周测评(五) 一元函数导数及初步应用-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（五） 数学·一元函数导数及初步应用 (考选时间40分钟，惑分100分》 一、选择题（本题共6小盟，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的1 髓号 答案 L设是定义在R上的可导商数，若和化一-f-2,测广)=【) Al &一1 C-2 D.一4 2若a>6,则函数y一t一a)山一)F的图象可能是 3.已知函数f(r》《e+e+)2,若满足fagm)一e- 。<0,则实数m的取值范属为 A,) ( C(0,3) D(3,十oo) 4.若2ln1一1一为十3一0，如十5=0，别(x1r)1+(物-的最小值为() A22 且6 C.8 D.12 学科素养周测浮（五】数学第1页（共4页） 衡水真 五设a一咖b一由L,1交-1，渊 A,r<bu B4< Ca<ccb 且e<g<A 点已知漏数)号+3出h一标者=之是的唯投恤点，剩失数的眼植物是 《》 A.0,2] B[2,十o) c( n 二，选择题（本驱共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的透项中，有多项符合题日 要求全部进对的得6分，部分选对的得部分分，有选铺的得0分1 题号 7 答案 7.已知a>0,且子十n6=1,喇下列是法正确的是 A.Inateco Ba+in b20 G㎡十6>2 D.a+>1 品若关于工的打程xe一2c十@（工一1）3一0(a≠0)有两个不同的实根，别实数a的可 能取值为 A-3 C.In2 D.3 三，填空鉴（本撒共2小第，每小通6分，共12分》 3,已知不等式。一3a十汤对任数的实数x何成立，则的最大值为 10.已知由线y=一1与曲线y=f(x)关于直线x一y=0对称，则与两由线均相切的直 线的方程为 题密卷 学科素养周衡评五)数学第2页（共4页} AX 四，解答题本题共2小题，共0分.解答应写出文字悦明、证阴过程或演算密骤) L.(20分已知奇函数f(x)一@z+z+cx在x-1处取得极大值2 (1)求∫(x》的解析式： (2)求曲线y一f(r)过点1,2)的切线的方程 AX 学科素养周测浮五」数学第3页共4页) 12.(20分已知函数fe)-2-a+1r+lha>0, (1)求fx)的单调区间： (②☒浸西是化)的两个极值点，证明，士<生 学 衡水真道密卷 学科素养周衡评五)数学第4页（共4页》·数学· 5i2- 22-10 1234x 其与直线y=a有且只有两个交点， 所以ln2≤a<1,且x1+2=a,ln[ln(x2+1)+ 1]=a, 所以x1=a-2,ln(xg+1)+1=e,ln(x2+1) e-1,x2十1=e-4,所以x1=a-2,x2=e- -1, 所以x1+2x2十x1x2=a-2十2e-1-2十(a- 2024一2025学年度学科素养周测评（五 一、选择题 f(ro-2h)-f(xo) 1.B【解析】由题设f'(xo)=lim 一2h 2-26）-f0-1 h 2.B【解析】对比各个选项可知a≠0，令f(x)= y=a(x-a)(x-b)2,则f(0)=-a2b2<0,排 除A,C:由三次函数图象与性质可得x=a,x= b(a>b)是函数y=a(x-a)(x-b)2的零点， 若a<0,则函数y=a(x-a)(x一b)2的图象形 状为减增减，此时y的两个零点均小于零，排 除D. 3.B【解析】因为∫(x)的定义城为R,f(一-x)= (e十e)(-x)2=(e+e)x2=f(x), 所以f(x)为偶函数.因为f(x）=(e2一e). x8+2x(e+e),f'(0)=0,当x>0时，e>1, 0<e<1,所以e-er>0,所以f'(x)>0,所 以∫(x)在(0，十∞)单调递增.因为f(logm) 。<0,即f0gm)<,周为fe)=(e+ e)x2在(0，十∞)单调递增且为偶函数， 所以1ogm|<1, 即-1Kem<1,解释<<3， 所以实数m的取值范因为（兮3 4.C【解析】由题意，设函数f(x)=2lnx一x十 3,x>0,直线y=x+5, 设直线y=x十b与y=f(x)的切点为P(xoyo) 可得了)-2-1可得了)-名1=1解 ·9 参考答案及解析 2)·(e-1-1) =a+2e-1-4+ae-1-a-2e-1+2= ae-1-2. 