周测评(十八) 直线与圆的方程-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（BX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十八） 数学·直线与圆的方程 (考试时间40分钟，选分100分) 一、透择题本题共6小驱，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个进项中，只有一项是 符合题目要求的) 题号 2 5 答案 L.若与y轴相切的调C与直线y-:也相：且图C经过在P2).斯圆C的直 径为 A.2 且2皮时 c 716 0派行 2.设P为直线xy=0上的动点，PA,PB为图C:(:一2+y2一1的两条切线，切点分 别为A,B,则四边形APBC的周长的最小值为 A.3 且2+√B C4 D.2+28 3投过点P(0,一5)与员C:江十y2一4红一1-0相切的两条直线的夹角为，期cos@一 A号 日6 c-日 D-45 9 4.已知在R△ABC中，CA=CB=4,点M在以C为圆心，2为率径的属上，则1MB+ 立A的最小值为 L3W5-22 BJ/T C1+2,g D.25-1 学科素养周测评（十八）数学第1页（共4页） 衡水真 元已知圆C:x十y=1,A(4,a),B(4,一a).若C上有且仅有一点P使PA⊥PB,刚正 实数a的取值为 3 A.2或4 B2或3 C4或5 D3或5 姓名 6.设点M(m,1),若在图O:x十y=1上存在点N,使得∠COMN=60,则两的取慎散用 是 得分 哥 C.[-g D.[-2,2] 二，法择燃《本紫共2小题，每小题6分，共12分.在每小精始出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得》分) 题号 8 答案 7.已知直线：4r-3y一3-0，直线：(w十2)x一(w十1)y+-0(m∈R),g(〉 A.当m=一1时，Ll 且当m一2时，机 C当(1化：时，1与14之料的距离为1 D直线4过定点(2,1山 8,已知直线1：(m一1》x一2my十两+1=0（知∈R)与割O:x+y=9交于A,B两点，线 段AB的中点为M,用 A.直线（恒过定点(1,1） AB|的最小值券同 C,△QMB面积的最大值为2 D点M的绒造斯包围的图形面积为号 三.填空题（本置共2小题，每小题6分，共2分） 3,R拉于1了65年在他的著作（三角形的几何学中首次提出定理：三角形的重心，岳心和 外心共线，这条线桥之为三角形的改拉线已知A(0,2),B(4,2),C(a,一1)，且△AC 为圆x十y十Ex十Fy=0的内接三角形，则△A以C的景拉线方程为 10,已知图C:r+(2m一1)y2-2ar一a一2=0，若对于任意的年∈R.存在一条直线按 阅C所蕉得的弦长为定值▣，则程十舞= 通密在 学科素养周测浮十八)数学第2页（共4页引 HX 四，解答面（本题共2小题，共和分.解答应写出文字镜明、证胡过理或演算步理】 12.(20分)在D国过点C(-9,2):②图心在直线x一y十1=0上：图与直线2x一y一 11.20分)已知周M的圆心M与点N(一1,4)关于直线1一y+1=0对称，且同M与y 105一0相切，在这三个条件中任进一个，补充在下由的横线上，并进行求解. 轴相切于螺点O 已知圆E过点A(1,12),(7,10,且 (1)求图M的方程： (1)求圆E的方程 (2》若在图M中存在弦AB,AB=4,且弦AB的中点P在直线2x十y十=D上，求实 (2)已知点C(一2,0)，D(2,-20),在属E上是否存在点P,使得PC+PD=258? 数的取值意佩 若存在，求出点P的个数若不存在，请说明理由. HX 学科素养周测浮（十八）数学第3页（共4页） 衡水真蹈密在 学科素养周测博十八》数学第4页（共4页引·数学· 参考答案及解析 又平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD∩平面 B(0,-2,0),A(0,-1,3) BCE=BC,OFC平面ABCD, 所以C2=(3,-3,0),CD=(0,-13), 所以OF⊥平面BCE.