周测评(十九) 椭圆-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十九） 数学·椭圆 (考拔时间40分钟，总分100分) 一，选择题（本题共6小器，每小罪6分，共36分.在每小蝶给出的四个进项中，只有一项是 符合题目要求的 题号 2 4 容案 L已知简图子 方一1(a>b>0)的离心率为2，长轴长为《，期该狮其的加鞋长为() A原 且2g C45 D.6 2.某广场的一个椭球水景雕塑如图所常，其横截面为置面，过横投面圆心的纵根面为树 圆，F,F分别为该刺的两个您点，FQ为过点F的一条弦，且△PQF,的周长为 3引F,F,,若该用球线截而的最大直径为2m:则减球的高为 A10 3 R 5 m Cim a号 3已知F,F是椭调C,写+号=1的左，右幽点.点P在C上，且线段PF的中点在比 F,F,为直径的圆上，则三角形PF,,的而积为 A.1 C15 D.8 4.在平面直角坐标系中，已知两点A(1,)B一1，一1)，点P为动点，且直线AP与BP 的每率之积为一2则点尸的铁迹方积为 Ax+2y°=3 且x+2y2=3(r≠土1) C2-2y2=3(:≠±10 D2x2十y=*≠±10 学科素养周测评（十九）数学第1页（共4页） 衡水真 5元，如图，已知腿柱成而平径为2，高为3，ACD是轴截面，E,F分割是母线AB,CD上的 班圾 动点（含南点），过EF与结截面ACD垂直的平面与偶柱侧面的交线是属成痛阅，当此 交线是所圆时，其离心率的取值蔻围是 姓名 得分 ao. n. 6刷圆E的中心在版点，康点在工轴上，离七率为停，F为E修左瓶点：A是E的上顶 点，B是E的右顶点.C是E的下题点.记直线A形与直线FC的交点为D,湘∠BDC 的余弦值是 A2丽+5 R2E-5 10 10 c n 二、选择题（本置共2小题，每小夏6分，共12分，在每小殖给出的透项中，有多项符合题日 要求.全部选对的得6分，部分远对的得部分分，有选铺的得0分) 断号 8 容案 1.已知师调Ex+4y-a'a>0》和E,y2十4x'-4a(a>0》,周 A,E,与E,的长轴长相等 BE:的长帕长与E:的烦结长相等 CE与E:的离心率相等 DE与E:有4个公共点 品已知调八号+若=>6>0)的左，右颜点分蹈为F,R,将上所有点的模坐 标与纵肇标分判傅长到原来的表《使>0，≠1)倍得到椭圆T:,期 A若>则哈销 B若，广的离心率分别为1e则e=e C者n,n的周长分为C,C,测C-号 若乃的四个顶点构成的四边彩面积为F5:,则乃的离心率为2w2-D 4 通密在 学科素养周测浮十九)数学第2页（共4页1 AX 三，填空面（本题共2小题，每小题6分，共12分 12.(0分)已知m质G:x十y=m+A:,A:分别是G的左，右顶点，F是G的右焦点. 辆图E:若+子=1的右你点为F,直线1：mr十3y=0(细∈)交E于 椭调上的点罚点F的最小距离为②一1， (1)求m的值及点F的坐标 且BFLx轴，期AF一一· (2)设P是精圆G上异于通点的动点.点Q在直线x=2上，且PF⊥Q,直线PQ与 1a在平面直角坐标系中，已知能圆E:吉+芳=1u>6>0)的离心事为竖，左北点 z轴交于点M,比较MPP与引MA:·IMA:的大小. F(一2,0).直线：y=:与角圆交于A,B两点，M为利翼上异于A,B的点，则椭图E 的标方程为 :若M{一唇，=)，以AB为直径的EP过点M,期 到P的标准方程为 四、解各翘（本题共2小恩，共0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算壶骤） .(20分已知椭圆C,系+若一1(@>b>©)的焦距为25，A,4:分别为阅的左.右 顶点，稻圆上任意一点与AA,的斜率之积为- 1)求箱圆C的方程 (2)记箱圆C的左焦点为F,过点M《1,)的直线1交椭图C于点A,B,若过F,A,B 三点的图的图心恰好在y轴上，求直线/的料率 AX 学科素养周测浮（十九）数学第3页（共4页） 衡水真蹈密在 学科素养周测博十九》数学第4页（共4页引·数学· 参考答案及解析 12.解：(1)根据题意，圆心C在直线l:y=x一1上， 也在直线y=3x十1上， 公共弦长为，8，d=合，即a-11-发，所以 联立方程工一1；解得 =一1·即C(一1， a=1士5，经验证满足1+4十a>0.所以a- y=3x十1， y=-2, -2),所以圆C:(x+1)2+(y+2)2=1. 