即x1十2x2十x1x2-e+ha-1-2, 因为y=e和y=lna在[ln2,1)上单调递增， 所以y=e+lna一1在[1n2,1)上单调递增， 所以c+临》-1-2≤e+ha-1-2<c-1-2. 因为e+a-一2=c+n0-1-2=c+dn) 2=e·emm-2=cln2-2, 化简得cln2-2≤e+ha-1-2<e-1-2. 即x1十2x2十x1x?的取值范围为[eln2一2， e-1-2). 数学·一元函数导数及初步应用 得x。=1,可得y。=2, 即切点坐标为P(1,2),则切点到直线x一y十5=0 的距离为d=1-2+5l=22. √ 又因为(x1一x:)”十(y1一y)表示点P到x一 y十5=0的距离的平方， 所以(x1一xg)2十(y1一y:)2的最小值为d=8. .B【解析】令f(x)=sinx-x,则f'(x)=cosx- 1<0,所以f(x)在(0，l)上单调递减，所以sinx< x,故mi<令gx)=lnx-(-) 11 士-是 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减： 当x>1时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，所以 g()≥g(1)=0,故当x>1时有lnx>1 11 ,所以b=h1.1>1-1.-i>sini-a 令h(x)=1n(1+x)-√1+2z+1,则6-c h(0.1),因为h'(x)=1+x21+2z 1 2 W1+2x-(1+x) (1十x)·/1+2x 当x≥0时，1十x=√1十2x+x2≥√/1+2x,所以 h'(x≤0， 函数h(x)在[0，十o∞)上单调递减，所以h(0.1)< h(0)=0,也即b-c<0, 所以b<c,故a<b<c. AX 衡水真题密卷 6,D【解析】由题意，f(x) 号+2ax-红> 则g(x)=e2》,则x∈(0,2)时，g(x)< x多 0,g(x)单调递减，x∈(2，十∞)时，g'(x)>0, gx)单调递增，所以g)=g（2)=号-克 若k<则x∈(0,2)时，f'(x)<0,fx)单调 递减，x∈(2，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递 增，于是x=2是f(x)的唯一极值点. 若>号则g②)- 4-<0,因为x>0,所以 ga)>-k,于是0<<f时，8红)>0： 设p(x)=e-x(x>2),p'(x)=e-1>e2-1> 0,即p(x)在(2，十∞)上单调递增，所以p(x)> e-2>0pe>,则>6时.e>音>e>哥 此时g红)>司-k,于是x>6且x>27张时， g(x)>0. 再结合g(x)的单调性可知，g(x)在(0,2)，(2， 十∞)两个区间内分别存在唯一一个零点x1,2: 且当x∈(0，x1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， x∈(x1,2)时，∫'(x)>0,f(x)单调递增，x∈ (2,x2)时，f(x)<0,∫(x)单调递减，x∈(2， 十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增.于是f(x) 存在3个极值点. 然上所建<号 二、选择题 7.BCD【解析】由e十lnb=1,可得c=1-lnb, 又a>0,所以1-lnb>1,解得0<b<1. 当6=。时，e-1=1,则a=lh2,又n2> 。,所 以na2)>1n()=-1, 所以此时lna+e>-1+e>-1+1=0,故A 错误： 令f(x)=e-x一1，则f'(x)=e-1,当x>0 时，∫'(x)>0,f(x)单调递增，当x<0时，f(x)< 0,f(x)单调递减，所以f(x)≥∫(0)，即e≥x+ 1,由a>0知e>a+1,所以1=e+lnb>a十1十 AX 学科素养周测评 lnb,所以a十lnb<0,故B正确； 由c≥x十1可得x≥ln(x+1),可得x-1≥nx (x=1时取等号)，因为0<b<1,所以lnb<b一 1,1=e十lnb<e十b一1，所以e“十b>2,故C 正确： 因为e=1-lhb=ln号，所以a=nn号)a+ b=l血公）+6◆n云-，则6=e>1, a十b=lnx+e,令h(x)=lnx+e2,x>1,所以 kNx)=-e= 工e=xe,令u(x)= 1 e e-ex e-ex,x>1,所以u'(x)=e-e>0,所以u(x) 在(1，十∞)上单调递增，所以u(x)>u(1)=0, 所以h'(x)>0,所以h(x)在(1，十∞)上单调递 增，所以h(x)>h(1)=1,所以a十b>1,故D 正确， 8.CD【解析】构造函数f(x)=xe-2e十a(x一 1)2(a≠0)，则f'(x)=(x-1)e+2a(x-1)= (x-1)(e+2a). ①若a>0,当x>1时，f'(x)>0:当x<1 时，f'(x)<0,所以f(x)在（一o∞，1）上单调递 减，在(1，+o∞)上单调递增.