周测评(十) 函数的应用-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（BX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十） 4,调和信号是指顿率面定的一卧信号，三角雨数性质可以表达销和信号的周期性，精数函 数学·函数的应用 (考试时同40分钟，总分100分) 数可用来黄述销号的餐观已刘一个到和价号的函数为：)一血行·它的图象大技为 一，选择题（本题共6小赠，每小雕6分，共36分，在每小题蛤出的四个选项中，只有一项是 符合蓝日要求的】 聪号 答案 1.函数fx)=2+lg:x一 的零点所在的区创是 A.{-1,00 (0.1) C1,2) D.2,3) 2.函数y=2:一的零点之和为 5,拉脐明日中值定理是撒分学中的茶本定理之一，其定理陈述如下：如果函数「（一）在闭 区间[a,b们上连域，在开区间〔a,b)内可，娜在区可(@，b)内至少存在个点x,∈(a, A.1 且，2 C.3 ,4 b,使得f6)一f(a)一f'(x,)(一)，士一1。称为函数y一f(士)在闭区间[a,b]上的 3.用二分法求函数/x)=n(士+1)十x3一1在区可(0,1)上的零点，要求精确度为0.01 中值点，若关乎函数f(x》■nx在区间[0，]上的"中值点“的个数为m,函数g《)= 时，新香二分区间的次数最少为 在区闻[0,1门上的“中值点”的个数为，则裤十青= A.5 且.6 C.7 D.8 A.1 且2 C.0 D.3 学科素养周测评十)数学第1面（黄8面 衡水直疑密荐 学科素秀四湖评（中》数学第2页（共8页1 BX $$| \frac { x + 1 } { x ^ { 2 } } ， x < 0$$ 8.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为 $$p H = - \lg \left[ H ^ { + } \right] ，$$ 其中 $$\left[ H ^ { + } \right]$$ 表示海 6，已知函数 f(x)= $$g \left( x \right) = x ^ { 2 } - 2 x - 4 ，$$ 设五为实数，看存在实 液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如均净水中氢离子的浓度为 $$1 0 ^ { - 7 }$$ 摩尔/升，则纯 ln(x+2)，x≥1， 净水的pH是7.当 nH<7 时，溶液呈酸性，当 时，溶液呈碱性，当 pH=7t 数，使得 f(a)=1-g(b) 成立，则b的取值范围为 () 纯净水)时，溶液呈中性我国规定饮用水的pH值在 6.1-8.5 之间，则下列选项正确的 $$A . \left( - \infty ， \frac { 7 } { 2 } \right]$$ $$B . \left[ \frac { 7 } { 2 } ， + \infty \right)$$ $$C . \left[ - \frac { 3 } { 2 } ， \frac { 7 } { 2 } \right)$$ $$D . \left[ - \frac { 3 } { 2 } ， \frac { 7 } { 2 } \right]$$ 是(参考数据：取 \left.{lg2≈0.3}) 二、选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项料合题日 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选情的得0分 A.若苏打水的 \muH 是8，则苏打水中的氢离子浓度为 $$1 0 ^ { - 8 }$$ 摩东/升 7 答案 B.若酸中氢离子的浓度为 $$2 . 5 \times { 1 0 ^ { - 7 } }$$ 摩尔/升，则焊酸的： pH 是1.6 7.