周测评(十) 函数的应用-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十） 3,绿水青山就是金山佩山“的理念已轻灵出18年，我国就乡深化河道生态环境前班，科 数学·函数的应用 学怡污，现有某乡村一条污果间道的蓄水量为罗立方米，每天的进出水量为，立方米： (考流时同4D分钟，总分100分) 一，选择题（本蕊共。小题，每小题6分，共6分.在每小题始出的四个进项中，只有一项是 已知污染源每天料收F个单位污染间本，某一时段（单位：天）河水污染质量指数稀t) 符合整日要求的] 题号 答案 (每立米润水断含的污聚物)满是网：)-十口：-}(m,为初始质最指数)，经 L.函数f(x)-2-4og江一 的零点所在的区间是 5 测耳，可通需水量是每天进出水量的G0作.若从观在开始停止污购源，要使润水的污染 A.{-1,09 且，(0,1) C(1.2) D.(2,3) 水平下降到初始时的方，需姿的时铜大均是参考数据，鱼L.61,鱼61.9》《1 2.调和信号是指飒率框定的一肿信号，三角两数性质可以表达到和情号的湖期性，擂数函数可 A.1个月 且a个月 C.半年 D.1年 用来推述你号的藏减卫：一个调和信号的流为)一台气它的器象大致为() 4,拉絡朗目中值定理是微分学中的基木定理之一，其定理陈连如下：细果函数「(x)在周 区间[a,b上连域，在开区间(a,b)内可停，则在区间(a,b)内至少存在一个友x,E(a, b》,使得f6)一f(e)-'(r)6一a),士-￥a称为两数y一f(x》在闭区闻[4，b3上的 中值点.若关于函数f(x》=nx在区何[0，]上的“中值点"的个数为国，函数g《x)= 在区间[0,1门上的“中值”的个数为郑，划裤十带= 0 A.1 且2 C.0 D.3 学科素养周测评十)数学第1面（黄8瓦 衡水直疑密荐 学科素秀库湖评（中》数学第2页（其8页1 AX +1 x<0或0<r<1, 二，览译题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合愿日 要求.余部进对的得6分，留分选对的得留分分，有选错的得0分1 5.已如函数/：) (x)一一2-4，设6为安数，看存在实 题号 7 n(x+29,≥1， 容案 久.已盘正一2，是画数了x)-的板小值友，则 数a,使科f(一1一(6)成之，图6的取值花国为 ( a侵+ A.,tf)<0 Bz:+f《xe)0 c n到 C.4+fx)-0 nf,<号 6.数f(x)-xm引x,若方程(x十s加x)了(x一ax一0其有三个根x1x:x1+耳 8.已知函数fz)-(r-3》,若f(a)=f()=f(e),其中abe,相 1<x,<x,则mx4+202x1x,的收值范用是 A,1<c<2 A6+c>2 A.(0,十m》 B(2023,十69) C.(-m,-2028) D.《-6o,0) C.a+k+e-6 D.a的取值范围为0,4)》 AX 学科素养周测评十)数学第3面（黄8瓦） 衡水直题密卷 学科素秀库湖评（中》数学第4页（其8页】 三、填空题（本题共1小题，每小题6分，共12分】 为40km/6,则该汽本最多能行旋多运就必顶矩风？ 8.已知实数a5澜足u-10,g一10一3，谢@6一一 ez-10,r0, 10.已年两数f== (e为自然对数的底数)，若关于x的方程fx)+ e1十2hx十h.x0 /(一士)一0有且仅有四个不同的解，则实数是的取值范围是一· 西，解答题（本题其2小驱，其相分，解答皮出文字说期，证明过醒或演算步骤引 11,(20分)某边远笔区有一运喻年风，开出后的军辆都公镇延国，离出发地8Dkm处有一 加油结，某汽车淮箱中余浦境Q(L)与它行陆时问r(h)之间是一次两露关系，已如r=0 时，韩箱中有泊G0L,汽车行腔8，消箭中还剩余油2011果汽车的行陡速度 学科素养周测评十)数学第3面（黄8丽） 衡水真疑密荐 学科素养库湖评（中》数学第6页（共8页 AX 12,(20分)近期随着某种国产中查端品牌手机的上市，我国的芯片我术迎米了重大突城。 