周测评(二十) 双曲线与抛物线-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

衡水真题密卷 学科素养周测评 2+y-1,由PF⊥FQ有z。-1D(2-1D+ x 则MP=(层厂+= -4+x十 y。·yo=0,即ya= _1-,由k0≠0，故 yo -4++1-营--3+ yayo yo 2-xo Io-IM IM,·MA:-(经+E(层-)- 即M=x。-o(②-xa) ya-yo x0 y(2-xo） 1-x0 2.则MPP-MA·MA:-号-3+ yo yo -》e-) +2-营1，由-2<<顶，故2-1K0, y8(2-xo) x0一1-x0-y8 即|MP|2<MA:I·IMAz. 2-xo x8-2x6-2x十4_x8-2x6_x8-2x6-2o+4 x6-2x0 x8-2x0 x6-2x0 2(x。-2)2 x(x-2)x0 由G:号+y=1可得A:(一，0A:02,0 2024一2025学年度学科素养周测评（二十）数学·双曲线与抛物线 一、选择题 F(?,0小，根据抛物线的对称性，不坊设 1B【解析】记两渐近线的交点为O,设号一岩一 p(3pQ(台，- 1(a>0,b>0),双曲线实轴长为2a,焦距为2c, 由双曲线的定义得OA=a,OF=c,其渐近线方 当点E的坐标为（号+2,0）时，kam=多-0=2， 程为m:y b n:y=- t. 多-0 (BF b 由BF⊥m知，BOa' 。0=号国为m·km一2，所以 所以|BF|= --2 OF:=OB2+FB2, b,1OB|=a,图为1OA|=|OB1,AB⊥n,得n为 2X号=-2，则p=-2(不合题意，舍去)：当点E ∠BOA的平分线所在的直线， 记n交AB于点H,根据渐近线的性质，有 的坐标为号-2,0)时km-g二公=-名， -2- ∠HOA=∠BOF,综上，∠HOA=∠BOF= ∠HOB=于，则m与n的夹角的正切值为，3. 因为k如m·km=-2,所以2X(-号）=一2，则 p=2,所以抛物线C的准线方程为x=一1 2.A【解析】由抛物线的方程y2=2px(p>0),得 AX ·32▣ ·数学· 参考答案及解析 3B【解析】如图，依题可知，抛物线的准线方程为5.C【解析】以轴截面抛物线的顶点为原点，对称 x=一c,过点A作AA'垂直于x=一c交x=一c 轴为y轴建立平面直角坐标系， 于点A', 作AM⊥x轴，交x轴于点M,则∠A'AF1= ∠AF1F2=30°.设|AF1|=2n,则|A'F1|=n A'Al=3n, AMI=A'F=n,AF2=AA'=3, 当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴裁面 |FM=3n,IMF2|=√AF2-AM平 的方程为x2十(y一r)=r2(r>0). E,所以乙AF,F-XF-n IMF:2n_6 因为抛物线的通径长为1，则抛物线的方程为y= 3 x2,代入国的方程消元得x2[x2+(1-2r)门-0， 所以原题等价于方程x2[x2+(1一2r)门=0在 [-r,r]上只有实数解x=0.由x2[x2十(1- 2r)]=0,得x=0或x2=2r-1,所以2r-1≤0 或2-1D,即≤号我-1D0 因为r>0,所以0< 4.B【解析】圆C:(x-1)2+(y-3)2=r2(r>0) 6.A【解析】由P在双曲线上，将P点坐标代入 的国心C(1,3),当MN是圆C的直径时，直线 双曲线方程，入=(35)2-3×42=-3， MN的斜率为2，设直线MN的方程为y一3= y=2.x+1, 所以双曲线的方程为)y一写=1双南线的餐志 2(x一1)，化简为y=2x十1.联立 消 y2=2px, 在y轴上，a2-1,b2=3,所以c2=a2+b2=4, 去y可得4x2+（4-2p)x+1=0,设M(x1, 所以c=2,双曲线的焦点坐标为(0，士2)，抛物线 y),Nxy),所以x1+x=2p-4 x2=2py的焦点坐标为(0，)，国为抛物线与双 4 因为C是MN的中点，所以1十=1→2p二4 曲线的焦点重合，所以号=2，所以抛物线的准线 4 方程为y=一2，p=4,抛物线的方程为x2=8y, 2,解得p=6,故F(3,0),l:x=一3.