过点O作直线BC的垂 BE=(3,1,0),BA=(0,1N3) 线交BC于点G. 设平面DCE的法向量为m=(x,y,x), 以O为坐标原点，分别以OG,OC,OF所在直 线为x轴、y轴、x轴，建立如图所示的空间直角 m·CE=0,W3x-3y=0, 则 所以 坐标系， m…Ci-0, -y+3z=0, 令y=3,则x=3,x=1,所以m=(3,3,1). 设平面ABE的法向量为n=(a,b,c),则 n…成=3a+b=0令a=1,则6=-5， n·BA=b+√3c=0, c=1, 所以n=(1,一√3,1).设平面ABE与平面 因为BC为直径，所以BE=2BC,所以∠BCE= DCE的夹角为a,则cosa=|cos(m,n)川= 30°，∠B0E=60°，∠E0G=30°. m·n 13-3+1 √65 在等腰梯形ABCD中，AB=AD=DC=2, 1mn√9+3+X√1+3+65 所以平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值 BC=4,所以oF-2-(T-, 为源 所以E(3,-1,0),C(0,2,0),D(0,1,w3) 2024一2025学年度学科素养周测评（十八）数学·直线与圆的方程 一、选择题 当且仅当PC垂直于直线x一y=0时取等号，所 1.B【解折]因为直线1：y-得的领钭角为30 以四边形APBC的周长的最小值为4. 所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线 y=3x上.设國心C(aW3a),则圆C的方程为 (x-a)2+(y-3a)2=a2, 将点P(2,3)的坐标代入，得(2一a)2+ 3.A【解析】如图，國x2十y2-4x一1=0即(x (W3-√3a)2=a2,整理得3a2-10a+7=0,解得 2)2+y2=5, a=1或a=了，所以国C的直径为2或号 则圆心C(2,0),半径r=√5，过点P(0,一√5)作 圆C的切线，切，点为A,B,连接AB」 2.C【解析】依题意，圆(x一2)2+y2=1的圆心 C(2,0),半径r=1, AC⊥PA,IPB|=|PA|=√/PC-1,因此四 边形APBC的周长1=2|PA|十2|AC|= 2√PC1+2,PC>/+(-D 2 2, ·21▣ BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 因为PC=3,则PA=PB=2,得sin∠APC= 3cos∠APC=2」 3 则cos∠APB=aos2∠APC-sin'∠APC=-} 0,即∠APB为钝角， 所以cosa=cos(x-∠APB)= 1 二、选择题 4B【解析】如图建立平面直角坐标系，则A(4, 7.BC【解析】对于A,当m=一1时，l2:x一1=0， 0),B(0,4),取D(1,0).设M(x,y), 显然与1不垂直，A不正确： V 对千B,当m=2时，h2:4虹-3y+2=0,因为4= 二子，所以，B正确： 对于C,当l1∥12时，4m+4=3m+6且3m≠ 一3m-3,解得m=2, 此时L2:4x一3y+2=0,l1与12之间的距离为 则x2+y2=4所以号MA=2/c-0+可- 12+31 d= =1,C正确： 24c-+J-1MD1. √4+(-3)7 对于D,m(x-y十1)+2x-y=0,令 又|MB|+|MD|≤|BD|=√+4平=√/I7,所 x-y+1=0, x=1, 解得 以MB+号MA的最小值为I7. 2x-y=0, y=2, 所以直线12过定点(1,2)，D不正确. 5.D【解析】由题意可知，國C:x2十y2=1的圆心 8.AD【解析】对于A,直线方程可化为l:m(x 为C(0,0),半径r=1,且a>0. 2y+1)十(1-x)=0,显然x=1,y=1,即直线1 因为PA⊥PB,可知点P的轨迹是以线段AB的 恒过定点P(1,1),故A正确；对于B,设弦心距 中点M(4,0)为圆心，半径R=a的圆， 为d,结合A可知d≤+1=√2，|AB|= 又因为点P在圆C:x2+y2=1上，可知圆C与 圆M有且仅有一个公共，点，则|CM|=r十R或 2√9-d≥2√/7，当OP⊥1时取等号，故B错误： 1CM=|r-R|,即4=1+a或4=|1一al,解得 对于C,△OAB的面积S=2AB|·d= a=3或a=5. 