某企业氟有1C00名技术人员，年人均段人a万元(4>0)，现为加强技术研发，该企业 把复有技术人员分成技术人质和研发人员，其中技术人员x名《xEN且100x 500),调整后研发人品的年人均授人增加(Q,2x)%,投术人场的年人均投入同整 为万元 《1)若要使两整后研发人员的年总授人不低于调整简10⑩名技求人员的年总投入，期 两整后的研爱人员的人数最少为多少？ 《?)为了餐爱研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，金业决定在授人方 雀要同时滨足以下两个条件： ①研发人的的年总投人始终不低于找术人是的年总段人。 ②技术人员的年人均授人始终不减夕.请问是否存在这样的实数w,商是以上两个 条件？若存在，求出，的取值范围：若不存在，说明理由. AX 学利素养周评十)数学第7面（黄8面） 衡水直疑密荐 学科素养思测评（中》数学第8页（共5页1·数学· 参考答案及解析 10,号【解标】由题高知 sin(x+y) sin(z-y) 2sin 2x. 'cos(x+y)'cos(x-y) 所以g(x)=2sin2x+2cos2x-2sin2x· sin(x+y)cos(x-y)+sin(z-y)cos(x十y） cos 2z. cos(x十y)cos(x-y） sin 2x cos(r+y)cos(红-y）=4sin2x,由题意知sn2x≠ 设sin2x十cos2x=t,则t=2sin(2x+）∈ [-√2,2]，且2sin2x·cos2x=t2-1, 1 0,图此cos(x十y)c0s(x一y)=4 所以y=-2+2t+1=-(t-1)2+2, 1 所以cos'xcos2y-sin'zsin'y=4: 当t=-√2时，ymm=-22-1. 所以g(x)的最小值为-2√2-1. 长orz+ory-是 12.解：(1)由题意知f(x=√3sin2x-sin(2023π十 国为x(o,》y(》所以cosx> n+- =3sin2x十sin xcos- 0,cos y>0, 3 5_1 所以cos xcos y=√cos'xcos y= 22 sin 2t- (co + os2=sim2x-） 641 2 me<1,故-(o-}+ 故fx)的最小正周期T= 2 - 故cosxco0sy的最小值为2 令-受+2张≤2-<受+2张ke. 四、解答题 解得一+x<:<径+，∈乙 11.解：(1)因为f(x)=2 sin xcos z+3(2cos2x 1D=sin2x+5cos2z=2sim(2z+5）月 所以了G)的单调遥增区间为[一音十女x,登 f(e+)-82 2sin(2a+受+）-8 kxk∈Z cosa+）- (2因为fe-若）=m2(e-）- a-)=2sin2(a-)+司 sma-）- 2smta+）-2sn2(a+）-引- 又a∈（臣小，所以2a-5∈（倍，7）， -2ma+】=-22ms(2a+）- 所以cos(2a-）=-1-r(2a-）) 24 -2×)”-1-8 25 (2)因为fe+)=2sim(x+若+） 所以na设=s血(2a经+）=m(2a- 2cos2x,f(e-8）=2sin(2x-3+） 50 2024一2025学年度学科素养周测评（十）数学·函数的应用 一、选择题 义城为(0，十∞)，且在区间(0，十∞)上单调递 5 1.C【解析】易知函数fx)=2-+1ogx一2定 增，又f0)-1+0-号<0,2)-2+1-号> ·23 AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 0,故由函数的零点存在定理可知，f(x)的零点所 当a≥1时，f(a)-ln(a十2)，所以f(a)的取值 在的区间是(1,2). 范图是[ln3,十∞). 2.B【解析】令f(x)=0,则sin2x=0,2x=kπ，k∈ 乙解得z=经∈乙。 