周测评(六) 一元函数导数的综合应用-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（六） 数学·一元函数导数的综合应用 (考试时间40分钟，总分100分) 一，选择题本题共6小驱，每小题6分，共36分.在每小驱给出的四个进项中，凡有一项是 符合题目要求的] 敌号 2 4 5 6 容案 L,已知雨数fx)为偶函数，其周象在点(1，f《1))处的0线方程为x-2y+1一0，记f(x) 的导雨数为了'(x),期广（一1）一 A吉 C-2 D.2 2曲线是查掣中的精灵，以曲线为元素的LOG)给人简的面木简单的审美感受，某数学兴 星小组设计了如图所示的双]型曲线10GO,以下4个雨数中最能报合该曲线的是 () -2 A.y=rinr B y=x'Inlz C.y-(+1)hizl Dy-(-1)hiel 3.下列南数的图象不可能与直线y一2十，m∈R相切的是 A.f()+ 且f《a)-x+e C)=ar+号 Df(x》=F十2z 4.中国古代建筑的主要受力构件是乘，其戴面的基本形式悬矩彩.如图，将一根能面为测 形的木材加工封成戴面为矩彩的聚，设与承载重力的方向垂直的袁度为x,与承载重力 的方向平行的高度为，记距形极面纸杭矩W一名，限聚力学原跟，截面抵抗起法 大，梁的抗膏曲能力越强，则宽，与高y的最住之比皮为 学科素养周测浮六】数学第1页共4页)】 衡水真 A是 唱 C.I n厘 五，已知函致f代x)=一？在[a,十)上单调通增，则：的歌值范围是 A[0,+a} B1,+) C.《c,+o) D.[2e.+o∞) 6已知实数x>0,喇雨数y一x的值域判 A.0,十a} B1.+e) c侵+ D.(e,+∞ 二、选择盛（本愿共2小题，每小题6分，共12分在物小题给出的选项中，有多项符合题目 想求.全部进对的得6分，部分远对的得的分分，有选铺的得0分) 遥号 8 答案 7,没：≠0，若x=a为函数f〔x=a《x一a)(x一b》的极小值点，则下列美系可使 成立的是 A.a>0且a>b Ba>0且a<b C,40且a<b D,a0且eb 8.已知直线【，是由线f(x)=nx上任一点A〔x1y)处的切线，直线1是由线g(r}■ 上点B(,x:)处的切线，爆下列结论中正确的是 A当1十=1时，4∥ B存在x使得41与 C若1，与1：交于点C,且△AC为等边三角形，一2+ D.若与ge相切，切点为Cy:2.则1y一1 三，填空愿（本题共2小题，每小题6分，共2分） 8.已知函数fx)=E,R(x)一a(r-1),a∈R,若f(x)的图象恒在g(x)的上方，则宾数 “的取值在围是 递密卷 学科素养周衡评六)数学第2页（共4页} AX 10雨登f(x}=一。1在(0.2x)花属内极值点的个数为 12.0分记知话数-头. 四、解答题引本题共2小恩，共相分.解答应写出文字说明、证期过程或演算密骤】 11.(0分)已知1+x1是三次丽数f(x)=x十ar十x的两个非零零点，x1<0,x>0 (1)当@=1时，求由线y一/(x)在点（一1，了（一1）)处的罚线方程： (2》若f红)有阿个不同零点124，求￥的取值范用，井证明x1十￥>0. (1)求a,b的值及f(x)的单到区间： (2)若对任意z∈[，5]，不等式f(x》<c一c恒载位，求：的取值范现 AX 学科素养周测悴六】数学第3页共页) 衡水真题密程 学科素养周衡坪六)数学第4页（共4页}衡水真题密卷 4 aln a, 所以只要证-a一1 4+2aln a+1 2 -alna<0, 即证a1) -21na+1 +lna>0. 设g(a)=a-1) Aa -2告+Ia.E,DU 2024一2025学年度学科素养周测评( 一、选择题 1,A【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(x) f(-x),两边求导，可得[f(x)]丫=[f(-x)]了→ f'(x)=f'(-x)·(-x)'→f(x)=-f'( x).