周测评(十八) 直线与圆的方程-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十八） 数学·直线与圆的方程 (考拔时同40分钟，总分100分) 一、选择题引本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 题号 2 5 6 容案 L.圆C,z一a)+(y+1)3-4的国心到直线x-1与直线y一1的年离相等，期实数e一 A-1 且1或-3 C-1或3 D.3 2已知直线1A+y+C-0(A+B≠0)与曲线Wy-r'-x有三个交点D,E,F,且 DE=F=2,则以下能作为直线！的方向向量的坐标是 A0,1) 且(1，-10 C(1.1) 01,0) a.已知M是圆Or+y1一a'(a>0)上的动友，友N调是MN-(,aa)a>0),记点N 的轨迹为C,若图0与载迹C的公共苏方程为2x+y一5=0，则 Aa-41-1 且a-2,A-1 Ga-d- na=以=号 4.直规！经过定点P(2,1),且与x轴正半轴，y轴正半轴分别相交于A,B两点，O为坐标 算点，动圆M在△Q4B的外都，且与直线/及两坐标轴的正半轴均相切，则△Q4B同 长的最小值是 A3 民5 C10 D.12 五如图，直线y-是十5交：翰于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角夏点登于原 点O,另两个顾点M,N恰好落在直线y一是十3上，若点N在第二象慰内.则 tan∠AON的值为 c n 学科素养周测评（十八）数学第1页（共4页） 衡水真 6.鞋匠才彩是一种特殊的图形，古希皆数学家阿基米德爱现核图形有许多优美的生质，下 图是一个鞋厘刀形.若AC一2C,CD⊥AB,点D在以A日为直径的半显上，以AC 的中点O为原点，AB所在直线为x拍建这平面直角坐标系(D在第一象限)，则直线 BD的解事为 姓名 得分 A. 2 B一2 c-1 0-2 二、法择置（本题共2小题，高小题6分，共12分.在物小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分进对的得部分分，有选情的得非分) 恩号 8 答案 7.已知直线114红一3y一3-0，直线1：（程十2）x一(w十1)y十程-0(mER),划《) A,当m=一1时，山L4 且背m-2时，视 C当作：时1与1之同的距离为1 D直线±过定点(2,1D 8,已知M为直线x一y十5=0上的一点，动点N与两个定点O(0,0),A(3,0)韵距离之比 为2，则 A.动点N的轨连方程为x一4)产十y'=4 B IMN2 2 CMN+号NO的最小值为42 A∠AON的最大植为后 三，填空置（本置共2小题，每小题6分，共12分） ,过圆Oz+y-1外一点P(a)向圆0引两条切线PA和PB(其中A,B为切点)， 使得∠AP阳一，期实数a,占湾足的等量关系为一，a十百6一5的取值范围 为 10.已知直线1：x十y一3-0与C工十《y一1)-4交于A,B两点，若OE平分∠AOB 《0为坐标原点)，则直线(OE的斜串为 蹈密在 学科素养周测浮十八)数学第2页（共4页引 AX 四，解答通本题共2小题，共0分.解答应写出文字说阴、证明过理或演算多骤) 12.