又f(1)=一e,f(2)= a,取实数b满足b<0且6<1n受，则有f)> 受6-2)+a6-1=a6-2b小>0，所以 f(x)有两个零点 ②若a<0,当a≥-2，x>1时，f(x)> 0,f(x)在(1，十∞)上单调递增， 当x≤1时，f(x)<0,故∫(x)不存在两个零，点. 当a<-受时，fx)在(n(-2a),十o∞)上单满 递增，在(1，ln(-2a))上单调递减， 又当x≤1时，f(x)<0,故f(x)不存在两个零 点，综上，a>0. 三、填空题 具-2如3【解折】令1=一日，剥原不等式可化 1 为e≥3at十3十2b对任意实数t恒成立， 即e-3at-3-2b>≥0恒成立，令f(t)=e-3at- 3-2b,则f(t)=e-3a, 当a≤0时，f'(t)>0,f(t)在R上单调递增，t→ 一∞时，f(t)+一∞，不合题意； ·数学· 当a>0时，由f"(t)=e一3a=0,可得t=ln3a, 所以当t∈(-oo,ln3a)时，f'(t)<0,f(t)单调 递减，当t∈(ln3a,+co)时，f'(t)>0,f(t)单调 遂增，所以当t=ln3a时，f(t)mm=f(ln3a) 3a-3aln3a-3-2b.又因为f(t)≥0恒成立， 所以f(t)mm=3a-3aln3a-3-2b≥0，所 26 以2b≤3a-3aln3a-3,所以≤3-3ln3a- 、.令ga)=3-3n3a-三，a>0,则g'(a) _3+3_3-3a_3(1-a） aa?a a 当0<a<1时，g'(a)>0,当a>1时，g'(a)<0, 所以g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，+o∞)上单 调说减，所以g(a)mx=g(1)=一3ln3,所 a2b≤-3ln3,即2≤-2ln3. b 3 10.x一y=0【解析】设y=e一1上任一点的坐标 为(x,y),满足y=e-1, 则该点关于x一y=0的对称点为(y,x),得 x=e'一1，整理可得y=ln(x十1)， 设y=e一1上的切点为(x1,e-1),y=ln(x+ 1)上的切，点为(xg,ln(x3十1))， 又y=e-1的导函数为y'=e,y=ln(x十l) 的导函数为y=1 +1 1 则 e=- x2十1' 整理 e1(x2-x1)=ln(x2+1)-(ei-1), 得x1=-(x2+1)n(x2十1)， 所以e+1与+D=1 十1，即（红2十1）%+ (x2十1)-1，解得x2=0,所以x1=0. 所以y=c一1与y=ln(x+I)的公切线的公切 点为(0,0)， 则切线的斜率为1，故与两曲线均相切的直线的 方程为x一y=0. 四、解答题 11,解：(1)易知函数f(x)的定义域为R,因为 f(x)是奇函数，所以f(-x)=一f(x),则b= 0.由f(x)=ax3+cx,得f'(x)=3ax2+c.因 为f(x)在x=1处取得极大值2， f'(1)=3a+c=0 所以 0解得口=-1·经检验。 f(1)=a十c=2 c=3, 当a-1时，fr)在工=1处取得极大值2， c=3 1 参考答案及解析 故f(x)=-x3+3x. (2)由(1)知f(x)=-3x2+3,设切点为(xo, 一x8十3x0),当x0=1时，切线方程为y一2= f(1)(x一1)=0，所以切线方程为y=2.当x。夫 1时，则+3x-2-,)=-3x8+3, x。-1 整理得-x8+3x。-2=-3(x。十1)(x0一1)2， 即x8-x。-2x0+2=(x0-1)2(x。+2)= 3(x。十1)·(x。-1)2,得x。=1(舍去)或x。= 1 所以当切点为(，一)时，切线方程为y十 g-r()北+》-+》，即9x 4y-1=0. 所以曲线y=f(x)过点(1,2)的切线的方程 为y=2或9x-4y-1=0, 12.