又f(x)在(1，f(1)处的切线方程为x一2y十 1=0,所以f1)=2,所以f(-1D=-f(1)= 2.A【解析】函数f(x)=xlnx|,其定义城为 (一∞，0)U(0,+∞)，关于原点对称， 可得f(-x)=(-x)ln-x|=x2ln|x|= f(x),所以函数y=x1nx|为偏函数，所以排 除B: 由画数g(x)-(x+）ax,可得g(日) -(e+)水-1，故排除C 函数h(x)=(-)lnlx,当x∈(0,1D时，可 得x-1<0且1nlx<0,则h(x)>0,故排 x 除D: 函数P(x)=xln|x|的定义城为(-o∞，0)U (0,十∞)，关于原点对称， (-x)=-zInl-xl=-zInlxl=-9(z), 所以中(x)为奇函数，图象关于原点对称， 当x>0时，g(x)=xlnx,可得p'(x)=nx+ 1,当x(0,）时，g(x)<0,p(x)单调递减： 当x(民+o)时px)>0,px)单调递增， 且p(1)=0,所以A项符合题意， 3.D【解析】若导函数∫'(x)=2有解，则直线 y=2x十m就可以为该函数图象的切线。 AX *1 学科素养周测评 (1,十∞)， 则o)品片 所以当a∈(0，l)时，g'(a)<0,g(a)单调递减； 当a∈(1，十o∞)时，g'(a)>0,g(a)单调递增. 所以当a∈(0,1)U(1,+o∞)时，g(a)>g(1)= 0.即原不等式得证. ) 数学·一元函数导数的综合应用 对于选项A,令f'(x)=2x十1=2，解得x=2 满足条件；对于选项B,因为f'(x)=3x2十e在 (0,十∞)上单调递增，且f'(0)=1<2,f'(2)= 12十e>2,所以方程f'(x)=3x*十e=2有解， 满足条件：对于选项C,令f(x)=十x=2,解 得工=1，满足条件；对于选项D,∫(x)=1 十2> 2VE 2,不满足条件. 4.B【解析】设圆的直径为d,则x2+y2=d2,所 以y2=d3-x, w=后a-)=若-+d).0<d 1 令w--x2+4)=0z- 3d, 由W>0,解得0<x<d;由W'<0,解得x> 8 所以w在oa)单润追增，在停d)单调 递减， 所以当x= 3d时W取最大值. 5 此时y=,/d2一 d,所以二3 y6, 2 3 5.B【解析】当a≤0时，函数f(x)=e一e在 [0,十∞)上单调递减，不符合题意，所以a>0. 由题可知f'(x)=ae"一e≥0恒成立，即ae"≥ e.令g(x)=xe,x∈[0，十oo), 则g'(x)=(x十1)e≥0，所以g(x)在[0，十∞) ·数学· 上单调递增，由aer≥e, 可得a.xe≥xe,即g(ax)≥g(x),所以ax≥ x≥0，所以a≥1， 当a=1时，∫(x)=0,不符合题意，故a的取值 范围是(1，十∞). 6.D【解析】对y=x的两边同时取自然对数得， In y=zIn x(r>0), 令f(x)=xlnx(x>0),则f'(x)=1+lnx,令 fx)>0,解得x>是，令f(x)<0,解得0< x<,故f(x)=xlnx(x>0)在t(0,)上单调 递减，在（日，十∞上单调递增， 故f(x)=xlnx(x>0)在x=】处取得板小值， 也是小值，且f)-是- e 故f(x)=xnx(x>0)的值战为 以y=x2的值域为(e,十∞)， 二、选择题 7.AC【解析】由函数f(x)=a(x一a)(x一b), 可得f(x)=3a(x-a)x-a+26） 3 令f(x)=0,可得x=a或x=a+26 3 要使得x=a为函数y=f(x)的极小值点， 当a>0时，则满足a+2的<a,解得a>6,所以A 3 正确： 当a<0时，则满足a十26>a,解得a<b,所以C 正确。 