周测评(十四) 数列的通项公式和求和-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（BX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十四） 数学·数列的通项公式和求和 (考拔时间40分钟，总分100分) 一、选择题本题共6小显，每小题6分，共36分，在每小驱给出的四个进原中，只有一项是 符合恩目要求的) 题号 2 4 5 6 答案 1.已知数列{a,》的首项)=3.且晴足：+1= 2一，十2x一1(n∈N,明a,中最小的 2n=1 一项是 A.at Bo C.a Dar 么已知数列，满是。=胥其中a=则， A2型 B2 C.2 D.2 玉如图，有一台擀面机共有10对轧想，所有轧黑的半径，都是 am:而管从一端恰人， 经过各对轧银逐步减薄后输出，每对轧程都将面梦的厚度压缩为愉入该对轧根时的，8 信（整个过程中而带宽度不变，且不考虑耗），若第：对轧辊有峡后，每滚动一周在面 带上压出一个鲅点，则在擀雀机量终输出的面带上，相容箕点的臣L:一 C) 00Q 0●● A.800X02 mm 且1600×0,80mm C1600×0,mm D.1603×a.g"mm 4.已知数列a,》的前w项和为s,若a,十4.=4w+341-1,用Sn= A.110 B115 C.12 B125 2 乐已知函数x)1十一∈，若等比敢到a.小满起a:m一上，渊fa1)+f@:)许 f4)+…十/41m)= ) A.2020 &20 C.2 2 n 学科素养周测评（十因）数学第1页（共4页） 衡水真 6已知数列a,}各项均为正数4r=2且：十a=a知2》，数列1市.)情足 班圾 型6，=1，若S.=空6，刚51m= 2 姓名 A.4016-2 &√4046-2 C√40顾-g D.W4056-2 得分 二，菇择置（本碳共2小题，每小题6分，共12分.在每小销始出的选项中，有多项符合题目 要求，全部邀对的得6分，部分遗对的得部分分，有迹情的得分) 题号 7 答案 7.已知数列{a.的前m项和为S。,首项4，一2，且聘足4+a+a.一4·3，则 A.数列{@.}是等比数列 AS,=352 CS.--3 2 0S+1-S,=31+(-1)+1 B.意大利著名数学家要波那哭在研究兔子繁箱间题时，发观有这样一列数：1,1,2,3， 5,,其中从第三项忌，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组规 的数判{@.称为“业波事哭数列”.记S。为数列a.》的前窄项和，喇下列结论正确的是 A8=2I 且S,=32 C.a-as 三，填空置（本墨共2小愿，每小题6分，共2分） 9,已知公比4大于1的等比数列a.3裤足41+c1一5，u1一之段6，一2a喝e。一7，则当 n5时，数列b}的前项和S.一 10,已知数列0，是公差不为0的等差数列4=5.且1a:成等比数列，设[x]表示 不超过x的最大整数，如[]-3，[一1.5一一2，记6.-[ga],S,为数列{6，]的前 样项和，则S0- 蹈密在 学科素养周测浮十回)数学第2页（共4页1 联 四，解答题（本题共2小题，共0分.解答应写出文字说阴、证明过理或演算多骤） h.0分尼知数列a,横是2+…+这=1产a∈N 1)求数列{4.的通明公式： (2)设6，=[oea,]([x]表示不超过才的最大整数)，求数列(6,1的前100项和， BX 学科素养周测评（十因）数学第3页（共4夏） 120分泥R上的可号函数：消学高数为广)，满足，光品∈N） 的数列{x,1称为函数/(x)的”牛铜数列”，已知数列{x,1为函数f（x)=x2一x的牛铜 数则，且数列a.情是a=2a,=h马之礼 (I求a±i 《2》证明数列Ha。}是等比数列并求4.： 《3》设数列和.的前w项和为S.,若不等式（一1）··S.一14名S对任意的n∈N“恒 战立，求í的最值散用. 衡水真蹈密在 学科素养周测浮十回)数学第4页（共4页！·数学· 参考答案及解析 h=15×5√5+10≈139.9cm<150cm,此时最 。.=2+21=号×华，为等比数列 8 fn=23, 1 下层有134根；当 时，h=22X5√3+ m=77 17 求和，首项为2，公比4 10=2053cm>150cm,起过号m,合去。 