原点， 点A和点C关于原点对称， 点A的坐标为， 点坐标为， 故答案为：． 18．（本题3分）如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有 ． 【答案】①②④⑤ 【知识点】矩形与折叠问题、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，矩形的判定和性质逐一判定即可． 【详解】在矩形中，， ∵B，P两点重合，折痕为， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，①是正确的； ∵点B，P的对应点分别为，，折痕为l， ∴，②是正确的； 由第一次折叠可得：， 由矩形得：， ∴， ∴，④是正确的； 由第一次折叠可得：， 由第二次折叠可得：， ∴，⑤是正确的； 不能判定③，正确的有：①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 三.解答题（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，换元法解一元二次方程． （1）对原方程进行整理，分解因式，求解即可； （2）对原方程进行整理，用公式法解方程即可； （3）设，则，对原方程进行转化，整理可得，解方程可得的值，代入，即可得原方程的解． 【详解】（1）解：∵ 去括号、移项得， 分解因式得， ∴或， ∴， （2）解： 整理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：设，则， 原方程化为， 整理得， 解得，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴， 20．（本题6分）如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，根据菱形的性质得出，，证明四边形是平行四边形，得出，然后根据等式性质即可得证． 【详解】证明∶∵四边形是菱形， ∴，， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即． 21．（本题6分）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【知识点】判断是否是一元一次方程、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 22．（本题8分）如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，结合，利用勾股定理得，继而得到，再次使用勾股定理即可求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（本题8分）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 【答案】(1)至少需要降价10元 (2)每件T恤的售价为24元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用． （1）设至少需要降价元，根据每件T恤的售价定为30元亏本销售时，每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元，根据题意得，，再根据，得出，所以每件T恤的售价降价6元，进而可得出答案． 【详解】（1）解：若想将剩余的100件T恤全部清仓，设至少需要降价元， 根据题意得， 解得， 答：若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价10元； （2）解：设每件T恤的售价为降价为元，则则售价为元，销量为，销售每件亏损元，积压每件亏损40元， 根据题意得，， 整理得：， 解得：或， 因为， 所以， 所以每件T恤的售价降价6元，则售价为24元， 答：每件T恤的售价为24元． 24．（本题10分）图、图是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画一个以线段为对角线、周长为的四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，并求出的长； (2)在图中画一个以线段为对角线、面积为的四边形，且点和点均在小正方形的顶点上． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形 【分析】（1）如图，取格点、，连接、、、、即可； （2）如图，取格点、，连接、、、即可． 【详解】（1）解：如图，取格点、，连接、、、、， ∵方格纸中每个小正方形的边长均为， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴四边形的周长为，， 则四边形即为所作； （2）如图，取格点、，连接、、、， ∵方格纸中每个小正方形的边长均为， ∴，， ∴四边形为平行四边形，且与的距离为， ∴四边形的面积为：． 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了平行四边形的判定，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 25．（本题10分）在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 26．（本题12分）【综合与实践】 如图，为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动． 【观察发现】 活动一：点O为 上一点，将绕点O旋转，得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接，． （1）如图1，四边形的形状为 ； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，若，，当四边形为矩形时，求的长； 【拓展提高】 活动二：如图3，取的中点P，连接，将绕点P顺时针旋转角（），得到，点A，C的对应点分别为点M，N，连接，． （3）如图3，当，时，的角平分线，若点P到的距离为1，求的长． 【答案】（1）平行四边形；（2） ；（3）2 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】[观察发现]：由旋转的性质得， ，从而，可证四边形是平行四边形； [深入探究]：连接，设，则，根据列方程求解即可； [拓展提高]：延长 ，分别与相交于点，，证明四边形为矩形得，证明得，从而，再证明可得． 【详解】解：[观察发现]： 由旋转的性质得， ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． [深入探究]： 由旋转的性质得， ， 如图，连接，则过点，设，则． ∵四边形为矩形． ∴ ． ∵ ， ∴ ，即， 解得， 即； [拓展提高]： 如图，延长 ，分别与相交于点，， 设与的交点为． ∵， ∴四边形为平行四边形 ∵ ∴四边形为矩形 ∴ ∵为的平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，多边形内角和，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年度北师大数学九年级上册第一次月考试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试范围： （特殊平行四边形、 一元二次方程） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（    ） A．6 B．24 C．36 D．48 2．（本题3分）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 4．（本题3分）如果关于x的方程有一根为，则p、q应满足（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，菱形的对角线交于点O，若，则为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）若一元二次方程的两根为与，则的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 8．（本题3分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：）在之间．每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的面积成正比例，且比例系数为．如果薄板的边长为时，每张薄板的出厂价为元．工厂根据需要生产了一种合金薄板，出厂价为元，那么生产的这种薄板的边长为（  ） A． B． C． D． 9．（本题3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长等于（   ） A．11 B．14 C．10 D．11或14 10．（本题3分）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（   ） 原方程 甲 乙 丙 丁 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（本题3分）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 12．（本题3分）某中学组织九年级学生进行篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛两场，若计划安排12场比赛，设共有个班参赛，则可列方程为 ． 13．（本题3分）将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ． 14．（本题3分）能使矩形为正方形的条件是 （填上一个符合题目要求的条件即可）． 15．（本题3分）已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 可使菱形成为正方形． 16．（本题3分）若方程的两个根为，则 ． 17．（本题3分）如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O． 则点C的坐标 ． 18．（本题3分）如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有 ． 三.解答题（本大题共8题，满分66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 20．（本题6分）如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且．求证：． 21．（本题6分）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 22．（本题8分）如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 23．（本题8分）某商场准备对去年购进的一批进价为每件40元的T恤进行过季处理，若每件T恤的售价定为30元亏本销售时，可售出50件，若每件T恤的售价每降低1元，销售量相应增加5件，现在仓库还有剩余100件T恤需要处理． (1)若想将剩余的100件T恤全部清仓，至少需要降价多少元？ (2)商场将100件T恤进行降价处理，处理不了的积压在仓库，一共亏损了2080元，求每件T恤的售价为多少元？ 24．（本题10分）图、图是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图中画一个以线段为对角线、周长为的四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，并求出的长； (2)在图中画一个以线段为对角线、面积为的四边形，且点和点均在小正方形的顶点上． 25．（本题10分）在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 26．（本题12分）【综合与实践】 如图，为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动． 【观察发现】 活动一：点O为 上一点，将绕点O旋转，得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接，． （1）如图1，四边形的形状为 ； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，若，，当四边形为矩形时，求的长； 【拓展提高】 活动二：如图3，取的中点P，连接，将绕点P顺时针旋转角（），得到，点A，C的对应点分别为点M，N，连接，． （3）如图3，当，时，的角平分线，若点P到的距离为1，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$