周测评(二十) 双曲线与抛物线-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（BX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（二十） 数学·双曲线与抛物线 (考试时问40分钟，惑分100分》 一，选择题（本题共6小置，每小”6分，共36分.在每小"给出的四个进项中，只有一项是 符合题目要求的 题号 2 4 5 答案 L.已知抛物线三一45y的燕点与双值线后+子-1a≠0的一个集点重合，测该双由 线的南近线方程为 Ay=士2 且y=士4柱 Cyi ny=士 么.已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，F为其焦点，P为C上一点，Q是C的准线与￥ 轴的交点，若PF1一2，PQ一22，用抛物线C的方撵为 Ay2-2 且y= C.y-8r Dy'-16 F,分别为双线C后著一16>给左，右点，P是双角线C有支上的-点。 PF,与双曲线C的左支交于点Q.已知△PQF,是等边三角形，刚双曲线C的实轴长为 Al 民② C2 D.22 4.已知点M(4,)在抛物线Cy一2z(p>0)上，F为C的点，直线MF与C的线 相交于点N,期NF一 A贸 a号 n 5.在平面直角坐标系z0y中，点A(-1,0),B(2,3》,向量O元-mi十nC丽，且m一 48若点C的轨迷与双确设写-=1的新近线相交于两点P和Q点P在王箱上 方)，双曲线右焦点为P,则= Sg来 A.3+22 &3-2w8 C19+62 17 n9-6度 17 学科素养周测评（二十）数学第1页（共4页） 衡水真 &已知双庙线子义 。一方-1a>05>0)的左，右焦友分剃为F,F,且5，与微物线y 班圾 2x(P>0》的焦点重合，双由线的一条蒲近线与抛物线的准线交于A点，若∠F,F,A 姓名 吾则双鱼线的离心率为 A.1 3 得分 C. 二、法择置（本愿共2小题，每小题6分，共12分.在每小题始出的选项中，有多项符合题目 要求，全部燃对的得6分，部分进对的得肥分分，有选错的得0分) 题号 8 容案 ?,某数学兴整小组的同学经研究发观，反比例雨数y=一的图象是和曲线，设式焦点为M, N,若P为其图象上任意一点，则 《3 A.y一一x是它的一条对将轴 且它的南心率为2 C.点《2,2》是它的一个焦点 D1IPM-|PN11-2,2 《已知能物线P:y一的焦点为F,米线为1A是r上除坐标职点0以外的动点，过 点A且与广相切的直线m与y轴交干点B,与x轴交于点C,AD⊥，垂是为D,则下 列说法正确的是 《 AFAI十1AD引的最小值为2 B若点B落在上，则A的机坐标为2 C四边形APBD为菱形 DOB引，BC,1BD成等比数列 三，填空影（本”共2小赠，每小赠6分，共12分】 且.已知0为坐标源点，F(一1,0)，F(1,0),Q0,3),向量m-1,一2)，动点P裤足 PQm,写出一个a,使得有且其有一个点P同时满是|川PF一|PF:川一2a(0<a< 10,期a- 10.已知鱼线C,直线：x-一1，点下(1.0)，P(一2,0)，以曲线C上任意一点M为偶心. MF为半径的阳与直线！相切.过点Q《2.0)的直线与由规C交于A,B两点，则 t∠APB的最大值为 蹈密在 学科素养周测浮二十)数学第2页（共4页1 联 四，解答面{本题共2小题，共和分.解答应写出文字境明、证明过理或演算声强】 2(2分)如离，已知双角线C号-若-1a>0,6>0.点日是C的左顶点，点F县C 11,(20分)设抛物线C:y-2r(P>0》的焦点为F,点A(P,0》,A到沿线的距离为3 (1)求C的方程， 的右焦点，点A是C上的一个动点《在第一象限内》，l是C的右座线，直线AB与的 (2)设直线！与抛物战C交于D,E牌点，若抛物线C上存在点P,桂得四边形DPEF 交点为P过点A作直线y一色的平行线，山1与1的交点为Q山与：轴的交点 为平行四边形，正明：直线？过定点，并求出核定点坐标. 为5 (1正明：当点A在C上运动时，∠PFQ的大小为定值 (2)释讨∠PFQ与∠ASF的大小关系. HX 学科素养周测浮（二十】数学第3页（共4瓦） 衡水真蹈密在 学科素养周测博二十》数学第4页（共4页引·数学· 参考答案及解析 所以入十红=1十x? 所以L的方程为y=k(x十1)，即1过定点 (一1,0)，所以点(0，一√3)到1的最大距离为点 1十 1 (0,-3)与点(-1,0)的距离d=√12+(W3) =2,即点(0，一√)到1的距离的最大值为2. 