由抛物线的 1 定义可知，过点M作MH⊥l交l于，点H, 即y=8x, 过点C作CP⊥l交l于点P,所以MF|=MH, 所以r+|MF|=|MCI+|MF|≥CPI=4, y=.设A红1，Bg,初线PA 当C,P,M三点共线时取得最小值 PB的斜率分剥为}11，切线方程分别为 1 y-1=红-xy-y=子红-x 1 将P的坐标及=日：=日代入，基理得 x1-65x1十32=0，x-65x2+32=0,可得 x1,x2为方程x2-65x十32=0的两个实数根， 由根与系数的关系得x1x2一32，x1十x2= ·33▣ AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 65,lAF1·|BF|=(y1+2)(y2+2)= (g+2信+2)=（ax)户+(+ )+4=x1x)+x十x,2-2红1x]十 W O 4=64×32+号×[65)2-2X3]+4=49. 二、选择题 因为|PF|=|PA|,所以|PA|=PQl,即，点Q与 7.ABD【解析】对于A,由题意得F(1,0),准线方 点A重合，则PQ⊥y轴，则∠PQF=∠QFW= 程为x=一1，设准线与x轴交于点W, 过点P作PA⊥抛物线C的准线，垂足为A,由 吾又WF=2,则1QF1=WF-2X2=4,所 抛物线定义可知，PF|=|PA|, c083 则|PQ|+|PFI=|PQ|+|PA|,故当Q与点A 以|PQ|=PF|=4,故点P的横坐标是4一1= 重合时，IPQ+|PF|=2PA取得最小值， 3,故D正确. 8.ABD【解析】对于A,当点B与原点O重合时， 显然，当P与点O重合时，|PA|取得最小值 直线AB的斜率为1，设A(m,m),则|AC=2m= IOW|=1,故PQI+|PF|=2PA|的最小值为 2,可得m=1.将(1,1)代入抛物线方程，可得1= 2,故A正确； 2p,解得力=7，所以抛物线方程为=工，故A 正确： 对于C,因为kC=二兰=1，若AC的中 yi-yi y1+ys 点纵坐标为yo则c=y,十y,一2列。，故C 错误； 对于B,由A选项知PQ≥|PA|=|PF|,当点 对于B,设直线AB的斜率为k,则k= y1+y2 Q与点A重合时，等号成立，故B正确： 对于C,当点P的纵坐标为4时，令y2=4x中的 量则+g名= y=4得，x=4,故P(4,4),假设存在，点Q,使得 因为1-%=(01十)-（十）=是+k QF=3F户，则点Q为直线PF与准线x=一1的 交点， 1十>0，可得k>0,故B正确： 直线PF的方粗为二8-号中红-3y一4 对于D,由|AB|=|BC可得，(x1-x2)2+(y: -y2)2=(x2-xa)2+(y2-y3)2, 0,在4红-3y-4=0中，令x=-1,得y=-3 即1+(》-1+1-为()，由 故点Q-1,-） 质>0，可得(*)试等价于号（侵-3g）=2+,即 此时Q=(2,),F币=(3,4，此时Q庐- (2k2+2k)y2=1-k3, 1-k8 1-8 币，故C错误； 化简得1=2欢十2当k=2时，一8+4 2 对于D,若△PQF是等边三角形，则|PF|=|PQI, 2，故D正确 AX ·34▣ ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 ma=,记f@)=兰（号》，则f0) 号【解折因为PF,-PF,川=2a0a< 1),且F1F2=2>2a,所以点P在以F1,F2为焦 点的双曲线上，c=1,b2=1一a2.设P(x,y),因 Q(0,3),则PQ=(-x,3-y).m=(1,-2),由 单调递减且恒为正数，故∫)= 2在t∈ 于P0/m,y=-2x十3. 若直线y=一2x十3与双曲线的一条渐近线平 行，此时直线与双曲线只有一个交，点 2x 上单调递增，则有f(t)≤ 所以-二a-2,解得a=5 a 2√2，故tan∠APB的最大值为2√2. 