8.AD【解析】由题意得y1=nx1,由x1十y=1, 得x1十lnx1=1,如图，可知y=x十lnx与y=1 的交点是(1,1)， *1 参考答案及解析 可得x1=1,y1=1nx1=lnl=0, 由fx)=1nx,得f'(x)=】,所以直线1的斜 率为f'(x1)=f'(1)=1, 由g(x=e,得g'(x)=e,所以直线l2的斜率 为g'(y:)=g'(0)=e°=1=f'(x1), 即直线11的斜率等于直线12的斜率，所以11∥ l2,故A正确； 1 因为·∫(z)"g0)=石·e必号 eh=2·x1=1≠-1， 所以不存在x1,使得11⊥l红，故B错误； 如图，设11,1，的倾斜角分别为a,B, 图为三角荐ABC为等边三角移，所以=a士 又ana=f广(z)-,anB=g'(y)=e eln =I1, 所以当B=a十行时，tamA=an(a+）= + tana十√5x1 1-3ana1-1.5 =无1 整理得x1-2W3x1一1=0，所以x1=3十2（负值舍 去) 当=a一音时，mg=-》 tan a-3 1+3tan a 上一3 1+1·5 =x1 整理得xi十25x1一1=0，所以x1=一3十2 (负值舍去)： 所以x1=士√3十2，故C错误： 若l1与曲线g(x)相切，切，点为C(x,y),则k= AX 衡水真题密卷 i-'o 即=e,又C(xy)在g(x)=e上，所以 1 ya=e,所以=y2,即x1y:=1,故D正确. 三、填空题 9.[0,e2)【解析】因为f(x)=e',则f'(x)=e, 设切点坐标为(xo,e),则切线斜率k=e, 可得切线方程为y一e中=e(x一x).注意 到g(x)=a(x一1)为过定点(1,0)，斜率为a的 直线， 把(1,0)代入切线方程可得一eo=e(1一xo), 解得x。=2,即过定点(1,0)的切线斜率为e2, 若f(x)的图象恒在g(x)的上方，则0≤a<e. =e2(x-1)】 g(x)=a(x-1) l0.2【解析】f'(x)=eh+cos十em“sinx= e+m:(sin工+cosx） 当，时f>0:当，到时， f'(x)<0: 当x∈（经，）时，u=sinx和u=cosz均为单 调减函数， 令y=总u(-1,),则y-1” e 当u一1D时y-1号>0楼成 所以y-在u∈（一1,1）上是单调增画数， 由复合画数单调性可知p(红)-如二+在 x(货)为减函数，又y=em4>0, 易知了()>0，f(x)<0,由零点存在定理可 知'x)在（经）上存在一个零点， 同理可得了(）<0，f'2x)>0,所以(x) AX 学科素养周测评 在（货2）上存在一个本点， 结合f'(x)的正负情况，f'(x)的零点为f(x) 的极值点， 因此f(x)在(0,2π)内共有2个极值点. 四、解答题 常0自巴知得片十士-产-一方用 x1x2=-3(x1十x2),(x2-x1)2=(x2十x1)2 4x1x2=45,又x1<0,x2>0,联立解得x1十x2= 3,x1x2=-9,所以a=-3,b=-9. 所以f(x)=3.x2-6.x-9=3(x-3)(x+1), 令f'(x)=0,解得x=3和x=-1, x∈(-∞，一1)时，f'(x)>0,f(x)单调递 增：x∈（一1,3）时，f'(x)<0,f(x)单调递 减：x∈(3，十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. x=一1和x=3是f(x)的极值点， 故f(x)的单调递增区间为（一∞，一1）， (3,十∞)：单调递减区间为（一1,3）. (2)由(1)知f(x)-=x3-3.x2一9x在(1,3)单调 递减，在(3,5)单调递增， 要使得对任意x∈[1,5]，不等式f(x)<c2-c 