周测评(十四) 数列的通项公式和求和-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十四） 数学·数列的通项公式和求和 (考试时间40分钟，惑分100分) 一，选择题（本翻共6小露，每小赠6分，共36分.在每小露给出的四个进项中，只有一项是 符合额目要求的！ 题号 答案 1.已知数列a,的前示项和8，=+受测a:十a, A.9 B10 C,11 D12 之已知公比不为1的等比数列{e.的前m项和为S。,若数列{S。+a,)是官项为1的等差 数列，用a一 A号 B号 c n号 品已知等整数列，的的和项和为5，者S>0S<0,的取植花围是 A停 a停 c(-.]u(g.+oo) n(m,u唱+ 4.设a1+a2a3,,a1是I,2,3,",7的一个排列，且满足a1一a:{a1一a,| ≥a4一a,期a1一a:+u一u+…+a4一ar的最大值是 A23 且21 C290 D.18 5.已知等差数列(a.的前w项和为S,且S。一w十相，：∈N”,若对于任意的a∈[0，I】, 不等式：之x一1+心)上一2a一a中2恒成立，期实数工可能为 A一2 且0 Cl D.2 乐某生物炎趣小组在显藏镜下拍量到一种黏菌的票殖轨连.如调1.通过戏察发现，该黏圆 紫殖符合如下规律：①酷南沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称柏分又（分又 的角度约为的门，再沿直线紫殖，·：②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为能一校 沿直线紧流的距离的一半.于是，该组同学将整个繁雅过程触象为如图2所示的一个数 学机型：黏菌从圆彩培养且的中心O开始，沿直线繁箱到A1,然后分义向A与Aa方 向继线繁雅，其中∠AnAnAn-,且AAa与AA±关于0Au新在直线对称， 学科素养周测评（十因）数学第1页（共4夏） 衡水真 AuAa=AuAe一On一一，若OAu一4cm,为保证整蓝在紫殖过程中不会能到箱 班圾 养且壁，则塔养川的半径r(r€N》至少为 姓名 得分 2 A.6 cm B.7 cm G.8 em D.9 cm 二，悲择驱（本题共2小题，年小题6分，共12分，在每小箱始出的选项中，有多项符合题日 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 7 8 答案 2,已知数列{a.}的前t项和为5.，首项a1一2，且州足a.+4+4,一4·3，则 A数列{a.是等比数列 B5:=362 C.53 DS-1-S.-3+1+(-10 B.将数列a,}中的所有项排发如下监库， atatal 44.4r44 从第？行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，第1 列数@1，@：d乡，“或等差数乳若a1一2，a0一8，则 (》 A.a1=一1 B之a,-168 4=3 C,4:位于第45行第8列 D2024在数阵中出现两次 三，填空影（本端共2小第，每小继6分，共12分》 已知8为正项数列a的前0项和，一3且5+S1一号1一营 期a。= 10.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，，其中第一项是2，接下来的周项晶 2,2,再接下米的三项是2,2,2型，依此英推.名该数列的前m项和为S。,若wS,E Z,n∈N°，期称(n,lOS.》为好数对”，如lcgS1-lcg2一0，agS:-ag2一1，用 《1,0,(2,1)都是好数对”，当和66时，第一次出现的“好数对”是 蹈密香 学科素养周测浮十回)数学第2页（共4页引 AX 四，解答题本题共2小题，共0分.解答应写出文字说期、证期过程或演牌多骤) 1L,(20分)已如首项为1的等差数列@，}满足a14:4,十1成等比数列， (1D求数列【a,的通项公式 (2)设数列6，的前n项和为丁，且历，= 1 =,求T 在。十Va.+ a证明，1+，，1++，L>9. 2/a 2vat 2Ja 2 am AX 学科熏养周测评（十四）数学第3面（共4页} 12.(分)在平面直角隆标系y中，我们把点（红，y)xy∈N”移为自然点.按如图所 示的规则，将每个自然点（任y)进行照值记为P(x),例如P(2,3)一8，P(4,2)一 14,P(2,5)=17. 7 603-十 5@①@ 4①2心 ④⑧0⑩雪 :自③@0⑩多 10①⊙08①年 01主于4567言 (1求Px,1D. (2)求证2Pa,y)-P(x-1,y)+P(￥y+1) (3)如果Pxy)演足方程P(z+1y-1)+P(xy+1)+P(x+1,3y)十P(红+1， y+1》=2024,求P(x,y)的值 衡水真显密在 学科素养周测浮（十回）数学第4页（共4页1衡水真题密卷 学科素养周测评 又b1,b1,b5,…,b-1-1分别为2,8,14,20， 这是{bn}的前4-2项，它的滤净数列的和 …,3·(41一1）一1，各项除以2得到数列： 为TN-1, 1,4,7,10,…,3·22m-3-2,其中的奇数项即为 故TN=TN-1十3·26+2·22-3+3·2g {B.