10.22【解析】如图，依题意，曲线C上任意一点 M到定点F(1,0)的距离等于点M到定直线l: x=一1的距离，故点M的轨迹是抛物线，其轨 迹方程为C:y2=4x.设直线AB的方程为x= y+2,由 y2=4红；。消去x得y2一4my x=my+2, 8=0,不妨设A(x1y1)(y1>0),B(x2y2),则 必有4>0且y1十y2=4m,y1y2=-8,分别记 直线PA,PB的斜率为kA,kPw,则PA十kPm= 四、解答题 2+2=”2t2 (x1+2)(x2+2) 1.解：1)椭圆号+y°=1的焦点为（士2,0，故 (停++(+) a2+b2=4,由双曲线的渐近线方程为y= (x1十2)(x2十2) 得，得名-停放6=1a=放双商线方 2o++2+ 程为写-y-1 (x1+2)(x2+2) (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M, g+2+2 (c1+2)(x2+2)=0,所以∠APQ=∠BPQ 因为M在直线1：y=子上，故yw-子w (两直线的斜率之和为0，则两直线关于x轴对 而醇--1，度1放40》 称).设∠APQ=a,则tana=2 y1= +2上+2 y1-y2)(y1+y2)=0, 4 即1一4xu-(0y一)yw=0.由题设可知 3 1 +2 2,当且仅当y1=22时 AB的中点不是原点，故x0yM≠0，所以当二业 4+2×√2 x1-x2 2 xM=1, 等号成立，所以0<tana≤2 3yM (利用基本不等式 故直线AB的斜率为1.此时AB:y=x一xM十 求出tana的范围)， 2 Bt-t- 2 1一tan。不妨设 2tan a CM,由 y=x一3工M'可得x2- 则tan∠APB=tan2a= x2-3y2=3, ·35 AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 3-号w)'=3,整理得2x2-红wr+ 即Dc1y).E()都在直线%-苦 号或+3=0，当4=16-8（停+3） ,-L, 9-20,即w<- 或xw>3y2 化简得lDE:xox=2(y+yo). 2 2 将直线DE的方程代人C:x2=4y得x2一2xox十 即当<3号或w>3时，直线AB存在 4yo=0, 2 则x3十x4=2x0,x3x4=4yo, 且斜率为1. 12.解：(1)设点A(x1y1),B(x2y:), 则加m安之头 由：=，可得-2x-2p=0, (x-4ya)·(x-4y） x-y+1=0, 16(xg-xo)·(x4-x0) 则x1十x2-2p,x1x2--2p, (x3x4)2-4yo(x号+x)+16y8 |AB|=√1+k2·√(x1+x2)-4x1x2=√2X 16(4y。-x) 16y6-4y(4x6-8y)+16y6 √4p2+8p=8,解得p=2, 16(4y。-x8) 即抛物线C:x2=4y. 2ya(4y0-x) (2)设点P(x0,yo),D(x3,y3),E(x4y4),其 2(4。-x)=y, 中x3≠x0x4卡x0 又P(xo,y0)为圆x2+(y+1)2=1上一点，则 由C2-4w,即y-子y-受 一2yo≤0，故(km·kE)m=(yo）m=-2. 则lpy一4=2 xi_(x一x y-42 则有 -受 2024一2025学年度学科素养周测评（二十一）数学·圆锥曲线综合 (含直线与圆的方程) 一、选择题 1.A【解析】因为(2x十yi)(2x一4yi)=4x2+4y2 可如千2号×，解得m1 -6xyi,所以4x2+4y2=4,即x2+y2=1. 