周测评(十三) 数列的概念、等差数列与等比数列-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（BX版）

·数学· 参考答案及解析 所以当且仅当y-}时，正，心取得最小值一 1 设威，成)=0，则9∈6，，则D成，C- (2)设正三角形ABC的边长为a,对于直线l上 2红0，D1=1, 任意一点A,不同的情况如图所示： B在D苑上的投影向量为DA,AC在D正上 的投影向量为A它，D呢=DA+A正 (Bi1osD庞+[ACos(-gD庞= D a(-2msg+血j+aeos97证- a}s0+9n0l成-aeos0-）Di, 所以aos(0-）=l,所以a= s(0-） 又因为0-吾∈[吾，引，所以号≤ cos(0-)≤1，所以1≤a≤2，所以△ABC的面积 B 1 x 2024一2025学年度学科素养周测评（十三）数学·数列的概念、 等差数列与等比数列 一、选择题 9 5,即a+a6十a6=5。-S,=ga1+a:十 1.D【解析】因为 是等差数列，所以可设 a3）, =am+b,所以S,=an2+bm, n 设数列a,}的公比为q,则q=日，解得g=2 所以{a,}为等差数列，S,=6=01十4×6= 由a2十a5=54,得a1(g十g)=54, 2 5 3(a1十as),所以a1十a6=2 即a1= + =96,所以a4=a1q3=96X 所以as十a4=2. 2.B【解析】由Sm-20a,am）=10an十ai) 8=12 2 100,可得a1o十au=10.因为a2≥a1>0,则等差数 4.D【解析】因为S,为等差数列{a.}的前n项 列{an}的公差d≥0，故an>0,a1>0,则a1oa1≤ 和，所以可设S.=An十Bn(等差数列前n项和 色“士）”=25，当且仅当a0=a=5时取等 的二级结论)，同理因为T。为等差数列{bn》的前 n项和，所以可设T。=Cn2十Dm 号，即当ao=a1n=5时，a1nan取得最大值25. 3C【偏析】在羊比列a,中，由受=号得S。 又宁”号所以十-A+B”= 又g-n-1 n(Cn+D)Cn十Dn+1' 即(An+B)(n+1)=(Cn+D)(n-1), ·5. BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 整理得An2+(A+十B)n十B=Cn2+(D-C)n 得k=4或k=8(舍去)，此时a4=2X4一13= D,解得A=一B=C=D. -5,故A正痛5。=-1+-D×6=-36, 不妨设S.=n(n一1)，则T。=n(n十1)，则a6= 2 S6-S6=10,b=T,-T,=16,故2=5 a7=(-3)°-1=0，a8=(-3)1-1=-4,ag= b。81 (-3)2-1=8,则S。=-36+0-4+8=-32, 5.B【解析】由a+1=S。可得Sm+1一S。=Sm→ 此时a,=8,故C正确：当≥10时，若为偶数， Sm+1=2Sm,S1=1≠0， 则a4<0,S4<-32;若k为奇数，则a>0,S4> 故{S.}是公比为2的等比数列，故S。=2”1,所 -32.故选AC. 以amt1=Sn=2-1,故当n≥2时，an=2-2, 三、填空题 2m-2,n≥2， 因此am= 故T。=a1a2agan-1X 9.43或4【解析】等比数列{a.}中，公比q>0. 1,n=1. 由a1·ag=16=a,所以a2=4,又Sa=14, a=12m-2 2°×2×…X2"-2=22 所以 a1·a3=16 解得12， a1=8当 或 要使T,>100,则2“->10，当n=6 a1+a3=10 la3=8a3=2, 时，20>1000，当n=5时，2<1000，且 a1=2, 时，可得g=2,则a2=a1q=2X2=4, a3=8 n一1)m一2在n5时，随着正整数n的增大而 2 且a1,a2,…,a。的值为2,4,8,16，…，2，可知 增大，故n的最小值为6. 数列{a.