}中的项， 24-3=TN-1十15·2m-8+2-3,其中T1=1, 其和为1+7+13十…十3·22-3-5=1·2-十 故TN=(TN-TN-1)十(TN-1一TN-)+十 22a-4(2t-106=3·20-203, (T2-T1)+T1=15×(2-8+2-2+…+1)+ (2m-3+2m-5+…+21)十1=(2m4-1)十 其中的偶数项为4,10,16，…，3·23一2，各项 除以2后，即为2,5,8，…，3·4-2-1， )+1=2+2- 3-31 2024一2025学年度学科素养周测评（十四） 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 所以+1(9》 2 ai a 1.C【解折】当m=1时，a1=1+2,解得a1=2. 4.B【解析】a1一a2|+a2-as+…十|a6一ag 当m≥2时，a,=S,-5.1=2+号-(m-1)2 即为相邻两项之差的绝对值之和， 则在数轴上重复的路径越多越好，又|a1一a:≥ a2一aa|≥…≥|a6-a,,比如1→7→2→6 2=2m-1,故a,=10-1=9,故a1十a5=2 →3→5→4，其对应的一个排列为1,7,2,6,3,5， +9=11. 4.则a1一a2|+|a2一a:|十…十as-a,|的最 2.D【解析】设{an}的公比为q,由题知S1十a1 大值是6+5+4+3+2+1=21. 1 5.A【解析】因为S。=n2十m,当n=1时，a1 1,所以a=2则a,-92S 1-q") S,= 1-9 =S1=1十m,当n≥2时，am=S。-S。-1=n9 1生2s+a,29,则s,+ 十m-[(n-1)2+m]=2n-1,所以a1=1十 故S2十a2=1+29 2 m,ag=3,aa=5.因为{am}为等差数列，所以a ag+S1+a1=2(Sa十az), =1,m=0,从而4.=2m-1,8=2-1<2, 即1+2四+9士=1+24，解得9=29=1含 1 所以x2-(1+a)x-2a2-a+2≥2，即-2a2 2 (1十x)a十x2一x≥0，则当0≤a≤1时，g(a)= 1 去)，此时S.十a.=1满足题意，则a=8 2a2十(1十x)a-x2十x≤0恒成立， g(0)=-x2十x≤0， (Ss=15a8>0, 3.B【解析】由题意可得 解得x≤一1 即 g(1)-2+1十x-x2+x≤0， Si6=8(ag十ag)<0, 或x≥3，只有选项A符合题意 a8>0, 可知a4<0. 6.C【解析】由题意可知，OAn=4cm,只要计算 ag十ag<0, 出黏菌沿直线一直繁殖下去，在OA1方向上的 设等差数列{an}的公差为d,则d=ag一ag<0,可 距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围.依 得等差数列{am}为递减数列，则a1>0, 题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁 a8>0, 由 可得 la8十ag< ga1+7d>0,则-号< 2a1+15d<0, 殖在OA方向上前进的距离依次为：4,2X21 AX ·10 ·数学· 参考答案及解析 ×号×号则4+x+1 4.又从第2行开始每一行比上一行多两项，且从 左到右均构成以2为公比的等比数列，可得a2十 -5十55>5十员1，私菌无限紧殖下去，年 a3+…+ag=2+4+8+5+10+20+40+80= 2 4 169,故A正确，B错误； 次繁殖在OA1方向上前进的距离和即为两个无 又因为每一行的最后一个数为a1,a4,ag,a6,, 穷等比递缩数到的和，即4+1++…)+× 且452=2025，故a2s在第45行，因为这一行 共有2X45一1=89个数，则a20e4在第45行的第 2 4 1- 88列，故C正确：由题设可知第i行第j个数的 大小为(3i-4)×2-1,令(3i一4)×21= 16+4316+8=8, 2024=253×23,若j=1,则3i一4=2024，即 3 3 i=676: 综合可得培养皿的半径r(r∈N)至少为8cm 若j=2,则3i-4=506,即i=170:若j=3,则 二、选择题 3i一4=253，无整数解，故D正确. 7.BCD【解析】对于A,取n=1,得a2十a1=4X 三、填空题 3=12,又a1=2,所以a2=10, 取n=2,得a3十a2=4×32=36,所以a3=36 .2n+1【解折】因为S.+S1=c一2，即 10=26,显然a≠a1·ag,即数列{a.}一定不是 2(Sn+S.+1)=a+1-3,当n=1时，2(S1十S2) 等比数列，故A错误；对于B,取n=2,得aa十 a-3,又因为a1=3,即a量-2a2-15=0,解得 a2=4×3-36,取n-4,得a5十a4=4×3-324, a2=5或a2=-3(含去)，当n≥2时，2(S.