综上可得，a)的取值花国是[行+ 要存在实数a,使得f(a)=1一g(b)成立，则函 则在（一4,0）内有一2一元两个零点，故排除选 数/a)-1-8)≥-量中g6),中 项A,D;又f(x)不具有奇偶性，则图象既不关于 原点对称，也不关于y轴对称，故排除选项C g6)=8-2h-4长营解得-含<< 6.D【解析】由(x+sinx)f(x)-ax8=0,f(x) 3.B【解析】由题意可知，r=0,友=50，故m(1)= 20m, 得(x十sinx)x2|x|-a.x2=0. ①当x=0时方程成立； 则e-名即-动=-l1h634=50ln6≈50× ②当x≠0时，(x十sinx)x203|x|-ax=0化 1.79=89.5,所以t≈90，则要使河水的污染水平 为(x十sinx)x2olx|-a-0H(x十sinx)x2 下降到初始时的行，需要的时问大约是90天，即 |x|=a. 令F(x)=(x十sinx)x2|x|,由定义城关于原 三个月. 点对称， 4.B【解析】设函数f(x)=sinx在区间[0，π]上的 且F(-x)=(-x十sin(-x)(-x)2m|-x|= “中值点”为x。,由f(x)=sinx,得∫'(x)=cosx, (x+sin x)x2om1=F(x), 则由拉格朗日中值定理得，∫（π）一∫(0)= 所以F(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所 f'(x0)(π一0)，即πc0sx0=0,而x。∈(0，π)， 以F(x)的图象与y=a的两个交点对应的横坐 则x0=行，即函教f()=sinx在区间[0，]上 标关于y轴对称，即方程(x+sinx)x2|x|=a 的另外两根一定一正一负， 的“中值点”的个数为1，因此m=1. 又x1<xg<xa,所以x1<0,xg=0,x3>0, 设函数g(x)=e在区间[0,1]上的“中值，点”为 且x1=一xa≠0， x1,由g(x)=e,求乎得g'(x)=e, 由拉格期日中值定理得，g(1)一g(0)=g'(x:) 所以sinx2+2023x1x3=-2023x3<0. 二、选择题 (1一0)，即e-1=e, 令函数h(x)=e-e十1，x∈(0,1)，函数h(x) D【解折】了(x)=,则了()= 在(0,1)上单调递增，h(0)=2-e<0,h(1)= x+1+Inz 1>0, 4+,f'(x)=0Px+1+lnx=0存在唯- 则函数h(x)在(0,1)上有唯一零，点，即方程e一1= 的零点x=xo,即满足xa十1十lnx。=0→lnx。= e1在区间(0,1)上有1个解， 图此函数g(x)=e在区间[0,1]上的“中值点” -x0一1， 的个数为1，即n=1, 所以。十f()=,+n=+ 所以m十n=2. 1+x。 x(-x。-1) 5D【解标1当a<1时，fa)=中-（侣）'+ 1十x =0,AB错，C正确： 合（日+》- --到 =1-x=x, 数形结合x=x。是f'(x)=0即1nx=一x一1 a,由于a<1且a≠0，所以>1或t<0, 两个初等函数的交点横坐标，易观察x。∈(0,1)， 用二分法检验f1)>0,f(号）>0，所以x,∈ 所以a)的取位范国是[子+o (,》所以f)1=<D正 AX 24 ·数学· 参考答案及解析 8.BCD【解析】因为f(x)=x(x一3)2，所以 10.(e,十∞)【解析】令F(x)=f(x)十f(一x), f'(x)=3x-12x+9=3(x-3)(x-1), 可得F(一x)=F(x),所以函数F(x)为偶函 令f'(x)=0,解得x=1或x=3,当f'(x)>0 数.由题意可知当x>0时，F(x)有两个零点， 时，x>3或x<1,所以f(x)的单调递增区间为 当x>0时，-x<0,f(-x)=e-2kx十k,即 (-∞，1)和(3，十∞)：当f(x)<0时，1<x<3, 当x>0时，F(x)=e(x-1)+e-2kx+k= 所以f(x)的单调递减区间为(1,3)， xe2-2kx十k,由F(x)=0,可得xe=2kx f(x)的图象如图所示， k,即方程xC=2kx一k在(0，十∞)上有两个正 数解.