设满数 $$h \left( x \right) = 2 ^ { x } + \log _ { 2 } \left( x + 1 \right) - 2 ，$$ 某同学用二分法零方程 k(x)=0 的近拟解(精确度 为 \left.{0.5})， ，出了对应值如下表： C.若水中的氢离子浓度是纯净水的 $$1 0 ^ { - 1 . 4 }$$ 倍，则水的pH是 B.6 一0.5 0.125 0.4376 0.75 h(x) -1.73 0.84 -.42 0.03 2.6 D.若某种水中氢离子的速度为 $$4 \times { 1 0 ^ { - 7 } }$$ 學尔/升，则该种水适合售用 依据此表格中的数据，方程的近解 $$x _ { 0 }$$ 不可能为 () 三，填空题(本题共2小题，每小题6分，共12分) $$A . z _ { 1 } = - 0 . 1 2 5$$ $$B . x _ { 0 } = 0 . 3 7 5$$ $$C . x _ { 0 } = 0 . 5 2 5$$ $$D . z _ { 1 } = 1 . 5$$ 5.已知实数 $$\overrightarrow { a } ， b$$ $$a = 1 0 ^ { 1 - a } ， \lg b = 1 0 ^ { 4 - k a } = 3 ，$$ ab= . 学科素养周测评(十)数学第3页8) 衡水真密卷 学科素养渊评(十)数学4页(共页] 10,生物学家为了了解某为品对上壤的影响，常适过检测背品残圆量进行判斯，已过土壤 12,(20分)”魔腹”踪豫”连连”是2023年杭州理运会南样物，组合名为“江南忆”，出自唐 12 幅诗人白国易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它们胜合了杭州的历史人文，自然生态和 中装背品的残量y(mg)与时间1（年）近敏清足美系式y=ao,十行a≠0》，其中✉ 然新基因.某中国企业可以生产梳州重运会青祥物“寝宸一隐章”“连莲”，根据市畅两 是戏丽系数，则大约经过年后土壤中该药品的残留量是2年后残督量的， 在与摸测，轻资成本x(百万元)与料属3（百万元）的关系如下表： (参考数据：1.41，结果保冒一位小数) 《万元》 4 17 四.解答蒸{本题共1小幕，共地分.解答应写出文学说明，证明过理或演算步骤} y百万无} …188 11.《20分)某边远地区有一活输车队，开出后的车辆都必须迈同.离出发楚80km处有+ 当投穿成本工不高于12（百万元）封，利阕y(百方元)与经蜜成本x《百万元)的关系有 如鞋站.某汽车油箱中余泊量QL》与它行旋时可(h)之间是一次函数关系.已知1= 两个函数模￥=Ar十B(4>0)与y=T:(T0,a>1)可俱选择 0时，能箱中有油的1，汽车行靓8，油箱中还利会油0【。细果汽车的行驶惠度 ()当投资成本x不高于12（百万元）时，选出你认为量符合实际的函数痕型，并求出相 为40kmh,侧该汽车最多黄行装多远氧必知延可？ 皮的函数解所式： 学科素养周测评十)数学第5面（黄8丽） 衡水真疑密卷 学科素养周湖评（中》数学篇6页（其8页 BX (2)当投要戒本x商于12（百万无）时，利铜y(百万元)与授要成本x《百万元)请足关 系式y一一0.2x一12)(x一17)+128，结合第(1)可的结果.要把孩得不少于一千 万无的到湘，授置成本（百万元）应该控侧瓷什么范围？〔结果保爵到小数点后一 位)（参考数据：lg2e0.30) X 学科素养周测评十)数学第7面（黄8丽） 衡水直疑密荐 学科素秀库湖评（中》数学第8页（其8页1衡水真题密卷 学科素养周测评 sin(x+y)cos(x-y)+sin(-y)cos(+y) 得m=-1, cos(x+y)cos(x一y) sin 2x 此时fa)=2sin2x-）, os(z十y)o0s(红-y)=4sin2x,由题意知sin2x≠ 0,图此cos(x十y)cos(x-y)=4 当x匠引时，2z-音e[后 1 2sinl2x-8）e[1,2], 所以cos'xcos2y-sin2xsin2y=4' 故f(x)。