-1十 所以Ss=a1十a2十a3十a4十a5=362,故B正确； S.)=a一3，两式相减，可得(am+1十an)(am+1 对于CD,由a+1十a,=43,得“+1-3 a。-2)=0,因为an>0,可得a+1一a。=2(n≥2)， aw-3” 又a2-a1=2,所以am+1一an=2(n∈N”),所以 -a.+4…3”-3+1-a.+3” a-3* an-3" =-1,又a1-3= 数列{am}表示首项为3，公差为2的等差数列，所 以a.=2n+1. 一1，所以{a。一3"}是首项为一1，公比为一1的等 比数列，所以an一3”=(-1)·(-1)-1= 10.(95,14)【解析】若logS.∈Z,n∈N°，则S. 为2的整数暴，将数列排成如下形式： (-1)”,所以am=3+(-1), S=3x0-3)+-1DX[1-(-1) 1 1-3 1一(-1) 1,2 _31-(-10+1-4 1,2,4 2 1,2,4,8 S-31-（-11-43+4-3 44 2 2 第及行为2,2，…，2-1，第k行的和为 S.+1-Sn=a+1=3m+1+(-1)+1,故C,D均 正确。 1×1-2*)=2-1, 1-2 8.ACD【解析】由第1列数a1,a2,as,ao,…成等 该数列前1十2+3十…十k=,十D项的和为 差数列，设公差为d,又由a2=2,a1o=8,可得 2 a1十d=2,a1+3d=8,解得a1=-1,d=3,则第 S4n=(21-1)+(22-1)+…+(2-1)= 一列的通项公式为a4=一1十(k-1)X3=3k- 2+1-k-2, ·11 AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 令+1≥6，则k≥11，此时21一k-2可 (2)证明：P(x,y)为一个高阶等差数列，且满足 2 P(zy+1)-P(x,y)=x+y-1,P(x+1,y)- 用以2为底的整数暴表示 P(x,y)=x+y, 当1十2一k一2=0时，有k=1,此时共有 所以P(x,y+1)-P(x,1)=1+2+…+y+ 1×(1十1)+2=3项，不满足总项数n≥66： 2 6-1》=+e-1w. 当1十2十4一k一2=0时，有k=5,此时共有 5X(1十5》+3=18项，不满足总项数n≥66： P(x,y+1D=,+y红-1D+x红，+ 2 2 2 当1+2+4+8一及一2=0时，有k=13,此时共 所以P(,y）=,+D+y,1D+(z 2 2 有13X)+13③》+4=95项，满足总项数m≥66； 1)(y-1)(y≥2)，y=1该式也成立，所以P(x 所以n的最小值为1+13)×13 4=95,此时 1y)=P(x,y)-(x-1+y）=,1D+ 2 2 S5=24,log2Ss=14, yy-1D+(z-20(-1D, 2 所以当n≥66时，第一次出现的“好数对”是 (95,14). 所以P(x,y+1)+P(x-1,y)=x1D 2 四、解答题 ,D+红-2)(y-1D+,1+yx 2 11.(1)解：设{an}的公差为d,又a1,a2,a3十1成等 2 比数列， 1D+xx+D=x2+y+2y-3y-x+2= 2 所以a=a1·(a3+1)→(a1+d)=a1(a1+ 2P(x,y). 2d+1),解得a1=d2,又a1=1,所以d=1或 (3)解：P(x十1，y-1)十P(x,y+1)十P(x+ d=-1, 1,y)+P(x+1,y+1)=2024,等价于P(x, 而d=一1时，不满足a1,a2,a3十1成等比数 y)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+ 列，所以d=1.所以a.=1十(n-1)×1=n. 1)=2023,等价于P(x,y+1)+3P(x+1, (2)解：因为b= 1 1 y)=2023, √an+√a+i√n+√n+ √n+I-√n,所以T9=b1十b2+…十bm= 即2[x(x+1D+y+2z-1D]+2[x+ 2-1+5-√2+…+/100-√99=√100 1)(x+2)+(y-1)(y+2x)]=2023, 1=9. 化简得y2+2xy十x2-y十x=1010台(x+ (3)证明：因为，1=1 1 y-1)(x+y)+2x=1010, 2am2n√n+1+√m 由于x十y增大，(x十y一1)(x十y)也增大，当 n币一a,所以，十，1十…+1 x十y=31时，(x十y-1)(x+y)十2x<992< 2a2√a 2√am 1010, 1+1十+1>2-1+5-2+…+ 2/1222√99 当x+y=33时，(x+y-1)(x+y)+2x> 1056>1010,故当x+y=32时，(x十y-1)(x+ √/100-√99=√100-1=9， y)+2x=1010→x=9,y=23,即P(9,23)= 即1十。1十。1++。1>g. 2√a'2√a22wWa 2√an 9×10+23X22+8×22=474. 2 2 12.(1)解：根据图形可知P(x,1)=1十2十3十十 x=x(红+1) 2 AX ·12▣