由入+μ=3，得”x1x2+2mk(x1+xg)+ 3m=0,即3m-3+-12m2 3k2+1 T3k++3m2=0, 所以3m2k2-3k2-12m2k2+9m2k2+3m2=0, 因此k2=m2,又k>0,m>0,所以k=m. 2024一2025学年度学科素养周测评（二十）数学·双曲线与抛物线 一、选择题 在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F,PF2 1.A【解析】因为抛物线x2=一-45y的焦点为 1pF,+lPF,-EE_36a2+16a2-4c2_ 2PFPF 48a2 (0,一√5)，所以双曲线的一个焦点也是(0， -5), 2,整理得c2=7a,所以b2=c2-a2=6a2=6 所以一a十4=5，解得a=一1，即双曲线的方程为 解得a=1,所以实轴长为2. ￥-x21,其渐近线方程为y=士2c 2.B【解析】设抛物线C的方程为y2=2px(p> O).如图所示，作PH垂直于准线交准线于点H, 4.B【解析】由M(4,4),有16=2p×4,即p-2, 即抛物线C:y2=4x,则F(1,0),准线方程为 4 x=一1，故1e:y一4-x一1D,整理得1ey 则由抛物线的定义可知，IPH|=|PF|=2.在 3 Rt△PHQ中，|QH|=√TPQT-TPH 3-3 -3,即N(-1, 2,则P(2-号2)在抛物线C上，所以2p(2- ）则NF1=-1-D+T-9 )=4,解得p=2,故抛物线C的方程为 5.D【解析】由于向量OC=mQA+OB,点A(-1, y2=4x 0),B(2,3),所以C(-m+2m,3n). 3.C【解析】由双曲线的对称性，设，点P在第一象 因为m-n一4=0，所以点C(n一4,3n),则点C 限，如图.因为△PQF2是等边三角形， 的桃连为y=3红十.双南线写一y=1的新近 所以|PQ|=PF2|=|QF2I,所以|PF,| PF2=IQF=2a,IQF21-QFI=2a, 线方程为y=土 2z,联立2】 2x, 得 lQF2I=4a. y=3(x+4), ·27▣ BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 12+36√2 /y A运动到原点O时取等号，此时|FD=2,由题 17 联立 2，得y= 知A是Γ上除坐标原点O以外的动点，故选项A y=3(x+4), 错误； 对于选项B,易知B(0,一1)，设直线m的方程为 362-12 S△PoW F 17 因此 SAQOP y=kx-1, Fyol 由=入，消v得到二十40，则A 362-12_19-6W2 17 y=kx-1, 362+12 16k2-16=0,解得是=士1， 当k=1时，代入x2一4kx十4=0，得到x2 4x+4=0,解得x=2, 当=一1时，代入x2一4kx十4=0，得到x2十 4x十4=0，解得x=-2, 所以选项B错误； 6.D【解析】由题意知，抛物线的准线方程为x一 对于选项C,设A(xa,yo)(yo>0),设直线m的 ,又因为∠F,FA=吾，则点A(-号， - 方程为y一ya=k1(x一x), y p又因为点A在双曲线的渐近线y 由 消y得到子x2-1x十 y-yo=k:(x-Io) 上，所以名-2，所以双南我的高心率。 k1x0一yo=0,由△=k好-k1x0十yn=0, a 又=，所以4=好-k十}x号=0，解 得k:=2工0 1 所以直线m的方程为y一y。=2工o(x一xo),令 =0,得到y=06=-2。=-0 所以|FB|=1十y0,又由抛物线的定义知， |AF|=|AD|=y+1, 二、选择题 所以|AD|=|FB|.又AD∥FB,所以四边形 7.ABD【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线， AFBD为平行四边形，又AF=|AD|, 故离心率为2， 所以四边形AFBD为菱形，故选项C正确； 容易知道y=x是实轴，y=一x是虚轴，坐标原 对于选项D,由选项C知直线m的方程为y一yo 点是对称中心， ,-o又%=， 1 联立实轴方程y=江与反比例画数表达式y=】 得实轴顶点(1,1)，（一1，一1）， 令y=0得到x=,所以c份0小 所以a=√2，c=2,其中一个焦点坐标应为 B(0,),IBDI=ADI=1+yo, (W2,√2)，而不是(2,2)， 得到1OB1=,BCP=(侵)+= 由双曲线定义可知|PM-|PN|=2a-22, 8.CD【解析】对于选项A,因为|FA|+|AD|≥ 寻+6=%+， |FD|,当且仅当F,A,D三点共线时取等号，即 得到1OB|·IBD1=yo十y=|BCI,所以 BX ·28▣ ·数学· 参考答案及解析 IOB,BC,|BD成等比数列，故选项D正确. y1=22时等号成立，所以0<1ana≤7（利用 基本不等式求出tana的范围)， 则tan∠APB=tan2a= 1一tan。