=1. 5 故cos2x十cos2y=4 iow 2.1+cos0 2 12.解：(1 周为x(o,》y(营》，所以os> 2m0+引 2如0o7+2os0a如月 0,cos y>0, 1+cos 0 2sin 0++2cos 0' 所以cos xcos y=√cos2xcos2y= 因为tan0= 所以n9-os0。 5 w+w-(g}+ 25 又因为sin9+cos0=1,故144os0+cos0=1, 因为0G0,》断以o0-是放血9-： 5 1 故cos xce0sy的最小植为2 四、解答题 1+cos0 1+ 25 1.解：)f(x)=1+cos(2x-）-5cos(2x+ 则2sin0+2cos0 2 )+m=cos2x-5）+5sim(2z-）+1+ 2)sina+5cosg-sin管-pj+icos月 m=2sin(2x-君）+1+m sin 3 cos B-cos3 sin B+3cos B= 则f(x)的最小正周期T=元 =g知9+iaA-35aR如g 3 1 (2)由(1)知f(x+2)=2sin2x+1+m,又 √7cos(g+0), y=f(+)是奇函数，则f(+) 其中an0= 9 -f(x+), 故sina十√3cosB的最大值为W7. 即2sin2x+1十m=-[2sin(-2x)+1十m],可 2024一2025学年度学科素养周测评（十）数学·函数的应用 一、选择题 0,故由函数的零点存在定理可知，f(x)的零点所 1.C【解析】易知函数f(x)=21+1og:x-2定 5 在的区间是(1,2). 2.C【解析】函数y=2x一2的零点为1和2，故 义域为(0，十∞)，且在区间(0，十∞)上单调递 零点之和为1+2=3. 增，又f0-1+0-8<0,f2)-2+1-名> 5 3.C【解析】因为开区间(0,1)的长度等于1，每经 过一次操作，区间长度变为原来的一半， BX 16 ·数学· 参考答案及解析 所以经过n(n∈N·)次操作后，区间长度变为 1 m 数f(a)=1-g(b)≥- ，即g6)≤；，中 1 5 7 令1之0.01，解得≥7，且n∈N, g(6)=62-2b-4≤5，解得-2≤b≤2· 故所需二分区间的次数最少为7 二、选择题 4.B【解析】令f(x)=0,则sin2x=0,2x= 7.ABD【解析】由题中参考数据可得根在区间 (0.4375,0.75)内，故通过观察四个选项， π，k∈Z.解得x=2,k∈Z 符合要求的方程近似解x。可能为0.525，x。不 可能为ABD选项. 则在（一4,0）内有-受，一元两个幸点，故排除选 8.ABC【解析】对于A,苏打水的pH是8， 项A,D:又f(x)不具有奇偶性，则图象既不关于 即pH=-lg[H+]=8,所以[H+]=10-, 原，点对称，也不关于y轴对称，故排除选项C. 即苏打水中的氢离子浓度为108摩尔/升，所以 5.B【解析】设函数f(x)=sinx在区间[0，π]上的 A正确： “中值点”为xo,由f(x)=sinx,得f'(x)=cosx, 对于B,胃酸中氢离子的浓度为2.5×10日摩尔/ 则由拉格朗日中值定理得，f(π)一f(0) 升，则pH=-1g(2.5×10-8)=-lg2.5 f'(x0)(π-0)，即πcosx0=0,而x。∈(0，π)， -lg108=2-(1g10-lg4)=1+21g2≈1.6， 所以B正确： 则x。=艺即画数fx)=inx在区间[0，]上 对于C,海水中的氢离子浓度是纯净水的101.“ 的“中值点”的个数为1，因此m=1. 倍，则海水的氢离子浓度是101.“×109=10&6， 设函数g(x)=e在区间[0,1]上的“中值，点”为 因此pH=一1g10-=8.6,即海水的pH是 8.6,所以C正确： x1,由g(x)=e,求导得g'(x)=e, 由拉格期日中值定理得，g(1)一g(0)=g'(x1) 对于D,若某种水中氢离子的浓度为4×10-？摩 尔/升，则pH=-lg(4×107)=-lg4一lg10?