当切线斜率存在时，过点A的切线方程可设为 y=kx+3,即kx-y+3=0, (3)设点C(a,a-1),M(xo,yo),因为MA= 则一生2牛3=1→-号，所以切线方程y= 2MO,则x+(y。-3)2=4(x+y), /1+k☒ 即点M的轨迹方程为x8+(y十1)2=4，又点M ,号+3当切线斜率不存在时，直线x=0也与 在圆C上，所以(x。-a)2+(y。一a十1)2=1. 若存在这样的点M,则x8+(y,+1)2=4与 圆相切.综上所述，所求切线的方程为y= (x-a)2+(y0-a+1)2=1有公共点， 1 5x+3或x=0. 即两圆的圆心距d满足1≤d≤3，即1≤√2a≤ (2)圆C:(x+1)2+(y+2)2=1与圆Q:x2+ 3解得号<a<3号或-<<-号， 2 y2+x十2y一a=0,相减得圆C与圆Q的公共 弦所在直线方程1：x十2y十a十4=0，圆C的圆 所以圆心C的横坐标a的取值范围为 心为C(-1,-2),r=1.设C到直线l的距离为 32,_2U2,32 -2-2022」 d, 所以d=-1-4什a+4,又因为圆c与圆Q 5 2024一2025学年度学科素养周测评（十九） 数学·椭圆 一、选择题 截面的最大直径为2米，可知2b=2,得b=1.又 1B【解糊】由后=号可得a2=4=4a-b 因为a2=b2+c2,所以a2=c2+1②，①②联立可 (*),因2a=4,即a=2,代入(*)解得b=√3， 得c=25.35 5q= 5 故短轴长为2b=2√3. 所以该椭球的高为2×3,5_65 2.B【解析】根据题意，画出该椭球的过横裁面园 55m 心的纵截面如下： 3.C【解析】设PF,的中点为M,则|PF:| 1V4 2|OM1=2c=4,于是|PF,|=2a-2c=2,又 |F1Fg=4,则△PF1F2为等腰三角形，S△m51= 2×2X16-压. B B2 根据椭圆的定义知△PQF1的周长为|PQ|+|PF, 十|QF:|=4a=3×2c,即2a=3c①，由该椭球横 ·29▣ AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 4.B【解析】设P(x,y),因为A(1,1),B(-1, 二、选择题 x-ix≠1D,km=yC 一1D,所以加=y二 x+x≠-1)， 7.BC【解析】椭圆E1x2+4y2=a2(a>0,即乙+】 兰=1，满国Ey+r=如2a>0,即苦 士1).即x2+2y2=3(x≠士1).所以动点P的轨 迹方程为x2+2y2=3(x≠士1). 怎=1，则E1的长轴长为2a,短轴长为a,E:的 5,A【解析】当EF与AD接近平行时，交线接近 是一个圆，离心率接近O;当EF-AC时，交线是 长轴长为4a,短轴长为2a,故A错误，B正确；E1 一个长轴最大的椭圆，此时长轴长为|EF|= 1AC=2a-5,解得a-号，又短*轴长为b-2, 的离心率为e1= a 2,E2的离心率 剥焦距的一半为C=区-不=是，所以离心率 4a2-a3 e2= =?,故C正确：因为E的长轴 。=号所以高心率的取值范周是(0，引， 长与E2的短轴长相等，且E1的焦点在x轴上， E2的焦点在y轴上，则E1与E2有2个公共点， 6A【保折由离心率为停可件后=马。 =又因为 故D错误. a 8.AB【解析】设点(x',y)为椭圆T2上任意一 a2=b2+c2,所以a=2b,c=√5b,所以A(0,b), (x' F(-√3b,0),B(2b,0),C(0,一b),所以直线AB的 点，则由題意知 x'=kx'即 y'=ky, 代入椭圆厂 斜库为女加=一号，直线CF的针率为如= =y, 3 所以tan∠DFB= 1 3,tan∠DBx=-- 又因 的方程得)+1，所以椭圆工的方程 为∠DFB,∠DB∈（经， 为2+y 7ka十6=1(a>b>0).因为a>b>0, 设描国的左项点为H,所以an∠DFH= >0,所以也b+t a a十所以A正确；由巴知得，e1= 39 √a-b2k√a2-b tm∠DBH=2,所以∠DFH,∠DBH∈(O,》, ,e2= ka -=e1,所以B正确；由已 3 所以m∠DFH=是，os∠DFH= 知得，，共相级比为1：k:所以号-名所 2" 以C2=C1,k>0,k≠1，所以C错误：因为T1的 sin/DBH--号cos∠DBH-2 回个顶点构或的四造形的西积为，所以号 4 因为∠BDC=∠DFH-∠DBH,所以cOs∠BDC= cos(∠DFH-∠DBH)=cos∠DFHcos∠DBH+ ·2a·2b=2c)2 所以2ab=c2,所以2a 4 DFH∠DBH-9x2+×号 √a2-e2=c2,所以e+4e2-4=0,所以e2= -4+√4-4×(-4) 2v/15+√5 2 =2(2-1)(负值舍去)， 10 所以D错误. AX ·30▣ ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 四、解答题 号【解析】知国所示，横国的右发点为F1,0。 