所以C1的长轴长为2√m+2=23】 ,2+y 3.C【解析】设双曲线的右焦点F(c,0),过第一象 2D【解析】因为精圈C:m十m十21m>0), 限的渐近线方程为y-白 , 2 所以椭圈C,的离心率为1一√m十2 当z=c时y答即N)又M)因 x 3_6 C:2y2=1的离心率- 「一2，由题意 为M是线段FN的中点，所以-号.c,得 AX ·36·2024一2025学年度学科素养周测评（二十） 数学·双曲线与抛物线 (考试时间0分钟，惑分100分》 一，选择题{本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 断号 4 5 6 容案 1,设双曲线C的一支的焦点为F,另一支的顶点为A,两新近线分别为测，，若点B在测 上，且BF⊥m,ABLn,期网与知的夹角的正切值为 C) A哑 且、厚 C,2 D.5 2已知过抛物线C:y2一2x〈>0)的焦点F的直线垂直于文轴，且与抛物线C交于 P,Q两点，点E在：铂上，且|EF引=2若m·k四=一2(O为坐标？点)，期C的准 线方程为 Ax=一1 C.x--2 [3已知辆圆E,舌+片-1a>b>0)与范物线C,-2pr(p>0)在廊一象限的公共点为 A,厢慨的左，右焦点分期为下，F,其中右焦点与抛物线的焦点重合，已知∠AF:F, 30,则%∠AF:E1= ( 停 B号 c鉴 n号 4.已知点M,N是张物线T:y=rp>0》和动周C:(x一1户十(y一3)2=r2(r>0)的两 个公共点，点F是Γ的焦点，当W是圆C的直径时，直线MW的薛率为2，则当r变 化时，+MF的最小值为 A.3 且4 C5 D.6 品已知·个玻璃酒杯落酒都分的敏藏面是抛物缇，儿通径长为1，观有…个辛径为r(> 心)的玻璃球放人该玻璃带杯中，要使得流敲璃球接触到杯底（盛清郡分），黑，的和值范 围是 A(0,2] a臣网 co ao 学科素养周测评（二十】数学第1页（共4夏） 衡水真 6.已知数物线C1:x2=2y(>0)与礼曲线C:x3一3y2=1有一个公共焦点F,过C:上 班 一点P35,间C,作两条线，钢点分别为A,B,测AF·BF= A.49 R68 姓名 C,2 D.52 二，选择题（本置共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 得分 要求，全部选对的得6分，部分进对的得部分分，有选情的得0分) 恩号 8 答案 3.在平面直角生标系O中，戴物线Cy一正的焦点为F,点P在抛物线C上，点Q在 抛物线C的准线上，则 APQ十PF的量小算是2 PQPPI C当点P的纵坐标为4时，存在点Q,使得Q示-3F下 D若△PQF是等边三角形，期点P的横坐标是3 8.已知A(r1,y),B(xty:),C(x,y,)(y:>y:>y)为揽物线y3一2x〔p>0)上的三 个点，且AB⊥BC,1AB|=|C1,当点B与原点O重合时，IAC=2,则《》 A.抛物线方程为y一1 且直线A形的顺斜角必为锐角 C若线段C的中点枫坐标为则C的斜率为 ya 口当A出的斜毕为2时，B友的纵至标为子 三，殖空题{本愿共2小驱，每小题6分，共12分) 9.已知0为坐标原点，F,(一1,0)，下：(1,0)，Q(0,3),向量m=《1,一2)，动点P满足 P可m,可出一个a.使得有且只有一个点P同时满是PF,1一PF,l=20<a< 1》,周a一 10,已知线C,直线1：x=一1，点F(10),P(一2,0)，以准就C上任意一点M为阅心、 MF为半径的圈与直线！相切，过点Q(2,)的直线与由线C交于A,B两点，用 tn∠APB的最大值为 蹈密在 学科素养周测浮二十)数学第2页（共4页1 AX 四，解答面（本题共2小题，共和分.解答应写出文字镜明、证胡过理或演算步理】 12.(0分)设抛物线C:x-2y(P>0),抗线r一y十1=0与C交于A.B两点.且 北(20分记知双角线C后-若->0b>0的焦点与精圆写+y一1的焦点重合。 AB-8 (1)求抛物线C的方程： 其渐近线方程为y=士云 (2)已知点P为屏x十(y十1)一1上一点，过点P作燕物线C的两条切线PD,PE, 1)求双曲C的方程； 设切点分别为D,E,试求直线PD,PE斜*之积的最小值. 2者A,B为双角线C上的两点且不关于单点对游，直线14y一宁过AB的中点，求 直线AB的斜率， AX 学科素养周测浮（二十】数学第3页（共4页） 衡水真蹈密在 学科素养周测博二十》数学第4页（共4页引