周测评(六) 一元函数导数的综合应用-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（BX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（六） 数学·一元函数导数的综合应用 (考试时间40分钟，总分100分》 一，选择题（本题共6小愿，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个进项中，只有一项是 符合题日要求的) 思号 答案 1.若曲线y“(ar十1e在点0,1D处的切线方程是2x一y十l-0.则a- A.3 2 C1 B.0 2 A.c>a 且￥>b> C.bea D.> 雨数y一f上)的图象如图所示y一')为函数y一f)的导雨数，期不等式) <0的解集为 C) A(-3.-1) 且(0.10 C(-3.-1U0,I) D(-o0,-3》U1,十oo) 4若雨数fx)=+4与g(红)=x1一2图象的交点为A,则面线y=/(x)在点A处的 切线与坐标帕围成的三角形的面积为 A4 B6 c号 nS 5.已知函数f(x》=“一e在[0，十a)上单周遵赠，则2的取值范围是 A[0,十oe) B(1,+oo) C.(e,+oo) D.[2e,+ao) 学科索养周测浮（六】数学第1页（共4页） 衡水真 瓦，中国古代遣筑的主要受力构件是梁，其藏面的事本形式是矩形如图，将一根面为圆 形的木材加了制成属面为矩形的震，设与承霞重力的方向垂直的宽度为王，与承线重力 的方向平行的高度为￥：记矩形截面基抗矩W一言y入根据力学原理，靓面抵杭矩感 大，梁的抗考由能力越数，侧宽x与高y的最佳之比应为 CI D,2 二，滋择驱（本露共2小题，每小想6分，共12分.在每小赠给出的选项中，有多项符合题日 亚求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分} 题号 7 答案 7,设a≠0，若x=a为函数(x》=a:一▣)(x一6的极小值点，则下列美系可能成这的是 A.a>0 I 且a>0且m<b Ca<0且ab D年<B且a>6 8.已每函数f(x)▣x 至-3无记f心x)的楼小植点为1，极大值友为，则《》 A,1中r:=3 且x1<x C.f(x1》十f(x》=-3n2 D./(nfG) 三，真空题（本驱共2小驱，每小题6分，共12分】 设函数/)者01-1，道。 10.已知属数fx)=c,R(x)=a(x一1)，a∈R,若f(x)的阁象氧在R(x)的上方，期寞 数丝的取值范围是 递密卷 学科素养周测坪六)数学第2页（共置} X 四，解答题（本题共2小蒙，共和分.解答应写出文字说明、证明过程或演算密骤） 11,《2⑩分)已知￥1F:是三次函数f(x)一x十4十r的再个非零零点，￥，0，x>0 2.0分记知话数-头. e +言 (1)当a=1时，求由线￥=「(x)在点（一1，f(一1）)处的切线方程： (2)若（红）有两个不同零点1：求￥的取值范用并任明王1十>0 (1)求a,5的值及f(x)的单到区间， (2)若材任意x∈[1]，不等式f(x》<-e怔成立，求c的取值范国 BX 学科素养周测悴六】数学第3页共页) 衡水真题密程 学科素养周衡坪六)数学第4页（共4页}衡水真题密卷 处的切线方程为y-2=x,即x一y十2=0. (2)由已知得f(0)=f'(0)十a=2,又由(1) 知f'(0)=1,所以a=1. 故f(x)-x十cos2x+1,f'(x)-1-2sin2x, x∈[0，x], 由f)>0,得0：<或晋<<： 2024一2025学年度学科素养周测评( 一、选择题 1.C【解析】由题意，y'=ae+(ax十1) e'=(a.x+a+1)e, 在点(0,1)处，y'=a十1，因为曲线在点(0,1)处 的切线方程是2x一y+1=0, 所以曲线在，点(0,1)处的切线斜率为2，所以a十 1=2,解得a=1. 2.B【解析】设函数f(x)=lnx一x,则f'(x) -1,当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)为增函 4f传）>》年a号号>1加日司 3 c,因此a>b>c, 3.C【解析】由图象可知，在区间（一∞，一3）， (-1,1)上，f(x)<0, 在区间(-3，一1)，(1，+∞)上，f(x)>0,又 f'(z) <0可以转化为 x>0, 或 x f'(x)<0 |x<0, f'(x)>0, 故可解得0<x<1或一3<x<-1, 所以不等式'()<0的解集为(-3，-1DU(0, 1). 