:不妨设 2tan a ma,记f)-(号》则f0） 三、填空题 95【解折】因为1IPF,-PF,l=2a(0<a< 1),且F1F2-2>2a,所以点P在以F1,F2为焦 点的双曲线上，c=1,b2=1一a2.设P(x,y),因 单调递减且恒为正数，故∫(1)=1 在tE -t t Q(0,3),则PQ=(-x,3-y).m=(1,-2),由 于PQ/m,y=-2x+3. 2x号 若直线y=一2x十3与双曲线的一条渐近线平 上单调递增，则有f(t)≤ 2 行，此时直线与双曲线只有一个交点。 -（ 所以-1司-一2，解得a=5 22,故tan∠APB的最大值为22. 10.2√2【解析】如图，依题意，曲线C上任意一点 M到定点F(1,0)的距离等于点M到定直线l: x=一1的距离，故点M的轨迹是抛物线，其轨 迹方程为C:y2=4x.设直线AB的方程为x= my+2,由 y=4红，消去x得y2-4my x=my十2， 8=0,不妨设A(x1y1)(y1>0),B(x2y2),则 必有△>0且y1十y2=4m,y1y2=-8,分别记 直线PA,PB的斜率为kPA,k阳，则kPM十k阳= 四、解答题 +2+2气222 1山，1)解：抛物线的准线为工=一号，p十号=3，所 (x1+2)(x2十2) 以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x. 厚+2++2 (2)证明：设P(xoyo),D(x1,y1),E(x2y), (x1+2)(x2十2) F(1,0),直线1为x=my十b,联立 x=y十b, _学+w+a y2=4x, (x1+2)(x2+2) 则y2-4my-46=0,△=16m2+16b>0,所以 +2+2 y1十y2=4m→x1十x2=4m2+2b. =e+2Cx+2)=0,所以∠APQ= 因为四边形DPEF是平行四边形，所以FP ∠BPQ(两直线的斜率之和为0，则两直线关于 FD+FE,则(xo-1,y0)=(x1-1,y)+(x2 1,y2), 工轴对称).设∠APQ=a,则tana=1 x1+2 所以x0=x1+x2-1=4m2+2b-1,yo=y1十 =1。≤1 2 ++2x月 ，当且仅当 y2=4m,代入y=4x0,得(4m)2=4(4m2+ 2b一1)，解得6=2，即直线过定点（兮，0小. ·29▣ BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 因为AD∥BE,可得∠QAD=∠ASF=a,所以 3 2 QAD-船- 所以|AQI=eADI=|AF|,所以△AQF为等 5-4-3-2-102345 腰三角形，所以∠PFQ-∠AFQ一∠AFP= -1E -2 ∠AQF-∠BFP=∠QSF+∠QFS-∠BFP= 引 a-∠PFQ, 12.(1)证明：过点A作AD⊥1于点D,设l与x轴 所以2∠PFQ=a,即∠PFQ=号，所以当点A 交于点E,由双曲线C:号-￥1a>0,6>0). 在C上运动时，∠PFQ的大小为定值. 可得B(-a,0E（信o小，Fc,0.则 BF la+cl L=g=e,且AD AF BF =e,所以BE AF ADTe 所以-，因为ADBE,所以 (2)解：由1)知∠ASF=a,所以∠PFQ-受 一调肥，由三角形的肉角平分线的性质，可得 名∠ASF,所以∠PPQ与∠ASF的大小关系 FP为∠AFB的角平分线，设∠ASF=a,因为 ks-名，所以ana一名，则osa= 为∠PFQ=号∠ASF. a a a+b e 2024一2025学年度学科素养周测评（二十一） 数学·圆锥曲线综合 (含直线与圆的方程) 一、选择题 由已知可得 1.A【解析】因为(2x十yi)(2x-4yi)=4x2十 (IPF:=2a-PF,-IPF:I= PF,|=a-r 4y2-6.xyi,所以4x2+4y2=4,即x2+y2=1. 2.B【解析】由题意抛物线C的焦点坐标为(0， PF=受 a.由PF1+|PF2|=2a,则 1),设M(x,y),由|MF|+1=d得， IPF:l-2 √2+(y-1)2+1=|y+2|,因为点M在直线 在△PFF2中，由|PF1I2+|PF2I2=|FF22→ 1:y=一2的上方，所以y≥-2， 则Wx2+(y一1)2=y十1，即x2=4y,所以抛物 婴+=4-号-8=四 4 线C的标准方程为x2=4y. 4.B【解析】如图，过D作DE⊥AC,DF⊥AB,设 3.C【解析】将|PF+PF=PF-PF两 边平方，可得PF·PF2=0,则PF1⊥PF. A)B),c),则D(- BX ·30·