周测评(十三) 数列的概念、等差数列与等比数列-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十三） 数学·数列的概念、等差数列与等比数列 (考试时间40分钟，总分100分)》 一、选择题本题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题日要求的 通号 2 5 答案 L.在数列a,中，已知1-2，a一3，当≥2时，a+:是a,·a,-t的个位数，喇a阳- A.4 B3 C.2 D1 么设正项等比数列a.的前4项和为5。“：一1，且一41,44：成等数列，则S:与 4:的关系是 A.Sgoer=281-1 五S10w2a14十1 CS:a1-4aa一a D.S::-4a十1 玉国m条直线，将圆的内部瓜装最多分树成 A++部分 2 及中十兰部分 c生福分 n”一十都分 2 4.数列[m.的前程项和为5，(mEN),设甲：5-1=(2一1)a.:乙：a.}为等兼数列，则 甲是乙的 A充分不必要条件 我必要不充分条件 C充要条件 D,影不充分也不必要条件 学科素养周测评（十三）数学第1页（共4页） 衡水真 五.设”十品(mEN的整数部分为a,:则数列a,的前20和为 班圾 十 A.210 B211 C.212 D.213 蛙名 数到a.}满足a1一2对任意正整数pg布有a,一 1 年 得分 A.4 C,6 n号 二，选择题（本紫共2小题，每小销6分，共12分.在每小销始出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分远对的得部分分，有选铺的得0分) 思号 7 8 鉴案 7,S.是等比数列{a.的前*项和，若存在4，b,ER,使得S.=a·”十r,别《） A.a十4=0 且b是数列Ha.}的公比 C.ac<0 Du。)可能为食数列 8,已知数列{)共有网项=0，r=n(和∈N),且(x4*1一)+2=3(x4+1一x:): 记这样的数列{x,)共有a。个，则 《》 Aa1=2 Ba+-a,十a- C.a:十8十a十n十a2a-在aw一2 a=1m-1 三，填空题（本驱共2小驱，每小题6分，共12分） 9,已知数列{@，是各项均为正数的等比数列，5。为其前e项和e1a1一16，S:一14，周 一：记T.一4@a.(用-1.2，…)，若存在m∈N使得T.最大，则n的 可能取慎为 10.已知∈N°，将数列(2一1}与数列（一1山的公共项从小到大持列得到新数列(：，， 蹈密在 学科素养周测浮十三)数学第2页（共4页引 AX 四，解答面（本题共2小题，共和分.解答应写出文字镜明、证胡过理或演算步理】 12.(20分若数列a,的项a,的最大奇因数为A,则{A,)叫做(a,1的“地净数列”已知 11,《2如分》队拉雨数(n)(:∈N“)的函数值等于所有不租过正整数m且与年互素的正酸 数列{.请是2b,十2b,十…+2b.一(3湖-4)2H+8,〈B.}是(6.的滤净数列. 数的个数，例如1学(1)-1，p(4)-2,p(8)一4，数列a,满足a,一g(2)(n∈N”), (1)凛b,的通项公式及B的值， (1)求41a2,并求数列a,》的通项公式： 设d,-a-9o引且veN,3n∈Nd,-d=dn+ (g记6，=(-1yg,求数列a.1的能n项和5 4 山+，求双的所有取值： (3若N=41(▣∈N“),求(B.的前N璞和Tw AX 学科素养周测浮（十三）数学第3页（共4页） 衡水真蹈密在 学科素养周测博十三》数学第4页（共4页引·数学· 参考答案及解析 由余弦定理可知cosC= AC*+BC2-AB* AB AD → sin∠ADB =AB 2AC·BC sin∠ADB sin B sin B D ACi+DC:-AD:1+9 211-2 6cos20+4 1 2AC·DC 2x1x号 2×1×1, 2cos 4 cos20 24+ o30,因为9e(0,）,所以cos0∈(0， 1 解得x=1或x=一1舍去，即AB=1. (2②)由(1可知BD=7,BC=子，设∠ADC=9, 10→cos20e(0,1D→1 c0s>1→24+1 s0>25 由DC=CA→∠DAC=∠ADC=0-→C=π-20 且0∈(0，).