4.B【解析】由f(x)=g(x),得x3-x2+2x十4 0,设h(x)=x3-x2+2x十4，则h'(x)=3x8 2红+2=3-+号>0，所以A)为R上 的增函数， 国为h(-1)=0,所以A(-1,3).又图为f(x) 3x2,则f'(-1)=3,所以曲线y=∫(x)在点A 处的切线方程为y-3=3(x+1),令x=0,得y= 6,令y=0,得x=-2, 则所求三角形的面积为2×6X2=6, BX 学科素养周测评 由fx)0,得<x< 5π 故x)在[0，上的单调递增区间为0，)和 臣：单调递减区间为侣阅 数学·一元函数导数的综合应用 5.B【解析】当a≤0时，函数f(x)=e一e在 [0,十∞)上单调递减，不符合题意，所以a>0. 由题可知f'(x)=ae一e≥0恒成立，即ae“≥ e,令g(x)=xe2,x∈[0，十∞)， 则g'(x)=(x十1)e≥0，所以g(x)在[0，十o∞) 上单调递增，由aer≥e, 可得axe'x≥xe,即g(ar)≥g(x),所以ax≥ x≥0，所以a≥1， 当a=1时，f(x)=0,不符合题意，故a的取值 范围是(1，十∞). 6.B【解析】设圆的直径为d,则x2+y2=d,所 以y2=d-x2, w-名d--名(-+x.0<d. 6（-3x+d)=0,x= 34, 由w>0,解行0<x<3d:由w'<0,解得x> 9, 所以w在bd到单满递增，在停d)单羽 递减， 所以当x= 3d时W取最大值， 3 此时y= ld- 3 2 二、选择题 7.AC【解析】由函数f(x)=a(x-a)2(x-b), 可得fx)=3ax-a)(-a+26) 3Γ ◆f)=0,可得x=a或工=+2h, 3 要使得x=a为函数y=∫(x)的极小值点， ·数学· 当a>0时，则满足a十26 3 <a,解得a>b,所以A 正确： 当a<0时，则满足“青25>a,解得4<6，所以C 正确 8.ACD【解析】f(x)的定义城战为(0，十)，f'(x)= 1+2-3--3x+2e-10x-2 t? T? 由f'(x)>0,得x>2或0<x<1:由f'(x)<0, 得1<x<2, 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调 递减，在(2，十0∞)上单调递增， 所以极大值，点为1，极小值点为2，即 工1=2所 x2-1, 以x1十x2=3,故A正确x1>x2,B错误： f(x:)+f(x:)=f(2)+f(1)=1-3n2-1= -3ln2,故C正确； 由(x)在(1,2)上单调递减可得∫(1)>∫(2)， 即f(x1)<f(x2),故D正确. 三、填空题 9.1【解析】由题意可知(x)-2ez十a)-e2 (x+a)3 里r0=1.2 整理可得a2一2a十1=0，解得a=1. 10.[0,e2)【解析】因为f(x)=e,则f'(x)=e, 设切点坐标为(xa,eo),则切线斜率k=eo, 可得切线方程为y一eo=eo(x一x）.注意 到g(x)=a(x一1)为过定点(1,0)，斜率为a的 直线， 把(1,0)代入切线方程可得-e0=eg(1一xa), 解得xo一2，即过定点(1,0)的切线斜率为e2, 若f(x)的图象恒在g(x)的上方，则0≤a<e2 =e2(x-1) g(x)=a(x-1) e 四、解答题 1解，已知得上+-=吉得 I1 T2 r1x2 -3(x1十x),(x2-x1)2=(xg+x1)2-4z1x2= 45,又x1<0,xg>0,联立解得x1+xg= 参考答案及解析 3,x1x1=-9,所以a=-3,b=-9. 所以f'(x)=3x2-6.x-9=3(x-3)(x十1)， 令f'(x)=0,解得x=3和x=一1， x∈（一∞，-1）时，f'(x)>0,f(x)单调递 增：x∈(-1,3)时，f'(x)<0,f(x)单调递 减；x∈(3，十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. x=一1和x=3是f(x)的极值点， 故f(x)的单调递增区间为（一∞，一1）， (3,十∞)：单调递减区间为（一1,3）. (2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x在(1,3)单调 递减，在(3,5)单调递增， 要使得对任意x∈[1,5]，不等式f(x)<c2-c 恒成立，则需f(1)<c2-c且f(5)<c2-c, 故f(1)=-11<c2-c且f(5)=5<c-c,解 得>1+，@团或<1团 2 2 所以c的取值范围是(-，1一，②)U (t+ 12篇，当a=1时1)-+fe x-名易知f0-)-2(-0-e-1, 所以曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线 1 方程为y-2=(e-1)x+1)→(e-1)x-y+ 1 e-2=0. （2)由已知可得e)=x一芒=2 e-a ①若a<0,则x>0→f'(x)>0,x<0→f'(x)<0, 即y=f(x)在(0，十∞)上单调递增，在(-∞， 0)上单调递减，f(x)≥f(0)=a. 