6.A【解析】已知点M(m,1),要使圆O:x2+ dv9--厂(-》+，当d=2时， y2=1上存在，点N,使得∠OMN=60°， Sm=√14，故C错误：对于D,由MO⊥MP,得 因为点M在直线y=1上移动，而当MN与圆相 切时∠OMN取最大值， M的轨迹是OP=√1+1=√2为直径的圆，所 光时1ONI=1.MNI=O0-月只有支M 受，则此圆的面积为受故选AD 三、填空题 移动区蔬满灵N<得时， 22+2F=0, 9.y=1【解析】依题意 解 才能找到符合条件的点M(m,1),m=|MN|, 42+22+4E+2F=0, E=一4， 故满足题意的m∈ 33 得 33] F=-2, BX ·22▣ ·数学· 参考答案及解析 所以圆的方程为x2+y2一4x一2y=0,即|12.解：(1)若选①，设圆E的方程为x2+y2+ (x-2)2+(y-1)2=5,故圆心坐标为(2,1)， Dx+Ey+F=0, 即△ABC的外心坐标为(2,1).又△ABC的重心 1+144+D+12E+F=0, 坐标为， 由已知可得49+100+7D+10E+F=0, 81+4-9D+2E+F=0. 又点21.（色告，）均在直线y=1上，所以 解得D=一2，E=-4,F=一95， △ABC的歌拉线方程为y=1. 所以圆E的方程为x2+y2-2x-4y-一95=0. 若选②，由已知得AB的中点为(4,11)，直线 10.√7+1【解析】圆C:mx2+(2m-1)y2-2ax a-2=0,则m=2m一1，解得m=1,所以國C: AB的斜率为-子， x2+y2-2a.x-a-2=0即(x-a)2+y2= 所以AB的垂直平分线的方程为y-11=3(x一 a2+a+2. 4),即y=3x-1. 由题设，令a=0,可得x2十y2=2,令a=1,可 因为圆心在直线x一y十1=0上，所以联立方程 得(x-1)2+y2=4, y=3x-1, 解得 x=1, 显然两圆相交，则两圆方程作差可得工=一 x-y+1=0,y=2, 所以圆心E的坐标为(1,2)，半径为AE=10, 1 1 x=- 2 2 所以圆E的方程为(x一1)2+(y一2)2=100. 2解得 若选③，设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, x2+y2=2, 2 y=- 2 因为圆E过点A(1,12),B(7,10), 与周十)y2=2相交的孩长 1(1-a)2+(12-b)2=r2, 所以直线x=一 所以 (7-a)2+(10-b)2=r2 为7，所以n=√7，则m十n=√7十1. 因为圆与直线2x一y一105=0相切，所以 四、解答题 11.解：(1)设M的坐标为(a,b),则 12a-b-105=r,解得a=1,6=2,r=10,所 √22+(-1) b-4 =-1, 以圆E的方程为(x-1)2+(y-2)2-100 a+1 a=3, 解得 (2)设P(x,y),由已知PC2+PD2=(x+2)2+ -1_b+4+1=0, b=0, 2 y2+(x-2)2+(y+20)2=2x2+2y2+40y+ 即M的坐标为(3,0). 408=258,所以x2+y2+20y+75=0,即x2+ 因为圆M与y轴相切于原点O, (y+10)2=25, 所以圆M的方程为(x-3)2+y2=9. 所以点P在圆M:x2+(y+10)2=25上，圆M (2)因为AB=4,圆M的半径为3，所以PM= 的圆心M的坐标为(0，一10)，半径r1=5.因为 √5，所以点P的轨迹是以M为圆心，5为半径 点P在圆E:(x一1)2+(y-2)2=100上，圆E 的圆，则其轨迹方程为(x一3)2+y2=5,又P在 的圆心E的坐标为(1,2)，半径r=10,又ME= 直线2x十y十k=0上，所以直线与圆有公共点， 1+122-√145，r-r1=5,r十r1=15,所以 即6+k≤5， r-r<ME<r+r, 5 所以圆M与圆E相交，两圆有两个公共点，所 所以一11≤k≤-1. 