由余弦定理可得AD= 2+0 √/12+1-2×1×1·cos(π-20)=√2+2c0s20= 干是有如品0>是因此的取值 sin B √2+2(2c0s20-1)=2c0s0, 范围为+) AB+( -2X1X2·cos(-2别= 3+3c0s20 /13 +3(2cos20-1) 1 √6cos0+4·在△ABD中，由正弦定理可知 2024一2025学年度学科素养周测评（十三）数学·数列的概念、 等差数列与等比数列 一、选择题 因此ag-a1=2,a3一ag=3,…,am一am-1= 1.C【解析】因为a1=2,ag=3,当n≥2时，a+1 n(n≥2)，相加得：am-a1=2十3+4十…十n= 是am·am-1的个位数 n-1,n+2(m≥2，所以a,=n+n+2(m≥ 所以a3=6,a4=8,as=8,a6=4,a?=2,a8=8, 2 2 a=6,a10=8,a11=8,a12=4, 2),当n=1时，a1=2,符合上式，综上，an= 可知在数列{a.}中，从第3项开始有at6=am, n2+n十2 即当n≥3时，a,的值以6为周期呈周期性变化， 2 又(2023-2)÷6=336…5，故a2023=a7=2. 4.B【解析】对于等差数列{am},显然有Sm-1= 2.A【解析】设正项等比数列{an}的公比为q,q> (2m-1)(a1十a-=(2m-1)a,这说明了甲 2 0.因为一a3,a2,a4成等差数列，所以2a2= -a3十a4,所以2g=一q2十q3,解得q=2,所以 是乙的必要条件；设等差数列{an}:a1,,a-1, S2m4-a11g2e4 a4ak+1,…,a24-1,共有2k一1项，k≥2，k∈Z, 1-g =222-1,a224=a1q2a-= 我们按如下方式重新排列等差数列{an}中的数字： 22o,故S224=2a224-1. a-1…,a1aa跌-1，…，a+1,此时该数列不是等 3.B【解析】设画n条直线，将圆最多分割成4。部 差数列，但是它的前n项和依然满足S-1一 分，则a1=2,am一am-1=n(n≥2)， (2n一1)am,综上所述，甲是乙的必要不充分条件. 7 AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 5.B【解析】因为n+2_nn十m)+2-十 a6=13,a7=21,故A正确； n2十n n2十n 当xm=n十2，数列{x4}可以看成xm=n时{x4》 n2十n当n=1时，n2+n=2,所以a1=2: 2 再增加一项2或xm=n十1时{x》再增加一项 1,因此a+2=am+1十am,故B正确； 当n≥2时，n2十n>2,所以 2为小于1的分 3十n 因为a2=ag一a1,a4=a5一a3,,a224=a2es 2,n=1, 42a23, 数，此时an=n,所以an= ln,n≥2， 相加可得a2十a4十a6十…十a22=a22s一1，故 则数列{a.}的前20项和为2+2十3十…+20= C错误： 2+2+20)X19=21. 又因为a号=1，a2=a2(ag一a1)=a2·a一a2· 2 a1,ai=as(a,-az)=a3·a4-ag·a2,, 6B【解】由aa,一（合十号加，得 a=am(ae+1一aw-l)=aw·am+1一am·aw-l (n≥2)， (p十q)ap+g=pap·gag,令b,=na.(n∈N"), 依题意，对任意正整数p,q都有b+g=bb,令 可得之a=a.·a+1-1,所以】 =1 p=1,q=n(n∈N”), a2脑一1，故D正确. 则Vn∈N”,bn+1=b1bn,而b1=a1= 2, 1 三、填空题 9.43或4【解析】等比数列{an}中，公比q>0. 1 b.+1=2b. 由a1·aa=16=a,所以a2=4,又S,=14, a1·a3=16 因光数列亿，是以号为首项，为公比的等比数 所以 解得口2， a1十a3=10 a=8 a=8当 a8=2, 1 1 a1=2, 列6、一，即Q一2w4n n·2m 时，可得q=2,则ag=a1q=2X2=4, la3=8 所以=8X216 且a1a2…,a。