又f(-1)=2>0,f0)<0,2+∞时y f(x)→十∞，所以函数存在两个零点. ②若a=0,:)=,显然不符合题意。 ③若a>0,令'(x)=0→x=0或x=lna, 当a>1时，令f(x)>0→x<0或x>lna, 令f'(x)<0→0<x<lna, 即y=f(x)在(0，lna)上单调递减，在(-∞，0) 和(lna,+∞)上单调递增， 函数极小值为f(Ina)=2(na)P+lha+1> BX 衡水真题密卷 0,函数极大值为f(0)=a>0, 此时函数至多有一个零点，不符合题意： 当a=1时，f'(x)≥0，则y-f(x)单调递增， 至多有一个零点，不符合题意： 当1>a>0时，令f'(x)>0→x>0或x<1n a,令f'(x)<0→0>x>lna, 即y=f(x)在(lna,0)上单调递减，在(-o∞，ln a)和(0，十∞)上单调递增， 函数极大值为fna)=2ha+1D+宁>0， 函数极小值为f(0)=a>0, 此时函数至多有一个零点，不符合题意； 综上所述，a<0时，函数有两个零点x1,x,则 2024一2025学年度学科素养周测评（七 一、选择题 1.D【解析】因为角2a与120°角的终边相同， 所以2a=120°+k·360°(k∈Z),则a=60°+k· 180°(k∈Z),所以tana=5. 2.C【解析】原式=sin2≈sin(2×57.3)=sin(90°+ 24.6)=c0s24.6°. 3.C【解析】已知角a终边上有一点P（sin o),即点P停，》所以a=- 2kπ(k∈Z), π 所以元一a二6 一2kπ(k∈Z)为第三象限角. 4.B【解析】显然 1-sin a 1+sin a 1+sin a 1-sin a /(1-sina)' /(1+sina)' 1-sin a 1-sin2 a √1-sina Icos al 1++sin a 2 Icos al Icos aT' 2 因此cosa一eo5。从而cosa<0,所以。 终边落在第二象限或者第三象限或者x轴的负 半轴上 5.C【解析】设圈台的上底面半径为r,下底面半径 为R,利用孤长公式可得2r=三开X12,解 得r=4, 2R=号x×21,解得R=9.又国台的号钱长为1= 27一12=15，所以圆台的侧面积S=x(4十9)× 15=195元. BX 学科素养周测评 x1,xg一正一负。 不妨令x1<0<x,设F(x)=f(x)一f(-x)→ F'(x)=f'(x)+f'(-x)=ax(e-e), 令g(x)=e-e4→g'(x)=e十e>0,即 y=g(x)在R上单调递增， 所以x>0→g(x)>g(0)=0, 故x>0时，有F'(x)<0, 故F(x)在(0，十∞)上单调递诚， 即F(x)<F(O)=0,所以x>0时，f(x)≤f(-x), 则f(x1)=f(x:)≤f(一x2), 又因为y=f(x)在（一∞，0）上单调递减， 故x1>一x→x1十x2>0,证毕. 数学·三角函数的概念及诱导公式 6.A【解析】令m=0十7，则0=m一7，c0sm一 号，从而4sm9”-0)小+eos0+2号） 4n[-(m-】+os[a-》+2号别- 4sin(经-m+eosm+3a)-5cosm-2。 二、选择题 2023∠1， 7.BD【解析】由0<sin0+cos0=20241 (sin 0++cos 0)*=sin20+2sin 0cos 0+cos0= 1+2sin 0cos 0<1, 故sin cos0<0,所以角0的终边可能在第二或 第四象限 8.CD【解析】由题意可知，点A的起，点所对的角 为0=子，点B的起点所对的角为月=0， 在1s来时，点A所对的角e1=2十a,=2十子 所以点A的坐标为(os2+）sin(2+) 故A错误：在2s末时，点B所对的角32=6十3= 6,所以，点B的坐标为(cos6,sin6),故B错误： 在2s末时，点A所对的角a:=4十a0=4十3， 则劣孤AB所对的角为P一Q=2-三，所以劣孤 AB的长为2-行，故C正痛：