所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根 所以.= ×1-4) 2 1 1-4- 6(4-1D. 数为134根. 四、解答题 12①证明：因为S=号0+，-1a∈N, 11.(1)证明：因为d=2,且5，=5a1+5X4×2= 所以2Sn=a?十a.-2,2Sn+1=a2+1+am+1-2, 2 两式相减，得2aw+1=a2+1一a十amt一am,即 15,所以a1=-1,所以a.=2n-3. (a+1+a)(a.+1-a.-1)=0. 因为T。为数列b}的前n项的积，T=(8b)”, 当n≥5时，an>0,所以am+1一an=1, 当n=1时，b=8b1,而b1>0,解得b1=8, 所以当n≥5时，{a.》成等差数列. 显然T+1=(8b+1)+,由bn>0,得T>0,则 (2)解：由a1-2af+4,-1,解得a1-2或 1=T#-（86 (8bn) -,即b:=8b, a1=一1，又a1,a2,as,a4,a5成等比数列， 于是6=86：，因此_86出 所以由(1)得am+1十a.=0(n≤5)，进而q= b8b+1 一1，而as>0,所以a1>0,从而a1=2=a5, 即bb:+2=b群1，所以bb+2=b层+， 12×(-1)-1,1≤n≤4， 所以an= (2)解：由bb+2=b+1及b.>0,得数列{bn}是 n-3,n≥5， b2_32=4, 等比数列，公比g一618 [1-(-1)",1≤n≤4，n∈N", T以S.-1n51 所以bn-b1g-1-8X4-1-22a+1, 2n+2,n≥5，n∈N. 2024一2025学年度学科素养周测评（十四） 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 2X…×"1×2, 2n-1 an+l n 1.B【解析】由am+1 2n-3a,+2m-1→ n-1 21+2+…+7 2-1,所以数列{是以3=-3为 即5=8 ×2×2×…×2= 2 2 首项，1为公差的等差数列，即2二3=-3十 29中-3=20，又1=1，所以a=2 3.B【解析】轧辊的周长为2πr=1600mm, (n-1)·1→am=(2n-3)(n-4),所以a2= 由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊 一2，ag=-3,显然当n≥4，n∈N时，am≥0，因 周长 此{an}中最小的一项是a3: 因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终 2C【得桐由题志，得后-号×2，品-号×公，一 出口处两疵点间面带的体积相等， 又因为宽度不变，有1600=0.8Lg,所以L。= 2000, 由累乘法，得2×X…Xa1=号 而L10=1600,所以数列(L,}是以0.8为公比的 a1 a2 x2×号x 等比数列， 7 BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 所以Lo=L,0.80,即L4=0.g0==160X 所以S24=-(W2-√4+√4-6+…十√4048 √4050)=√4050-√2. 0.8-0mm. 二、选择题 4.B【解析】法一：因为a+1十a.=4n十3①， 7.BCD【解析】对于A,取n=1,得a2十a1=4X 所以当n≥2时，am十am-1=4(n一1)十3② 31=12,又a1=2,所以a2=10, ①-②得，当n≥2时，a+1一am-1=4, 取n=2,得a3十a2=4×3=36,所以a3=36 所以{am}中奇数项成等差数列，偶数项成等差数 10=26,显然a号≠a1·a3,即数列{a.}一定不是 列，公差均为4. 等比数列，故A错误；对于B,取n=2,得ag十 因为a1=1, a2=4×32=36,取n=4,得a5十a4=4×3=324, 所以当n为奇数时，a.=a1十”，X4=2m-1: 2 所以S5=a1十a2十as十a4十a5=362,故B正确； 当n为偶数时，an=4n十3-a+1=2n十2. 对于C,D,由a1十a.