以符合题意的点P的个数是2. ·23· BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 2024一2025学年度学科素养周测评（十九）数学·椭圆 一、选择题 2 ,即a=2c. 1B【解折】由后=之可得a2=42=4a2-6 率e=号，可得- a2 又由椭圆C的上顶点的坐标为(0，√2)，可得b= (*),因2a=4,即a=2,代入(*)解得b=3, √2，因为a2=b2十c2,可得a=2,c=√2，所以椭 故短轴长为2b=25. 2.B【解析】根据题意，画出该椭球的过横戴面圆 国的方粗为后+苦-1又周为点P为C上横坐 心的纵截面如下： 标为1的点，不妨设P(1,ye)且ya>0, A 将点P1,)R入精国的方程，可得+号=1， 可得3-，即P(,》 因为点A为椭圆的右顶点，可得A(2,0),所以 √6 kAP=- 2 6 根据椭国的定义知△PQF,的周长为|PQ|十 则直线PA的方程为y=一 (x-2),令x=0, |PF1|+|QF11=4a=3×2c,即2a=3c①，由该 可得y=√6，即M(0,W6), 椭球横截面的最大直径为2米，可知2b=2,得 b=1.又因为a2=b2+c2,所以a2=c2+1②，① 所以IOM=√6. ②联立可得c= 2535 5a= 5, 所以植指旅的高为2×3衫-65m 3.C【解析】设PF:的中点为M,则|PF2|= 2lOM=2c=4,于是IPF11=2a-2c=2,又 6.C【解析】因为四边形AF,BF2的周长为43， |F1F2=4,则△PF,F为等腰三角形，S△F,:= 所以4a=43,所以a=3. 合×2X16可=压. y=x十m, 联立x 3+y2=1, 消去y整理得4x2+6mx十 3m2-3=0,4=36m2-4×4(3m2-3)>0,解得 -2<m<2,又m≠士√2，所以m∈(-2，一√2)U (-22)U(2,2. 设点Fg到直线AB的距离为d1,点O到直线 4,B【解析】设P(x,y),因为A(1,1),B(一1， AB的距离为d2, -D.所以w-号km串c-. 易知F1(-√2,0)，F2(W2,0), 4,=2+m d;-lml √2 士1).即x2十2y2=3(x≠士1).所以动点P的轨 迹方程为x2十2y2=3(x≠士1). 1ABld: 2十m 所以 S△F,H d= 2 5D【解标】由想套知，箱周C后+芳1的离心 SAOAB ABId, m √2 BX ·24▣ ·数学· 参考答案及解析 +ml-2,解得m=一号我（合. 3e-1 m 3 e'Fe ,因为直线PF,的斜率为正， 所以0<cos0<1,所以0< <1,解得日< e2te <1. 三、填空题 .19【解析】如图所示，摘圆的右焦点为F1,0), 9. 二、选择题 7.BC【解析】精圆E1:x2+4y2=a2a>0),即 由BFLx轴得BF-令设精周E的左焦点为 F。,由椭圆的对称性易知四边形AF,BF是平行 =1,精圆E2y2+4r2=4如2(a>0),即， 四边形，所以AF。|=|BF|,又结合椭圆的定义 可得： %长轴长为2a,板格 长轴长为4a,短抽长为2a,故A错误，B正确；E1 a21 的离心率为e1= -3 E,的离心率 |AF|+|AF。I=|AF|+|BFI=2a=6,故 2a 长与E:的短轴长相等，且E1的焦点在x轴上， hF=6-g-9 E2的焦点在y轴上，则E1与E2有2个公共点， 10.9或5√5【解析】直线F:M的斜率为V5, 故D错误 所以mMF,R-5,片以MF,R=是 8.ABC【解析】如图，延长PF1交椭圆于点N.由 椭圆的对称性，可知NF:=QF2 MF2 7 又F,F-8设IEF=2c, 所以1MF,=子c,又MF,+1ME,=2a, 所以1Mr,=30-子c. 在△F,F,M中，由余弦定理得cos∠MF,F2= IF F2 IPF 因为△PF1F2∽△QF:B,所以 2 BF2IQF2I 22(0-） PF NF设直线PF1的幅斜角为A.由焦点孩的 整理得c2-22c+120=0,解得c=12或10. 当c=12时，b=9:当c=10时，b=5W5. 6 四、解答题 推导公式，得1PF,|=1-os0NF,= 1解，0调圆的标准力程为号后+ =1,因为号 b2 IF,F:1 PF 1+ecos 0 8 a 1+cos0所以BF,=NF==eco80' 9=号所以焦点坐标为6，士3）。 