恒成立，则需f(1)<c-c且f(5)<c2-c, 故f(1)=-11<c2-c且f(5)=5<c2-c,解 得e>瓜或<瓜， 2 所以：的取值范围是(-∞，1酒)U (,+ 12解，0当a=1时fe-中+号fe x-吾，易知f(-1D-是(-D=e-1 所以曲线y=f(x)在点（一1，f(一1）)处的切线 方程为y-号-e-1x+1p(e-1Dz-y十 e-2=0, 2油已知可得了x)-x一g-x e ①若a<0,则x>0→f'(x)>0,x<0=f'(x)<0, 即y=f(x)在(0，+∞)上单调递增，在（一∞， 0)上单调递诚，f(x)≥f(0)=a. 又f(-1)=>0,f0<0,x+∞时，y= ·数学· f(x)→十∞，所以函数存在两个零点. ②若a=0,fx)=2r,显然不符合题意. ③若a>0,令f'(x)=0→x=0或x=lna, 当a>1时，令f'(x)>0→x<0或x>lna, 令f'(x)<0→0<x<lna, 即y=f(x)在(0，lna)上单调递减，在（一∞， 0)和(lna,十o∞)上单调递增， 函数极小值为fae)-ae)+ha十1> 0,函数极大值为f(0)=a>0, 此时函数至多有一个零点，不符合题意： 当a=1时，f'(x)≥0，则y=f(x)单调递增， 至多有一个零点，不符合题意： 当1>a>0时，令f'(x)>0→x>0或x<1na, 令f'(x)<0-→0>x>lna, 即y=f(x)在(na,0)上单调递减，在（一o∞，lna) 和(0，十o)上单调递增， 2024一2025学年度学科素养周测评（七 一、选择题 1.A【解析】因为角。的终边与受的终边重合， 所以-+2,∈Z所以号-+号x k∈Z, 令表=3na∈Z,则号-g+2mxa∈Z,光时 号的终边位于第二泉限： 令k=3n十1(m∈Z,则g-1+2mx(m∈ZD. 39 此时的终边位于第三象限； 令k=3n+2(n∈Z),则3=g+2nx(n∈Z0y 此时？的终边位于第四象限。 所以弩的终边不可能在第一象限， 2.C【解析】原式=sin2≈sin(2X57.3)=sin(90°+ 24.6)=c0s24.6. 3.C【解析】设圆台的上底面半径为r,下底面半径 2 为R,利用孤长公式可得2w=3元X12,解 得r=4, ·15 参考答案及解析 函数极大值为f(lna)= 2ne+1+>0, 函数极小值为f(0)=a>0, 此时函数至多有一个零点，不符合题意： 综上所述a<0时，函数有两个零点x1,x2,则 x1x红一正一负. 不妨令x1<0<x,设F(x)=f(x)一f(-x)→ F'(x)=f'(x)+f'(-x)=ax(e'-er), 令g(x)=e-e4→g'(x)=e十e>0.即 y=g(x)在R上单调递增， 所以x>0→g(x)>g(0)=0, 故x>0时，有F'(x)<0, 故F(x)在(0，+o∞)上单调递减， 即F(x)<F(O)=0,所以x>0时，f(x)≤f(一x), 则f(x1)=f(x)≤f(-x:), 又因为y=f(x)在(-∞，0)上单调递减， 故x1>一x→x1十x2>0,证毕. 数学·三角函数的概念及诱导公式 2R=3xX27,解得R=9.,又圆台的母线长为1一 27-12=15,所以圆台的侧面积S=π(4十9)× 15=195元. 4.D【解析】因为行=受-()所以血行 s臣-（】=os(-8), 而cos行-cas[臣-(】=m(-8》, 所以角。的终边上点的坐标可写为(eos(-)】 sm(←-8》. 所以a=- 0+2元，k∈乙，因此。的最小正值 为+ 5.A【解析】令m=0+行，则0=m一牙，c0sm 号从而4sin2置-o)+os+号） sn[-(m-】+o[（a-）+2 4n受-m)+cosm+3a）=-5cosm=-2 AX