=4·3,得h-91 所以So=(a1十a3十as十a,十ag)十(a2十a4十 am-3" -an十4·3”-3+1-an+3 as十ag十ao) 5×1+172+5×(6+22) 2 2 aw一3" a。-3m =-1,又a1-3= 115. 一1，所以{a。-3}是首项为一1，公比为一1的等 法二：因为an十a+1=4n十3， 比数列，所以am一3”=(-1)·（一1）-1= 所以aw+2十a.+3=4(n十2)十3，a1十a2=7, (-1)",所以a=3"十（一1）”， 所以数列{a-1十a2n}是以7为首项，8为公差的 S.-3x132+-1DX1-(-1 等差数列， 1-3 1-(-1) 所以S1o=a1十a2+ag十a4+…十ag十ao=5X 3"+1-(-1)+1-4 2 7+5×8-15. S-31-(-1)产1-4_3a4-3 2 2 5.A【解析】等比数列{an}满足a1a2咖=1，则 Sn+1-Sn=a+1=3"+1十(-1)+1，故C,D均 a1a2020-a2a2o13=…=1. 正确 函数f)-1主(zER,f(ai)+fa:m)与 8.ACD【解析】A选项显然正确；B选项，S,=33, 所以B选项不正确；因为a4一a2=a3,a6一a4= 2 22(2+a+aim）=2, 1+a 1+aiomo 2+ai+ai020 as,an一a2n-2=a2n1,累加得C选项正确；因 所以2[f(a1)+f(az)+f(a3)+…+f(a2吻)] 为n≥2时，a}=ag·a1,a经=a2·(a3-at), 2020X[f(a1)+f(a2a)]-2020×2, ai=ag·(aa-ag),…,a=am·(aw+1-aa-1) 所以f(a1)十f(a2)十f(aa)+…十f(a2m)= 累加得D选项正确. 2020. 三、填空题 6.C【解析】由a-1十a+1=2a(n≥2)可得数列 9.(n一4)2+16【解析】由题意可得， {a}是等差数列，又a21=22,则a1=2,a2 fa1十as=a1十a1g2=5 解得/1， {a1=4, 1 2,则a=2,a=4,即a2-a=2=d,所以a= a2=a1q=2, g=2,9=21 2十2(n-1)=2m,所以an=√/2m, 注意到q>1,则 a1=1, 可得an=21, 经检验满足a1=2,则bn- g=2, an十awti 则bn=|21og2an-7|=|2log22m-1-7|= 2 2(/2+2-√②) √2+2+√（√+2+√2m)(W2+2-√2） 12n-9= 9-2mm<4当n≥5时，S.= 2n-9,n≥5， =√2n+2-√2m, b1+…+b5+bs+…+bn=7+5+3+1+1+ BX 8 ·数学· 参考答案及解析 3++2m-9=16+1+2m-9)(n-4) 2 3×2+4×2+5×2+6×37=101X100+ 2 (n-4)2+16, 480=5530. 即当n≥5时，S.=(n-4)2+16. 12.解：(1)因为f(x)=x2-x,则f'(x)=2x-1, 10.573【解析】由数列{am}是等差数列，设其公差 f(z) 为d(d≠0)，因为a2,a5,a14成等比数列， 从而有x+1=xn一 品-导 所以a2a14=a号，即(5-d)(5+11d)= x (5+2d)2,解得d=2或d=0(舍去)， 已知a1=2a,=h则2= 所以a.=5+2(n-3)=2n-1,则a10=199. h哥则=心，解得=云则有 当2"≤x<2"+1时，[1ogx]=n, e 即[1og2(2"+1)]=[1og2(2"+3)]=…= x2 2z1e与，所以a=h名 x:-1= [log2(2+1-1)]=n,共有2-1个n, 因为27<199<2，所以S1∞=b1十b2十…十 2nx-4 b1∞=[1og21]+[1og23]+…+[1og2199] =0+2°X1+2×2++2×6+19,127×7 x 2 2)由工12z-7得1 2x.-1 x11x =1×2°+2×21+3×22+…+6×2+36×7， 2x-1-1 令T。=1×2°+2×2+3X22+…+6×2,则 x 2T.=1×2+2×22+3×23+…+6×25, 两式相减得-T.=2+2+22十…+2一6× 2,则T.=5×26+1,所以S0=5×2+1+ 36×7=573. 