周测评(九) 三角恒等变换-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（九） 圈题 数学·三角恒等变换 (考试时调40分钟，总分100分) 一，选择趣{本题共6小”，每小题6分，共36分.在每小”哈出的四个进项中，只有一项是 符合题目要求的！ 新号 2 6 容案 L1,已知a为悦角，且aa1+an1)一1，则g的值为 A20 H C.s D.7 名已知角®十的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半非重合，终边经过点P(-,), 渊m0+2n ( A 且一5 c居 及已知ra<经sma1十m即+1-cus a=0,期a里 A.-2 B-1 c DI 巴知(2a+》一号+-则uae+me+》等于 2 A号 B号 c n9 元已知an ac+}=3-22)w(货-a小，则o2a= A B号 c -1 学科素养周测浮九】数学第1页共4页)】 衡水真 6如图所示，面积为置的扇形OMN中，M,N分别在x+y轴上，点P在MN上（点P 与点M,N不重合》，分别在点P,N处作扇形CN所在圆的切线，：交于点Q,其中 1,与x轴交于点R.则NQ+Q识的最小值为 A.4 B25 C. n.2 二，站择露（本露共2小题，每小翻6分，共2分.在每小期岭出的选项中，有多项符合脑日 要求，全部选对的得6分，部分选对的得把分分，有选错的得0分} 题梦 8 答案 7,古希册数学家毕达番拉斯通计研究正五边形和正十边形的作图，爱现了黄金分别率，黄 金分别率的值也可以用2加1表示.下列结果等于黄金分剂串的值的是《》 A.sin 102'+3 cos 102" a碧器 C D 2cos 78'+2cus 42" &已知活数f一血产+二+m2片，下列结论正病的是 A,f(x)的值城是[4，十o) 长(x)是周别函数 Cf)的图象关于直线r一对称 nu在经，上单调遥增 三、筑空器《本罪共2小题，每小赠6分，共12分》 ,5十n10 9,化简3-0 1a巴知x∈o引ye(-受引若anG十+tar一y=m2.则aowy的 最小值为 题密程 学科素养周衡评九)数学第2页（共4贾} AX 四，解答题（本题共2小蒙，共和分.解答应写出文字说明、证明过程或演算密骤） 1L.20分)已知雨数f(x)一2osx(sinx+万c0sx)8. 2(0分)E知函数fe)-5:一a2023x+g十》号 诺儿+}-器录么一}的值： (D求f(x)的最小正周期和单调通增区间： 2若ae使小且f一引-石求a的值 2设ex)-f++f-一引一f+)-引求质敢gx的最小值 AX 学科素养周测悍九】数学第3页共页) 衡水真题密程 学科素养周衡坪九)数学第4页（共4页}·数学· 参考答案及解析 「1x 厂2x,4力 5一3元 其和为一受十十 当-∈[2，o小即xe,)时，函 3 1 当0C<号或a=1时，/e)=a有4个解，由 数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 对称性可知：其和为子×2+×2=4 所以在0， 上的单调递增区间为 42 当a-号时，)=6有6个解，由对称性可 知：其和为×2+×2++-6 (3)由(2)知：函数∫(x)在 -2 T5 上图象为： 当号 a<1时，f(x)=a有8个解，其和为 02+×2+ 3元 ×2十2π×2=8m, 3π，a=0, V2 2 4π，a∈ y=a ,u. 所以S= √2 6x,a= 2 4 当a=0时，f(x)=a有3个解，由对称性可知： 2024一2025学年度学科素养周测评（九） 数学·三角恒等变换 一、选择题 4.D【解析】因为sin(2a十B)=sin[a十(a十B)]= 1.B【解析】由cosa(1+√3tan10°)=1可得 sin acos(a十β)+cos asin(a+B), cossin 10+cos10 所以ino(a+B)+(a+B)-2号 cos10° =1, 2sin40° 两边除以cos acos(a十)，得tana十tan(a十3)= 即cos cos10°=1， 所以6sa-n0一2n行 cos10°sin80°2sin40°cos40 + 2sin40 cos40°， 5.B【解折】国为cos(行-a)=n(经-+a)= 又a为锐角，故a=40° sim(ta小 2.D【解折】由题意得co(a十）=一言，sin(a十 所以tan o(a+牙)=3-22)sin(年+a), ）-号，所以s(+2a)=os(胥+2a+） 故ana=(3-22)tan(0+） -如(a+）=-2a(+若）n(a+)-器 3.B【解析】由题意得，2 sin acos a(1+sinB)+ ana十an4_ana十l,所 2sin2 acos B=0, 1-tan atan4 1-tan a 因为x<a<3,所以sina≠0，所以cosa(1+ sin B)+sin acos B=0, 以ma=6-2曾故ma-20g- 即cosa十sin(a十B)=0,所以sin(a十)=-cosa, a十(3-22)=0，解得tana=√2-1， 所以ina+》=-1. 所以cos2a= cos'a-sin'a 1-tan'a cos a os2a十sin2&1十tan2a ·21· AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 1-(W2-1)22-12 1 1 1+(W2-1)22-221 2 sin4r+如2x)+2(n6r-sm4r） +(tan 2x) sin xoos x 6.B【解析】由痛形ON的面积为x,得OP= tn6r+sm2r+（an2z）y'=2sin4ros2r+ 2sin xcos x sin 2x π，解得OP=2.