}单调递增，且各项均大于1， 6.C【解析】因为对任意n∈{1,2,3}都有am> 所以不会存在g使得a1,a2,,a的乘积最大 am+1,所以数列(am}在[1,3]上是递减数列. a1=8, 因为对任意n∈(nn≥7，n∈N}都有an<am+1, (舍去)：当 时，可得g-号则a:-a1g a3=2 所以数列{a}在[7，十co)上是递增数列， >0, 8x号4且a0…0,的值为84,21， 1、7 1 所以云之乞解得品<<号所以实数1的取 4…,20, 115 可知数列{a.}单调递减，从第5项起各项均小于 22· 1且为正数，前4项均为正数且大于等于1，所以 维范国是层》 存在no=3或no=4,使得T。的值最大，综上，n0 的可能取值是3或4. 二、选择题 10.134【解析】设第一层有m根，共有n层，则 7.ABD【解析】对于A,a2=4S1=4a1=4,所以 S2=a1十a2=5,故A正确； S,=m+n(n-1) 2 =2024, 对于B,因为am+1=4Sn,则an=4Sm-1(n≥2)，由 n(2m十n一1)=4048=2×11×23，显然n和 a+1一an=4(S-Sn-1)=4a.(n≥2)，可得aw1= 2m十n一1中一个奇数一个偶数， 5a.(n≥2)，于是a224=5a22a=25a22,故B m=11, /n=16, 正确； 2m+n-1=368支2m+1-1=253或 则 或 对于C,由B分析，a.+1=5a.(n≥2)，但a2=5a1 n=23, 不满足，则{an}不是等比数列，故C错误： n=1,支m=16,支n=23, 即 l2m+n-1=176,m=179m=119m=77, 对于D,因为am+1=4S。=Sn+1一Sn,所以S+1= 5S。,即{S.}是首项为1，公比为5的等比数列， 显然每增加一层高度增加5√5cm,当 故D正确. n=11, 时，h=10×5√3+10≈96.6cm< 8.AC【解析】由题意知a1=一11，当1≤k≤6时， m=179 由S,=-1+2-18×6=k2-126=-32,解 150cm,此时最下层有189根：当=16，时 2 m=119 BX ·6 ·数学· 参考答案及解析 h=15×5√5+10≈139.9cm<150cm,此时最 。.=2+21=号×华，为等比数列 8 fn=23, 1 下层有134根；当 时，h=22X5√3+ m=77 17 求和，首项为2，公比4 10=2053cm>150cm,起过号m,合去。 所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根 所以.= ×1-4) 2 1 1-4- 6(4-1D. 数为134根. 四、解答题 12①证明：因为S=号0+，-1a∈N, 11.(1)证明：因为d=2,且5，=5a1+5X4×2= 所以2Sn=a?十a.-2,2Sn+1=a2+1+am+1-2, 2 两式相减，得2aw+1=a2+1一a十amt一am,即 15,所以a1=-1,所以a.=2n-3. (a+1+a)(a.+1-a.-1)=0. 因为T。为数列b}的前n项的积，T=(8b)”, 当n≥5时，an>0,所以am+1一an=1, 当n=1时，b=8b1,而b1>0,解得b1=8, 所以当n≥5时，{a.》成等差数列. 显然T+1=(8b+1)+,由bn>0,得T>0,则 (2)解：由a1-2af+4,-1,解得a1-2或 1=T#-（86 (8bn) -,即b:=8b, a1=一1，又a1,a2,as,a4,a5成等比数列， 于是6=86：，因此_86出 所以由(1)得am+1十a.=0(n≤5)，进而q= b8b+1 一1，而as>0,所以a1>0,从而a1=2=a5, 即bb:+2=b群1，所以bb+2=b层+， 12×(-1)-1,1≤n≤4， 所以an= (2)解：由bb+2=b+1及b.>0,得数列{bn}是 n-3,n≥5， b2_32=4, 等比数列，公比g一618 [1-(-1)",1≤n≤4，n∈N", T以S.