(20分)如图，在平面直角登标氛中，点A(0,3),直线：y-一1，设周C的半径 11.20分)已知圆011x+,-日2x一8,2y+8=0,周02过点A(0,一4 为1，阳心在4上， 1》若图O:与圆O1相切于点B,且过点B的两图的公切线为x十y一4,2=0，求翼 (1)若圆心C包在直线y一3x十1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程 0的方程： (2)已知圆Q:x+y2+x+2y一4=0，若圆Q与第(1)问所求的圆C的公共弦长为 (2)若图O:过点C(4,0),腿O,O:相交于点M,N,且同圈在点M处的翅线亚相垂 S,求a的值 直，求直线MN的方程 (3)若图C上存在点M,使MA=2),求围心C的桶坐标a的取值范围 AX 学科素养周测浮（十八）数学第3页（共4页） 衡水真蹈密在 学科素养周测博十八》数学第4页（共4页引衡水真题密卷 学科素养周测评 PC的中点， (4,0,0),AB=2A1B1=(0,2√2，-2√2)，所以 所以A,B1∥AB,B,C1∥BC.因为AB⊥BC,所 A(4,-2√2,2√2)，A1A=(4,-22,w2) 以A1B1⊥BC 设平面ABC的法向量为n=(x,y,x), 因为A1CI平面BB1C1C,BCC平面BB1C,C, n·AB=22y-22z=0, 所以A:C⊥BC 则有 可取n=(0, n,CB-4x=0, 又A1C∩AB1=A1,A1C,A1B1C平面 AB1C,所以BC⊥平面AB1C, 1,1).设AA1与平面ABC所成角为0， 又因为BCC平面ABC, sin 0 Icos(AA,n)= Ad·n= 所以平面A1B1C⊥平面ABC. AAn (2)解：因为A1C⊥平面BB1CC,BC,B1CC 2 √26 平面BB,CC,所以AC⊥B,C,AC⊥BC. √/16+8+2X√226 所以AA1与平面ABC 因为AB=BC=4,所以A1B1=B1C1=2, 所成角的正弦值为压 26 所以A1C=B1C=√2. 因为BC⊥平面A1B1C,B1CC平面A1BC, 所以BC⊥B1C, 所以CA1,CB,CB1两两垂直.如图，以点C为 原点，建立空间直角坐标系， 则B(4,0,0),C(0,0,0),A1(0,0,N2), B1(0,N2,0),故A1B1=(0,√2，-√2)，C第= 2024一2025学年度学科素养周测评（十八） 数学·直线与圆的方程 一、选择题 动点，点N满足MN=(a,Aa), 1.C【解析】由(x-a)2+(y+1)2=4,知C(a, 设M(x1y1),N(x,y),则MN=(x-x1,y -1),则1a-1|=1-(-1)1,解得a=-1或 y),所以-1=a即 x=x-a, a=3. y-y1=Aa,y=y-ia, 2.C【解析】显然函数f(x)=x3一x的定义域为 代入圆O的方程，可得(x一a)2+(y一a)2 R,f(-x)=(-x)3-(-x)=一f(x),即函数 a2,即x2+y2-2ax-2λay+12a2=0, 「(x)是奇函数，因此曲线W的对称中心为(0， 可得两圆的公共弦的方程为2a.x十2λay一a2 O),由直线1与曲线W的三个交点D,E,F满足 λ2a2=0,即2x+2λy-a-A2a=0. DE=EF=2,得E(0,0).设D(x,x3-x),则x 又因为两圆的公共弦的方程为2x十y一5=0，可 十(x3-x)2=4,令x2=t,则有t3-2t2+2t-4 2x=1, =0,即(t2+2)(t一2)=0，解得t=2,即x=士 得 解得a=4A=之 a+aa2=5, √2，因此点D(2,√2)或D(一2，一√2)，所以 4.C【解析】设动圆M的國心M的坐标为(m, ED=(2,2)或ED=(-√2，-√2)，选项中只 m),即圆M的半径r=m,由题意m>0, 有坐标为(1,1)的向量与ED共线，故能作为直 设OA=a,OB=b,圆M与直线AB相切于点 线1的方向向量的坐标是(1,1). N,则AN=m-a,BN=m-b, 3.C【解析】因为点M是圆O:x2+y2=a2上的 所以OA+OB+AB=OA+OB+AN+BN= AX ·26▣ ·数学· 参考答案及解析 a十b+m-a十m-b=2m, 6.A【解析】设AC引=4，则A(一2,0)、C(2,0)、 即△OAB的周长为2m,所以△OAB的周长最 B(4,0),则AB的中点为(1,0)，且|AB|=6,则 小即为圆M半径m最小.