设∠POM=0, (tan 2x)=4cos22x+(tan 2x)* 在Rt△OPR中，PR=2tan0,连接OQ,则QN= QP,∠N0Q-∠N0P-- 4cocco cos'2x c0s'2-1, 对于A,令t=cos22x∈(0,1]，所以f(x)=g(t)= 由对句画数性质可知g)在0，》单调道减，在 (分)单调递增， 在R△N0Q中，NQ=2an(任-号）Q+aR= 而8) =3,所以f(x)的值城是[3，+∞)，故 PR+2NQ=2an0+4am(任-g）,0(b,）, A错误； 1 对于B,f(x十π)=4cos22(x+π) cos22(x十x) cos2-1-f(x), 1 1=4cos22x+ 则NQ+QR=2an(经-2a)+4tana= 2 tan 2a 所以f(x)是以π为周期的周期函数，故B正确： 1-tan'a+4tan a= 1 4tan a= +3tana≥ tan a tan a 对于C,(年+z)=4o2(任+)+ 1 1 2tana ·3tana=25, os2(年+ -1-4sin2x+sin1. 1 3 当且仅当 -=3tana,即tana= 3 时取等号， tan a f行-小=ms2(任-+n 而a∈o》 os2(贤- 所以a-音-g=∠POM时，NQ+QR取得最小维 4sin'2x+sin'2x -1, 25. 所以f(任+z)=f(任-小故C正确： 二、选择题 对于D.=2红在（货，）单调递增，=o0s在 7.AB【解析】sin102°+√3cos102°=2sin(102°+ 60)=2sin162°=2sin18°，故A正确， (,）单调适增4=心在（一1,0）上单调递减， sin 36 in 362sin 18'cos 18-2sin 18", sin108°cos18° c0s18 而由A选项分桥可知g()在(0，）单调递减， 故B正确； 2tan9°cos18° 在（侵，）单辆运增，故D错说。 1-tan29° =tan18cos18°=sin18°，故C错误； 三、填空题 2c0s78°+2cos42°=2cos(60°+18)+2cos(60° 5+sin10° 5+sin10° 18)=4c0s60°cos18°=2cos18°.故D错误。 9.2【解析】 3-c0s250 3-1+c0s100 8.BC【解析】f(x)=sn3r+cos5x 2 sinx cos z (tan2x)2= 5+sin10°5+sin10° sin 3xcos +cos 5xsin(tan 2x) 5c0s1000 5+sin10=2. sin rcos z 2 2 2 AX ·22 ·数学· 参考答案及解析 10,号【解标】由题高知 sin(x+y) sin(z-y) 2sin 2x. 'cos(x+y)'cos(x-y) 所以g(x)=2sin2x+2cos2x-2sin2x· sin(x+y)cos(x-y)+sin(z-y)cos(x十y） cos 2z. cos(x十y)cos(x-y） sin 2x cos(r+y)cos(红-y）=4sin2x,由题意知sn2x≠ 设sin2x十cos2x=t,则t=2sin(2x+）∈ [-√2,2]，且2sin2x·cos2x=t2-1, 1 0,图此cos(x十y)c0s(x一y)=4 所以y=-2+2t+1=-(t-1)2+2, 1 所以cos'xcos2y-sin'zsin'y=4: 当t=-√2时，ymm=-22-1. 所以g(x)的最小值为-2√2-1. 长orz+ory-是 12.解：(1)由题意知f(x=√3sin2x-sin(2023π十 国为x(o,》y(》所以cosx> n+- =3sin2x十sin xcos- 0,cos y>0, 3 5_1 所以cos xcos y=√cos'xcos y= 22 sin 2t- (co + os2=sim2x-） 641 2 me<1,故-(o-}+ 故fx)的最小正周期T= 2 - 故cosxco0sy的最小值为2 令-受+2张≤2-<受+2张ke. 四、解答题 解得一+x<:<径+，∈乙 11.解：(1)因为f(x)=2 sin xcos z+3(2cos2x 1D=sin2x+5cos2z=2sim(2z+5）月 所以了G)的单调遥增区间为[一音十女x,登 f(e+)-82 2sin(2a+受+）-8 kxk∈Z cosa+）- (2因为fe-若）=m2(e-）- a-)=2sin2(a-)+司 sma-）- 2smta+）-2sn2(a+）-引- 又a∈（臣小，所以2a-5∈（倍，7）， -2ma+】=-22ms(2a+）- 所以cos(2a-）=-1-r(2a-）) 24 -2×)”-1-8 25 (2)因为fe+)=2sim(x+若+） 所以na设=s血(2a经+）=m(2a- 2cos2x,f(e-8）=2sin(2x-3+） 50 2024一2025学年度学科素养周测评（十）数学·函数的应用 一、选择题 义城为(0，十∞)，且在区间(0，十∞)上单调递 5 1.C【解析】易知函数fx)=2-+1ogx一2定 增，又f0)-1+0-号<0,2)-2+1-号> ·23 AX