中名-1出8所以os0 3c-a ea十ec (2)将x=一1代入椭圆方程9x2+8y2=81得 ·25▣ BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 y=士3，由对称性不妨设M(一1,3)，N(一1， 1 =号×27×号，解得m 31 -3), 3 67,所以△PAB的周长为67 直线MT的方程为y=--3x-3),即3x十 4y-9=0. x=- 设圆Q的方程为(x一t)2+y=r2,由于内切圆 Q在△TMN的内部，所以t>一1， 则Q到直线MN和直线MT的距离相等，即 23 1+1=3+4X0-9=,解得=号，r √32+4 2 所以圆Q的方程为(：-》'+y=是 2b=2, 12.解：(1)由题意得 a2-b6 (3)显然直线PA和直线PB的斜率均存在，设 La y a2 31 过P作圆Q的切线方程为y=k(x一1)+3， fb=1, 其中飞有两个不同的取值1和飞2分别为直线 解得a=3, PA和PB的斜率.由圆Q与直线相切得 c=√2， (合-+3 3 ,化简得8k2十12k-27= √k+1 所以C的方程为号+y2-1 k+k=一 3 (2)(D由题意得A0,m),B(,0,由Ai- 0,则 27 号Bd,得Omi=20-0成，即M(g,2n), 由=k:红-10+3， 由AN=2BN,得ON=2OB-OA,即 得(9+8k)x2+16k1(3- 9x2+8y2-81, N(-,-m:将M,N的坐标分别代人C的 e1)x+8k-48k1-9=0, 可得xA=xPxA= 8k7-48k1-9 8k+9 所以yA= 方程，得器+切2-1和细+m2-1,解得 k1(xA-1)+3=k1 /8k-48k1- 3,又>0，所以k=3 - 3 8k+9 -）+3 y=kx十m, =-24k3-18k1+27 (i)由 消去y,得(3k2+1)x2+ 8k7+9 3+y2-1 =-3(27-12k,)-18k1+27=18(k1-3) 6kmx+3m2-3=0, 27-12k1+9 12(3-k1) 其中△=36k2m2-12(3k2+1)(m2-1)= 8k号-48k2-9 3 12(3k2-m2+1)>0, 8k2+9 y=-所以 一6km 直线AB的方程为y=一受，所以AB与圆Q相 3 设M(x1y1),N(x2yz),则x1十x=3+1' 3m2-3 切，将y=-号代人9r2+8y2=81得x x1x2-3k2+1 AM=BM,AN =u BN,A (0,m ±7， 所以AB|=2√7.又点P到直线AB的距离为 B(-.0). 号，设△PAB的周长为m,则△PAB的面积 得x=A(1+）x=(+), BX ·26· ·数学· 参考答案及解析 所以入十红=1十x? 所以L的方程为y=k(x十1)，即1过定点 (一1,0)，所以点(0，一√3)到1的最大距离为点 1十 1 (0,-3)与点(-1,0)的距离d=√12+(W3) =2,即点(0，一√)到1的距离的最大值为2. 由入+μ=3，得”x1x2+2mk(x1+xg)+ 3m=0,即3m-3+-12m2 3k2+1 T3k++3m2=0, 所以3m2k2-3k2-12m2k2+9m2k2+3m2=0, 因此k2=m2,又k>0,m>0,所以k=m. 2024一2025学年度学科素养周测评（二十）数学·双曲线与抛物线 一、选择题 在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F,PF2 1.A【解析】因为抛物线x2=一-45y的焦点为 1pF,+lPF,-EE_36a2+16a2-4c2_ 2PFPF 48a2 (0,一√5)，所以双曲线的一个焦点也是(0， -5), 2,整理得c2=7a,所以b2=c2-a2=6a2=6 所以一a十4=5，解得a=一1，即双曲线的方程为 解得a=1,所以实轴长为2. ￥-x21,其渐近线方程为y=士2c 2.B【解析】设抛物线C的方程为y2=2px(p> O).