2h气=2a,（红，>10，故。=2（非零常 四、解答题 数)，且a1=2≠0，所以数列{an}是以2为首项， 1解：因为+品+…+2-1-①， 2为公比的等比数列，所以a.=2×21=2. a1 a2 an (3)由等比数列的前n项和公式得S。 当2时+品++81 ax-1 2②， 21-22=21-2,因为不等式(-1)·tS. ①-@.2，所以a,=n·2 1-2 14≤S对任意的n∈N'恒成立，又Sn>0且 当n=1时，由①得a1=2,适合上式， S.单调透增，所以（一1）·：≤S.+发对任意 所以an=n·2",n∈N” (2)由(1)得bm-[log2a.]-[1og(n·2)]= 的n∈N恒成立，令g(x)=工十14， x∈(0， [n+logan]=n+[logzn], +∞)， 当n=1时，[log2n]=0,bn=n; 当n=2,3时，[1og2n]=1,bn=n十1： 则g)=1-4-4,当x0m 当n-4,5,6,7时，[1ogan]-2,bn-n十2： 时，g'(x)<0,g(x)是减函数， 当n=8,9,…,15时，[log2n]=3,b.=n+3: 当x∈(/14，十o∞)时，g'(x)>0,g(x)是增函 当n=16,17,…,31时，[1og2n]=4,bn=n+4: 数，又2=S1<√14<S2=6,且g(2)=9,g(6)= 当n=32,33,…,63时，[1og2n]=5,b。=n+5; 25 当n=64,65,…,100时，[logn]=6,bn=n十6. g6<g2.则g)=g(6)-5当n 所以{b.}的前100项和Sm=b:十b2十…十 b10=(1+2+…+100)+0×1+1×2+2×22+ 为偶数时，原式化筒为S,+发所以当n=2 9 BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 时<空：当m为奇数时，原式化简为-< 5 综上可知，-9≤≤3 S.+发兰，所以当=1时，-4<，所以≥-9 2024一2025学年度学科素养周测评（十五） 数学·立体几何初步—空间几何体 一、选择题 1.A【解析】设母线长为，由题意，可得πl=2π× O到平面BCD,A的距离d-C,E- 2,解得1=4，即圆锥的母线长为4. D 2.D【解析】对于A,如图所示满足有两个面互相 平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱 柱，故A错误； B 5.A【解析】设△ABC的外接圆圆心为O1,半径 为r,连接O,O,则O1O⊥平面ABC. B 对于B,正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有 C 一对面为底面，故B错误： 对于C,长方体、正方体的底面都是平行四边形， 故C错误： 对于D,根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧 A --B 棱都相等，且侧面都是平行四边形，故D正确. 0 3.C【解析】由题意可知，球的半径为R=24cm, 在△ABC中，由余弦定理得，BC2=AB2十 上球冠的高h1=6cm,下球冠的高h2=4cm, 设下底面图的半径为rcm,则r2=242-202=176, 23 AC-2AB·ACcos∠BAC=2-2cos 所以该瓷器的外表面积为4π×242一2πX24× 6-2x×24×4+π×176=2000π≈6280cm2. 所以BC=√5，所以2r= sin/BAC 3 =2,所 4.B【解析】如图，因为CD∩CD1=E,且正方体 2 ABCD-AB:C1D1的棱长为1， 以r=1, 所以C1D⊥CD1,BC⊥平面CC1D1D,又C1DC 平面CC1DD,所以BC⊥C1D 所以OA=】 +(AA了 =√1十3=2，所以 因为CD:∩BC=C,CD1,BCC平面BCD1A1, 所以CD⊥平面BCD1A1, 球0的体积为学x·OA一 3 CE的长即为点C1到平面BCD1A1的距离， 6.D【解析】设EF=a,则正四面体的高为 CE-ICD 2 -- 因为点0在线段BC1上且B0=0C1,所以点 国为六面体的体款为9所以2X行×停。X BX ·10▣