-1n51 所以bn-b1g-1-8X4-1-22a+1, 2n+2,n≥5，n∈N. 2024一2025学年度学科素养周测评（十四） 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 2X…×"1×2, 2n-1 an+l n 1.B【解析】由am+1 2n-3a,+2m-1→ n-1 21+2+…+7 2-1,所以数列{是以3=-3为 即5=8 ×2×2×…×2= 2 2 首项，1为公差的等差数列，即2二3=-3十 29中-3=20，又1=1，所以a=2 3.B【解析】轧辊的周长为2πr=1600mm, (n-1)·1→am=(2n-3)(n-4),所以a2= 由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊 一2，ag=-3,显然当n≥4，n∈N时，am≥0，因 周长 此{an}中最小的一项是a3: 因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终 2C【得桐由题志，得后-号×2，品-号×公，一 出口处两疵点间面带的体积相等， 又因为宽度不变，有1600=0.8Lg,所以L。= 2000, 由累乘法，得2×X…Xa1=号 而L10=1600,所以数列(L,}是以0.8为公比的 a1 a2 x2×号x 等比数列， 7 BX2024一2025学年度学科素养周测评（十三） 数学·数列的概念、等差数列与等比数列 (考试时间40分钟，盖分100分》 一、选择题本题共6小题，每小盟6分，共6分，在每小整给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 题号 4 5 答案 L.记数列a.的前心项和为S,若区是等差数3列.S,-6,则a4+a,一 A号 C1 D.2 么.已知等差数列Iu.}的前w项和为S。,若1a1>0,S■100，则a1 A有最小值25 且有最大值2药 C有最小值50 D有最大值50 3已知等比数列a,的前为项和为S若空-音十a,=54,用a,= A.3 6 C18 B14 《已知等经数列a女6.游前项和分别为5不受-品吊哈 是 B品 c墙 a 示记5。为爱列a,的前知项和，T。为数列a,)的前知项积，若-1g。1=5.,则调是 T.>100的n的最小值是 A.5 B6 C7 .8 6.已知数到{a,》牌足@。一切2一情，对任意N∈1,2,3都有a,>a41,儿对任意 为∈国37，w∈N郑有公，<4+1，则实数A的取值范用是 A品周 债》 c层》 a品司 学科素养周测评（十三）数学第1页（共4夏） 衡水真 二，选择驱（本匿共2小题.每小题6分，共12分.在每小愿给出的选项中，有多项符合题目 班圾 要求.全部谜对的得6分，部分选对的得部分分，有透铺的得非分】 题号 7 8 姓名 容案 得分 7.设致列{e。}的前n项和为5。.已知a=1a,1=S,则 A51-5 且a#由-25a:m C.数列{a.}是等比数列 D数列(S.是等比数列 2m-13,1n6, 8.已知数到{a,的简n项和为5.+a。 若5，■一32，则：可能为 k-3)-1,>6, A,5 B-4 C.8 b12 三，填空驱（本露共2小驱，每小题6分，共12分） 0.已知数线{a,}是各项均为正数的等比数到，S。为其前知项和，@1a1-16,5:-14,则a ,记T。=a1。(w=1,2,),若在在mEN使得T。是大，别n4的可 能取值为 10.某解材公司积压了部分醒解，经清理知共有2024根，每根图钢的直径为10cm我将 它们难蚊在一尽若啡或纵断面为等佛形（如图每一层比上一层的根数多1根），且 为安全考虑，非敏高度不得高于】 m,若堆放占用场地面积量小，则量下层圆钢根数 为一 00-00 品…2 题密在 学科素养周测浮十三)数学第2页（共4页引 X 四.解答面本题共2小题，共和分.解答应写出文字境明、证期过理或演算密骤) 1儿，(20分)已知1a,是公是d一2的等差数列，其前5项和为5，记T,为数列(6.的前对 12(2的分尼知5为数列a,的前n项和，满是3.一女：+.一10aeN).且ae, 项的积6。>0，b=32,=(8动)°， a444:我等比数列，当n35时d,>1, (1)求，并证明bb,+2= (1)求证：当n25时，a.1成等差数元 (2)求{a.}的前m瓖和Sa (2)设，=2+b.(知31w∈N,计算之c HX 学科素养周测浮（十三）数学第3页（共4页） 衡水真蹈密在 学科素养周测博十三》数学第4页（共4页引