如图所示，作PH垂直于准线交准线于点H, 4.B【解析】由M(4,4),有16=2p×4,即p-2, 即抛物线C:y2=4x,则F(1,0),准线方程为 4 x=一1，故1e:y一4-x一1D,整理得1ey 则由抛物线的定义可知，IPH|=|PF|=2.在 3 Rt△PHQ中，|QH|=√TPQT-TPH 3-3 -3,即N(-1, 2,则P(2-号2)在抛物线C上，所以2p(2- ）则NF1=-1-D+T-9 )=4,解得p=2,故抛物线C的方程为 5.D【解析】由于向量OC=mQA+OB,点A(-1, y2=4x 0),B(2,3),所以C(-m+2m,3n). 3.C【解析】由双曲线的对称性，设，点P在第一象 因为m-n一4=0，所以点C(n一4,3n),则点C 限，如图.因为△PQF2是等边三角形， 的桃连为y=3红十.双南线写一y=1的新近 所以|PQ|=PF2|=|QF2I,所以|PF,| PF2=IQF=2a,IQF21-QFI=2a, 线方程为y=土 2z,联立2】 2x, 得 lQF2I=4a. y=3(x+4), ·27▣ BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 12+36√2 /y A运动到原点O时取等号，此时|FD=2,由题 17 联立 2，得y= 知A是Γ上除坐标原点O以外的动点，故选项A y=3(x+4), 错误； 对于选项B,易知B(0,一1)，设直线m的方程为 362-12 S△PoW F 17 因此 SAQOP y=kx-1, Fyol 由=入，消v得到二十40，则A 362-12_19-6W2 17 y=kx-1, 362+12 16k2-16=0,解得是=士1， 当k=1时，代入x2一4kx十4=0，得到x2 4x+4=0,解得x=2, 当=一1时，代入x2一4kx十4=0，得到x2十 4x十4=0，解得x=-2, 所以选项B错误； 6.D【解析】由题意知，抛物线的准线方程为x一 对于选项C,设A(xa,yo)(yo>0),设直线m的 ,又因为∠F,FA=吾，则点A(-号， - 方程为y一ya=k1(x一x), y p又因为点A在双曲线的渐近线y 由 消y得到子x2-1x十 y-yo=k:(x-Io) 上，所以名-2，所以双南我的高心率。 k1x0一yo=0,由△=k好-k1x0十yn=0, a 又=，所以4=好-k十}x号=0，解 得k:=2工0 1 所以直线m的方程为y一y。=2工o(x一xo),令 =0,得到y=06=-2。=-0 所以|FB|=1十y0,又由抛物线的定义知， |AF|=|AD|=y+1, 二、选择题 所以|AD|=|FB|.又AD∥FB,所以四边形 7.ABD【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线， AFBD为平行四边形，又AF=|AD|, 故离心率为2， 所以四边形AFBD为菱形，故选项C正确； 容易知道y=x是实轴，y=一x是虚轴，坐标原 对于选项D,由选项C知直线m的方程为y一yo 点是对称中心， ,-o又%=， 1 联立实轴方程y=江与反比例画数表达式y=】 得实轴顶点(1,1)，（一1，一1）， 令y=0得到x=,所以c份0小 所以a=√2，c=2,其中一个焦点坐标应为 B(0,),IBDI=ADI=1+yo, (W2,√2)，而不是(2,2)， 得到1OB1=,BCP=(侵)+= 由双曲线定义可知|PM-|PN|=2a-22, 8.CD【解析】对于选项A,因为|FA|+|AD|≥ 寻+6=%+， |FD|,当且仅当F,A,D三点共线时取等号，即 得到1OB|·IBD1=yo十y=|BCI,所以 BX ·28▣ ·数学· 参考答案及解析 IOB,BC,|BD成等比数列，故选项D正确. y1=22时等号成立，所以0<1ana≤7（利用 基本不等式求出tana的范围)， 则tan∠APB=tan2a= 1一tan。:不妨设 2tan a ma,记f)-(号》则f0） 三、填空题 95【解折】因为1IPF,-PF,l=2a(0<a< 1),且F1F2-2>2a,所以点P在以F1,F2为焦 点的双曲线上，c=1,b2=1一a2.设P(x,y),因 单调递减且恒为正数，故∫(1)=1 在tE -t t Q(0,3),则PQ=(-x,3-y).m=(1,-2),由 于PQ/m,y=-2x+3. 