11.解：(1)由已知得 2c=2W3, 由BFL:轴得BF一号设精圆E的左焦点为 y F。,由椭圆的对称性易知四边形AF,BF是平行 x+a·xax x-a 四边形，所以|AF。|=|BF|,又结合椭圆的定义 c2+b2=a2, 可得： 解得b=1,a-2,c=3, 所以箱国C的方程为号+y与。 (2)设圆心P(0,m),A(x1,y1),B(x2,y2), F(一√3,0)，显然直线l的斜率存在 设l:y=k(x一1)， 由PA|2=PB2=|PF12,则x+(y-m)2= IAF|+IAF。|=|AF|+|BF|=2a=6,故 m2+3,又x=4(1-y),代入得3y1+2my1 1=0, aF1-6-号-9 同理可得3y+2my2一1=0，则y1,y2分别是 3y2+2my一1=0的两根，由根与系数的关系可 10 君+1+6》- 【解析】因为 1 得y1y=一3， 。=二-号且c=2,所以a=22,6=2.所以描 联立y=k红-D与号+y°=1，得(4+ 1)x2-8歇2x+4k2-4=0, 圆方程为8十 =1 8k2 4k2-4 设A(s,t),则B(-s,t),且s2+2t2=8.① 所以x十x一h+有1一块+1所以 因为以AB为直径的圆P过M点，所以MA =k[x1x2-(x1十x)+1]=k(- ⊥MB, 8k2 所以MA·M店=0，又因为MA= +）-车 (s+6,t+1),MB=(-s+6,t+1), 故谈一了解得=士，直线1的斜率 1 所以6-s2+(t+1)2=0.② 由0@解得1=号浅1=-1（会），所以-0 Γ9 为=土5 又因为圆P的圆心为AB的中点(0,1)，半径为 AB=|5l,所以圈P的标准方程为t+ 》-0 12解：1由G2+m心y2=m,即G需+y2=1,由 题意可得m>1,故√m一√m-1=√2-1，解得 B y= m=2,故G,号+y2=1,则vm可=1，故 F(1,0). (2)设P(x0,yo),xoyo≠0，一√2<x0<√2，有 ·31· AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 2+y-1,由PF⊥FQ有z。-1D(2-1D+ x 则MP=(层厂+= -4+x十 y。·yo=0,即ya= _1-,由k0≠0，故 yo -4++1-营--3+ yayo yo 2-xo Io-IM IM,·MA:-(经+E(层-)- 即M=x。-o(②-xa) ya-yo x0 y(2-xo） 1-x0 2.则MPP-MA·MA:-号-3+ yo yo -》e-) +2-营1，由-2<<顶，故2-1K0, y8(2-xo) x0一1-x0-y8 即|MP|2<MA:I·IMAz. 2-xo x8-2x6-2x十4_x8-2x6_x8-2x6-2o+4 x6-2x0 x8-2x0 x6-2x0 2(x。-2)2 x(x-2)x0 由G:号+y=1可得A:(一，0A:02,0 2024一2025学年度学科素养周测评（二十）数学·双曲线与抛物线 一、选择题 F(?,0小，根据抛物线的对称性，不坊设 1B【解析】记两渐近线的交点为O,设号一岩一 p(3pQ(台，- 1(a>0,b>0),双曲线实轴长为2a,焦距为2c, 由双曲线的定义得OA=a,OF=c,其渐近线方 当点E的坐标为（号+2,0）时，kam=多-0=2， 程为m:y b n:y=- t. 多-0 (BF b 由BF⊥m知，BOa' 。0=号国为m·km一2，所以 所以|BF|= --2 OF:=OB2+FB2, b,1OB|=a,图为1OA|=|OB1,AB⊥n,得n为 2X号=-2，则p=-2(不合题意，舍去)：当点E ∠BOA的平分线所在的直线， 记n交AB于点H,根据渐近线的性质，有 的坐标为号-2,0)时km-g二公=-名， -2- ∠HOA=∠BOF,综上，∠HOA=∠BOF= ∠HOB=于，则m与n的夹角的正切值为，3. 因为k如m·km=-2,所以2X(-号）=一2，则 p=2,所以抛物线C的准线方程为x=一1 2.A【解析】由抛物线的方程y2=2px(p>0),得 AX ·32▣