周测评(十五) 立体几何初步——空间几何体-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十五） 数学·立体几何初步一空间几何体 (考试时间40分钟，总分100分) 一、透择愿本题共6小驱，每小题6分，共6分，在每小题给出的四个遗项中，只有一项是 符合题日要求的) 题号 2 5 答案 1,已知圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是一个半国，则该到锥的时线长为( A.4 C.3 n 2.下列金题正确的是 A.有两个面互相平行，其余各面都是四边彩的几何体叫棱柱 B棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C棱桂的侧面都是平行四边形，底面不是平行四边形 D棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 3,球而按平面断我得的一部分叫敏球冠（如图1）.球冠是由面，是健面的一那分，规得的割 叫做球冠的底，垂直于载面的直径被餐得的一段叫敏球是的高.阿基米德首在落作（论 球图桂)中记录了一个被后人称作“Archimedes'Hat-Bax Theorem"的定理：球冠的表 而积=？贴（如图2，这里的表面积不含张面的圆的面积，某同学制作了一个工艺品： 如图2所示该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截日剩余 的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一 个酸面圆的周长为2x,则该工艺品的表面积为 图2 A.20z 且(246-aa}r C.18x D.12x 4.在正方体ACD-A:BCD1中，控长为2，M是CD的中点，则点M到平面AB:D的 距离为 9 85 C2 6 学科素养周测评（十五）数学第1页（共4页） 衡水真 5,在正四棱台ABCD-AB,CD1中，AB=4,A:B1=2,AM1=万，若球0与上底面 班圾 A:B:CD,以及棱AB,BC,CD,DA均相切，则球O的表面积为 A.9m B 16x C,25x 姓名 D36开 6.已知三棱能P一ABC,底直ABC星边长为2的正三角形，且PC⊥平面ABC,PC一2， M为PB的中点，N为平面PAC内-一动.点，则MN+NB的最小值为 得分 A22 我2+② C.3 D.2 二，遮择驱（本蓝共2小题，每小题6分，共12分.在每小霜给出的选项中，有多项符合题目 复求.金部进对的得6分，部分进对的得部分分，有选铺的得0分1 题号 8 答案 了，已知闭膝S0的侧面积为4，底面圆的，长为2，周 A.圆第的母线长为4 且图蛛的母线与底面所成角的正弦值为 C图紫的体积为 3安 铅看哥躲母线的中点裁圆架新得圆台的体积为'店。 8,如图，在四棱体S-A以D中，SA⊥平面ACD,底面ABCD是正方形，且SA-AB= 《,点E为SC的中点点F澜足AF=AA5,A∈(O,1,平面BEF交SD于点G,则 AEF+D的最小值为42 且三棱体E一BFD的体积不变 C若A-}则元-等50 血若-则边形F的面积为 3 蹈密在 学科素养周测浮十五)数学第2页（共4页引 AX 三，填空面（本题共2小题，每小题6分，共12分 12.(即分)如图，在五面体A议DE中，四边形AD的对角缓AC,BD交于点F, 9,如图，已知正四棱柱ACD-A,B,C,D,的底面边长为2，衡棱长豆，奶树这个正四棱 △ABC为等边三角形.AB上AD,BC⊥CD.AE=CE=4,AB=2 住，得到四位锥A1一B,D,D,则这个四棱证的表面积为 3 (1)证明：AC⊥平面BDE. (2)者AB⊥GE,求五而体的体积 10.在边长为4的正方彩ACD中，如图1所示，E,F,M分则为BC,CD,BE的中点，分 别沿AE,AF及EF所在直线把△AEB,AAFD和A.EFC折起，使B,C,D三点重合 于点P,得到三棱雏P一AF,如团2质示，则三校雏P-AEF外接球的表面积是 :过点耐的平面藏三棱银P一AEF外接球所得裁面的面积的取值范国 是 图 图2 四、解答题引本题共2小题，共0分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤)】 IL.(20分)知图，在正方体ABCD-A:BCD,中，棱长为2，E是线段AA1的中点，平面 a过点D1C,E, (1)面出平面@正方体乐得的截面，并说明原因： (2)求(1)中观而多边形的而积： ()平面：餐正方体，把正方体分为两年分，求比较小的部分与此较大的部分的体积的 比值. AX 学科素养周测浮（十五）数学第3页（共4瓦} 衡水真蹈密在 学科素养周测博十五)数学第4页（共4页引·数学· 2024一2025学年度学科素养周测评（十五） 一、选择题 1A【解析】设母线长为l,由题意，可得πl=2xX 2,解得1=4，即圆锥的母线长为4. 