2x号 若直线y=一2x十3与双曲线的一条渐近线平 上单调递增，则有f(t)≤ 2 行，此时直线与双曲线只有一个交点。 -（ 所以-1司-一2，解得a=5 22,故tan∠APB的最大值为22. 10.2√2【解析】如图，依题意，曲线C上任意一点 M到定点F(1,0)的距离等于点M到定直线l: x=一1的距离，故点M的轨迹是抛物线，其轨 迹方程为C:y2=4x.设直线AB的方程为x= my+2,由 y=4红，消去x得y2-4my x=my十2， 8=0,不妨设A(x1y1)(y1>0),B(x2y2),则 必有△>0且y1十y2=4m,y1y2=-8,分别记 直线PA,PB的斜率为kPA,k阳，则kPM十k阳= 四、解答题 +2+2气222 1山，1)解：抛物线的准线为工=一号，p十号=3，所 (x1+2)(x2十2) 以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x. 厚+2++2 (2)证明：设P(xoyo),D(x1,y1),E(x2y), (x1+2)(x2十2) F(1,0),直线1为x=my十b,联立 x=y十b, _学+w+a y2=4x, (x1+2)(x2+2) 则y2-4my-46=0,△=16m2+16b>0,所以 +2+2 y1十y2=4m→x1十x2=4m2+2b. =e+2Cx+2)=0,所以∠APQ= 因为四边形DPEF是平行四边形，所以FP ∠BPQ(两直线的斜率之和为0，则两直线关于 FD+FE,则(xo-1,y0)=(x1-1,y)+(x2 1,y2), 工轴对称).设∠APQ=a,则tana=1 x1+2 所以x0=x1+x2-1=4m2+2b-1,yo=y1十 =1。≤1 2 ++2x月 ，当且仅当 y2=4m,代入y=4x0,得(4m)2=4(4m2+ 2b一1)，解得6=2，即直线过定点（兮，0小. ·29▣ BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 因为AD∥BE,可得∠QAD=∠ASF=a,所以 3 2 QAD-船- 所以|AQI=eADI=|AF|,所以△AQF为等 5-4-3-2-102345 腰三角形，所以∠PFQ-∠AFQ一∠AFP= -1E -2 ∠AQF-∠BFP=∠QSF+∠QFS-∠BFP= 引 a-∠PFQ, 12.(1)证明：过点A作AD⊥1于点D,设l与x轴 所以2∠PFQ=a,即∠PFQ=号，所以当点A 交于点E,由双曲线C:号-￥1a>0,6>0). 在C上运动时，∠PFQ的大小为定值. 可得B(-a,0E（信o小，Fc,0.则 BF la+cl L=g=e,且AD AF BF =e,所以BE AF ADTe 所以-，因为ADBE,所以 (2)解：由1)知∠ASF=a,所以∠PFQ-受 一调肥，由三角形的肉角平分线的性质，可得 名∠ASF,所以∠PPQ与∠ASF的大小关系 FP为∠AFB的角平分线，设∠ASF=a,因为 ks-名，所以ana一名，则osa= 为∠PFQ=号∠ASF. a a a+b e 2024一2025学年度学科素养周测评（二十一） 数学·圆锥曲线综合 (含直线与圆的方程) 一、选择题 由已知可得 1.A【解析】因为(2x十yi)(2x-4yi)=4x2十 (IPF:=2a-PF,-IPF:I= PF,|=a-r 4y2-6.xyi,所以4x2+4y2=4,即x2+y2=1. 2.B【解析】由题意抛物线C的焦点坐标为(0， PF=受 a.由PF1+|PF2|=2a,则 1),设M(x,y),由|MF|+1=d得， IPF:l-2 √2+(y-1)2+1=|y+2|,因为点M在直线 在△PFF2中，由|PF1I2+|PF2I2=|FF22→ 1:y=一2的上方，所以y≥-2， 则Wx2+(y一1)2=y十1，即x2=4y,所以抛物 婴+=4-号-8=四 4 线C的标准方程为x2=4y. 4.B【解析】如图，过D作DE⊥AC,DF⊥AB,设 3.C【解析】将|PF+PF=PF-PF两 边平方，可得PF·PF2=0,则PF1⊥PF. A)B),c),则D(- BX ·30·