(1)解：因为fx)的定义域为(0，十∞)，且f(x)= x2-(a十1)x十a_(x-1)(x-a) 所以当0<a<1时，x∈(0，a),f'(x)>0,f(x) 单调递增，x∈(a,1),f'(x)<0,f(x)单调递 减，x∈(1，十∞)，f'(x)>0,f(x)单调递增：当 a=1时，f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，所 以f(x)在(0，十∞)上单调递增：当a>1时， x∈(0,1)，f'(x)>0,f(x)单调递增，x∈(1， a),f'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(a,+o∞)， f(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述，当0<a<1时，f(x)的减区间为(a, 1),f(x)的增区间为(0，a),(1,+∞)： 当a=1时，f(x)的增区间为(0，十∞)，无减 区间： 当a>1时，f(x)的减区间为(1，a),f(x)的增 区间为(0,1)，(a,十∞). (2)证明：因为∫(x)存在两个极值点x1,x2, 由(1)知当且仅当a∈(0,1)U(1,+∞)时， f(x)存在两个极值点1，a, 要证作到 <f(x)+f(x) 2 即证2f安）-f1-fa)<0, 因为2f安）-fa)-f(a)=2[2× ---a+[2x2-1-可+ 1 AX 衡水真题密卷 4 aln a, 所以只要证-a一1 4+2aln a+1 2 -alna<0, 即证a1) -21na+1 +lna>0. 设g(a)=a-1) Aa -2告+Ia.E,DU 2024一2025学年度学科素养周测评( 一、选择题 1,A【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(x) f(-x),两边求导，可得[f(x)]丫=[f(-x)]了→ f'(x)=f'(-x)·(-x)'→f(x)=-f'( x).又f(x)在(1，f(1)处的切线方程为x一2y十 1=0,所以f1)=2,所以f(-1D=-f(1)= 2.A【解析】函数f(x)=xlnx|,其定义城为 (一∞，0)U(0,+∞)，关于原点对称， 可得f(-x)=(-x)ln-x|=x2ln|x|= f(x),所以函数y=x1nx|为偏函数，所以排 除B: 由画数g(x)-(x+）ax,可得g(日) -(e+)水-1，故排除C 函数h(x)=(-)lnlx,当x∈(0,1D时，可 得x-1<0且1nlx<0,则h(x)>0,故排 x 除D: 函数P(x)=xln|x|的定义城为(-o∞，0)U (0,十∞)，关于原点对称， (-x)=-zInl-xl=-zInlxl=-9(z), 所以中(x)为奇函数，图象关于原点对称， 当x>0时，g(x)=xlnx,可得p'(x)=nx+ 1,当x(0,）时，g(x)<0,p(x)单调递减： 当x(民+o)时px)>0,px)单调递增， 且p(1)=0,所以A项符合题意， 3.D【解析】若导函数∫'(x)=2有解，则直线 y=2x十m就可以为该函数图象的切线。 AX *1 学科素养周测评 (1,十∞)， 则o)品片 所以当a∈(0，l)时，g'(a)<0,g(a)单调递减； 当a∈(1，十o∞)时，g'(a)>0,g(a)单调递增. 所以当a∈(0,1)U(1,+o∞)时，g(a)>g(1)= 0.即原不等式得证. ) 数学·一元函数导数的综合应用 对于选项A,令f'(x)=2x十1=2，解得x=2 满足条件；对于选项B,因为f'(x)=3x2十e在 (0,十∞)上单调递增，且f'(0)=1<2,f'(2)= 12十e>2,所以方程f'(x)=3x*十e=2有解， 满足条件：对于选项C,令f(x)=十x=2,解 得工=1，满足条件；对于选项D,∫(x)=1 十2> 2VE 2,不满足条件. 4.B【解析】设圆的直径为d,则x2+y2=d2,所 以y2=d3-x, w=后a-)=若-+d).0<d 1 令w--x2+4)=0z- 3d, 由W>0,解得0<x<d;由W'<0,解得x> 8 所以w在oa)单润追增，在停d)单调 递减， 所以当x= 3d时W取最大值. 5 此时y=,/d2一 d,所以二3 y6, 2 3 5.B【解析】当a≤0时，函数f(x)=e一e在 [0,十∞)上单调递减，不符合题意，所以a>0. 由题可知f'(x)=ae"一e≥0恒成立，即ae"≥ e.令g(x)=xe,x∈[0，十oo), 则g'(x)=(x十1)e≥0，所以g(x)在[0，十∞)