的值为2,4,8,16，…，2，可知 as6X2531 数列{a.}单调递增，且各项均大于1， 二、选择题 所以不会存在g使得a1a2,…,an的乘积最大 7.ABC【解析】设等比数列{am}的公比为q,当 q=1时，Sn=a1,显然是一次函数，不是指数函 (舍去)：当=8 a3=2 时，可得q-之则a:a9 数形式，故不满足，故D错误；当q≠1时，S。 a1-g2=a1-a1·q, 8X1 2=4,且a1a2,a。的值为8,4,2,1,7 1-q1-q1-g a1 4…,20, 所以=二ga=一g6=g,即a+c=0, 可知数列{a。}单调递减，从第5项起各项均小于 ac=- a 1-q)<0,故A,B,C正确 1且为正数，前4项均为正数且大于等于1，所以 存在n0=3或n=4,使得T.的位最大，综上，n0 8.ABD【解析】由题意可知，(x+1一x:一2)· 的可能取值是3或4. (x+1一x4一1)=0，则x+1一x=2或1， 10 则当n=1时，数列{x}为0,1，故只有1个；当 10 21【解析】因为数列(2m-1)是正奇数列，对于 n=2时，数列{x}为0,1,2或0,2，故有2个；当 数列{n2一1}，当n为奇数时，设n=2k一1(k∈ n=3时，数列{x4}为0,1,2,3或0,2,3或0,1， N),则n2-1=(2k-1)2-1=4k(k-1)为 3,故有3个， 偶数； 同理可得：a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8, 当n为偶数时，设n=2k(k∈N),则n2一1= AX 8 ·数学· 参考答案及解析 4k2-1为奇数， 12.解：(1)因为2b1+2b2+…+2b.=(3m 所以a.=-1,则= 1 4)2+1+8①， an 当n≥2时，2b1+22b2十…+2m-1b.-1=(3n 1 7)2+8②， 因此，++…+=(1-号+号 由①-②得，2"b.=(3m-1)2",得到b.= a? a10 3m-1. ++品》=×-》品 又当n=1时，2b1=一4十8=4，得到b1=2,满 足bn=3n-1,所以6.=3m-1, 四、解答题 又b10=29,所以B10=29. 11.解：(1)由题意可知a1=p(2)=1,a2=p(4)= 2,a3=p(8)=4, 2因为iog1.-a-D2D(o<q<》, 3n-2 由题意可知，正偶数与2”不互素，所有正奇数与 所以d,=g学P=g,因为V∈N, 2"互素，比2“小的正奇数有2-1个， 3n∈N”,ds一dn=dk+1+de+2,所以d1 所以a.=p(2)=2"-1 d2-d,=1-q-q2=q"(m=n-1,m∈N), (2)由(1)知a.=p(2)=2"-,所以a= 当m=0时，g无解；当m=1时，解得q=√2-1 p(22)=22-1, 或q=-√2-1（舍去）： 所以b,=(-1)1ga2=（-1) log2 2-1 22m-1 当m≥2(m∈N)时，1一q-g2=q",即q"十 （-1r(2m-D=4a-2(-”, q2+q=1(*), 令∫(q)=qm+g2+q,则f(q)为关于g的单调 5.=6+6+…+6,所以5.=2X(-)'+ 递增函数， 6×(-)+…+(4m-6)×()+ 因为0<g<号，所以fg)=g+g2+g< (4m-2)×()”①， (（》广+》+)+》+3-1， 所以()式无解，所以q的取值为2-1，进 (s,=2×(}+6×('+…+ 步得，当q=√2一1时，对任意的正整数k, 4m-6)x(-)”+m-2)x(-)@, d:-d+-d+2=d,(1-q-q2)=dxq=d+1, 满足：Vk∈N",3k+1∈N,de-d+1= 0-®得s=2×()'+4[(-)°+… dk+1十de+2, 所以q的所有取值是2一1. +(-门-(4m-2)x(-)-+ (3)由(1)知b.=3n-1,当n为偶数时，b.为奇 -(门x 数，当n为奇数时，b.