2.D【解析】对于A,如图所示满足有两个面互相 平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱 柱，故A错误： 对于B,正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有 一对面为底面，故B错误； 对于C,长方体、正方体的底面都是平行四边形， 故C错误： 对于D,根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧 棱都相等，且侧面都是平行四边形，故D正确. 3.B【解析】设截面圆半径为r,球的半径为R, 则球心到某一裁面的距离为正方体棱长的一半， 即此距离为2， 根据截面圆的周长可得2π=2r,得r=1,故 R=22+12=5,得R=√5， 所以球的表面积S=20元. 如图，OA=OB=R=√5，且OO2=2,则球冠的 高h=R-O02=√5-2， 得所戴的一个球冠表面积S1=2πRh=2πX5X (W5-2)=10x-45π， 且截面圆面积为π×12=π， 所以工艺品的表面积S′=S一6S1+6π=20π 60π+245x+6π=(24V5-34)π. 4.B【解析】如图所示： ·13 参考答案及解析 数学·立体几何初步一空间几何体 取AD1的中点N,连接MN,B1N, 由题意可得AB1=AD1=B1D1=22,MA= MD1=√22+1=5，MB1=√22+1+22=3， 在等腰△AMD1和等边△AB1D1中，B1N⊥ AD1,MN⊥AD1, 所以可得MN=√(W5)-(W2)2=3,B,N √(2√2)2-(/2)2=6， 所以MN2+B1N2=9=MB,2, 所以MN⊥B,N. 又因为BN∩AD:=N, 所以MN⊥平面AB:D1, 所以点M到平面ABD1的距离为√3. C【解析】设棱台上下底面的中心为N,M,连 接DB1,DB, 则D1B1=2√2，DB=4V2, 所以棱台的高MN=√B1B2一(MB-NB1)严= √/(W3)-(22-√2)产=1. 设球的半径为R,根据正四棱台的结构特征可 知：球O与上底面A1B1C1D1相切于N,与棱 AB,BC,CD,DA均相切于各边中点处， 设BC的中点为E,连接OE,OM,ME, 所以OE2=OM+ME2→R2=|R-1|2+2,解 .5 得R=2' 所以球O的表面积为4πR2=25π D A【解析】因为PC⊥平面ABC,PCC平面 AX 衡水真题密卷 PAC,所以平面PAC⊥平面ABC 如图，设点B关于平面PAC对称的点为D,连接 DC,AD, 则四边形ABCD为平行四边形且∠DCB=120. 连接ND,MD,所以MN+NB=MN+ND≥ MD(当且仅当M,N,D三点共线时取等号). 取BC的中，点H,连接MH,DH, 则MH/PC,MH=2PC=1,所以MH⊥平面 ABC.因为DHC平面ABC,所以MH⊥DH. 在△DCH中，由余弦定理得DH= √/1+4-2X1X2Xc0s120=√7， 所以MD=√DH+MH=2√2， 所以MN+NB的最小值为2√2. 二、选择题 7.ACD【解析】对于A,设圆维的母线长为1，底面 圆的半径为r,则rl=4r,2r=2x,故r=1,l=4, 故A正确； 对于B,圆锥的高为h,则h=16-1=√15， 故圆维的母线与底面所成角的正孩值为压， 4,故 B错误； 对于C圆维的体积为号×rh=西， 3π，故C 正确； 对于D,沿着圆锥母线的中点戴圆锥所得小圆锥 1/15 的体积为8X 3, 战所得圈台的条数为名×否=7票 24T,故D 正确。 AX 1 学科素养周测评 A…tB 8.BCD【解析】将△SAD与△SAC展开至同一 平面，如图①.在△SCD中，因为AF-A5,A∈ (0,1),点E为SC的中点，∠ESD>90°，所以 EF+FD≥DE>DS=4V2,故A错误； 如图②，连接AC,与BD交于点O,连接OE.易 知SAOE.又OEC平面BED,所以SA∥平面 BED.因为三棱锥E-BFD即为三棱锥 F-BED,点F到平面BED的距离不变，S△D 不变，所以三棱锥E-BFD的体积不变，故B 正确； 对于C,如图③，构造平行四边形SBCH,连接 FH,与SD文于点G,连接HD.若X=了，则 品部-号片以文-号动，故C玉确 对于D,连接BH,如图③，若X-号，则器 部-品-之设这E到阳的距离为A,点B 到FH的距离为h,连接GE,则SAu=2GH· ASAm=2FH·h.