因为PM≥r=m, 以AB为直径的半圆孤的方程为(x一1)2十y2 则√(m-2)2+(m-1)2≥m,整理得m2-6m+ 9(y≥0) 5≥0，解得m≥5或m≤1， 令x=2,有y2=9-(2-1)2=8,又y≥0，故y= 当m≤1时，圆心M在△OAB内，不合题意；当 22,即D2,22),则km=220=-2. m≥5时，符合题意，即圆M半径的最小值为5， 2-4 △OAB周长的最小值为2m=10. 二、选择题 7.BC【解析】对于A,当m=一1时，l2:x一1=0， 显然与1不垂直，A不正确； 对于B,当m=2时，h44红-3y+2=0,因为4 二号所以，MB正角， 对于C,当11∥L2时，4m+4=3m+6且3m≠ 5,A【解析】设直线与y轴的交点为B,过O作 -3m-3,解得m=2, OC⊥AB于C,过N作ND⊥OA于D, 此时12：4x一3y+2=0,l1与12之间的距离为 因为N在直线y=x十3上且在第二象限内， 12+3 d- =1,C正确： √4+(-3) 设N,是+3)，时DN=是+3,0D=- 对于D,m(x-y+1)+2x-y=0,令 又A(-4,0),B(0,3),即OA=4,OB=3,所以AB= x-y+1=0 2x-y=0, 解得1， y=2, 5,在△40B中，由三角形的面积公式得20B· 所以直线l2过定点(1,2)，D不正确. OA=号AB·0C,所以0C=-号，在R1△NOM 8ACD【解标】泛N,y,候题老有识- 中，OM=ON,∠MN0=45°，所以sin45°= √x2+y =2,化简得x2-8x+12+y2=0, 2 √/(x-3)2+y 6六=0六，中0N=122,在△ND0中. 所以动点N的轨迹方程为(x一4)2+y2=4,A 选项正确； ND+D02=0N,脚（经x+3)°+(-z)P= ，4 84_12 25x25 因为N在第二象限内，所以工=一8科 251 所以ND= 号，0D-器所以an乙AON ND 方程(x一4)产十y2=4表示圆心为B(4,0),半径 为2的圆，圆心B(4,0)到直线x一y+5-0的距 离d=4十=92.所以MN引的最小值为 2 M 9√2 2 2，B选项错误： IMN+INOI-IMNI+INAI,M.N.A ·27· AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 三点共线时，有最小值， 最小值为点A(3,0)到直线x一y十5=0的距离 因为ko=2,即tana= 2,所以 2tan 2 d=3+5=42,C选项正确： 1-tan a 2 ② ∠AON最大时，ON与围B相切，此时BN⊥ 2即1am2号+4am号-1=0， ON,IBNI=2=- 1OB1,即∠AON=晋，D连 解得tan号=一2士5，因为a为锐角，所以号 项正确 三、填空题 也为锐角，所以an2=一2+5， 9.a8+b2=4[1,9]【解析】如图，易知△PAO≌ △PBO,由∠APB= 3 所以k=tam(+） 1+am2-5- m3-5 1-tan 2 5,+,所以直线OE的斜率为5中 2 可得∠APO=∠BPO-若.在R△APO中，PO =2,所以a2十b2=4,所以点P(a,b)表示以原点 四、解答题 O为圆心，半径为2的圆. |a十3b-5引表示P(a,b)到直线l:x十√3y-5 11.解：(1)由已知得圆O1的圆心坐标为(42， =0距离的2倍， 4√2)，圆O2的圆心在直线y=x上，不妨设其 而原点0到直线l:x十3y一5=0距离为d= x-y=0, 圆心为(a,a).