为偶数，所以Bm=bm, 设B1十B2十…十Bn=Sn, 1-(-) 则TN=S,1=B1十B2十…+B,-1=(B1十 B十+B-1-1)+(B2+B4+…+B-), 2+号-()门--2x()” n>1, 320m+6 又B2十B4十…+B,-1=b2十b,十…+b-1= = 105×(-4)币， 所以5=一5十25X(- 6 20m+6 5+11+…+341-10=5…2+号 22a-3·(22m-a-1)·6=22m-2+3·2m-6, ▣9 AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 又b1,b1,b5,…,b-1-1分别为2,8,14,20， 这是{bn}的前4-2项，它的滤净数列的和 …,3·(41一1）一1，各项除以2得到数列： 为TN-1, 1,4,7,10,…,3·22m-3-2,其中的奇数项即为 故TN=TN-1十3·26+2·22-3+3·2g {B.}中的项， 24-3=TN-1十15·2m-8+2-3,其中T1=1, 其和为1+7+13十…十3·22-3-5=1·2-十 故TN=(TN-TN-1)十(TN-1一TN-)+十 22a-4(2t-106=3·20-203, (T2-T1)+T1=15×(2-8+2-2+…+1)+ (2m-3+2m-5+…+21)十1=(2m4-1)十 其中的偶数项为4,10,16，…，3·23一2，各项 除以2后，即为2,5,8，…，3·4-2-1， )+1=2+2- 3-31 2024一2025学年度学科素养周测评（十四） 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 所以+1(9》 2 ai a 1.C【解折】当m=1时，a1=1+2,解得a1=2. 4.B【解析】a1一a2|+a2-as+…十|a6一ag 当m≥2时，a,=S,-5.1=2+号-(m-1)2 即为相邻两项之差的绝对值之和， 则在数轴上重复的路径越多越好，又|a1一a:≥ a2一aa|≥…≥|a6-a,,比如1→7→2→6 2=2m-1,故a,=10-1=9,故a1十a5=2 →3→5→4，其对应的一个排列为1,7,2,6,3,5， +9=11. 4.则a1一a2|+|a2一a:|十…十as-a,|的最 2.D【解析】设{an}的公比为q,由题知S1十a1 大值是6+5+4+3+2+1=21. 1 5.A【解析】因为S。=n2十m,当n=1时，a1 1,所以a=2则a,-92S 1-q") S,= 1-9 =S1=1十m,当n≥2时，am=S。-S。-1=n9 1生2s+a,29,则s,+ 十m-[(n-1)2+m]=2n-1,所以a1=1十 故S2十a2=1+29 2 m,ag=3,aa=5.因为{am}为等差数列，所以a ag+S1+a1=2(Sa十az), =1,m=0,从而4.=2m-1,8=2-1<2, 即1+2四+9士=1+24，解得9=29=1含 1 所以x2-(1+a)x-2a2-a+2≥2，即-2a2 2 (1十x)a十x2一x≥0，则当0≤a≤1时，g(a)= 1 去)，此时S.十a.=1满足题意，则a=8 2a2十(1十x)a-x2十x≤0恒成立， g(0)=-x2十x≤0， (Ss=15a8>0, 3.B【解析】由题意可得 解得x≤一1 即 g(1)-2+1十x-x2+x≤0， Si6=8(ag十ag)<0, 或x≥3，只有选项A符合题意 a8>0, 可知a4<0. 6.C【解析】由题意可知，OAn=4cm,只要计算 ag十ag<0, 出黏菌沿直线一直繁殖下去，在OA1方向上的 设等差数列{an}的公差为d,则d=ag一ag<0,可 距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围.依 得等差数列{am}为递减数列，则a1>0, 题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁 a8>0, 由 可得 la8十ag< ga1+7d>0,则-号< 2a1+15d<0, 殖在OA方向上前进的距离依次为：4,2X21 AX ·10