周为E为BH的中点，所 以，点E到FH的距离是点B到FH的距离的 3 GH·h1,从而△BGH的面积占△BFH的面积 的}，四边形BBGF的面叔占△BFH的面软的号 在△BFH中，BF=FH=√4+2=2W5,BH= 2√/OE+OB2=2/2+(2W2)2=45,所以 △BFH的面积为号×45X√a5y-2= 46,所以四边形BBGF的面积为8，故D 正确. ·数学· ① 2 H D 3 三、填空题 9.6十4√2【解析】由正四棱柱ABCD AB1C1D1的底面边长为2，侧棱长为2， 可得矩形BB1DD的面积为S1=BD·BB1= 22X2=4, △AB,D1的面积为S:=号AB1·A1D,= 3x2x2=2. △A,BB的面教为S,=A,B·BB,=号× 2×2=√2， △A1D1D的面积为S4=S3=√2， 在△A1BD中，因为A1B=A1D=√6，BD= 22,则BD边上的高为h=√(W6)2-(W2)=2, 1 其面积为S,=2×2,2X2=22。 所以四棱锥A1-BB1D1D的表面积为S1十 S2+S3+S4+S5=6+4W2 10.24π[π，6π]【解析】由题意，将三棱锥补形为 参考答案及解析 同一顶点棱长为2,2,4的长方体，如图所示： 三棱锥P-AEF的外接球即为补形后长方体的 外接球，所以外接球的直径(2R)2=22十22十 4=24,R=6, 所以三棱雏P-AEF外接球的表面积为S= 4πR2=24元. 过点M的平面裁三棱锥P-AEF的外接球所 得裁面为圆，其中最大戴面为过球心O的大圆， 此时截面圈的面积为元R2=π(W6)2=6π， 最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的 圆，此时截面圆半径r=√R一OM证= √R-(y=v65=1(共中MN米度为 长方体前后面对角线长度)， 故裁面圆的面积为r2=π， 所以过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接 球所得截面的面积的取值范国为[π，6π]. 四、解答题 11.解：(1)如下图，取AB的中点F,连接EF, AB,CF. 因为E是AA1的中点，所以EF∥A,B 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC, A D=BC, 所以四边形A,BCD1是平行四边形，所以A1B∥ D,C,所以EFD1C, 所以E,F,C,D1四点共面. 因为E,C,D1三点不共线，所以E,F,C,D1四 点共面于平面a, 所以平面EFCD,即为平面a截正方体所得的 截面。 D B B (2)由(1)可知，截面EFCD1为梯形，EF= AX 衡水真题密卷 AE2+AF=√I+I=√2 CD1=√CD+DD=√4+4=22，D1E= √A1D+A1E2=√/4+I=5, 同理可得CF=√5， 分别过点E,F在平面CD,EF内作EM⊥ CD1,FN⊥CD1,垂足分别为点M,N, 如图所示： DM 则D1E=CF,∠ED,M=∠FCN,∠EMD1= ∠FNC=90°， 所以△EMD1≌△FNC,则D,M=CN 因为EFCD1,EM LCD1,FN⊥CD1,则四边 形EFNM为矩形， 所以MN=EF-2,则D,M=CN=GD,一MN 2 22-22 2 2 所以EM=BD-D-5-3. 所以梯形CD,EF的面积为S=2(EF+ cD,)·BM-X32×3-号 (3)多面体AEF-DD:C为三棱台，S△Ax= 2 SAmc=DD,·DC=号×2=2，该棱台的 高为2， 所以该棱台的体积为3(SAAr十S△o,c十 VSAa·Sam,E)·AD=（号 +2+ ×2)x2- 放利余部分的体积为8一号-号 故比较小的部分与比较大的部分的体积的比值 为品 AX 学科素养周测评 12.(1)证明：连接EF,在△ABD和△CBD中， ∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC,BD=BD, 所以Rt△ABD≌Rt△CBD,所以∠ABF= ∠CBF,又AB=BC,BF=BF,所以△ABF≌ △CBF, 则F为AC的中点，所以BD⊥AC.在△ACE 中，AE=CE=4,又F为AC的中点： 所以AC⊥EF,因为EFC平面BDE,BDC平 面BDE,EF∩BD=F,BD⊥AC,AC⊥EF, AC⊥平面BDE. (2)解：取AB的中点M,连接CM,与BF交于 点G,连接GE. 因为AC⊥平面BDE,GEC平面BDE,所以 AC IGE. 又AB⊥CE,CM⊥AB,CM∩CE=C,所以AB⊥ 平面CEM, 又GEC平面CEM,所以AB⊥GE,又AB∩ AC=A,所以GE⊥平面ABCD. 因为AB=2,△ABC为等边三角形， 所以∠BAC=∠BCA=60°，∠DAC=∠BAD- ∠BAC=∠BCD-∠BCA=∠DCA=3O° 在△BAD中，BD=O=号，在等边 △ABC中，BF是AC的中线，CM是AB的 中线， 所以G是等动△AC的重心，所以G=号CM= 在R△CpG中，BG=√CEQ-√33 /164 =2, 1 则四边形ABCD的面积为Ss边Am=乞ACX BD-4/3 1 故五面体的体积为VAuE=3XSm选蒂AD× 9GE83 GE-4 9 6