= (1一0)，即e一1=e, 7-21g2≈6.4，而6.4不在6.5-8.5范围内，即 令函数h(x)=e-e十1，x∈(0,1)，函数h(x) 可得该种水不造合饮用，所以D错误. 在(0,1)上单调递增，h(0)=2-e<0,h(1)=1>0, 三、填空题 则函数h(x)在(0,1)上有唯一零点，即方程e一1= 9.10【解析】因为a=102-台lga=7一a,所以a e在区间(0,1)上有1个解， 是方程gx=7一x的根.又因为lgb=10- 图此函数g(x)=e在区间[0,1]上的“中值点” -3白101-=7-(4一1gb),所以4一lgb是方 的个数为1，即n=1, 程10=7一x的根. 所以m十n=2. 又因为y=lgx与y=10互为反函数，其图象关 6.D【解折】当a<1时，fa)--(侣十 于y=x对称，且直线y=x与y=7一x的交点 1 -日+》- 的横坐标为2，因为直线y=7一工与y=工垂 克，所以2十4gb》一7→a+(4一1gb)一7， 2 令1=，由于a<1且a≠0，所以>1减0， 又图为lga=7-a,所以(7-lga)+(4-lgb)= 所以0-+》”-之- 7→lg(ab)=4→ab=10°. 所以fa)的取值范国是[子+o 6 当a≥1时，f(a)=ln(a+2),所以f(a)的取值 1=10 范图是[ln3,十o). 3 =7-x 蛛上可得，fa)的取值范国是[子+e四 y=lgx 要存在实数a,使得f(a)=1一g(b)成立，则函 2-1123456入89 ·17· BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 12 10.7.5【解析】当1=2时，y=a1og:2中1-2a,由 12时，可得y≈5.07，与实际数据差别较大， 若选函数模型y=Ta(T>0,a>1),将点(2， 121 alog:+12a,得t=62-1≈7.5. Ta2=0.4, 0.4),(4,0.8)代人可得 Ta'=0.8, 解得a= 四、解答题 1 11.解：设汽车油箱中余油量Q(L)与它行驶时 2,T= 间t(h)之间的一次函数关系为Q=t十b, 1 依题意得伦-60：解得使-5 所以y=5(W2),当x=12时，可得y=12.8, 所以油箱 20=8k+b,1 b=60, 符合题意 中余油量Q和行驶时间：之间的函数关系式为 综上可得，最符合实际的函数模型为y=Ta, Q=-5t+60(0≤t≤12).当Q=0时，t=12, 所以在不加油的情况下，汽车最多能行驶12h. 解折式为y-(@) 最远距离：=40×（号×12）小-240(km. (2)由题意知，利润y(百万元)与投资成本x(百 万元)满足关系式 由于在离出发地80km处有加油站可供加油， 如果在返程时加油， y g·ar,0Ka<12, 则油箱中的油只需够用到加油站即可返回出发 -0.2(x-12)(x-17)+12.8,x>12, 地，也就是汽车可以再行驶40km,即280km, 要获得不少于一千万元的利润，即y≥10. 进一步探索，如果驶离出发地的途中加一次油， 当0<<12时，2yr≥10，即x≥2×10g50= 返回时再加一次油， 则相当于以加油站为出发地最远行驶240km, 2Xg50 2×2=g2≈11.3，又因为0<x≤ 因此汽车实际最远可行驶320km. 1g2 1g2 12,所以11.3x12: 12.解：(1)最符合实际的函数模型为y=Ta(T> 当x>12时，-0.2(x-12)(x-17)+12.8≥ 0,a>1). 10,可得x2-29x+190≤0， 理由如下：若选函数模型y=Ax2十B(A>0),将 解得10≤x≤19，又因为x>12,所以12<x≤ 点(2,0.4)，(4,0.8)代人可得A+B=0.4, 19.综上可得，11.3x19. 16A+B=0.8, 所以要获得不少于一千万元的利润，投资成 解得A=动B=所以y=动+当 本x(百万元)的范围是11.3,19. BX *18