又由 解得 1-5 5 x+y-42=0, V1+3) x=22, 所以圆O2过点(22,22)，(0， 所以P(a,b)到直线l:x+√3y-5=0距离的最 y=2W2, 大值为4+，-受+2=号 -4),所以a2+(a+4)2=2(a-2√2)2，所以a =0, 最小值为d-r=号-2-2 1 所以a2+(a十4)2=16， 所以a+3b-5∈[1,9]. 所以圆O2的方程为x2+y2=16. (2)因为圆O2过点(0，一4)，(4,0)，所以圆 10.5,1【解析】由 口十y-3=0, 2 整理得x2 x2+(y-1)2=4, O2的圆心所在的直线为y=一x,不妨设圆心 -2x=0,解得x=0或x=2. 坐标为O2(m,一m).因为两圆在交点M处的 不妨令A(2,1),B(0,3),设直线OA的倾斜角 切线相互垂直，且圆O,的圆心坐标为(42， 为α，直线OB的倾斜角为B, 42),半径为4，所以(m-4√2)2+(-m 如图所示，显然P=受，则直线OE的领斜角为 42)2=42+m2+(一m十4)2，所以m=-4,所 以圆O2的方程为(x十4)2+(y-4)2=80,圆 O,与圆O:的方程相减，整理得直线MN的方 2 =2=2+4 程为x+(3-22)y-12(W2-1)=0. AX ·28▣ ·数学· 参考答案及解析 12.解：(1)根据题意，圆心C在直线l:y=x一1上， 也在直线y=3x十1上， 公共弦长为，8，d=合，即a-11-发，所以 联立方程工一1；解得 =一1·即C(一1， a=1士5，经验证满足1+4十a>0.所以a- y=3x十1， y=-2, -2),所以圆C:(x+1)2+(y+2)2=1. 当切线斜率存在时，过点A的切线方程可设为 y=kx+3,即kx-y+3=0, (3)设点C(a,a-1),M(xo,yo),因为MA= 则一生2牛3=1→-号，所以切线方程y= 2MO,则x+(y。-3)2=4(x+y), /1+k☒ 即点M的轨迹方程为x8+(y十1)2=4，又点M ,号+3当切线斜率不存在时，直线x=0也与 在圆C上，所以(x。-a)2+(y。一a十1)2=1. 若存在这样的点M,则x8+(y,+1)2=4与 圆相切.综上所述，所求切线的方程为y= (x-a)2+(y0-a+1)2=1有公共点， 1 5x+3或x=0. 即两圆的圆心距d满足1≤d≤3，即1≤√2a≤ (2)圆C:(x+1)2+(y+2)2=1与圆Q:x2+ 3解得号<a<3号或-<<-号， 2 y2+x十2y一a=0,相减得圆C与圆Q的公共 弦所在直线方程1：x十2y十a十4=0，圆C的圆 所以圆心C的横坐标a的取值范围为 心为C(-1,-2),r=1.设C到直线l的距离为 32,_2U2,32 -2-2022」 d, 所以d=-1-4什a+4,又因为圆c与圆Q 5 2024一2025学年度学科素养周测评（十九） 数学·椭圆 一、选择题 截面的最大直径为2米，可知2b=2,得b=1.又 1B【解糊】由后=号可得a2=4=4a-b 因为a2=b2+c2,所以a2=c2+1②，①②联立可 (*),因2a=4,即a=2,代入(*)解得b=√3， 得c=25.35 5q= 5 故短轴长为2b=2√3. 所以该椭球的高为2×3,5_65 2.B【解析】根据题意，画出该椭球的过横裁面园 55m 心的纵截面如下： 3.C【解析】设PF,的中点为M,则|PF:| 1V4 2|OM1=2c=4,于是|PF,|=2a-2c=2,又 |F1Fg=4,则△PF1F2为等腰三角形，S△m51= 2×2X16-压. B B2 根据椭圆的定义知△PQF1的周长为|PQ|+|PF, 十|QF:|=4a=3×2c,即2a=3c①，由该椭球横 ·29▣ AX