因为函数y=xe的导函数为y'-(x+1) 心>0在(0，十o∞)上恒成立，所以作出函数y= xe与直线y=2kx一是的大致图象如下图. Oe 1 b2 3 a4 设f(a)=f(b)=f(c)=t,则0<1<4,0<c<1< b<3<a<4,故A错误： f(x)-1=(x-a)(x-b)(x-c), 所以x(x-3)2-t=(x-a)(x-b)(x-c), 即x3-6x3十9.x-t=x3-(a十b十c)x2+(ab十 1=2a-k ac+be)x-abc, 因为方程xe=2kx一k在(0，十∞)上有两个正 对照系数得a十b十c=6,故选项C正确： abc=t∈(0,4)，故选项D正确： 数解，y=2x-k恒过点（号，0小所以k>0.由 因为3<a<4,所以3<6-(b十c)<4,解得2< y=xe,y=2kx一k相切，设切点为(t,te), b十c<3,故选项B正确. 由y=xe可得y'=(x十1)e,故切线的斜率为 三、填空题 (t十1)e,所以切线的方程为y一te=(t十1)e(x 9.10【解析】因为a=10-台lga=7-a,所以a 是方程lgx=7-x的根.又因为lgb=10-es一 一t), 3曰10-4=7-(4-1gb),所以4-lgb是方程 由切线过（号0）可得-d=u+1Dc(号-小， 10'=7一x的根. 又因为y=lgx与y=10互为反函数，其图象关 解得=1或=-舍去)， 于y=x对称，且直线y=x与y=7一x的变点 故切线的斜率为2k=2e,即k=e,所以当k>e 的横坐标为2，因为直线y=7一x与y=工垂 时，直线与曲线有两个交点， 直，所以a十4-1g6)7 综上可得，实数飞的取值范固是(e,十o∞). =2→a+(4-lgb)=7,又 四、解答题 因为lga=7-a,所以(7-lga)+(4-lgb)= 11.解：设汽车油箱中余油量Q(L)与它行驶时 7→lg(ab)=4→ab=10, 间t(h)之间的一次函数关系为Q=t十b, 依题意得 =60,解得 120=8k+b, =一5·所以油箱 =60, 6 中余油量Q和行驶时间：之间的函数关系式为 4 1=10 Q=-5t+60(0≤t12).当Q=0时，t=12, 所以在不加油的情况下，汽车最多能行驶12h. 2 1=7-x y=lg x 最远距离s=40× 2X12=240(km). 2-712345689 由于在离出发地80km处有加油站可供加油， ·25· AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 如果在返程时加油， 则油箱中的油只需够用到加油站即可返回出发 m1000整理得m<1000 3x +1000+1 地，也就是汽车可以再行驶40km,即280km. 由条件②技术人员年人均投人不减少，得 进一步探索，如果驶离出发地的途中加一次油， 返回时再加一次油， a(a-1问≥a,解得m≥100t1. 侧相当于以加油站为出发地最远行驶240km, 假设存在这样的实数m,使得技术人员在已知 因此汽车实际最远可行驶320km. 范围内调整后，满足以上两个条件，即1品十1< 12.解：(1)依题意可得调整后研发人员的人数 为10-，且年人均投人为1+6)a万 +1000+1(100≤x≤500)恒成立. 1 元，则100-h+0)a≥10oa,因为a> 设f(x)=1000 x +1000+1=1000（x+ 10002 0,所以00x2二x≤0，解得0≤x≤500 +1,则f(x)在(0,1000]上单调递减， 因为x∈N且100≤x≤500，所以100≤x≤ 因为x∈N且100≤x≤500，所以f(x)在[100， 500,故500≤1000-x≤900， 500]上单调递减， 即要使这(1000一x)名研发人员的年总投入不 1000,500 则f(x)一=500+1000+1=3.5，所以m≤ 低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调 3.5,当x=500时，等号成立. 整后的研发人员的人数最少为500. 又因为100≤x≤500，当x=500时， (2)由条件①研发人员的年总投入始终不低于 技术人员的年总投人，得 (00+1=2.5,所以m≥2.5 ao0-xlh+06o)a≥x(m1a,上 所以2.5≤m≤3.5，即存在这样的m满足条件， m的取值范围为[2.5,3.5]： 式两边同除以ax,得(0-+0)>≥ AX ·26·